22基本不等式（第2課時(shí)）基本不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用（導(dǎo)學(xué)案）

2.2基本不等式（第2課時(shí)）導(dǎo)學(xué)案學(xué)習(xí)目標(biāo)1.熟練掌握基本不等式及變形的應(yīng)用．2.會用基本不等式解決生活中簡單的最大(小)值問題．3.能夠運(yùn)用基本不等式解決幾何中的應(yīng)用問題．重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：基本不等式的定義、證明方法和幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題。難點(diǎn)：基本不等式的幾何解釋，用基本不等式解決簡單的最值問題。導(dǎo)入新知基本不等式在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，是解決最大（?。┲祮栴}的有工具．同學(xué)們，數(shù)學(xué)是和生活聯(lián)系非常緊密的學(xué)科，我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，也是為了解決生活中的問題，比如：“水立方”是2008年北京奧運(yùn)會標(biāo)志性建筑之一，在2022年成功改造成冬奧會歷史上體量最大的冰壺場館“冰立方”．如圖為水立方平面設(shè)計(jì)圖，已知水立方地下部分為鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)是大小相同的左、右兩個(gè)矩形框架，兩框架面積之和為18000m2，現(xiàn)地上部分要建在矩形ABCD上，已知兩框架與矩形ABCD之間空白的寬度為10m，兩框架之間的中縫空白寬度為5m，請問作為設(shè)計(jì)師的你，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)矩形ABCD，才能使水立方占地面積最??？要解決這個(gè)問題，還得需要我們剛學(xué)習(xí)過的基本不等式哦，讓我們開始今天的探究之旅吧！學(xué)習(xí)新知一、基本不等式在生活中的應(yīng)用問題利用基本不等式求最大(小)值時(shí)，應(yīng)注意哪些問題？例3（1）用籬笆圍一個(gè)面積為100的矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，所用籬笆最短？最短籬笆的長度是多少？（2）用一段長為36m的籬笆圍成一個(gè)矩形菜園，當(dāng)這個(gè)矩形的邊長為多少時(shí)，菜園的面積最大？最大面積是多少？分析：（1）矩形菜園的面積是矩形的兩鄰邊之積，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之積為定值，邊長多大時(shí)周長最短.（2）矩形菜園的周長是矩形兩鄰邊之和的2倍，于是問題轉(zhuǎn)化為：矩形的鄰邊之和為定值，邊長多大時(shí)面積最大.解：設(shè)矩形菜園的相鄰兩條邊的長分別為m，m，籬笆的長度為.（1）由已知得.由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為10m的正方形時(shí)，所用籬笆最短，最短籬笆的長度為40m.（2）由已知得，矩形菜園的面積為.由，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，上式等號成立.因此，當(dāng)這個(gè)矩形菜園是邊長為9m的正方形時(shí)，菜園的面積最大，最大面積是81.【變式1】某單位用2160萬元購得一塊空地,計(jì)劃在該地塊上建造一棟至少10層,每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算,若將樓房建為層,則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560(單位:元).為了使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少,該樓房應(yīng)建為多少層?

注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購地費(fèi)用，平均購地費(fèi)用＝eq\f(購地總費(fèi)用,建筑總面積).【解析】設(shè)將樓房建為層,則每平方米的平均購地費(fèi)用為.

設(shè)每平方米的平均綜合費(fèi)用為元,

則.

當(dāng)取最小值時(shí),有最小值.

,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立.

所以當(dāng)時(shí),有最小值2000.

因此該樓房建為15層時(shí),每平方米的平均綜合費(fèi)用最少.反思感悟利用基本不等式解決實(shí)際問題的步驟(1)理解題意．設(shè)變量，并理解變量的實(shí)際意義；(2)構(gòu)造定值．利用基本不等式求最值；(3)檢驗(yàn)．檢驗(yàn)等號成立的條件是否滿足題意；(4)結(jié)論．應(yīng)用新知二、基本不等式在幾何中的應(yīng)用例4某工廠要建造一個(gè)長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m．如果池底每平方米的造價(jià)為150元，池壁每平方米的造價(jià)為120元，那么怎樣設(shè)計(jì)水池能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？分析：貯水池呈長方體形，它的高是3m，池底的邊長沒有確定．如果池底的邊長確定了，那么水池的總造價(jià)也就確定了．因此，應(yīng)當(dāng)考察池底的邊長取什么值時(shí)，水池的總造價(jià)最低．【解析】設(shè)貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為，，水池的總造價(jià)為元．根據(jù)題意，有．由容積為4800m3，可得，因此．所以，當(dāng)時(shí)，上式等號成立，此時(shí)．所以，將貯水池的池底設(shè)計(jì)成邊長為40m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)是297600元．【變式1】為了增強(qiáng)生物實(shí)驗(yàn)課的趣味性,豐富生物實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容,某校計(jì)劃沿著圍墻(足夠長)劃出一塊面積為100平方米的矩形區(qū)域修建一個(gè)羊駝養(yǎng)殖場,規(guī)定的每條邊長均不超過20米.如圖所示,矩形為羊駝養(yǎng)殖區(qū),且點(diǎn)A,B,E,F四點(diǎn)共線,陰影部分為1米寬的鵝卵石小徑.設(shè)(單位:米),養(yǎng)殖區(qū)域的面積為(單位:平方米).(1)將S表示為x的函數(shù)，并寫出x的取值范圍；(2)當(dāng)AB為多長時(shí)，S取得最大值？并求出最大值．【解析】(1)因?yàn)?所以,

所以,

因?yàn)?解得,

所以.

(2)

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號成立,經(jīng)驗(yàn)證,符合題意,

即當(dāng)米時(shí),取得最大值,最大值為平方米.反思感悟在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤．能力提升題型一：基本不等式在生活中的應(yīng)用【練習(xí)1】某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用為900元，若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時(shí)間為eq\f(x,4)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．30件 B．60件C．80件 D．100件【答案】B【解析】根據(jù)題意,生產(chǎn)件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和是,設(shè)平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和為,

則,

由基本不等式,得,

當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號成立,

即每批生產(chǎn)產(chǎn)品60件時(shí),平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)用與倉儲費(fèi)用之和最小.反思感悟在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會出現(xiàn)錯(cuò)誤．【跟蹤練習(xí)】為了美化校園環(huán)境，園藝師在花園中規(guī)劃出一個(gè)平行四邊形，建成一個(gè)小花圃，如圖，計(jì)劃以相距6米的M，N兩點(diǎn)為?AMBN一組相對的頂點(diǎn)，當(dāng)AMBN的周長恒為20米時(shí)，小花圃占地面積(單位：平方米)最大為()A.6 B.12 C.18 D.24答案D解析設(shè)AM＝x，AN＝y(tǒng)，則由已知可得x＋y＝10，在△MAN中，MN＝6，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(x2＋y2－62,2xy)＝eq\f(（x＋y）2－36,2xy)－1＝eq\f(32,xy)－1≥eq\f(32,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))\s\up12(2))－1＝eq\f(32,25)－1＝eq\f(7,25)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝5時(shí)等號成立，此時(shí)(cosA)min＝eq\f(7,25)，所以(sinA)max＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,25)))\s\up12(2))＝eq\f(24,25)，所以四邊形AMBN的最大面積為2×eq\f(1,2)×5×5×eq\f(24,25)＝24(平方米)，此時(shí)四邊形AMBN是邊長為5米的菱形.感悟提升利用基本不等式解決實(shí)際應(yīng)用問題的思路(1)設(shè)變量時(shí)一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù).(2)根據(jù)實(shí)際問題抽象出函數(shù)的解析式后，只需利用基本不等式求得函數(shù)的最值.(3)在求函數(shù)的最值時(shí)，一定要在定義域(使實(shí)際問題有意義的自變量的取值范圍)內(nèi)求解.題型二：基本不等式在幾何中的應(yīng)用【練習(xí)2】如圖所示，將一矩形花壇ABCD擴(kuò)建為一個(gè)更大的矩形花壇AMPN，要求點(diǎn)B在AM上，點(diǎn)D在AN上，且對角線MN過點(diǎn)C，已知AB＝4米，AD＝3米，當(dāng)BM＝______時(shí)，矩形花壇AMPN的面積最?。敬鸢浮?米【解析】設(shè),則由得,解得,

矩形的面積為,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)等號成立.

當(dāng)米時(shí),矩形花壇的面積最小求實(shí)際問題中最值的解題4步驟(1)先讀懂題意，設(shè)出變量，理清思路，列出函數(shù)關(guān)系式．(2)把實(shí)際問題抽象成函數(shù)的最大值或最小值問題．(3)在定義域內(nèi)，求函數(shù)的最大值或最小值時(shí)，一般先考慮基本不等式．(4)回到實(shí)際問題中，正確寫出答案．課堂總結(jié)1．知識清單：(1)基本不等式在生活中的應(yīng)用．(2)基本不等式在幾何中的應(yīng)用．2．方法歸納：配湊法．3．常見誤區(qū)：生活中的變量有它自身的意義，容易忽略變量的取值范圍．作業(yè)設(shè)計(jì)課本48頁習(xí)題2.2第5,6題第48頁習(xí)題2.2復(fù)習(xí)鞏固1.（1）已知，求的最小值；（2）求的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等號成立，的最小值為；（2）由知.當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，由基本不等式可得.當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)等號成立.綜上，的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值，重點(diǎn)考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，屬于基礎(chǔ)題型，基本不等式求最值的方法需記住“一正，二定，三相等的原則”.2.（1）把寫成兩個(gè)正數(shù)的積，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的和最?。浚?）把寫成兩個(gè)正數(shù)的和，當(dāng)這兩個(gè)正數(shù)取什么值時(shí)，它們的積最大？【答案】（1）a=b=6時(shí)，它們的和最小，為12；（2）a=b=9時(shí)，它們的積最大，為81【解析】設(shè)兩個(gè)正數(shù)為a，b（1），則，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?，即a=b=6時(shí)，它們的和最小，為12.（2），則當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪⒓碼=b=9時(shí)，它們的積最大，為81.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式求最值．即兩個(gè)正數(shù)，積為定值時(shí)和有最小值，和為定值時(shí)積有最大值，都是當(dāng)且僅當(dāng)這兩個(gè)數(shù)相等時(shí)取得最值．3.某公司建造一間背面靠墻的房屋，地面面積為，房屋正面每平方米的造價(jià)為元，房屋側(cè)面每平方米的造價(jià)為元，屋頂?shù)脑靸r(jià)為元，如果墻高為，且不計(jì)房屋背面和地面的費(fèi)用，那么怎樣設(shè)計(jì)房屋能使總造價(jià)最低？最低總造價(jià)是多少？【答案】當(dāng)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為時(shí)，房屋總造價(jià)最低，為元.【解析】設(shè)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為，總造價(jià)為元，則，即，.當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，有最小值，最低總造價(jià)為元.答：當(dāng)房屋的正面邊長為，側(cè)面邊長為時(shí)，房屋總造價(jià)最低，為元.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在利用基本不等式時(shí)，要注意等號成立的條件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.第48頁綜合運(yùn)用4.已知、、都是正數(shù)，求證：.【解析】，，，由基本不等式可得，，，由不等式的性質(zhì)可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式證明不等式，涉及不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.已知，求證：的最大值是.【答案】見解析【解析】，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，等號成立，因此，的最大值是.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求代數(shù)式的最值，在應(yīng)用基本不等式時(shí)，要注意“一正二定三相等”條件的成立，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6.一家貨物公司計(jì)劃租地建造倉庫儲存貨物，經(jīng)過市場調(diào)查了解到下列信息：每月土地占地費(fèi)（單位：萬元）與倉庫到車站的距離（單位：）成反比，每月庫存貨物費(fèi)（單位：萬元）與成正比；若在距離車站處建倉庫，則和分別為萬元和萬元，這家公司應(yīng)該把倉建在距離車站多少千米處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小？【答案】【解析】設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，，，，，，兩項(xiàng)費(fèi)用之和為.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)等號成立.即應(yīng)將這家倉庫建在距離車站處，才能使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，且最小費(fèi)用為萬元.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，在運(yùn)用基本不等式求最值時(shí)，充分利用“積定和最小，和定積最大”的思想求解，同時(shí)也要注意等號成立的條件，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.第49頁拓廣探索7.一家商店使用一架兩臂不等長的天平稱黃金，一位顧客到店里購買黃金，售貨員先將的砝碼放在天平左盤中，取出一些黃金放在天平右盤中使天平平衡；再將的砝碼放在天平右盤中，再取出一些黃金放在天平左盤中使天平平衡；最后將兩次稱得的黃金交給顧客.你認(rèn)為顧客購得的黃金是小于，等于，還是大于？為什么？【答案】大于，理由見解析【解析】由于天平兩臂不等長，可設(shè)天平左臂長為，右臂長為，則，再設(shè)先稱得黃金為，后稱得黃金為，則，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，