第05講平行四邊形的性質(zhì)和判定

第05講平行四邊形的性質(zhì)和判定知識(shí)點(diǎn)1：平行四邊形的性質(zhì)邊的性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行且相等，如下圖：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性質(zhì)：兩組對(duì)角分別相等，如圖：∠A=∠C，∠B=∠D3.對(duì)角線的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分。如圖：AO=CO，BO=DO知識(shí)點(diǎn)2：平行四邊形的判定與邊有關(guān)的判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形與角有關(guān)的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形與對(duì)角線有關(guān)的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形知識(shí)點(diǎn)3：三角形的中位線三角形中位線：在△ABC中，D，E分別是AC，AC的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣，連接三角形_兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.B中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一?？键c(diǎn)剖析考點(diǎn)1：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求邊長(zhǎng)【典例1】（2022秋?朝陽區(qū)校級(jí)期末）如圖，?ABCD的周長(zhǎng)為30，AD：AB＝3：2，那么BC的長(zhǎng)度是（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】A【解答】解：∵?ABCD的周長(zhǎng)為30，AD：AB＝3：2，設(shè)AD為3x，AB為2x，可得：3x+2x＝15，解得：x＝3，∴BC＝AD＝9，故選：A．【變式11】（2022春?溫州期中）已知平行四邊形鄰邊之比是1：2，周長(zhǎng)是18，則較短的邊的邊長(zhǎng)是（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【解答】解：∵平行四邊形的周長(zhǎng)是18，一組鄰邊之比是1：2，∴設(shè)兩鄰邊分別為x，2x，則2（x+2x）＝18，解得：x＝3，∴較短的邊的邊長(zhǎng)是3，故選：A．【變式12】（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，AB＝6，BC＝10，∠ABC的平分線交AD于點(diǎn)E，則DE的長(zhǎng)為（）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD＝BC＝10，AD∥BC．∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∴AE＝AB＝6∴DE＝AD﹣AE＝10﹣6＝4，故選：B．考點(diǎn)2：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求角度【典例2】（2022秋?煙臺(tái)期末）在平行四邊形ABCD中，若∠A+∠C＝80°，則∠B的度數(shù)是（）A．140° B．120° C．100° D．40°【答案】A【解答】解：在?ABCD中有：∠A＝∠C，AD∥BC，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A＝140°，故選：A．【變式21】（2022春?集美區(qū)校級(jí)期中）平行四邊形ABCD中，若∠A＝120°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．60 C．120° D．150°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C＝120°，故選：C．【變式22】（2020?河池）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED＝150°，則∠A的大小為（）A．150° B．130° C．120° D．100°【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE，∵∠BED＝150°，∴∠ABE＝∠AEB＝30°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝120°．故選：C．【典例3】（2022秋?南關(guān)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上兩個(gè)點(diǎn)，且BE＝DF．（1）求證：AE＝CF；（2）若AD＝AE，∠DFC＝140°，求∠DAE的度數(shù)．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠ABE＝∠CDF，又∵BE＝DF，在△ABE與△CDF中，∴△ABE≌△CDF（SAS）∴AE＝CF；（2）由（1）知，△ABE≌△CDF，則∠AEB＝∠DFC＝140°．∴∠DEA＝40°．∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠DEA＝40°．∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝100°．【變式31】（2022秋?思明區(qū)校級(jí)月考）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，且AE＝CF，連接EF，AC交于點(diǎn)O，求證：OE＝OF．【解答】證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEO＝∠CFO，在△AEO和△CFO中，，∴△AEO≌△CFO（AAS），∴OE＝OF．【變式32】（2022?濉溪縣校級(jí)開學(xué)）已知：如圖，?ABCD中，AB＝5cm，AD＝3cm，AE平分∠BAD交DC于E．求：EC的長(zhǎng)．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BA∥CD，AB＝CD＝5cm，∴∠DEA＝∠EAB，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠EAB，∴∠DAE＝∠DEA，∴DE＝AD＝3cm，∴CE＝CD﹣DE＝5﹣3＝2（cm），即EC的長(zhǎng)為2cm．【變式33】（2022秋?青浦區(qū)月考）如圖，在平行四邊形ABCD中，∠B＝120°，AD＝2cm，CD＝3cm．求平行四邊形ABCD的面積．【解答】解：如圖，過D作DE⊥AB于E，則∠DEA＝90°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝3cm，AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，∵∠B＝120°，∴∠A＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，∴AE＝AD＝1（cm），∴DE＝＝＝（cm），∴平行四邊形ABCD的面積＝AB?DE＝3×＝3（cm2）．考點(diǎn)3：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求周長(zhǎng)【典例4】（2022秋?東營(yíng)區(qū)校級(jí)期末）如圖，?ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且AC+BD＝14，AB＝4．則△OCD的周長(zhǎng)為．【答案】11【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝OC＝AC，BO＝OD＝BD，∵AC+BD＝14，∴CO+DO＝7，∵AB＝CD＝4，∴△OCD的周長(zhǎng)為OD+OC+CD＝7+4＝11．故答案為：11．【變式41】（2020春?平南縣期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于O，且AO＝BD＝4，AD＝3，則△BOC的周長(zhǎng)為（）A．9 B．10 C．12 D．14【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝3，OD＝OB＝2，OA＝OC＝4，∴△OBC的周長(zhǎng)＝3+2+4＝9，故選：A．【變式42】（2020?吉安模擬）如圖，?ABCD的周長(zhǎng)為16cm，AC與BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AC交AD于E，則△DCE的周長(zhǎng)為（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AB＝CD，OA＝OC，∵?ABCD的周長(zhǎng)為16cm，∴AD+CD＝8cm，∵OA＝OC，OE⊥AC，∴EC＝AE，∴△DCE的周長(zhǎng)為：DE+EC+CD＝DE+AE+CD＝AD+CD＝8（cm）．故選：C考點(diǎn)4：平行四邊形的判定【典例5】（2022秋?泰山區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，下列哪組條件不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（）A．OA＝OC，OB＝OD B．AB＝CD，AO＝CO C．AB＝CD，AD＝BC D．∠BAD＝∠BCD，AB∥CD【答案】B【解答】解：A、∵OA＝OC，OB＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、由AB＝CD，AO＝CO不能判斷四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B符合題意；C、∵AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、∵AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵∠BAD＝∠BCD，∴∠ABC+∠BAD＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．【變式51】（2022秋?萊州市期末）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線交于點(diǎn)O，下列哪組條件能判斷四邊形ABCD是平行四邊形（）A．OA＝OC，AC＝BD B．OB＝OA，OD＝OC C．AB∥CD，AD＝BC D．∠ABC+∠BAD＝180°，∠BCD＝∠BAD【答案】D【解答】解：∵∠ABC+∠BAD＝180°，∠BCD＝∠BAD，∴AD∥BC，∠ABC+∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選：D．【變式52】（2022秋?廬江縣月考）下列條件不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）A．AB∥CD，AD∥BC B．AB∥CD，∠A＝∠C C．AB∥CD，AD＝BC D．∠A＝∠C，∠B＝∠D【答案】C【解答】解：A、∵AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、∵AB∥CD，∴∠B+∠C＝180°，∵∠A＝∠C，∴∠B+∠A＝180°，∴AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)B不符合題意；C、由AB∥CD，AD＝BC，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)C符合題意；D、∵∠A＝∠C，∠B＝∠D，∴四邊形ABCD是平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：C．【變式53】（2022秋?魏縣期中）依據(jù)所標(biāo)數(shù)據(jù)，下列一定為平行四邊形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、只有一組對(duì)邊平行不能確定是平行四邊形，故A選項(xiàng)不符合題意；B、80°+110°≠180°，故B選項(xiàng)不符合條件；C、不能判斷出任何一組對(duì)邊是平行的，故C選項(xiàng)不符合題意；D、有一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，故D選項(xiàng)符合題意；故選：D．考點(diǎn)5：平行四邊形的判定與全三角形綜合【典例6】（2022?蘇州模擬）如圖，E，F(xiàn)是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．求證：（1）△AFD≌△CEB；（2）四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC．∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，在△ADF和△CBE中，，∴△AFD≌△CEB（SAS）；（2）由（1）知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD∥BC．∴四邊形ABCD是平行四邊形．【變式61】（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期中）如圖，已知在四邊形BCDE中，CD∥BE，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接CF交BE于點(diǎn)A，且點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，求證：四邊形BCDE是平行四邊形．【解答】證明：∵CD∥BE，∴∠D＝∠AEF，∵點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，∴DF＝EF，在△CDF和△AEF中，，∴△CDF≌△AEF（ASA），∴CD＝AE，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AE＝BE，∴CD＝BE，又∵CD∥BE，∴四邊形BCDE是平行四邊形．【變式62】（2022春?桂林期末）如圖，已知四邊形ABCD，CD⊥AC，AB⊥AC，垂足分別為C、A，AD＝BC．（1）求證：Rt△ACD≌Rt△CAB．（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：（1）在Rt△ACD和Rt△CAB中，，∴Rt△ACD≌Rt△CAB（HL）；（2）∵△ACD≌△CAB，∴AB＝DC，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．【變式63】（2022春?扶綏縣期末）已知：如圖，E、F是四邊形ABCD的對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，AE＝CF，DF＝BE，DF∥BE．（1）求證：△AFD≌△CEB．（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE，∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS）；（2）∵△ADF≌△CBE，∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，∴AD∥CB，∴四邊形ABCD是平行四邊形．考點(diǎn)6：平行四邊形的性質(zhì)與判定綜合【典例7】（2022春?南海區(qū)月考）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)與DC的延長(zhǎng)線交于F．（1）求證：四邊形ABFC是平行四邊形；（2）若AF平分∠BAD，∠D＝60°，AD＝8，求?ABCD的面積．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠FCE，∵點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，∴BE＝CE，在△ABE和△FCE中，，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB＝CF，又∵AB∥CF，∴四邊形ABFC是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠D＝60°，BC＝AD＝8，AD∥BC，∴∠BEA＝∠DAE，∵AF平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BA＝BE＝BC＝CE＝4，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝∠AEB＝60°，∵AE＝CE，∴∠EAC＝∠ECA＝∠AEB＝30°，∴∠BAC＝∠BAE+∠EAC＝90°，∴AC⊥AB，AC＝＝＝4，∴?ABCD的面積＝AB?AC＝4×4＝16．【變式71】（2022春?杭州期中）如圖，在?ABCD中，E、F分別為邊BC、AD的中點(diǎn)，連接AE、CF．（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形．（2）當(dāng)∠B＝60°，AB＝6時(shí)，求AD與BC之間的距離．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，AD的中點(diǎn)，∴CE＝BC，AF＝AD，∴AF＝EC，AF∥CE，∴四邊形AECF是平行四邊形；（2）解：如圖，過A作AM⊥BC于M，則∠AMB＝90°，∵∠B＝60°，∴∠BAM＝90°﹣60°＝30°，∴BM＝AB＝3，∴AM＝＝＝3，即AD與BC之間的距離為3．【變式72】（2022春?梁溪區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E、F分別在AD、BC上，且∠BAF＝∠DCE．求證：（1）△ABF≌△CDE．（2）四邊形AECF是平行四邊形．【解答】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC，在△ABF和△CDE中，，∴△ABF≌△CDE（ASA）；（2）∵△ABF≌△CDE，∴AF＝CE，BF＝DE，∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．考點(diǎn)7：三角形中位線【典例8】（2020?廣西一模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使MN＝BD，連接DN，若CD＝6，則MN的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】A【解答】解：∵點(diǎn)M，N分別是AB，AC的中點(diǎn)，∴MN＝BC，∵M(jìn)N＝BD，CD＝6，∴BC＝4，∴MN＝2，故選：A．【變式81】（2022春?五蓮縣期末）如圖，A、B兩處被池塘隔開，為了測(cè)量A、B兩處的距離，在AB外選一點(diǎn)C，連接AC、BC，并分別取線段AC、BC的中點(diǎn)E、F，測(cè)得EF＝15m，則AB的長(zhǎng)為（）A．7.5m B．15m C．30m D．45m【答案】C【解答】解：∵E、F是AC，BC中點(diǎn)，∴EF是△ABC的中位線，∴EF＝AB，∵EF＝15m，∴AB＝30m．故選：C．【變式82】（2022春?廣西月考）如圖，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是△ABC各邊的中點(diǎn)，連接DE，EF，DF．若△DEF的周長(zhǎng)為10，則△ABC的周長(zhǎng)為（）A．20 B．30 C．40 D．50【答案】A【解答】解：∵D、E分別是△ABC的邊AB、BC的中點(diǎn)，∴DE＝AC．同理，EF＝AB，DF＝BC，∴C△DEF＝DE+EF+DF＝AC+BC+AB＝（AC+BC+AC）＝×S△ABC＝10．∴△ABC的周長(zhǎng)＝20，故選：A．【變式83】（2022秋?平昌縣期末）如圖，在△ABC中，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在DE上，且AF⊥CF，若AC＝3，BC＝6，則DF的長(zhǎng)為（）A．1.5 B．1 C．0.5 D．2【答案】A【解答】解：∵D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，BC＝6，∴DE＝BC＝3，∵AF⊥CF，∴∠AFC＝90°，∵E為AC的中點(diǎn)，AC＝3，∴FE＝AC＝1.5，∴DF＝DE﹣FE＝1.5，故選：A．過關(guān)檢測(cè)一．選擇題（共10小題）1．（2022秋?新化縣期末）用反證法證明命題“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)三角形中（）A．每一個(gè)內(nèi)角都大于60° B．每一個(gè)內(nèi)角都小于60° C．有一個(gè)內(nèi)角大于60° D．有一個(gè)內(nèi)角小于60°【答案】A【解答】解：用反證法證明“三角形中必有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)三角形中每一個(gè)內(nèi)角都不小于或等于60°，即都大于60°．故選：A．2．（2023春?鶴山市期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AC＝4m，若△ACD的周長(zhǎng)為13cm，則平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)為（）A．26cm B．24cm C．20cm D．18cm【答案】D【解答】解：∵AC＝4cm，△ADC的周長(zhǎng)為13cm，∴AD+DC＝13﹣4＝9（cm）．又∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，AD＝BC，∴平行四邊形的周長(zhǎng)為2（AD+DC）＝18cm．故選：D．3．（2023秋?高青縣校級(jí)期末）在?ABCD中，若∠A+∠C＝80°，則∠B的度數(shù)是（）A．140° B．120° C．100° D．40°【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠A＝∠C，∠A+∠B＝180°，∵∠A+∠C＝80°，∴∠A＝40°，∴∠B＝180°﹣40°＝140°，故選：A．4．（2023春?平邑縣期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，要使四邊形ABCD成為平行四邊形，則應(yīng)增加的條件是（）A．AB＝CD B．∠ABD＝∠CDB C．AC＝BD D．∠ABC+∠BAD＝180°【答案】B【解答】解：應(yīng)增加的條件是：∠ABD＝∠CDB，理由如下：∵∠ABD＝∠CDB，∴AB∥CD，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，故選：B．5．（2023春?北安市校級(jí)期中）如圖，平行四邊形ABCD中，∠ABC的平分線交AD于E，∠BED＝155°，則∠A的度數(shù)為（）A．155° B．130° C．125° D．110°【答案】B【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∵∠ABC的平分線交AD于E，∠BED＝155°，∴∠ABE＝∠CBE＝∠AEB＝180°﹣∠BED＝25°，∴∠A＝180°﹣∠ABE﹣∠AEB＝130°．故選：B．6．（2022秋?海陽市期末）小軍不慎將一塊平行四邊形玻璃打碎成如圖所示的四塊，他帶了兩塊碎玻璃到商店配成一塊與原來相同的平行四邊形玻璃，他帶的碎玻璃編號(hào)是（）A．①② B．①④ C．②③ D．②④【答案】C【解答】解：∵只有②③兩塊角的兩邊互相平行，且中間部分相聯(lián)，角的兩邊的延長(zhǎng)線的交點(diǎn)就是平行四邊形的頂點(diǎn)，∴帶②③兩塊碎玻璃，就可以確定平行四邊形的大?。蔬x：C．7．（2023?柘城縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別是A（1，1），B（2，﹣2），再找一點(diǎn)C，使它與點(diǎn)A，B，O構(gòu)成的四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)C的坐標(biāo)不可能是（）A．（﹣1，3） B．（3，﹣1） C．（1，﹣3） D．（﹣2，3）【答案】D【解答】解：如圖所示，觀察圖象可知，滿足條件的點(diǎn)C有三個(gè)，坐標(biāo)分別為（﹣1，3）或（3，﹣1）或（1，﹣3），∴點(diǎn)C的坐標(biāo)不可能是（﹣2，3），故選：D．8．（2023?貴陽模擬）如圖，將兩條寬度相同的紙條重疊在一起，使∠BAD＝60°，則∠BCD等于（）A．30° B．45° C．60° D．120°【答案】C【解答】解：由題意可知，AB∥CD，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠BCD＝∠BAD＝60°，故選：C．9．（2023春?湛江期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于點(diǎn)F，CE平分∠BCD，交AD于點(diǎn)E，AB＝6，EF＝2，則BC的長(zhǎng)為（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】D【解答】解：在平行四邊形ABCD中，AD＝BC，AD∥BC，AB＝CD＝6，∴∠AFB＝∠CBD，∠CED＝∠BCE，∵BF平分∠ABC，CE平分∠BCD，∴∠ABF＝∠CBD，∠BCE＝∠ECD，∴∠ABF＝∠AFB，∠CED＝∠ECD，∴AB＝AF＝6，CD＝DE＝6，∴AD＝AF+DE﹣EF＝6+6﹣2＝10，∴BC＝AD＝10．故選：D．10．（2022秋?牟平區(qū)期末）如圖，AD是△ABC的中線，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BE延長(zhǎng)線與AC的交點(diǎn)，若AC＝6，則AF＝（）A．3 B．2 C． D．【答案】B【解答】解：取BF的中點(diǎn)H，連接DH，∵BD＝DC，BH＝HF，∴，DH∥AC，∴∠HDE＝∠FAE，在△AEF和△DEH中，，∴△AEF≌△DEH（ASA），∴AF＝DH，∴，∵AC＝6，∴，故選：B．二．填空題（共5小題）11．（2023春?盱眙縣期末）如圖，在?ABCD中，∠BCD的平分線交AD于點(diǎn)E，AB＝3，AE＝1，則BC＝4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD＝3，AD＝BC，∴∠DEC＝∠BCE，∵CE平分∠BCD，∴∠BCE＝∠ECD，∴∠DEC＝∠ECD，∴DE＝CD＝3，∴BC＝AD＝AE+DE＝1+3＝4；故答案為：4．12．（2023春?臨海市期末）在?ABCD中，若∠A＝80°，則∠C的度數(shù)為80°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴∠C＝∠A＝80°．故答案為80°．13．（2022秋?洞口縣期末）如圖，在等腰△ABC中，∠C＝30°，頂點(diǎn)B在平行四邊形ODEF的邊DE上，已知∠2＝110°，則∠1＝40°．【答案】40°．【解答】解：∵等腰△ABC中，∠C＝30°，∴∠ABC＝∠C＝30°，∵四邊形ODEF是平行四邊形，∴OF∥DE，∴∠2+∠ABE＝180°，∵∠2＝110°，∠ABC＝∠C＝30°，∴110°+∠1+30°＝180°，∴∠1＝40°．故答案為：40°．14．（2023?肇源縣一模）如圖所示，?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O的直線分別交AD、BC于點(diǎn)M，若△CON的面積為2，△DOM的面積為4，則?ABCD的面積為24．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，∴四邊形ABCD是中心對(duì)稱圖形，∴△CON≌△AOM，∴S△AOD＝4+2＝6，又∵OB＝OD，∴S△AOB＝S△AOD＝6；∴?ABCD的面積＝4×6＝24．故答案為：24．15．（2023?黑龍江模擬）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)是對(duì)角線BD上的兩點(diǎn)，請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件BF＝DE（答案不唯一），使四邊形AFCE是平行四邊形（填一個(gè)即可）【答案】BF＝DE（答案不唯一）．【解答】解：添加的條件為BF＝DE；連接AC交BD于O，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO＝CO，BO＝DO，∵BF＝DE，∴OE＝OF，∴四邊形AFCE是平行四邊形；故答案為：BF＝DE