初二數(shù)學(xué)下冊四邊形綜合測試題及答案

八年級數(shù)學(xué)下冊四邊形綜合測試題（一）

（時間45分鐘，共100分）

姓名:班級:得分:

一、選擇題（每題5分，共30分）

1、十二邊形的內(nèi)角和為（)

A.1080°B.13600C、1620°D、1800°

2、能判定四邊形ABCD為平行四邊形的題設(shè)是（）.

(A)AB/7CD,AD=BC;(B)ZA=ZB,ZC=ZD;

(B)(C)AB=CD,AD=BC;(D)AB=AD,CB=CD

3、下列圖案中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

（A）

4、菱形ABCD的對角線長分別為6cm和8cm,則菱形的面積為（

A.12,B.24C.36D.48

5.下列說法不正確的是（）

（A）對角線相等且互相平分的四邊形是矩形；（B）對角線互相垂直平分的四邊形是菱形;

（C）對角線垂直的菱形是正方形；（D）底邊上的兩角相等的梯形是等腰梯形

6、如圖1,在平行四邊形A6CO中，CELAB,E為垂足.如

果NA=125°,則NBCE=()

A.55°B.35°C.25°D.30°

二、填空題（每題5分，共30分）

7、順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形一定是

8、如圖2,矩形A6CD的對角線AC和

8。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。的直線分別交

AD和BC于點(diǎn)E、F,AB=2,BC=3,

則圖中陰影部分的面積為.

尸圖2

9、如圖3,若UABCD與UEBCF關(guān)于BC

所在直線對稱，NABE=90°,則/

F=°

10、如^4,把一張矩形紙片A8C7）沿EE

折疊后，點(diǎn)C,。分別落在C',的位置

上，EC'交AO于點(diǎn)G.則4EFG形狀為

11、如圖5,在梯形ABCD中，

AD//BC

NB=4°,NC室9°,A?1,BD=4

則AB=________

12.如圖6,AC是正方形ABCD的對角線，

AE平分/BAC,EF±AC交AC于點(diǎn)F,若BE=2,

則CF長為

三、解答題（每題10分，共40分）

13、（10分）已知：如圖7,E、F是平行四邊行ABCD的對角線AC上的兩點(diǎn)，AE=CF?

求證：ZCDF=ZABE

14、（10分）如圖8,把正方形A8CO繞著點(diǎn)A,按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AE尸G,

邊FG與BC交于點(diǎn)、H.求證：HC=HF.DC

G

圖8

E

15、（10分）已知：如圖9,在△ABC中，AB=AC,ADLBC,垂足為點(diǎn)。，AN是△48

外角/C4A/的平分線，CELAN,垂足為點(diǎn)E,猜想四邊形4OCE的形狀，并給予證明.

N

圖9

16、（10分）如圖10,在梯形紙片ABCD中，AD//BC,AD>CD,

將紙片沿過點(diǎn)D的直線折疊，使點(diǎn)C落在AD上的點(diǎn)C處，折

痕DE交BC于點(diǎn)E,連結(jié)CE.

求證：四邊形CDCE是菱形.

“拓展創(chuàng)新”時間30分鐘,共50分,

?、選擇及填空題（每題5分，共10分）

1、如圖11,在菱形ABC。中，NBAD=

80°,4B的垂直平分線交對角線4c于

點(diǎn)E,交AB丁點(diǎn)凡尸為垂足，連接OE,

則ZCDE=度

2.如圖12,四邊形48co是矩形，F(xiàn)是AO上一點(diǎn)，E是C8延長線上一點(diǎn)，且四邊形

AECF是等腰梯形.下列結(jié)論中不?定正確

的是().

(A)AE=FC(B)AD=BC

(C)ZAEB=ZCFD(D)BE=AF

二、填空題(每題5分，共10分)

3、如圖13,已知：平行四邊形ABCD中，

NBCD的平分線CE交邊4。于E,

N/1BC的平分線8G交CE于F,交

AD于G.若AB=4cm,AD=6cm,貝lj

EG=cm.

4、將矩形紙片4BCO按如圖14所示的方式折疊,得到菱形4ECF.若48=9,則AC的

長為_________

三、解答題(每題15分，共30分)

5、一次數(shù)學(xué)活動課上，老師留下了這樣一道題“任畫一個AABC,以BC的中點(diǎn)O為對

稱中心，作4ABC的中心對稱圖形，問^ABC與它的中心對稱圖形拼成了一個什么形狀

的特殊四邊形？并說明理由

于是大家討論開了，小亮說：“拼成的是平行四邊形”；小華說：“拼成的是矩形”；

小強(qiáng)說：“拼成的是菱形”；小紅說：“拼成的是正方形”；其他同學(xué)也說出了自己的

看法……你贊同他們中的誰的觀點(diǎn)？為什么？若都不贊同，請說出你的觀點(diǎn)(畫出圖形)，

并說明理由

6,如圖15-1,已知點(diǎn)P是矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA、PB、PC、PD把矩形分割成四個三

角形，小東對該圖形進(jìn)行了研究。為了探究的需要，小東過點(diǎn)P作PE1AD交BC于F,

通過一番研究之后得出兩條重要結(jié)論：（1）ACB=a.乂D3ABD，

毋曲

（2）P223cp22.

1）請你寫出小東探究的過程.

2）當(dāng)P在矩形外時，如圖15-2,上述兩個結(jié)論是否仍成立？若成立，請說明理由；

若不成立，請寫出你猜想的結(jié)論（不必證明）

《“四邊形”綜合測試題（一）》參考答案

基礎(chǔ)鞏固

一、選擇題

1,D2、C3、A4、B5、C.6、B

二、填空題

7、平行四邊形8、3.9、45°10、等腰三角形11、3收12.2

三、解答題

13、證明：⑴：ABCD是平行四邊形，.,.DC=AB,DC〃AB,

AZDCF=ZBAE，:AE=CF,AAADF^ACBE,ZCDF=ZABE

14、如圖8,把正方形A6CO繞著點(diǎn)A,按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形AEFG,邊FG與

BC交于點(diǎn)H.求證：HC=HF.

解：證明：連結(jié)A"，?.,四邊形ABC。，AEFG都是正方形.

NB=NG=90°,AG=A6,BC=GF,又AH=AH.

.?.Rt△取困RtABH(HL),：.HG=HB,.,.HC=HF.

15、解：猜想四邊形4OCE是矩形。

證明：在△ABC中，AB=AC,ADLBC.：.ZBAD=ZDAC.

AN是△A8C夕卜角乙CAM的平分線，/.

ZMAE=ZCAE.：.ZDA￡=Z￡)AC+ZCAE=lx180°=90°.又

2

AD1BC,CE1AN,：.NAOC=NCEA=90。，四邊形AOCE

為矩形.

16、證明：根據(jù)題意可知ACSACD

則CD=C'D,4C'DE=4CDECE=C'E

VAD//BCAZC，DE=ZCED,AZCDE=ZCED；.CD=CE

.,.CD=C'D=C'E=CE四邊形CDC'E為菱形

“拓展創(chuàng)新”，

二、選擇題

1、60°2、D

三、填空題

3、2cm4、65/3

三、解答題

5、解：不贊同他們的觀點(diǎn)，因?yàn)锳ABC形狀不確定，所以應(yīng)分情況討論.

(1)若AABC中，A庠A(且N6A/史十寸，如圖1、圖2.4ABC與它的中心對稱

圖形拼成了一個平行四邊形.理由：與C、A與D關(guān)于O對稱，???OA=OD,OB=OC,

，四邊形ABDC是平行四邊形.

(2)若aABC中，AB=AtaZBA=第時，如圖3、圖4.ZiABC與它的中心對稱

圖形拼成一個菱形.理由：：B與C、A與D關(guān)于O對稱，，OA=OD,OB=OC,：A星A

...四邊形ABDC是菱形.

B

（3）若AABC中，A摩A（且ZBA=T鼠時，如圖5,4ABC與它的中心對稱圖形

拼成一個矩形.理由：VB與C、A與D關(guān)于0對稱，OA=OD,OB=OC,:

ABtACZB.?.四邊形ABDC是矩形.

（4）若AABC中，ARA（且ZB4=更1c（時，如圖6,AABC與它的中心對稱圖形

拼成一個正方形.理由：：B與C、A與D關(guān)于O對稱，...OA=OD,OB=OC,：A5=A（,

ZB4=紀(jì)七.?.四邊形ABDC是正方形..

6,1)證明:(1),矩形ABCDW，PE±AD,四邊形ABFE和四邊形CDEF都是矩

n1

4鼠S

=尸

--矩

形，p^04D,,p方S&CP亍/S矩冊B,>??

s^/2

+2ACBD9ASD°

(2)?.?矩形ABCD中，PE±AD,二由勾股定理，得

P2=A2+P%p2岸P24F七p22€P-BP2Hp2冉。I，

：.P2+P2=A2A)rP2ap2B-F2EP2mp2GB2mp2Hp2R

.四邊形ABFE和四邊形CDEF都是矩形，；.A=S：,LF=CE,：.

P2鐘2￡尸2曲2

2).當(dāng)P在矩形外時，結(jié)論(1)不成立；應(yīng)為結(jié)論SM^S.e?Sm-pS^

結(jié)論（2）仍然成立.

理由：同1）中證明（2）.

2013中考數(shù)學(xué)壓軸題

安徽22.如圖1,在△ABC中，D、E、尸分別為三邊的中點(diǎn)，G點(diǎn)在邊上，/XBDG

與四邊形ACDG的周長相等，設(shè)AC=b,AB=c.

(1)求線段BG的長；(2)求證：OG平分/EOF;

(3)連接CG,如圖2,若ABOG與△OFG相似，求證：BGLCG.

解（1）；￡＞、（7、尸分別是448。三邊中點(diǎn)

又?:ABDG與四邊形ACDG

BD+DG+BG=AC+CD+DG+AG

：.BG=AC+AG"：BG=AB-AG：.BG=

,、、T“r>b+ch+ccb

（2）證明：BG=-------，F(xiàn)G=BG-BF=--------

2222

,.FG=DF,：.ZFDG=ZFGD又\：DEMNB

：.ZEDG=ZFGDNFDG=NEDG二。6平分/EOF

(3)在△DFG中，ZFDG=ZFGD,叢DFG是等腰三角形，

■:4BDG與△QFG相似,「.△BOG是等腰三角形，,NB=ZBGD,：.BD=DG,

則CO=BO=OG,，8、CG、三點(diǎn)共圓，BGC=90°,：.BGLCG

23.如圖，排球運(yùn)動員站在點(diǎn)。處練習(xí)發(fā)球，將球從。點(diǎn)正上方2m的A處發(fā)出，把球看

成點(diǎn)，其運(yùn)行的高度y(〃?)與運(yùn)行的水平距離x(〃?)滿足關(guān)系式尸i(x—6)2+瓦已知球網(wǎng)與0

點(diǎn)的水平距離為9機(jī)，高度為2.43機(jī)，球場的邊界距。點(diǎn)的水平距離為18,“。

(I)當(dāng)6=2.6時，求y與x的關(guān)系式(不要求寫出自變量x的取值范圍)

(2)當(dāng)〃=2.6時，球能否越過球網(wǎng)？球會不會出界？請說明理由；

(3)若球一定能越過球網(wǎng)，又不出邊界，求人的取值范圍。

23解(1)把)=0,了=2,及〃=2.6代入至1」)，=。(犬-6)2+〃即2="(0—6)?+2.6,/.a=——

60

y=——(x-6)2+2.6

(2)當(dāng)h=2.6時，尸—--(x-6)2+2.6x=9時，y=---(9-6)2+2.6=2.45>2.43

??

球能越過網(wǎng)

x=18時，y=---(18-6)2+2.6=0.2>0球會過界

?

邊界

----------A

18x

2-h

(3)x=0,y=2,代入至?。輞=d(x—6)2+A得a=----；

36

2-h2+3h2-h

x=9時，y=----(9—6)2+/Z=---:—>2.43①x=18B寸，v=-----(18—6)2+h8—3/?

36435

Q

>0②由①②得后一

3

［匕京8.小翔在如圖1所示的場地上勻速跑步，他從點(diǎn)A出發(fā)，沿箭頭所示方向經(jīng)過點(diǎn)

8跑到點(diǎn)C,共用時30秒.他的教練選擇了一個固定的位置觀察小翔的跑步過程.設(shè)小

翔跑步的時間為f（單位：秒），他與教練的距離為y（單位：米），表示y與r的函數(shù)關(guān)

系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的

D.點(diǎn)。

d12345678910II1213x

【解析】D

12.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，我們把橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)叫做整點(diǎn).已知點(diǎn)

4（0,4）,點(diǎn)8是x軸正半軸上的整點(diǎn),記4408內(nèi)部（不包括邊界）的整點(diǎn)個數(shù)為

機(jī).當(dāng)機(jī)=3時點(diǎn)8的橫坐標(biāo)的所有可能值是；當(dāng)點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為4〃（〃

為正整數(shù)）時，加=（用含”的代數(shù)式表示.）

【解析】3或4；6”-3

北京24.在△ABC中，BA=BC,ZBAC=a,M是AC的中點(diǎn)，P是線段上的動

點(diǎn)，將線段PA繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)2a得到線段PQo

（1）若a=60。且點(diǎn)P與點(diǎn)M重合（如圖1）,韁CQ的延長線交射線BM于點(diǎn)D,

請補(bǔ)全圖形，并寫出NCD8的度數(shù)；

（2）在圖2中，點(diǎn)尸不與點(diǎn)8,M重合，線段C。的延長線與射線交于點(diǎn)。,

猜想NCD8的大?。ㄓ煤琣的代數(shù)式表示），并加以證明；

（3）對于適當(dāng)大小的a,當(dāng)點(diǎn)尸在線段上運(yùn)動到某一位置（不與點(diǎn)2,M重

合）時，能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點(diǎn)D,且P。=。。，請直接

寫出a的范圍。

【解析】

圖1

NCDB=3()。

⑵連接PC,AO,

乙PAD=ZPCD

又PQ=PA：.PQ=PC,ZADC=2ZCDB,APQC=ZPCD=ZPAD

：.ZPAD+ZPQD=Z.PQC+ZPQD=180°

，AAPQ+/ADC=360°-(/PAD+PQD)=180°

ZADC=1800-ZAPQ=180°-2a/.2ZCDB=180°-2a

ZCDB=900-a

(3)NCDB=90°-a,且PQ=QD

：.4PAD=NPCQ=ZPQC=2NCDB=1800-2a

?.?點(diǎn)P不與點(diǎn)B,M重合AABAD>ZPAD>ZMADA2a>180°-2a>a

，45°<a<60°

25.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對于任意兩點(diǎn)4（再，y）與乙（乙，為）的“非常距離”，給出

如下定義：

若IX,-人以%-丫2I，則點(diǎn)吊與點(diǎn)鳥的“非常距離”為II；

?

若I±-X?1<1yl-y2\，則點(diǎn)［與點(diǎn)￡的“非常距離”為I%-丫21

例如：點(diǎn)￡（1,2）,點(diǎn)舄（3,5）,因?yàn)?1-31<12-51,所以點(diǎn)勺與點(diǎn)鳥的“非常距離”

為12-51=3,也就是圖1中線段6。與線段優(yōu)。長度的較大值（點(diǎn)。為垂直于），軸的

直線耳。與垂直于x軸的直線鳥。的交點(diǎn)）。

（1）已知點(diǎn)A（-；,0）,8為y軸上的一個動點(diǎn)，

①若點(diǎn)A與點(diǎn)B的“非常距離''為2,寫出一個滿足條件的點(diǎn)B的坐標(biāo)；②直接寫出點(diǎn)4與

點(diǎn)8的“非常距離”的最小值；

（2）已知C是直線y=±x+3上的一個動點(diǎn)，

4

①如圖2,點(diǎn)。的坐標(biāo)是（0,1）,求點(diǎn)C與點(diǎn)。的“非常距離”的最小值及相

應(yīng)的點(diǎn)C的坐標(biāo)：

②如圖3,E是以原點(diǎn)。為圓心，1為半徑的圓上的一個動點(diǎn)，求點(diǎn)C與點(diǎn)E的

“非常距離”

的最小值及相應(yīng)的點(diǎn)E和點(diǎn)C的坐標(biāo)。

圖2圖3

⑵①設(shè)C坐標(biāo)(%,|x0+3)...當(dāng)3-...距離為號此時

-x=jx()+2止匕時x

0077

815

C一,—

77

8

--x0=-x0+3--Xc

@Trt5°4050=",?rr?

最小值10

重慶10.已知二次函數(shù)），=，+汝+。（〃刈）的圖象如圖所示對稱軸為.下列結(jié)論

中，正確的是（)

A.abc>0B.a+b=OC.2b+c>0D.4a+c<2b

解答：解：A、：開口向上，.與y軸交與負(fù)半軸，...cVO,

?.?對稱軸在y軸左側(cè)，二-&VO,二6>0,溫<0,故本選項錯誤：

2a

B、:對稱軸：x=--^-=-^,：.a=b,故本選項錯誤；C、當(dāng)x=l時，a+b+c=2b+c<0,故

2a2

本選項錯誤；

。、；對稱軸為X=-1,與無軸的一個交點(diǎn)的取值范圍為X|>1,二與x軸的另一個交點(diǎn)的

2

取值范圍為X2<-2,

...當(dāng)x=-2時，4a-2b+c<0,即4a+c<2b,故本選項正確.故選。.

16.甲、乙兩人玩紙牌游戲，從足夠數(shù)量的紙牌中取牌.規(guī)定每人最多兩種取法，甲每次

取4張或(4-k)張，乙每次取6張或(67)張(女是常數(shù)，0<k<4).經(jīng)統(tǒng)計，甲共

取了15次，乙共取了17次，并且乙至少取了一次6張牌，最終兩人所取牌的總張數(shù)恰好

相等，那么紙牌最少有108張.

分析：設(shè)甲a次取(4-A)張，乙b次取(67)張，則甲(15-?)次取4張，乙(17

-b)次取6張，從而根據(jù)兩人所取牌的總張數(shù)恰好相等，得出。之間的關(guān)系，再有取

牌總數(shù)的表達(dá)式，討論即可得出答案.

解答：解：設(shè)甲〃次取(4-i1)張，乙b次取(6-k)張，則甲(15-a)次取4張，

乙(17-/J)次取6張，

則甲取牌(60-ka)張，乙取牌(102-妨)張，則總共取牌：N=a(4-k)+4(15-a)

+b(6-&)+6(17-b)=-*(a+b)+162,

從而要使牌最少，則可使N最小，因?yàn)樽鬄檎龜?shù)，函數(shù)為減函數(shù)，則可使(a+b)盡可能

的大，由題意得，a<15,后16,

又最終兩人所取牌的總張數(shù)恰好相等，故k*-a)=42,而0VY4,b-a為整數(shù)，

則由整除的知識，可得k可為1,2,3,

①當(dāng)k=l時，b-a-42,因?yàn)閍W15,b<\i),所以這種情況舍去；

②當(dāng)k=2時，b-a=21,因?yàn)閍W15,把16,所以這種情況舍去；

③當(dāng)上3時，b-a=\4,此時可以符合題意，

綜上可得:要保證好15,區(qū)16,匕-a=14,（a+b）值最大,則可使6=16,。=2；珠15,。=1；

b=14,<7=0；

當(dāng)岳46,a=2時，a+b最大，a+b=18,繼而可確定k=3,（a+b）=18,所以N=-3x18+162=108

張.

故答案為：108.

重慶企業(yè)的污水處理有兩種方式，一種是輸送到污水廠進(jìn)行集中處理，另一種是通過

企業(yè)的自身設(shè)備進(jìn)行處理.某企業(yè)去年每月的污水量均為12000噸，由于污水廠處于調(diào)試

階段，污水處理能力有限，該企業(yè)投資自建設(shè)備處理污水，兩種處理方式同時進(jìn)行.1至

6月，該企業(yè)向污水廠輸送的污水量力（噸）與月份x（l<r<6,且x取整數(shù)）之間滿足的

函數(shù)關(guān)系如下表：

月份X（月）123456

輸送的污水量力（噸）1200060004000300024002000

7至12月，該企業(yè)自身處理的污水量”（噸）與月份x（7<r<12,且x取整數(shù)）之間滿足

二次函數(shù)關(guān)系式為力=。2后c（awO）.其圖象如圖所示.1至6月，污水廠處理每噸污

水的費(fèi)用：z,（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：該企業(yè)自身處理每噸污水

2

31,

的費(fèi)用：（元）與月份x之間滿足函數(shù)關(guān)系式：d=-x--X2；7至12月，污水廠

-412

處理每噸污水的費(fèi)用均為2元，該企業(yè)自身處理每噸污水的費(fèi)用均為1.5元.

（1）請觀察題中的表格和圖象，用所學(xué)過的一次函數(shù)、反比例函數(shù)或二次函數(shù)的有關(guān)知

識，分別直接寫出口，為與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）請你求出該企業(yè)去年哪個月用于污水處理的費(fèi)用W（元）最多，并求出這個最多費(fèi)

用；

（3）今年以來，由于自建污水處理設(shè)備的全面運(yùn)行，該企業(yè)決定擴(kuò)大產(chǎn)能并將所有污水

全部自身處理，估計擴(kuò)大產(chǎn)能后今年每月的污水量都將在去年每月的基礎(chǔ)上增加“％,同

時每噸污水處理的費(fèi)用將在去年12月份的基礎(chǔ)上增加(a-30)%,為鼓勵節(jié)能降耗，減

輕企業(yè)負(fù)擔(dān)，財政對企業(yè)處理污水的費(fèi)用進(jìn)行50%的補(bǔ)助.若該企業(yè)每月的污水處理費(fèi)用

為18000元，請計算出a的整數(shù)值.(參考數(shù)據(jù)：V231~15.2,V419~20.5,V809-28.4)

解答：解(1)根據(jù)表格中數(shù)據(jù)可以得出xy=定值，則為與x之間的函數(shù)關(guān)系為反比例函

數(shù)關(guān)系：yi=h,將(1,12000)代入得：k=1x12000=12000,故、尸絲咽(1<X<6,且x

xx

取整數(shù))；

根據(jù)圖象可以得出：圖象過(7,10049),(12,10144)點(diǎn)，代入y2=ax2+c(a#0)得：

fl0049=49a+c

i10144=144a+c'

解得：,故丫2=:+10000(73勺2,且x取整數(shù))；

lc=10000

120QQ

(2)當(dāng)0W6,且x取整數(shù)時：W=yixi+(12000-yi)?X2-dv+(12000-

x2x

?昌,X2),

412

=-10007+10000A--3000,'：a=-1000<0,x=-至=5,但6,.?.當(dāng)x=5時，叩最大=22000

2a

(元)，

當(dāng)7人12時，且x取整數(shù)時，W=2x(12000-y})+1.5y2=2x(12000-7-10000)+1.5

(x2+10000),=-1X2+1900,

2

?.?0=-工<0,x=-_L=O,當(dāng)7勺飪12時，W隨x的增大而減小，...當(dāng)x=7時，+地大=18975.5

22a

(元)，V22000>18975.5,

去年5月用于污水處理的費(fèi)用最多，最多費(fèi)用是22000元；

(3)由題意得:12000(1+a%)xl.5x[l+(a-30)%]x(1-50%)=18000,設(shè)f=a%,整

理得：10產(chǎn)+17「13=0,

17±

解得：t-V809t?.?J§5^28.4,.?工戶0.57,々<-2.27(舍去)，.\a~57,

20

答：〃的值是57.

26.已知：如圖，在直角梯形A8C￡>中，AD//BC,ZB=90°,AD=2,BC=6,AB=3>.E為

BC邊上一點(diǎn)，以BE為邊作正方形8EFG,使正方形8EFG和梯形ABC。在BC的同側(cè).

(1)當(dāng)正方形的頂點(diǎn)尸恰好落在對角線AC上時，求BE的長；

(2)將(1)問中的正方形BEFG沿BC向右平移,記平移中的正方形BEFC為正方形B'EFG,

當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時停止平移.設(shè)平移的距離為/,正方形BEFG的邊￡尸與AC交于點(diǎn)

M,連接BY),B'M,DM,是否存在這樣的r,使是直角三角形？若存在，求出，

的值：若不存在，請說明理由：

(3)在(2)問的平移過程中，設(shè)正方形9EFG與AAOC重建部分的面積為S,請直接寫

出S與r之間的函數(shù)關(guān)系式以及自變量，的取值范圍.

解答：解(1)如圖①，設(shè)正方形BEFG的邊長為x,貝IJ8E=FG=8G=x,

：A8=3,BC=6,：.AG=AB-BG=3-x,

VGF//BE,：./\AGF^/\ABC,旭旦，即三W?,解得：x=2,即8E=2；

ABBC36

(2)存在滿足條件的f,

理由：如圖②，過點(diǎn)。作Q4_LBC于"則B〃=A￡)=2,DH=AB=3,

由題意得：BB'=HE=t,HB'=\t-21,￡C=4-t,

在RfZXB'ME中，B'M2=ME2+B'E1=21+(2-工力2=^r-2f+8,

24

?：EF//AB,.?.△MECSAABC,.X里，即座\：.ME=2-^t,

ABBC362

在RtADHB，中,B'D2=DH2+B'H2=32+(/-2)2=t2-4r+13,過點(diǎn)M作于N,

則MN=HE=t,NH=ME=2-h,：.DN=DH-NH=3-(2-A/)」/+],在Rt叢DMN中,

222

DM2=DN2+MN2=^t2+t+1,

4

即也產(chǎn)+竹仁(Ar-2r+8)+(』-4f+13),解

(I)若/￡)8'M=90°,則DM2=B'M2+B'￡>2,

44

得：仁義，

7

(II)若/B'WD=90°,則B'D2^B'M2+DM2,即r-4f+13=(―r-2f+8)+(—?+/+!),

44

解得：a=-3+417,?2=_3-V17(舍去),?*-t=-3+VT7；

2

(III)若NB，DM=90。,則8'〃2=8'。2+。/\即：Ar-2t+8=(？-4r+13)+(^r+z+i),

44

此方程無解，

綜上所述，當(dāng)仁干或-3+JF時，△B75M是直角三角形;

(3)①如圖③，當(dāng)尸在CO上時，EF：DH=CE：CH,即2：3=CE：4,.\CE=^,

3

t=BB'=BC-B'E-EC=6-2-'：ME=2-^t,：.FM=lt,當(dāng)g小時,

33223

S=S△FMN—1xrx°r_1「,

224

②當(dāng)G在ACtf^,f=2,：EK=EC”a〃NCCB=EQ以/(4-r)=3-af,；.FK=2-EK-^

CH444

■：NL=^AD=^,：.FL=t-9,.I單〈二2時，S=S&FMN-S^FKL=^r-1(r-(^r-1)=

33334234

③如圖⑤，當(dāng)G在CD上時，B'C：CH=B'G：DH,即8C：4=2：3,解得：B'C=^,

3

：.EC=4t=B'C-2=^,???B'N=^B'C=1(6-Z)=3-1/,GN=GB'-B'N=^t-1,

332222

*'?當(dāng)2Vzs學(xué)1寸，S=S梯形GNMF-S△尸KL="^X2X(a/-1號力一興一家魯一”一表2,

_—5t

3

④如圖⑥，當(dāng)也〈華4時，"：B'L=^B'C=^(6-r),EK^EC=^-(4-z),B'N=^B'C=^(6

3444422

-/)EM」EC」(4-r),

22

S=S梯形MNLK=S悌形ZfEKL-S梯形8'￡MN=綜上所述:

22

當(dāng)/小時，5=工/，當(dāng)g＜二2時:5=-1*+「2；當(dāng)2c標(biāo)刃時，S=--r+2t-當(dāng)M

一一343833833

〈也4時，S=3.

圖①圖②

圖③圖④

圖⑤圖⑥

福建福州10.如圖，過點(diǎn)C(l,2)分別作X軸、y軸的平行線，交直線y=-x+6于A、

B兩點(diǎn)，若反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖像與△ABC有公共點(diǎn)，則上的取值范圍是

A.2<k<9B.2<k<SC.2<k<5D.5<k<S

解答：解：：點(diǎn)C(l,2),BC〃y軸，AC〃龍軸，，當(dāng)x=l時，，y=-l+6=5,

當(dāng)y=2時，-x+6=2,解得x=4,點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為A(4,2),8(1,

5)，

根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)的幾何意義，當(dāng)反比例函數(shù)與點(diǎn)C相交時，*=1x2=2最

小，

設(shè)與線段48相交于點(diǎn)(x,—x+6)時出值最大，則左=x(—x+6)=—』+6x=一

(X-3)2+9,

Vl^-<4,當(dāng)x=3時，k值最大，此時交點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3),因此，k的取值

范圍是2必W9.

故選A.

15.如圖，已知△ABC,AB=AC=\,NA=36。，/A8c的平分線B。交AC于點(diǎn)O,則

力。的長是,caM的值是.(結(jié)果保留根號)

解答：：△ABC,AB=AC=1,ZA=36°,,NABC=/AC8=18(T—NA2=72。.

：B￡>是NABC的平分線，；.NA8O=NOBC=12NA8C=36。.NA=NQBC=36。，

又：NC=NC,Z./\ABC^^\BDC,：,ACBC=BCCD,

設(shè)4O=x,貝ij8D=BC=x.貝ijlx=xl-x,解得：x=5)+12(舍去)或5)-12.故x=5)

-12.

如右圖，過點(diǎn)。作OEJ_AB于點(diǎn)E,：

為AB中點(diǎn),BPAE=12AB=i2.在K〃\ABD中,cosA=AEAD=12\r(52=5)+14.

故答案是:5)-12：5)+14.

福建福州21.如圖①，在放ZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,匈點(diǎn)、P從點(diǎn)A開

妁沿邊4c向點(diǎn)C以每秒1個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)。從點(diǎn)C開始沿邊CB向點(diǎn)B以

每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，過點(diǎn)？作「?！?(7,交AB于點(diǎn)D,連接PQ.點(diǎn)尸、。分

別從點(diǎn)A、C同時出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)端點(diǎn)時，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為

1秒(侖0).

(1)直接用含f的代數(shù)式分別表示：QB=,PD=.

(2)是否存在t的值，使四邊形PDBQ為菱形？若存在，求出t的值；若不存在，說

明理由.并探究如何改變點(diǎn)Q的速度(勻速運(yùn)動)，使四邊形PDBQ在某一時刻為

菱形，求點(diǎn)。的速度；

(3)如圖②，在整個運(yùn)動過程中，求出線段P。5點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長.

解答：解：(l)0B=8-2f,PD=43t.

Q）不存在.

在中，ZC=90°,AC=6,8c=8,AB=10.

VPD//BC,：./\APD^/\ACB,二ADAB=APAC,即：AD10=t6,AAD

=53t,BD=AB~AD=\0~53t.

'：BQ//DP,：.當(dāng)BQ=DP時，四邊形PDBQ是平行四邊形，即8—2[=43,,

解得：f=125.

當(dāng)f=125時，PO=43xl25=165,80=10—53x125=6,，DP,BD,：.nPDBQ

不能為菱形.

設(shè)點(diǎn)。的速度為每秒v個單位長度，則8。=8—必PO=43t,8。=10—53f.

要使四邊形PO8Q為菱形，貝IJPO=8O=8Q,

當(dāng)產(chǎn)。=8。時,即43r=10—53/,解得：f=103.

當(dāng)尸。=8。時，1=103時，即43xl03=8—103v,解得：v=1615.

(3)解法一：如圖2,以C為原點(diǎn)，以AC所在直線為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系.

依題意，可知0SW4,當(dāng)f=0時，點(diǎn)切的坐標(biāo)為(3,0)；

當(dāng)f=4時,，點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，4).設(shè)直線的解析式為y=H+b,

3k+b=0k+b=4),解得：k=-2b=6).A直線“幽2的解析式為丫=一

2x+6.

?.?點(diǎn)2(0,2r),尸(6—f,0),二在運(yùn)動過程中，線段尸。中點(diǎn)的坐標(biāo)為

(6~t2,r).

把尤=6—12,代入y=-2r+6,得y=-2x6—t2+6=r.點(diǎn)M3在直線

MIM2±.

〃2N_LX

過點(diǎn)“2作軸于點(diǎn)N,則M：N=4,MiN=2.M,M2=25.

???線段PQ中點(diǎn)M所經(jīng)過的路徑長為25單位長度.

解法二：如圖3,設(shè)E是AC的中點(diǎn)，連接ME.

當(dāng)f=4時，點(diǎn)。與點(diǎn)B重合，運(yùn)動停止.設(shè)此時P。的中點(diǎn)為尸，連接EF.

過點(diǎn)“作MV_LAC,垂足為N,則MN〃BC.A/\PMN^/\PDC.

：.MNQC=PNPC=PMPQ,B[J：MN2t=PN6—1=12.；.MN=t,PN=3-12t,：.CN

=PC-PN=(6-f)-(3—12r)=3—12r.

EN=CE-CN=3-(3—12r)=⑵.S”/MEN=MNEN=2.

的值不變，，點(diǎn)M在直線E尸上.

過尸作F〃_LAC,垂足為“.則E”=2,FH=4.：.EF=25.

,：當(dāng)，=0時，點(diǎn)M與點(diǎn)E重合；當(dāng)1=4時，點(diǎn)M與點(diǎn)尸重合，；.線段PQ中點(diǎn)/所

經(jīng)過的路徑長為25單位長度.

22.如圖①，已知拋物線y=af+加S知)經(jīng)過A。，0)、8(4,4)兩點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)將直線OB向下平移m個單位長度后，得到的直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)D,

求機(jī)的值及點(diǎn)。的坐標(biāo);

(3)如圖②，若點(diǎn)N在拋物線匕且NNBO=NAB。，則在(2)的條件下，求出所有滿

足△POQs^NOB的點(diǎn)尸的坐標(biāo)(點(diǎn)尸、0、。分別與點(diǎn)N、0、8對應(yīng)).

解：(1)：拋物線y=o?+皿帕))經(jīng)過點(diǎn)—(3,0)、8(4,4).

9a+3b=016a+4b=4),解得：a=lb=-3).拋物線的解析式是y=

X2—3X.

(2)設(shè)直線OB的解析式為y=Ex,由點(diǎn)8(4,4),得：4=4"解得自=1.二直線

OB的解析式為y=x.

直線向下平移機(jī)個單位長度后的解析式為：y=x-m.

,/點(diǎn)。在拋物線y=f—3x上.；.可設(shè)Q(x,X2-3X).又點(diǎn)。在直線y=x

~m上，

X2~3X—x~m,即/一4x+m=0.

,/拋物線與直線只有一個公共點(diǎn)，..?Z\=16—4〃?=0,解得：%=4.

此時修=孫=2,y=j?—3x=—2,，。點(diǎn)坐標(biāo)為(2,—2).

(3)V直線OB的解析式為y=x,且A(3,0),...點(diǎn)A關(guān)于直線。8的對稱點(diǎn)4

的坐標(biāo)是(0，3).

設(shè)直線A3的解析式為y=Bx+3,過點(diǎn)8(4,4),4&+3=4,解得：幻=

14.

，直線A3的解析式是y=14x+3.

■:/NBO=NABO,：.點(diǎn)N在直線A5上，設(shè)點(diǎn)N(〃，14〃+3),又點(diǎn)N

在拋物線y=?-3x上，

14〃+3=〃2—3”,

解得：?i=-34,“2=4(不合題意，會去)，，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(-34,4516).

方法一：如圖1,將△N08沿x軸翻折，得到△NQ團(tuán),則州(一34,—4516),

Bi(4.-4),

二0、D、Bi都在直線丫=一》上.

V/XP\OD^/XNOB,:.叢P\ODS/\N\OB\,OP1ON1=ODOB1=12,

點(diǎn)Pi的