2024年高考數(shù)學學霸糾錯筆記平面向量含解析

忽視了零向量的特殊性給出下列命題：①向量的長度與向量的長度相等.②向量a與b平行，則a與b的方向相同或相反.③兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同.④零向量與隨意數(shù)的乘積都為零.其中不正確命題的序號是.【錯解】④【錯因分析】解決向量的概念問題要留意兩點：一是不僅要考慮向量的大小，更重要的是要考慮向量的方向；二是考慮零向量是否也滿意條件．要特殊留意零向量的特殊性．【試題解析】①與是相反向量、模相等，正確；②由零向量的方向是隨意的且與隨意向量平行，不正確；③相等向量大小相等、方向相同，又起點相同，則終點相同，正確；④零向量與隨意數(shù)的乘積都為零向量，不正確，故不正確命題的序號是②④.【參考答案】②④解決向量的概念問題應關注六點：（1）正確理解向量的相關概念及其含義是解題的關鍵.（2）相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性.（3）共線向量即平行向量，它們均與起點無關.相等向量不僅模相等，而且方向要相同，所以相等向量肯定是平行向量，而平行向量則未必是相等向量.（4）向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量.解題時，不要把它與函數(shù)圖象移動混為一談.（5）非零向量a與的關系：是a方向上的單位向量.（6）向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能，但向量的模是非負實數(shù)，故可以比較大小.1．下列說法正確的是A．若與都是單位向量，則=B．若=，則||=||且與的方向相同C．若+=0，則||=||D．若=0，則與是相反向量【答案】C【解析】因為向量相等必需滿意模相等且方向相同，所以A不正確;因為0的方向是隨意的，當時，B不正確;因為，所以，所以，故C正確;因為，所以，與不是相反向量，故D不正確.所以選C.【名師點睛】本小題主要考查兩個向量相等的充要條件，即大小和方向均相同.還考查了零向量的概念，零向量長度為零，方向隨意.屬于基礎題.忽視平行四邊形的多樣性失誤已知平行四邊形三個頂點的坐標分別為（－1，0），（3，0），（1，－5），求第四個頂點的坐標.【錯解】設A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y），∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴=，又∵=（4，0），=（1－x，－5－y），∴，解得x=－3，y=－5，∴第四個頂點的坐標為（－3，－5）.【錯因分析】此題的錯解緣由為思維定勢，錯誤的認為平行四邊形只有一種情形，在解題思路中出現(xiàn)了漏解.事實上，題目的條件中只給出了平行四邊形的三個頂點，并沒有給出相應的依次，故可能有三種不同的情形.【試題解析】如圖所示，設A（－1，0），B（3，0），C（1，－5），D（x，y）.若四邊形ABCD1為平行四邊形，則=，而=（x＋1，y），=（－2，－5）.由=，得，∴，∴D1（－3，－5）.若四邊形ACD2B為平行四邊形，則=.而=（4，0），=（x－1，y＋5）.∴，∴，∴D2（5，－5）.③若四邊形ACBD3為平行四邊形，則=.而=（x＋1，y），=（2，5），∴，∴，∴D3（1，5）.綜上所述，平行四邊形第四個頂點的坐標為（－3，－5）或（5，－5）或（1，5）.1．要留意點的坐標和向量的坐標之間的關系，向量的終點坐標減去起點坐標就是向量坐標，當向量的起點是原點時，其終點坐標就是向量坐標．2．向量的坐標與表示向量的有向線段的起點、終點的相對位置有關系．兩個相等的向量，無論起點在什么位置，它們的坐標都是相同的．3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成eq\f(x1,x2)＝eq\f(y1,y2)，因為x2，y2有可能等于0，所以應表示為x1y2－x2y1＝0.2．已知為四邊形所在的平面內(nèi)的一點，且向量，，，滿意等式，若點為的中點，則A． B． C． D．【答案】B【解析】∵向量，，，滿意等式，∴，即，則四邊形為平行四邊形，∵為的中點，∴為對角線與的交點，則，則，故選：B．忽視兩向量夾角的范圍已知向量（1）若為銳角，求的取值范圍；（2）當時，求的值.【錯解】（1）若為銳角，則且不同向.，∴.（2）由題意，可得，又，，即，解得或.【錯因分析】（1）利用向量夾角公式即可得出，留意去掉同方向狀況；（2）利用向量垂直與數(shù)量積的關系即可得出．.【試題解析】（1）若為銳角，則且不同向.，∴.當時，同向,.即若為銳角，的取值范圍是{x|且}.（2）由題意，可得，又，，即，解得或.【參考答案】（1）{x|且}；（2）或.1.兩向量的夾角是指當兩向量的起點相同時，表示兩向量的有向線段所形成的角，若起點不同，應通過移動，使其起點相同，再視察夾角．2.兩向量夾角的范圍為[0，π]，特殊地當兩向量共線且同向時，其夾角為0，共線且反向時，其夾角為π.3.在利用向量的數(shù)量積求兩向量的夾角時，肯定要留意兩向量夾角的范圍．3．已知向量，，且與的夾角為銳角，則實數(shù)的取值范圍為A． B．C． D．【答案】B【解析】若，則，解得.因為與的夾角為銳角，∴.又，由與的夾角為銳角，∴，即，解得.又∵，所以.故選B.【名師點睛】本題主要考查由向量夾角為銳角求參數(shù)的問題，熟記向量數(shù)量積的運算，以及向量共線的坐標表示即可，屬于?？碱}型.三角形的“四心”的概念混淆不清已知O是平面上的肯定點，A，B，C是平面上不共線的三個動點，若動點P滿意，λ∈（0，＋∞），則點P的軌跡肯定通過的A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【錯解】A【錯因分析】對三角形“四心”的意義不明，向量關系式的變換出錯，向量關系式表達的向量之間的相互位置關系推斷錯誤等.【試題解析】由原等式，得=，即=，依據(jù)平行四邊形法則，知是的中線AD（D為BC的中點）所對應向量的2倍，所以點P的軌跡必過的重心，故選C.【參考答案】C三角形的“四心”與平面對量1.重心.若點G是的重心，則0或（其中P為平面內(nèi)隨意一點）.反之，若0，則點G是的重心.2.垂心.若H是的垂心，則或.反之，若，則點H是的垂心.3.內(nèi)心.若點I是的內(nèi)心，則有=0.反之，若=0，則點I是的內(nèi)心.4.外心.若點O是的外心，則=0或.反之，若，則點O是的外心.4．G是的重心，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，若，則角A．90° B．60°C．45° D．30°【答案】D【解析】因為G是的重心，所以有.又，所以a∶b∶eq\f(\r(3),3)c＝1∶1∶1，設c＝eq\r(3)，則有a＝b＝1，由余弦定理可得，cosA＝eq\f(1＋3－1,2\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以A＝30°，故選D.向量與三角形的交匯是高考常見題型，解題思路是用向量運算進行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)問題或三角恒等變形問題或解三角形問題．一、平面對量的概念及線性運算1．向量的有關概念2．向量的線性運算3．共線向量定理及其應用向量a(a≠0)與b共線，當且僅當有唯一的一個實數(shù)λ，使得b=λa.[提示]限定a≠0的目的是保證明數(shù)λ的存在性和唯一性．二、平面對量基本定理及坐標表示1.平面對量的基本定理假如e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的隨意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a=λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)全部向量的一組基底；把一個向量分解為兩個相互垂直的向量，叫做把向量正交分解.2.平面對量的坐標表示在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，由平面對量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y，使得a=xi＋yj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x、y唯一確定，我們把（x，y）叫做向量a的坐標，記作a=（x，y），其中x叫做a在x軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標.3.平面對量的坐標運算（1）向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標.②設A（x1，y1），B（x2，y2），則=（x2－x1，y2－y1）.（2）向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），|a|=，|a＋b|=.（3）平面對量共線的坐標表示設a=（x1，y1），b=（x2，y2），則a∥b?x1y2－x2y1=0.（4）向量的夾角已知兩個非零向量a和b，作=a，=b，則∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a與b的夾角.假如向量a與b的夾角是90°，我們說a與b垂直，記作a⊥b.三、平面對量的數(shù)量積1.平面對量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cosθ叫作a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b=|a||b|cosθ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a=0.（2）幾何意義：數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積.2.平面對量數(shù)量積的運算律（1）a·b=b·a（交換律）.（2）λa·b=λ（a·b）=a·（λb）（結合律）.（3）（a＋b）·c=a·c＋b·c（安排律）.3.平面對量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標表示設向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），θ為向量a，b的夾角.（1）數(shù)量積：a·b=|a||b|cosθ=x1x2＋y1y2.（2）模：|a|==.（3）設A（x1，y1），B（x2，y2），則A，B兩點間的距離|AB|==.（4）夾角：cosθ==.（5）已知兩非零向量a與b，a⊥b?a·b=0?x1x2＋y1y2=0，a∥b?a·b=±|a||b|.（6）|a·b|≤|a||b|（當且僅當a∥b時等號成立）?|x1x2＋y1y2|≤.|a|=，|a＋b|=四、平面對量的應用1.向量在平面幾何中的應用若a=（x1，y1），b=（x2，y2），（1）a∥b?a=λb（b≠0）?x1y2－x2y1=0.（2）a⊥b?a·b=0?x1x2+y1y2=0.（3）cosθ==.2.向量在三角函數(shù)中的應用向量與三角的交匯是高考常見題型，解題思路是用向量運算進行轉(zhuǎn)化，化歸為三角函數(shù)問題或三角恒等變形問題或解三角形問題.3.向量在解析幾何中的應用向量在解析幾何中的應用，主要是以解析幾何中的坐標為背景的一種向量描述.進而利用直線和圓錐曲線的位置關系的相關學問來解答.4.向量在物理中的應用物理學中的力、速度、位移都是矢量，它們的分解、合成與向量的加減法相像，因此可以用向量的學問來解決某些物理問題.1．設是非零向量，則是成立的A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【答案】B【解析】由可知：方向相同，表示方向上的單位向量，所以成立；反之不成立.故選B.【名師點睛】本題考查了向量相等、單位向量以及充分、必要條件的推斷.推斷p是q的什么條件，須要從兩方面分析：一是由條件p能否推得條件q；二是由條件q能否推得條件p．對于帶有否定性的命題或比較難推斷的命題，除借助集合思想求解外，還可利用原命題和逆否命題、逆命題和否命題的等價性，轉(zhuǎn)化為推斷它的等價命題來解決．2．已知向量，且，則等于A．1 B．3C．4 D．5【答案】D【解析】由向量，且，則，解得，所以，所以，所以.故答案為D.【名師點睛】本題主要考查向量的坐標運算和向量的模的計算，意在考查學生對這些學問的駕馭水平和分析推理實力.先依據(jù)已知求出x,y的值，再求出的坐標和的值.3．【2024年高考全國I卷文數(shù)】已知非零向量a，b滿意，且b，則a與b的夾角為A． B． C． D．【答案】B【解析】因為b，所以=0，所以，所以=，所以a與b的夾角為，故選B．【名師點睛】對向量夾角的計算，先計算出向量的數(shù)量積及各個向量的摸，在利用向量夾角公式求出夾角的余弦值，再求出夾角，留意向量夾角范圍為．4．已知向量a=(2，3)，b=(3，2)，則|a-b|=A． B．2C．5 D．50【答案】A【解析】由已知，，所以，故選A.【名師點睛】本題主要考查平面對量模長的計算，簡單題，留意了基礎學問、基本計算實力的考查．由于對平面對量的坐標運算存在理解錯誤，從而導致計算有誤；也有可能在計算模的過程中出錯．5．設點A，B，C不共線，則“與的夾角為銳角”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】與的夾角為銳角，所以，即，因為，所以|+|>||；當|+|>||成立時，|+|2>|-|2?>0，又因為點A，B，C不共線，所以與的夾角為銳角.故“與的夾角為銳角”是“|+|>||”的充分必要條件,故選C．【名師點睛】本題考查充要條件的概念與推斷?平面對量的模?夾角與數(shù)量積,同時考查了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學思想.6．在矩形中，,．若點，分別是，的中點，則A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【解析】由題意作出圖形，如圖所示：由圖及題意，可得：，.∴.故選：C．【名師點睛】本題主要考查基底向量的設立，以及向量數(shù)量積的運算，屬基礎題．7．如圖所示，點是圓上的三點，線段與線段交于圓內(nèi)一點，若，則的值為A． B．C． D．【答案】C【解析】∵，和共線，∴存在實數(shù)m，使，∴=.∴，解得．故選C．【名師點睛】本題考查向量的減法運算，共線向量基本定理，共面對量基本定理．依據(jù)向量的減法運算及共線向量基本定理，可以用向量表示向量=，并依據(jù)已知條件，這樣即可建立關于λ的方程，解方程即可得到λ．向量的主要應用體現(xiàn)在以下幾方面：(1)向量的運算將向量與代數(shù)有機結合起來，這就為向量和函數(shù)的結合供應了前提，運用向量的有關學問可以解決某些函數(shù)問題；(2)以向量為載體求相關變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結合的一類綜合問題.通過向量的運算，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類問題的一般方法；(3)向量的兩個作用：①載體作用：關鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟識的數(shù)學問題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問題.8．已知向量滿意，若與的夾角為，則m的值為A．2 B．C．1 D．【答案】A【解析】，又，，，，，即，得或（舍去），故的值為2.故選A.【名師點睛】（1）本題主要考查向量的模及平面對量數(shù)量積公式，屬于中檔題，由求得，，結合與的夾角為，可得，從而可得結果.（2）平面對量數(shù)量積的公式有兩種形式：一是；二是.（3）平面對量數(shù)量積的公式的主要應用有以下幾個方面:①求向量的夾角，（此時往往用坐標形式求解）；②求投影，在上的投影是；③若向量垂直，則;④求向量的模（平方后需求）.9．已知P是所在平面內(nèi)一點，，現(xiàn)將一粒黃豆隨機撒在內(nèi)，則黃豆落在內(nèi)的概率是A． B．C． D．【答案】B【解析】以PB、PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，則∴，得：，由此可得，P是△ABC邊BC上的中線AO的中點，所以點P到BC的距離等于A到BC的距離的，∴．將一粒黃豆隨機撒在△ABC內(nèi)，黃豆落在△PBC內(nèi)的概率為.故選B.【名師點睛】本題給出點P滿意的條件，求P點落在△PBC內(nèi)的概率，著重考查了平面對量加法法則、向量共線的充要條件和幾何概型等學問，屬于基礎題．依據(jù)向量加法的平行四邊形法則，結合共線向量充要條件，得點P是△ABC邊BC上的中線AO的中點．再依據(jù)幾何概型公式，將△PBC的面積與△ABC的面積相除可得本題的答案．10．在中，∠ABC=120°，BA=2，BC=3，A．659 B．11C．419 D．【答案】B【解析】因為D，E是線段AC的三等分點，所以BD=23BA+13BC,BE=1故選B.11．如圖，在中，點D在BC邊上，且CD=2DB，點E在AD邊上，且AD=3AE，則用向量ABA．CE=29AB+89ACC．CE=29AB+79AC【答案】B【解析】由題意可得，CE=12．如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC與BD交于點O，記，，，則A． B．C． D．【答案】C【解析】因為，，，所以，故選C．【名師點睛】平面對量的計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙用．利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù)．本題通過所給條件結合數(shù)量積運算，易得，由AB=BC=AD=2，CD=3，可求得，，進而得到．13．已知是邊長為2的等邊三角形，為平面內(nèi)一點，則的最小值是A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，以為軸，的垂直平分線為軸，為坐標原點建立平面直角坐標系，則，，，設，所以，，，所以，，當時，所求的最小值為，故選B．【名師點睛】平面對量中有關最值問題的求解通常有兩種思路：①“形化”，即利用平面對量的幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問題，然后依據(jù)平面圖形的特征干脆進行推斷；②“數(shù)化”，即利用平面對量的坐標運算，把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關學問來解決．14．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上.若，則的最大值為A．3 B．2 C． D．2【答案】A【解析】如圖所示，建立平面直角坐標系.設,易得圓的半徑，即圓C的方程是，，若滿意，則，，所以，設，即，點在圓上，所以圓心到直線的距離，即，解得，所以的最大值是3，即的最大值是3，故選A.【名師點睛】（1）應用平面對量基本定理表示向量是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算.（2）用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.15．已知向量，則___________.【答案】【解析】．【名師點睛】本題考查了向量夾角的運算，牢記平面對量的夾角公式是破解問題的關鍵．16．在四邊形中，，點在線段的延長線上，且，則___________．【答案】【解析】建立如圖所示的直角坐標系，∠DAB=30°，則，.因為∥，，所以，因為，所以，所以直線的斜率為，其方程為，直線的斜率為，其方程為.由得，，所以.所以.【名師點睛】平面對量問題有兩大類解法：基向量法和坐標法，在便于建立坐標系的問題中運用坐標方法更為便利.17．已知向量a=(cos(π3+α),1)，【答案】7【解析】由，得4cos(π3+α)-1=0，cos(18．已知向量a，b的夾角為60°，|a|=2，|b|=1，則|a+2b|=___________．【答案】【解析】方法一：，所以.方法二：利用如下圖形，可以推斷出的模長是以2為邊長，一夾角為60°的菱形的對角線的長度，則為.【名師點睛】