2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第3章直線與方程3.3.3-3.3.4點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版必修2

PAGE課時(shí)分層作業(yè)(二十二)點(diǎn)到直線的距離兩條平行直線間的距離(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．到直線3x－4y－11＝0的距離為2的直線方程為()A．3x－4y－1＝0B．3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0C．3x－4y＋1＝0D．3x－4y－21＝0B[設(shè)所求的直線方程為3x－4y＋c＝0.由題意eq\f(|c－（－11）|,\r(32＋（－4）2))＝2，解得c＝－1或c＝－21，即所求直線方程為3x－4y－1＝0或3x－4y－21＝0.故選B.]2．過兩直線x－y＋1＝0和x＋y－1＝0的交點(diǎn)，并與原點(diǎn)的距離等于1的直線共有()A．0條B．1條C．2條D．3條B[聯(lián)立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1＝0，,x＋y－1＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))∴兩直線交點(diǎn)為(0，1)，由交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離1，故只有1條．]3．已知點(diǎn)P(1＋t，1＋3t)到直線l：y＝2x－1的距離為eq\f(\r(5),5)，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()A．(0，－2) B．(2，4)C．(0，－2)或(2，4) D．(1，1)C[直線l：y＝2x－1可化為2x－y－1＝0，依題意得eq\f(|2（1＋t）－（1＋3t）－1|,\r(22＋（－1）2))＝eq\f(\r(5),5)，整理得|t|＝1，所以t＝1或－1.當(dāng)t＝1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，4)；當(dāng)t＝－1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0，－2)，故選C.]4．點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為()A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2B[法一：由點(diǎn)到直線的距離公式知點(diǎn)(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離d＝eq\f(|k·0＋（－1）·（－1）＋k|,\r(k2＋1))＝eq\f(|k＋1|,\r(k2＋1))＝eq\r(\f(k2＋2k＋1,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1)).當(dāng)k＝0時(shí)，d＝1；當(dāng)k≠0時(shí)，d＝eq\r(1＋\f(2k,k2＋1))＝eq\r(1＋\f(2,k＋\f(1,k)))，要使d最大，需k>0且k＋eq\f(1,k)最小，∴當(dāng)k＝1時(shí)，dmax＝eq\r(2)，故選B.法二：記點(diǎn)A(0，－1)，直線y＝k(x＋1)恒過點(diǎn)B(－1，0)，當(dāng)AB垂直于直線y＝k(x＋1)時(shí)，點(diǎn)A(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離最大，且最大值為|AB|＝eq\r(2)，故選B.]5．若直線l1：x＋ay＋6＝0與l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，則l1，l2間的距離是(A．eq\f(4\r(2),3)B．eq\f(8\r(2),3)C．4eq\r(2)D．2eq\r(2)B[∵l1∥l2，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a（a－2）－3＝0，,2a－6（a－2）≠0，))解得a＝－1.∴l(xiāng)1的方程為x－y＋6＝0，l2的方程為－3x＋3y－2＝0，即x－y＋eq\f(2,3)＝0，∴l(xiāng)1，l2間的距離是eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(6－\f(2,3))),\r(12＋（－1）2))＝eq\f(8\r(2),3).]二、填空題6．點(diǎn)P(a，0)到直線3x＋4y－6＝0的距離大于3，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．a(chǎn)>7或a<－3[依據(jù)題意，得eq\f(|3a－6|,\r(32＋42))>3，解得a>7或a<－3.]7．與兩平行線l1：3x＋4y－10＝0和l2：3x＋4y－12＝0距離相等的直線l的方程為________．3x＋4y－11＝0[設(shè)P(x，y)是所求直線上任一點(diǎn)，則eq\f(|3x＋4y－10|,\r(32＋42))＝eq\f(|3x＋4y－12|,\r(32＋42))，化簡得3x＋4y－11＝0，即為所求直線的方程．]8．P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋6＝0上隨意一點(diǎn)，則|PQ|的最小值為________．3[直線6x＋8y＋6＝0可變形為3x＋4y＋3＝0，由此可知兩條直線平行，它們的距離d＝eq\f(|－12－3|,\r(32＋42))＝3，∴|PQ|min＝3.]三、解答題9．在△ABC中，A(3，2)，B(－1，5)，C點(diǎn)在直線3x－y＋3＝0上，若△ABC的面積為10，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．[解]設(shè)C(x，y)，由|AB|＝5，△ABC的面積為10，得點(diǎn)C到直線AB的距離為4.又線段AB所在直線的方程為3x＋4y－17＝0，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(|3x＋4y－17|,\r(32＋42))＝4，,3x－y＋3＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,3)，,y＝8.))∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，0)或eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，8)).10．如圖，已知直線l1：x＋y－1＝0，現(xiàn)將直線l1向上平移到直線l2的位置，若l2，l1和坐標(biāo)軸圍成的梯形面積為4，求l2的方程．[解]設(shè)l2的方程為y＝－x＋b(b>1)，則A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)，∴|AD|＝eq\r(2)，|BC|＝eq\r(2)b.梯形的高h(yuǎn)就是A點(diǎn)到直線l2的距離，故h＝eq\f(|1＋0－b|,\r(2))＝eq\f(|b－1|,\r(2))＝eq\f(b－1,\r(2))(b>1)，由梯形面積公式得eq\f(\r(2)＋\r(2)b,2)×eq\f(b－1,\r(2))＝4，∴b2＝9，b＝±3.但b>1，∴b＝3.從而得到直線l2的方程是x＋y－3＝0.1．若動(dòng)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)分別在直線l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上移動(dòng)，則AB的中點(diǎn)M到原點(diǎn)距離的最小值是()A．3eq\r(2)B．2eq\r(3)C．3eq\r(3)D．4eq\r(2)A[由題意知，M點(diǎn)的軌跡為平行于直線l1，l2且到l1，l2距離相等的直線l，其方程為x＋y－6＝0，∴M到原點(diǎn)的距離的最小值為d＝eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2).]2．點(diǎn)P(2，3)到直線：ax＋(a－1)y＋3＝0的距離d為最大時(shí)，d與a的值依次為()A．3，－3B．5，2C．5C[直線恒過點(diǎn)A(－3，3)，依據(jù)已知條件可知當(dāng)直線ax＋(a－1)y＋3＝0與AP垂直時(shí)，距離最大，最大值為5，此時(shí)a＝1.故選C.]3．直線3x－4y－27＝0上到點(diǎn)P(2，1)距離最近的點(diǎn)的坐標(biāo)是________．(5，－3)[由題意知過點(diǎn)P作直線3x－4y－27＝0的垂線，設(shè)垂足為M，則|MP|為最小，直線MP的方程為y－1＝－eq\f(4,3)(x－2)，解方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－4y－27＝0，,y－1＝－\f(4,3)（x－2），))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝－3.))∴所求點(diǎn)的坐標(biāo)為(5，－3).]4．已知點(diǎn)P(a，b)在線段AB上運(yùn)動(dòng)，其中A(1，0)，B(0，1).試求(a＋2)2＋(b＋2)2的取值范圍．[解]由(a＋2)2＋(b＋2)2聯(lián)想兩點(diǎn)間距離公式，設(shè)Q(－2，－2)，又P(a，b)，則|PQ|＝eq\r(（a＋2）2＋（b＋2）2)，于是問題轉(zhuǎn)化為|PQ|的最大、最小值．如圖所示：當(dāng)P與A或B重合時(shí)，|PQ|取得最大值：eq\r(（－2－1）2＋（－2－0）2)＝eq\