中考要不要“套路”（2）-再議破解2021年河南中考數(shù)學(xué)壓軸題之“套路”

中考要不要“套路”（2）——再議破解2021年河南中考數(shù)學(xué)壓軸題之“套路”王

橋今天咱們再從“套路”的角度賞析一道2021年河南中考壓軸題。雖然這道題目不算很難，但是卻也很值得品味。不過，咱們今天仍然不說題目的情景設(shè)置如何推陳出新，體現(xiàn)我國古代燦爛的文化，咱們今天還從“套路”的角度說起。首先，命制這道題目本身就已經(jīng)開始“套路”了！——建模啊！從生活中的實(shí)際問題抽象出數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，這本身就是最大的“套路”！不過，咱還談不上“學(xué)科素養(yǎng)”，咱們還是“應(yīng)試”一點(diǎn)，從“應(yīng)試”的角度看下這道題“套路”了嗎？例2、（2021河南中考第20題）在古代，智慧的勞動人民已經(jīng)會使用“石磨”，其原理為在磨盤的邊緣連接一個(gè)固定長度的“連桿”，推動“連桿”帶動磨盤轉(zhuǎn)動，將糧食磨碎，物理學(xué)上稱這種動力傳輸工具為“曲線連桿機(jī)構(gòu)”．小明受此啟發(fā)設(shè)計(jì)了一個(gè)“雙連桿機(jī)構(gòu)”，設(shè)計(jì)圖如圖1，兩個(gè)固定長度的“連桿”AP，BP的連接點(diǎn)P在?O上，當(dāng)點(diǎn)P在?O上轉(zhuǎn)動時(shí)，帶動點(diǎn)A，B分別在射線OM，ON上滑動，OM⊥ON．當(dāng)AP與?O相切時(shí)，點(diǎn)B恰好落在?O上，如圖2．請僅就圖2的情形解答下列問題．（1）求證：∠PAO＝2∠PBO；（2）若?O的半徑為5，AP＝20/3，求BP的長．【解析】（1）其實(shí)第（1）問比較簡單，咱們就直接上“套路”——口中念念有詞“遇切線，做半徑，造直角”......——關(guān)于輔助線的做法的“套路”，詳見《春季攻勢》第15——16講《輔助線秘籍》如圖，連接OP，則OP⊥AP，∴∠PAO+∠AOP=90°?！逴M⊥ON，則∠POA+∠POQ=90°，∴∠POQ=∠PAO?！逴P=OB，則∠POQ=2∠PBO，∴∠PAO＝2∠PBO；（2）∵?O的半徑為5，AP＝20/3，首先，Rt△PAO可解，根據(jù)勾股定理，易求得AO=25/3。其實(shí)，△OPA三邊之比為3:4:5——這個(gè)“勾廣三、股修四、弦隅五”的基本圖形出現(xiàn)！接下來是求線段PB。老王曾經(jīng)說過：初中數(shù)學(xué)半幾何，初中幾何半勾股！——不知道這句話算不算“套路”？老王還說過：知線段，求線段，造方程......老王又說過：構(gòu)造方程法是最大的通法（之一）；最常見的就是三種構(gòu)造方程的方式是：根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程；根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例構(gòu)造方程；根據(jù)銳角三角函數(shù)（直角三角形的邊角關(guān)系）構(gòu)造方程——這些肯定是“套路”中的“套路”了?！斠姟稕_刺十招》第2招“無中生有話'構(gòu)造’”或《春季攻勢》第3講“構(gòu)造方程法”策略一：根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程只需把PB構(gòu)造在直角三角形中。方法1：被動構(gòu)造——遇直徑，造直角。不妨設(shè)NQ與⊙O交于點(diǎn)C，則易知BC=10，只需求出PC，即可根據(jù)勾股定理求出PB；方法2：主動構(gòu)造——做垂直，造直角。不妨作PD⊥BQ于點(diǎn)D，只需求出PD和ND，即可根據(jù)勾股定理求出PB；策略二：根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例構(gòu)造方程其實(shí)這道題目，能夠首先想到用“相似”構(gòu)造方程，胸中肯定是事先有了許多“套路”的！作為老師，我們是肯定知道大名鼎鼎的“弦切角定理”的（其實(shí)，定理本身就是“套路”。但是，在“減負(fù)”的大旗下，補(bǔ)充這些“套路”是否有點(diǎn)“背道而馳”呢？）。方法3：延長AP交NQ于點(diǎn)E，則根據(jù)“弦切角定理”，則∠EPC=∠EBP，則易證△EPC∽△EBP，此時(shí)，只需求出PC的長以及兩個(gè)三角形的相似比，即可求出PB。策略三：根據(jù)銳角三角函數(shù)構(gòu)造方程方法4：只需把PB構(gòu)造在直角三角形中（因?yàn)槌踔袃H僅學(xué)到解直角三角形），在此直角三角形中只需知道除PB外的任意一條邊和任意一個(gè)銳角的任意一個(gè)三角函數(shù)值，則PB可求。這又回到了策略一中的兩種構(gòu)造直角三角形的“套路”了！正所謂：條條“套路”通羅馬，殊途同歸有“套路”！其實(shí)，勾股、相似和三角這三個(gè)最常用的“套路”工具在某種程度上本來就是相通的。難怪張景中院士能夠獨(dú)辟蹊徑的的提出了“下放三角，全局皆活”的教育數(shù)學(xué)的先進(jìn)理念！最后咱們綜合一下：方法1、方法3和方法4的關(guān)鍵是求出PC的長。你是否又發(fā)現(xiàn)了一個(gè)被“減負(fù)”掉的“射影定理”模型？顯然△AEO∽△AOP∽△OEP，這三個(gè)三角形均是3:4:5的三角形，則易求得PE=15/4，EO=25/4，則EC=EO-CO=25/4-20/4=5/4，則PE:EC=15/4:5/4=3:1=PB:PC......正所謂：踏破鐵鞋無覓處，得來全不費(fèi)工夫！在Rt△PBC中，若設(shè)PC為x，PB為3x，BC=10，根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程：x2+(3x)2=102，解得x=√10，則PB=3x=3√10；方法2和方法4的關(guān)鍵是求出PD的長和BD的長。突然發(fā)現(xiàn)，這個(gè)△AOP∽△OPD，且為相似比為3:4:5的直角三角形。而PO=5，則易求得PD=3，DO=4（這才是命題人想讓你找出來的“套路”?。。?，則BD=9，至此即可根據(jù)勾股定理求出PB=3x=3√10；其實(shí)，如果你對于特的“12345模型”比較熟悉的話，這里還有個(gè)“套路”——“1/3+1/3=3/4”。由第（1）問我們已經(jīng)證明了∠PAO＝2∠PBO；顯然，tan∠PAO=tan∠POD=3/4，則tan∠PBO=tan∠BPO=1/3，至此，你無論是求PC還是求PD，無論是用勾股用相似還是用銳角三角函數(shù)，問題就迎刃而解了！——關(guān)于“12345模型”，詳見《沙場秋點(diǎn)兵》（北師版）第10講：“銳角三角函數(shù)”。一切都是“套路”！至此，足以證明“2021年中考命題的指導(dǎo)原則是避免'套路’”可能真的是“空穴來風(fēng)”！抓住特殊性，找出規(guī)律性，總結(jié)一般性——也許，無處不在的“套路”也正是數(shù)學(xué)的魅力之所在！模型教學(xué)研討會，是要強(qiáng)調(diào)“套路”的，但絕不僅僅是強(qiáng)調(diào)“套路”的！所以，某些大咖“當(dāng)前的中考下，這種模型研討與中考導(dǎo)向是背道而馳的”的忠告其實(shí)也是略失偏頗的！歡迎參加第三屆“中考數(shù)學(xué)模型教學(xué)研討會”！這里有知名的命題人！這里有各路解題高手！單獨(dú)看待一個(gè)地區(qū)的中考，未免有點(diǎn)片面；聽聽這些游刃在全國中考之間的各路大神他們的見解和聲音也許對我們的教學(xué)才更有幫助！如果只為應(yīng)付某個(gè)地區(qū)的中考而教學(xué)，也許只研究本地的中考就足夠了。但，我們究竟要教什么樣的數(shù)學(xué)？我們究竟要教會孩子們什么樣的數(shù)學(xué)？怎樣才能以不變應(yīng)萬變？你真的認(rèn)真的思考過了嗎？——因?yàn)槔贤跤性S多困惑，所以老王也想借助研討會的功能不斷的釋疑解惑，提升自己的能量。關(guān)于第三屆模型教學(xué)研討會——一、講師團(tuán)隊(duì)（排名不分先后順序）1、徐方瞿：數(shù)學(xué)副教授，先后任上海市楊浦區(qū)教育學(xué)院數(shù)學(xué)教師、數(shù)學(xué)教研員、副院長，楊浦區(qū)人民政府副區(qū)長，歷任中國創(chuàng)造學(xué)會理事、上海創(chuàng)造學(xué)會副會長、上海創(chuàng)造工程研究所特約研究員、上海創(chuàng)造教育講師團(tuán)團(tuán)長，現(xiàn)為教育部民族教育發(fā)展中心特聘專家。首創(chuàng)的基本圖形分析法有效解決了幾何難教難學(xué)的問題，尤其是怎樣添加輔助線這一長期未能解決的難題。他帶領(lǐng)團(tuán)隊(duì)研制的《幾何王》和《思維王》軟件獲得國家級軟件著作權(quán)，首創(chuàng)了思維過程可視化這一核心技術(shù)，將幾何問題的思維過程用信息技術(shù)形象地、一步一的步地在電腦上展示出來，實(shí)現(xiàn)了對學(xué)生的思維過程、思維能力、思維水平和思維品質(zhì)的評價(jià)。2、易良斌：湖北省、浙江省特級教師，中國數(shù)學(xué)會會員，中國數(shù)學(xué)奧林匹克教練，中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)委員會會員，中國數(shù)學(xué)教育發(fā)展研究中心會員，中國學(xué)習(xí)科學(xué)研究會研究員。長三角名師工作室常務(wù)理事，全國多家數(shù)學(xué)刊物特約編輯。浙江省雙名工程導(dǎo)師，杭州市名師工程初中數(shù)學(xué)實(shí)踐基地主持人，杭州師范大學(xué)碩士研究生導(dǎo)師，省級名師工作室主持人。在全國各地上示范課及專題講座500余場，全國60余家省級以上刊物發(fā)表教育教學(xué)研究及管理論文400余篇。出版《數(shù)學(xué)奧林匹克中心學(xué)習(xí)法》《課改新干線》《數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重難點(diǎn)手冊》《中學(xué)數(shù)學(xué)教與學(xué)——研究與引領(lǐng)》《中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)微專題講座》《初中數(shù)學(xué)專題學(xué)習(xí)指導(dǎo)》等學(xué)習(xí)指導(dǎo)用書、教學(xué)專著10余部。60余項(xiàng)科研成果在各級學(xué)術(shù)交流活動及論文評選中獲獎(jiǎng)。3、姚志敏：浙江省紹興市柯橋區(qū)教師發(fā)展中心資深教研員，浙江省正高級教師，浙江省特級教師，浙江省首屆優(yōu)秀教研員，浙江省名師網(wǎng)絡(luò)工作室導(dǎo)師，先后被聘為浙派名師培養(yǎng)工程導(dǎo)師，浙江師范大學(xué)名師培養(yǎng)工程導(dǎo)師，浙江師范大學(xué)和紹興文理學(xué)院教育碩士研究生導(dǎo)師，杭州與紹興等多地名師培養(yǎng)工程導(dǎo)師，近六年去全國19個(gè)省市講學(xué)或展示，在浙江省內(nèi)及全國上示范課和作專題報(bào)告有500多場次，都深得好評！指導(dǎo)多名教師榮獲全國優(yōu)秀課一等獎(jiǎng)，指導(dǎo)多名學(xué)生榮獲全國初中數(shù)學(xué)競賽一等獎(jiǎng)，有30多篇教科研論發(fā)表在全國雜志及全國核心期刊上。4、包彥禹：全國優(yōu)質(zhì)課獲獎(jiǎng)教師，全國初中數(shù)學(xué)奧林匹克數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀輔導(dǎo)員，參加中考命題經(jīng)歷。在數(shù)學(xué)文化、數(shù)學(xué)教育創(chuàng)新領(lǐng)域頗有研究，出品有多部數(shù)學(xué)電影，被媒體譽(yù)為“中國數(shù)學(xué)電影第一人”，現(xiàn)任浙江藍(lán)潤天使實(shí)驗(yàn)外國語學(xué)校初中部學(xué)術(shù)校長5、談志國：江蘇青年名師，暢銷書《中考數(shù)學(xué)思維方法與解題策略》作者，知名公眾號《數(shù)學(xué)大思維》版主，2020全國一輪備考研討會主講嘉賓。對數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)模型教學(xué)均有獨(dú)特的理解。多次獲教學(xué)基本功大賽一等獎(jiǎng)，有多篇論文發(fā)表及獲獎(jiǎng)，多次開設(shè)縣市級以上教師培訓(xùn)講座。6、劉金鐘：一線教書匠，邢臺市最美教師，用鉛筆學(xué)數(shù)學(xué)的倡導(dǎo)者。致力于研究初中數(shù)學(xué)教學(xué)及中考命題，金太陽教育《中考備考》特聘專家。著有《鉛筆數(shù)學(xué)》、《初中數(shù)學(xué)教師手記》等著作，參編《試題研究》、《一戰(zhàn)成名·考前新方案》、《中考王》等書籍。7、吳曉東：河南省數(shù)學(xué)骨干教師，曉東初中數(shù)學(xué)名師工作室主持人。專注于幾何畫板研究，致力于中招壓軸題突破。三門峽市優(yōu)質(zhì)課一等獎(jiǎng)，三門峽市班主任崗位標(biāo)兵。8、王橋：《中學(xué)生數(shù)理化》特約編輯，“有趣的數(shù)學(xué)”欄目專欄作者，播睿智教育創(chuàng)始人，“挑戰(zhàn)中考壓軸題名師團(tuán)”發(fā)起人。主編《非常教案》《中考面對面》《中招亮劍》《沖刺十招》《沙場秋點(diǎn)兵》《春季攻勢》《中考專家》等多部教材教輔，《中學(xué)生數(shù)理化》《理科考試研究》等雜志發(fā)表論文200余篇9、王勇戰(zhàn)，中共黨員，中考資深研究專家，幾何畫板研應(yīng)用專家；中國教育出版網(wǎng)特聘“研究員”；中國教育出版網(wǎng)華夏名師庫成員；“挑戰(zhàn)中考壓軸題鄭州教研基地”發(fā)起人兼理事長，挑戰(zhàn)中考壓軸題名師團(tuán)核心成員，全國挑戰(zhàn)中考壓軸題講題大賽組委會成員、講題大賽主持人，全國中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)研討會金牌主持和專家組成員，全國模型教學(xué)研討會金牌主持和做客專家，多篇文章在《教育時(shí)報(bào)》（數(shù)學(xué)導(dǎo)刊）、《中學(xué)生數(shù)理化》等CN期刊發(fā)表，《三年中考兩年模擬》（河南版）作者，《初中同步學(xué)習(xí)導(dǎo)與練》（華師版）副主編，《中考專家》作者，《突圍》，中考信息《絕密情報(bào)》（河南版）作者等10、神秘?cái)?shù)學(xué)大咖......二、會議議程：日期時(shí)間研討內(nèi)容專家8月9日上午

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