大學(xué)物理磁場習(xí)題

1大學(xué)物理習(xí)題討論、探索發(fā)現(xiàn)穩(wěn)恒電流的靜磁場磁場中的磁介質(zhì)電磁場探索與發(fā)現(xiàn)

21.如圖所示，半徑為R的木球上繞有密集的細(xì)導(dǎo)線，線圈平面彼此平行，且以單層線圈覆蓋住半個球面，設(shè)線圈的總匝數(shù)為N，通過線圈的電流為I，求球心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：設(shè)單位弧長上電流線圈匝數(shù)為n，則沿弧長取dl，該圓電流在球心O處激發(fā)的磁場為

公式14.19作業(yè):14.8球心O處總的磁感強(qiáng)度B為

由圖可知：

得：

磁感強(qiáng)度B的方向由電流的流向根據(jù)右手定則確定。

32.（實(shí)驗(yàn)中常用所謂的亥姆霍茲線圈在局部區(qū)域內(nèi)獲得一近似均勻的磁場，其裝置簡圖如圖所示，一對完全相同、彼此平行的線圈，它們的半徑均為R，通過的電流均為I，且兩線圈中電流的流向相同。）兩個共軸圓線圈，每個線圈中的電流強(qiáng)度都是I，半徑為R，兩個圓心間距離O1O2=R，試證：O1、O2中點(diǎn)O處附近為均勻磁場。xxO2IORO12aIR[證明]

一個半徑為R的環(huán)電流在離圓心為x的軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為：

作業(yè):14.4公式14.19設(shè)兩線圈相距為2a，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，兩線圈在x點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)分別為

方向相同，總場強(qiáng)為B=B1+B2．

設(shè)k=μ0IR2/2，則

4一個線圈產(chǎn)生的磁場的曲線是凸?fàn)?，兩邊各有一個拐點(diǎn)．兩個線圈的磁場疊加之后，如果它們相距太近，其曲線就是更高的凸?fàn)睿蝗绻鼈兿嗑嗵h(yuǎn)，其曲線的中間部分就會下凹，與兩邊的峰之間各有一個拐點(diǎn)．當(dāng)它們由遠(yuǎn)而近到最適當(dāng)?shù)奈恢脮r，兩個拐點(diǎn)就會在中間重合，這時的磁場最均勻，而拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零．公式14.195B對x求一階導(dǎo)數(shù)得

求二階導(dǎo)數(shù)得

在x=0處d2B/dx2=0，得R2=4a2，所以2a=R．

x=0處的場強(qiáng)為試證：O1、O2中點(diǎn)O處附近為均勻磁場。63.一長直載流導(dǎo)體，具有半徑為R的圓形橫截面，在其內(nèi)部有與導(dǎo)體相切，半徑為a的圓柱形長孔，其軸與導(dǎo)體軸平行，相距b=R–a，導(dǎo)體截有均勻分布的電流I．證明空孔內(nèi)的磁場為均勻場并求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值.證：導(dǎo)體中的電流垂直紙面向外，電流密度為長孔中沒有電流，可以當(dāng)作通有相反電流的導(dǎo)體，兩個電流密度的大小都為δ，這樣，長孔中磁場是兩個均勻分布的圓形電流產(chǎn)生的．baRO1O2如果在圓形截面中過任意點(diǎn)P取一個半徑為r的同心圓，其面積為

S=

r2，包圍的電流為ΣI=

S=

r2

，根據(jù)環(huán)路定理可得方程2

rBr=

0ΣI，磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向與矢徑r垂直．

同理，密度為-

的電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

方向與矢徑r′垂直．rPBr作業(yè):14.18baRO1O27設(shè)兩個磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的夾角為

，則合場強(qiáng)的平方為根據(jù)余弦定理，如圖可知：由于

=

,所以

由于b和

都是常量，可見：長孔中是均勻磁場．

baRO1O2BrrP

84.如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=7.610-4T

的均勻磁場中，放置一個線圈。此線圈由兩個半徑均為3.7cm且相互垂直的半圓構(gòu)成，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向與兩半圓平面的夾角分別為620和280。若在4.510-3S

的時間內(nèi)磁場突然減至零，試問在此線圈內(nèi)的感應(yīng)電動勢為多少？

解：由各種原因在回路中所引起的感應(yīng)電動勢，均可由法拉第電磁感應(yīng)定律求解，即但在求解時應(yīng)注意下列幾個問題：

1．回路必須是閉合的，所求得的電動勢為回路的總電動勢。

2．

應(yīng)該是回路在任意時刻或任意位置處的磁通量。它由

計算。對于均勻磁場則有其中

為閉會回路在垂直于磁場的平面內(nèi)的投影面積。9對于本題，

1和

2為兩半圓形平面法線與B之間的夾角。

3．感應(yīng)電動勢的方向可由-d/dt來判定，教材中已給出判定方法。為方便起見，所取回路的正向（順時針或逆時針）應(yīng)與穿過回路的B的方向滿足右螺旋關(guān)系，此時恒為正值，這對符號確定較為有利。

迎著B的方向，取逆時針為線圈回路的正向。由法拉第電磁感應(yīng)定律，有

，說明感應(yīng)電動勢方向與回路正向一致。

105.如圖所示，真空中一長直導(dǎo)線通有電流I(t)=I0e

t

，式中為t時間，I0

、

為正常量；另一長為l1、寬為l2的矩形導(dǎo)線框與長直導(dǎo)線平行共面。設(shè)時刻t二者相距為a，矩形框正以速率v

向右運(yùn)動，求此時刻線框內(nèi)的感應(yīng)電動勢。解:取線框面積的正法向垂直紙面向里，則通過線框的磁通量(由長直電流所提供)為其中a也是隨時間變化的，而且da/dt

=

v，有參考：習(xí)題16.1011由法拉第電磁感應(yīng)定律得顯然，它是大于零的，表明感應(yīng)電動勢在線框內(nèi)取順時針方向，可以通過楞次定律進(jìn)行驗(yàn)證。通常用法拉第電磁感應(yīng)定律來計算閉合路徑中的感應(yīng)電動勢，得出的是整個回路的總感應(yīng)電動勢，它可能是動生與感生電動勢的總和。在中固定a，僅對t求導(dǎo)數(shù)得感生電動勢126.長直導(dǎo)線與矩形單匝線圈共面放置，導(dǎo)線與線圈的長邊平行，矩形線圈的邊長分別為a、b，它到直導(dǎo)線的距離為c（如圖），當(dāng)矩形線圈中通有電流

I=I0sin

t

時，求直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動勢。

解:如果在直導(dǎo)線中通以電流I，在距離為r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=

0I/2

r．在矩形線圈中取一面積元dS=bdr，通過線圈的磁通量為互感系數(shù)為

當(dāng)線圈中通以交變電流I=I0sin

t時，直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動勢大小為

M12=M21=MIbcaM=？參考：習(xí)題16.17137.如圖所示，把一半徑為R的半圓形導(dǎo)線OP置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v

水平向右平動時，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動勢的大小，哪一端電勢較高？

解1：如圖所示，假想半圓形導(dǎo)線OP在寬為2R的靜止在“[

”形導(dǎo)軌上滑動，兩者之間形成一個閉合回路。設(shè)順時針方向?yàn)榛芈氛?，任一時刻端點(diǎn)O或端點(diǎn)P距“[”形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x，

穿過該閉合回路的磁通量：由于靜止的“[”形導(dǎo)軌上的電動勢為零，則導(dǎo)線中感應(yīng)電動勢負(fù)號表示電動勢的方向?yàn)槟鏁r針，對OP段來說瑞點(diǎn)P的電勢較高。14解2：建立如圖所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元dl，則由矢量的指向可知，端點(diǎn)P的電勢較高。

解3：連接OP使導(dǎo)線構(gòu)成一個閉合回路。由于磁場是均勻的，在任意時刻，穿過回路的磁通量

ld由法拉第電磁感應(yīng)定律

可知:由上述結(jié)果可知，在均勻磁場中，任意閉合導(dǎo)體回路平動所產(chǎn)生的動生電動勢為零；任意曲線形導(dǎo)體上的動生電動勢就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動生電動勢。Up>U0158.如圖所示，一長為l，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒CD，其電阻為R，沿兩條平行的導(dǎo)電軌道無摩擦地滑下，軌道的電阻可忽略不計，軌道與導(dǎo)體構(gòu)成一閉合回路。軌道所在的平面與水平面成

角，整個裝置放在均勻磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向?yàn)樨Q直向上。求：（1）導(dǎo)體在下滑時速度隨時間的變化規(guī)律；（2）導(dǎo)體棒CD的最大速度vm。

參考：習(xí)題16.4分析：感應(yīng)電流所受安培力的方向？如圖所示，導(dǎo)體棒在下滑過程中除受重力P和導(dǎo)軌支持力FN外，還受到一個與下滑速度有關(guān)的安培力FA

，這個力是阻礙導(dǎo)體棒下滑的。根據(jù)安培定律，該力的大小為

16導(dǎo)體棒沿軌道方向的動力學(xué)方程為將式(1)代入式(2)，并令則有分離變量并兩邊積分

得

由此得導(dǎo)體在t時刻的速度

17此即為導(dǎo)體棒下滑的穩(wěn)定速度，也是導(dǎo)體棒能夠達(dá)到的最大速度，其v－t圖線如圖所示。

1978年全國高考物理試題由上式可知，當(dāng)由此得導(dǎo)體在t時刻的速度

中學(xué):斜面方向合力為零,導(dǎo)體棒達(dá)到下滑的穩(wěn)定速度(最大速度).189.在半徑為R的圓柱形空間中存在著均勻磁場，B的方向與柱的軸線平行。如圖所示，有一長為l的金屬棒放在磁場中，設(shè)B隨時間的變化率為常量。試證：棒上感應(yīng)電動勢的大小為證1：取閉合回路

OPQ,由法拉第電磁感應(yīng)定律，有OP、QO段，因?yàn)镋k（渦旋電場）的方向與徑向垂直，與矢量點(diǎn)積為0。所以：19證2：在r＜R

區(qū)域，感生電場強(qiáng)度的大小設(shè)PQ上線元dx處，Ek的方向如圖所示，則金屬桿PQ上的電動勢為20D[]繼續(xù)討論:在圓柱空間內(nèi)有一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場，如圖所示。B的大小以速度dB/dt變化。在磁場中有A、B兩點(diǎn)，其間可放直導(dǎo)線AB

和彎曲的導(dǎo)線AB

，則電動勢只在導(dǎo)線AB

中產(chǎn)生。電動勢只在AB導(dǎo)線中產(chǎn)生。電動勢在AB和AB中都產(chǎn)生，且兩者的大小相等。

AB導(dǎo)線中的電動勢小于AB導(dǎo)線中的電動勢。連接AO與OB分別與AB、AB

組成閉合回路L。

包含AB的閉合回路L扇形面積S1包含AB的閉合回路L三角形面積S2

B/

t一致，且S1>S2AB導(dǎo)線中的電動勢小于AB

線中的電動勢。2110.兩個線圈的自感分別為L1和L2，它們之間的互感為M．(1)將兩個線圈順串聯(lián)，如圖a所示，求1和4之間的互感；(2)將兩線圈反串聯(lián)，如圖b所示，求1和3之間的自感．參考：習(xí)題16.191234(a)234(b)1解：兩個線圈串聯(lián)時，通以電流

I之后，總磁場等于兩個線圈分別產(chǎn)生的磁場的矢量和：（16.16）221234(a)234(b)1（1）當(dāng)兩個線圈順串時，兩磁場的方向相同，

=

0，所以（16.19）自感系數(shù)為（2）當(dāng)兩個線圈反串時，兩磁場的方向相反，

=

，所以自感系數(shù)為2311.電磁渦流制動器是一個電阻率為

，厚度為b的圓盤，此盤繞通過其中心的垂直軸旋轉(zhuǎn)，且有一覆蓋小面積為a2的均勻磁場B垂直于圓盤，小面積離軸r（r>>a）．當(dāng)圓盤角速度為

時，試導(dǎo)出阻礙圓盤轉(zhuǎn)動的磁力矩的近似表達(dá)式。raaBωb解:將圓盤與磁場相對的部分當(dāng)成長、寬和高分別為a、a和b的小導(dǎo)體，其橫截面積為

S=ab，aabSI電流將從橫截面中流過，小塊長a，因此其電阻為寬為a的邊掃過磁場，速度大小為v=r

，產(chǎn)生的動生電動勢為

=Bav

=Bar

，通過小導(dǎo)體的電流強(qiáng)度為I=

/R=Bar

b/

，所受的安培力為F=IaB=B2a2r

b/

，方向與速度方向相反．產(chǎn)生的磁力矩為參考：習(xí)題16.524PASCO磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置二十世紀(jì)七十～九十年代間，由于磁懸浮技術(shù)應(yīng)用于陸地高速運(yùn)輸系統(tǒng)的可能性，在全球掀起了一股研究磁懸浮及相關(guān)技術(shù)的熱潮。八十年代末美國著名物理學(xué)教授ThomasD.Rossing得到美國國家自然科學(xué)基金的資助，研究非磁性金屬導(dǎo)軌熱膨脹縫寬度對高速運(yùn)行的磁懸浮列車穩(wěn)定性的影響。以永磁體和運(yùn)動非磁性導(dǎo)體模擬磁懸浮列車與導(dǎo)軌的相互作用，發(fā)明了一種實(shí)驗(yàn)裝置對二者的相互作用力進(jìn)行測量。探索與發(fā)現(xiàn)（湖南大學(xué)物電院版）25工作原理磁懸浮力和水平拽力可定性地由磁通穿透金屬的行為來理解。當(dāng)非磁性導(dǎo)體在磁體下方運(yùn)動得足夠快時，磁通不能穿透導(dǎo)體，磁通在磁體與運(yùn)動導(dǎo)體間被壓縮而產(chǎn)生浮力，磁通不能穿過運(yùn)動導(dǎo)體被導(dǎo)體拖拽并由此產(chǎn)生水平方向的拽力。PASCO磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置26但當(dāng)測力杠桿與半徑不重合時，前述的解釋與觀察到實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象矛盾。原因何在？圓盤轉(zhuǎn)動方向杠桿支點(diǎn)圓形永磁體向上的磁懸浮力，難道與相對運(yùn)動速度的方向有關(guān)??？27實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的解釋磁體磁場分布設(shè)鋁盤上方的磁體N朝下，由于磁通是閉合的，可將導(dǎo)體中的磁感應(yīng)強(qiáng)度分解為水平分量和垂直分量。如下圖所示：磁體對稱軸兩側(cè)的磁場垂直分量相同，水平分量方向相反。磁體永磁體非磁性運(yùn)動導(dǎo)體導(dǎo)體中感應(yīng)電流的分布為了簡化起見，假設(shè)是一個長方形的永磁體下方有一無窮大的運(yùn)動非磁性導(dǎo)體。在不考慮電流回路中電感的情況下，運(yùn)動導(dǎo)體中產(chǎn)生的感應(yīng)電流在磁場區(qū)域呈對稱分布。1.歐姆定律的微分形式

2.

電阻最小原理Matlab

數(shù)據(jù)計算與圖形處理28磁體導(dǎo)體運(yùn)動方向在磁體磁場的分量Bv的作用下:感應(yīng)電流在垂直方向磁場中受水平磁阻尼力感應(yīng)電流垂直于運(yùn)動方向向外永磁體受水平拖拽力磁體中心對稱軸在磁體磁場的分量Bh的作用下:磁體投影區(qū)域?qū)w內(nèi)感應(yīng)電流在左右兩半邊水平磁場中受力方向不同,如圖所示.29磁體導(dǎo)體運(yùn)動方向在磁體磁場的分量Bv的作用下:感應(yīng)電流在垂直方向磁場中受水平磁阻尼力感應(yīng)電流垂直于運(yùn)動方向向里永磁體受水平拖拽力磁體中心對稱軸在磁體磁場的分量Bh的作用下:磁體投影區(qū)域?qū)w內(nèi)感應(yīng)電流在左右兩半邊水平磁場中受力方向不同,如圖所示.30導(dǎo)體運(yùn)動方向永磁體受水平拖拽力導(dǎo)體運(yùn)動方向永磁體受水平拖拽力圓盤轉(zhuǎn)動方向杠桿支點(diǎn)圓形永磁體力臂L力臂L'圓盤轉(zhuǎn)動方向杠桿支點(diǎn)圓形永磁體力臂L力臂L'磁體(向上)懸浮磁體(向下)無懸浮31一種全新的非接觸驅(qū)動方式

若在磁體的中心對稱軸位置上安裝一轉(zhuǎn)動軸，磁體就可在運(yùn)動導(dǎo)體的驅(qū)動下作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。這是一種全