大學(xué)物理磁場(chǎng)習(xí)題

1大學(xué)物理習(xí)題討論、探索發(fā)現(xiàn)穩(wěn)恒電流的靜磁場(chǎng)磁場(chǎng)中的磁介質(zhì)電磁場(chǎng)探索與發(fā)現(xiàn)

21.如圖所示，半徑為R的木球上繞有密集的細(xì)導(dǎo)線，線圈平面彼此平行，且以單層線圈覆蓋住半個(gè)球面，設(shè)線圈的總匝數(shù)為N，通過(guò)線圈的電流為I，求球心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：設(shè)單位弧長(zhǎng)上電流線圈匝數(shù)為n，則沿弧長(zhǎng)取dl，該圓電流在球心O處激發(fā)的磁場(chǎng)為

公式14.19作業(yè):14.8球心O處總的磁感強(qiáng)度B為

由圖可知：

得：

磁感強(qiáng)度B的方向由電流的流向根據(jù)右手定則確定。

32.（實(shí)驗(yàn)中常用所謂的亥姆霍茲線圈在局部區(qū)域內(nèi)獲得一近似均勻的磁場(chǎng)，其裝置簡(jiǎn)圖如圖所示，一對(duì)完全相同、彼此平行的線圈，它們的半徑均為R，通過(guò)的電流均為I，且兩線圈中電流的流向相同。）兩個(gè)共軸圓線圈，每個(gè)線圈中的電流強(qiáng)度都是I，半徑為R，兩個(gè)圓心間距離O1O2=R，試證：O1、O2中點(diǎn)O處附近為均勻磁場(chǎng)。xxO2IORO12aIR[證明]

一個(gè)半徑為R的環(huán)電流在離圓心為x的軸線上產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為：

作業(yè):14.4公式14.19設(shè)兩線圈相距為2a，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)，兩線圈在x點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)分別為

方向相同，總場(chǎng)強(qiáng)為B=B1+B2．

設(shè)k=μ0IR2/2，則

4一個(gè)線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)的曲線是凸?fàn)?，兩邊各有一個(gè)拐點(diǎn)．兩個(gè)線圈的磁場(chǎng)疊加之后，如果它們相距太近，其曲線就是更高的凸?fàn)?；如果它們相距太遠(yuǎn)，其曲線的中間部分就會(huì)下凹，與兩邊的峰之間各有一個(gè)拐點(diǎn)．當(dāng)它們由遠(yuǎn)而近到最適當(dāng)?shù)奈恢脮r(shí)，兩個(gè)拐點(diǎn)就會(huì)在中間重合，這時(shí)的磁場(chǎng)最均勻，而拐點(diǎn)處的二階導(dǎo)數(shù)為零．公式14.195B對(duì)x求一階導(dǎo)數(shù)得

求二階導(dǎo)數(shù)得

在x=0處d2B/dx2=0，得R2=4a2，所以2a=R．

x=0處的場(chǎng)強(qiáng)為試證：O1、O2中點(diǎn)O處附近為均勻磁場(chǎng)。63.一長(zhǎng)直載流導(dǎo)體，具有半徑為R的圓形橫截面，在其內(nèi)部有與導(dǎo)體相切，半徑為a的圓柱形長(zhǎng)孔，其軸與導(dǎo)體軸平行，相距b=R–a，導(dǎo)體截有均勻分布的電流I．證明空孔內(nèi)的磁場(chǎng)為均勻場(chǎng)并求出磁感應(yīng)強(qiáng)度B的值.證：導(dǎo)體中的電流垂直紙面向外，電流密度為長(zhǎng)孔中沒(méi)有電流，可以當(dāng)作通有相反電流的導(dǎo)體，兩個(gè)電流密度的大小都為δ，這樣，長(zhǎng)孔中磁場(chǎng)是兩個(gè)均勻分布的圓形電流產(chǎn)生的．baRO1O2如果在圓形截面中過(guò)任意點(diǎn)P取一個(gè)半徑為r的同心圓，其面積為

S=

r2，包圍的電流為ΣI=

S=

r2

，根據(jù)環(huán)路定理可得方程2

rBr=

0ΣI，磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向與矢徑r垂直．

同理，密度為-

的電流在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為

方向與矢徑r′垂直．rPBr作業(yè):14.18baRO1O27設(shè)兩個(gè)磁感應(yīng)強(qiáng)度之間的夾角為

，則合場(chǎng)強(qiáng)的平方為根據(jù)余弦定理，如圖可知：由于

=

,所以

由于b和

都是常量，可見(jiàn)：長(zhǎng)孔中是均勻磁場(chǎng)．

baRO1O2BrrP

84.如圖所示，在磁感應(yīng)強(qiáng)度B=7.610-4T

的均勻磁場(chǎng)中，放置一個(gè)線圈。此線圈由兩個(gè)半徑均為3.7cm且相互垂直的半圓構(gòu)成，磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向與兩半圓平面的夾角分別為620和280。若在4.510-3S

的時(shí)間內(nèi)磁場(chǎng)突然減至零，試問(wèn)在此線圈內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為多少？

解：由各種原因在回路中所引起的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，均可由法拉第電磁感應(yīng)定律求解，即但在求解時(shí)應(yīng)注意下列幾個(gè)問(wèn)題：

1．回路必須是閉合的，所求得的電動(dòng)勢(shì)為回路的總電動(dòng)勢(shì)。

2．

應(yīng)該是回路在任意時(shí)刻或任意位置處的磁通量。它由

計(jì)算。對(duì)于均勻磁場(chǎng)則有其中

為閉會(huì)回路在垂直于磁場(chǎng)的平面內(nèi)的投影面積。9對(duì)于本題，

1和

2為兩半圓形平面法線與B之間的夾角。

3．感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的方向可由-d/dt來(lái)判定，教材中已給出判定方法。為方便起見(jiàn)，所取回路的正向（順時(shí)針或逆時(shí)針）應(yīng)與穿過(guò)回路的B的方向滿足右螺旋關(guān)系，此時(shí)恒為正值，這對(duì)符號(hào)確定較為有利。

迎著B(niǎo)的方向，取逆時(shí)針為線圈回路的正向。由法拉第電磁感應(yīng)定律，有

，說(shuō)明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)方向與回路正向一致。

105.如圖所示，真空中一長(zhǎng)直導(dǎo)線通有電流I(t)=I0e

t

，式中為t時(shí)間，I0

、

為正常量；另一長(zhǎng)為l1、寬為l2的矩形導(dǎo)線框與長(zhǎng)直導(dǎo)線平行共面。設(shè)時(shí)刻t二者相距為a，矩形框正以速率v

向右運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)刻線框內(nèi)的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。解:取線框面積的正法向垂直紙面向里，則通過(guò)線框的磁通量(由長(zhǎng)直電流所提供)為其中a也是隨時(shí)間變化的，而且da/dt

=

v，有參考：習(xí)題16.1011由法拉第電磁感應(yīng)定律得顯然，它是大于零的，表明感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)在線框內(nèi)取順時(shí)針?lè)较颍梢酝ㄟ^(guò)楞次定律進(jìn)行驗(yàn)證。通常用法拉第電磁感應(yīng)定律來(lái)計(jì)算閉合路徑中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，得出的是整個(gè)回路的總感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)，它可能是動(dòng)生與感生電動(dòng)勢(shì)的總和。在中固定a，僅對(duì)t求導(dǎo)數(shù)得感生電動(dòng)勢(shì)126.長(zhǎng)直導(dǎo)線與矩形單匝線圈共面放置，導(dǎo)線與線圈的長(zhǎng)邊平行，矩形線圈的邊長(zhǎng)分別為a、b，它到直導(dǎo)線的距離為c（如圖），當(dāng)矩形線圈中通有電流

I=I0sin

t

時(shí)，求直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)。

解:如果在直導(dǎo)線中通以電流I，在距離為r處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=

0I/2

r．在矩形線圈中取一面積元dS=bdr，通過(guò)線圈的磁通量為互感系數(shù)為

當(dāng)線圈中通以交變電流I=I0sin

t時(shí)，直導(dǎo)線中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小為

M12=M21=MIbcaM=？參考：習(xí)題16.17137.如圖所示，把一半徑為R的半圓形導(dǎo)線OP置于磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)中，當(dāng)導(dǎo)線以速率v

水平向右平動(dòng)時(shí)，求導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小，哪一端電勢(shì)較高？

解1：如圖所示，假想半圓形導(dǎo)線OP在寬為2R的靜止在“[

”形導(dǎo)軌上滑動(dòng)，兩者之間形成一個(gè)閉合回路。設(shè)順時(shí)針?lè)较驗(yàn)榛芈氛?，任一時(shí)刻端點(diǎn)O或端點(diǎn)P距“[”形導(dǎo)軌左側(cè)距離為x，

穿過(guò)該閉合回路的磁通量：由于靜止的“[”形導(dǎo)軌上的電動(dòng)勢(shì)為零，則導(dǎo)線中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)負(fù)號(hào)表示電動(dòng)勢(shì)的方向?yàn)槟鏁r(shí)針，對(duì)OP段來(lái)說(shuō)瑞點(diǎn)P的電勢(shì)較高。14解2：建立如圖所示的坐標(biāo)系，在導(dǎo)體上任意處取導(dǎo)體元dl，則由矢量的指向可知，端點(diǎn)P的電勢(shì)較高。

解3：連接OP使導(dǎo)線構(gòu)成一個(gè)閉合回路。由于磁場(chǎng)是均勻的，在任意時(shí)刻，穿過(guò)回路的磁通量

ld由法拉第電磁感應(yīng)定律

可知:由上述結(jié)果可知，在均勻磁場(chǎng)中，任意閉合導(dǎo)體回路平動(dòng)所產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為零；任意曲線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)就等于其兩端所連直線形導(dǎo)體上的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)。Up>U0158.如圖所示，一長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒CD，其電阻為R，沿兩條平行的導(dǎo)電軌道無(wú)摩擦地滑下，軌道的電阻可忽略不計(jì)，軌道與導(dǎo)體構(gòu)成一閉合回路。軌道所在的平面與水平面成

角，整個(gè)裝置放在均勻磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向?yàn)樨Q直向上。求：（1）導(dǎo)體在下滑時(shí)速度隨時(shí)間的變化規(guī)律；（2）導(dǎo)體棒CD的最大速度vm。

參考：習(xí)題16.4分析：感應(yīng)電流所受安培力的方向？如圖所示，導(dǎo)體棒在下滑過(guò)程中除受重力P和導(dǎo)軌支持力FN外，還受到一個(gè)與下滑速度有關(guān)的安培力FA

，這個(gè)力是阻礙導(dǎo)體棒下滑的。根據(jù)安培定律，該力的大小為

16導(dǎo)體棒沿軌道方向的動(dòng)力學(xué)方程為將式(1)代入式(2)，并令則有分離變量并兩邊積分

得

由此得導(dǎo)體在t時(shí)刻的速度

17此即為導(dǎo)體棒下滑的穩(wěn)定速度，也是導(dǎo)體棒能夠達(dá)到的最大速度，其v－t圖線如圖所示。

1978年全國(guó)高考物理試題由上式可知，當(dāng)由此得導(dǎo)體在t時(shí)刻的速度

中學(xué):斜面方向合力為零,導(dǎo)體棒達(dá)到下滑的穩(wěn)定速度(最大速度).189.在半徑為R的圓柱形空間中存在著均勻磁場(chǎng)，B的方向與柱的軸線平行。如圖所示，有一長(zhǎng)為l的金屬棒放在磁場(chǎng)中，設(shè)B隨時(shí)間的變化率為常量。試證：棒上感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小為證1：取閉合回路

OPQ,由法拉第電磁感應(yīng)定律，有OP、QO段，因?yàn)镋k（渦旋電場(chǎng)）的方向與徑向垂直，與矢量點(diǎn)積為0。所以：19證2：在r＜R

區(qū)域，感生電場(chǎng)強(qiáng)度的大小設(shè)PQ上線元dx處，Ek的方向如圖所示，則金屬桿PQ上的電動(dòng)勢(shì)為20D[]繼續(xù)討論:在圓柱空間內(nèi)有一磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的均勻磁場(chǎng)，如圖所示。B的大小以速度dB/dt變化。在磁場(chǎng)中有A、B兩點(diǎn)，其間可放直導(dǎo)線AB

和彎曲的導(dǎo)線AB

，則電動(dòng)勢(shì)只在導(dǎo)線AB

中產(chǎn)生。電動(dòng)勢(shì)只在AB導(dǎo)線中產(chǎn)生。電動(dòng)勢(shì)在AB和AB中都產(chǎn)生，且兩者的大小相等。

AB導(dǎo)線中的電動(dòng)勢(shì)小于AB導(dǎo)線中的電動(dòng)勢(shì)。連接AO與OB分別與AB、AB

組成閉合回路L。

包含AB的閉合回路L扇形面積S1包含AB的閉合回路L三角形面積S2

B/

t一致，且S1>S2AB導(dǎo)線中的電動(dòng)勢(shì)小于AB

線中的電動(dòng)勢(shì)。2110.兩個(gè)線圈的自感分別為L(zhǎng)1和L2，它們之間的互感為M．(1)將兩個(gè)線圈順串聯(lián)，如圖a所示，求1和4之間的互感；(2)將兩線圈反串聯(lián)，如圖b所示，求1和3之間的自感．參考：習(xí)題16.191234(a)234(b)1解：兩個(gè)線圈串聯(lián)時(shí)，通以電流

I之后，總磁場(chǎng)等于兩個(gè)線圈分別產(chǎn)生的磁場(chǎng)的矢量和：（16.16）221234(a)234(b)1（1）當(dāng)兩個(gè)線圈順串時(shí)，兩磁場(chǎng)的方向相同，

=

0，所以（16.19）自感系數(shù)為（2）當(dāng)兩個(gè)線圈反串時(shí)，兩磁場(chǎng)的方向相反，

=

，所以自感系數(shù)為2311.電磁渦流制動(dòng)器是一個(gè)電阻率為

，厚度為b的圓盤(pán)，此盤(pán)繞通過(guò)其中心的垂直軸旋轉(zhuǎn)，且有一覆蓋小面積為a2的均勻磁場(chǎng)B垂直于圓盤(pán)，小面積離軸r（r>>a）．當(dāng)圓盤(pán)角速度為

時(shí)，試導(dǎo)出阻礙圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)的磁力矩的近似表達(dá)式。raaBωb解:將圓盤(pán)與磁場(chǎng)相對(duì)的部分當(dāng)成長(zhǎng)、寬和高分別為a、a和b的小導(dǎo)體，其橫截面積為

S=ab，aabSI電流將從橫截面中流過(guò)，小塊長(zhǎng)a，因此其電阻為寬為a的邊掃過(guò)磁場(chǎng)，速度大小為v=r

，產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為

=Bav

=Bar

，通過(guò)小導(dǎo)體的電流強(qiáng)度為I=

/R=Bar

b/

，所受的安培力為F=IaB=B2a2r

b/

，方向與速度方向相反．產(chǎn)生的磁力矩為參考：習(xí)題16.524PASCO磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置二十世紀(jì)七十～九十年代間，由于磁懸浮技術(shù)應(yīng)用于陸地高速運(yùn)輸系統(tǒng)的可能性，在全球掀起了一股研究磁懸浮及相關(guān)技術(shù)的熱潮。八十年代末美國(guó)著名物理學(xué)教授ThomasD.Rossing得到美國(guó)國(guó)家自然科學(xué)基金的資助，研究非磁性金屬導(dǎo)軌熱膨脹縫寬度對(duì)高速運(yùn)行的磁懸浮列車穩(wěn)定性的影響。以永磁體和運(yùn)動(dòng)非磁性導(dǎo)體模擬磁懸浮列車與導(dǎo)軌的相互作用，發(fā)明了一種實(shí)驗(yàn)裝置對(duì)二者的相互作用力進(jìn)行測(cè)量。探索與發(fā)現(xiàn)（湖南大學(xué)物電院版）25工作原理磁懸浮力和水平拽力可定性地由磁通穿透金屬的行為來(lái)理解。當(dāng)非磁性導(dǎo)體在磁體下方運(yùn)動(dòng)得足夠快時(shí)，磁通不能穿透導(dǎo)體，磁通在磁體與運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體間被壓縮而產(chǎn)生浮力，磁通不能穿過(guò)運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體被導(dǎo)體拖拽并由此產(chǎn)生水平方向的拽力。PASCO磁懸浮實(shí)驗(yàn)裝置26但當(dāng)測(cè)力杠桿與半徑不重合時(shí)，前述的解釋與觀察到實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象矛盾。原因何在？圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)方向杠桿支點(diǎn)圓形永磁體向上的磁懸浮力，難道與相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的方向有關(guān)！？27實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象的解釋磁體磁場(chǎng)分布設(shè)鋁盤(pán)上方的磁體N朝下，由于磁通是閉合的，可將導(dǎo)體中的磁感應(yīng)強(qiáng)度分解為水平分量和垂直分量。如下圖所示：磁體對(duì)稱軸兩側(cè)的磁場(chǎng)垂直分量相同，水平分量方向相反。磁體永磁體非磁性運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體導(dǎo)體中感應(yīng)電流的分布為了簡(jiǎn)化起見(jiàn)，假設(shè)是一個(gè)長(zhǎng)方形的永磁體下方有一無(wú)窮大的運(yùn)動(dòng)非磁性導(dǎo)體。在不考慮電流回路中電感的情況下，運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體中產(chǎn)生的感應(yīng)電流在磁場(chǎng)區(qū)域呈對(duì)稱分布。1.歐姆定律的微分形式

2.

電阻最小原理Matlab

數(shù)據(jù)計(jì)算與圖形處理28磁體導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)方向在磁體磁場(chǎng)的分量Bv的作用下:感應(yīng)電流在垂直方向磁場(chǎng)中受水平磁阻尼力感應(yīng)電流垂直于運(yùn)動(dòng)方向向外永磁體受水平拖拽力磁體中心對(duì)稱軸在磁體磁場(chǎng)的分量Bh的作用下:磁體投影區(qū)域?qū)w內(nèi)感應(yīng)電流在左右兩半邊水平磁場(chǎng)中受力方向不同,如圖所示.29磁體導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)方向在磁體磁場(chǎng)的分量Bv的作用下:感應(yīng)電流在垂直方向磁場(chǎng)中受水平磁阻尼力感應(yīng)電流垂直于運(yùn)動(dòng)方向向里永磁體受水平拖拽力磁體中心對(duì)稱軸在磁體磁場(chǎng)的分量Bh的作用下:磁體投影區(qū)域?qū)w內(nèi)感應(yīng)電流在左右兩半邊水平磁場(chǎng)中受力方向不同,如圖所示.30導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)方向永磁體受水平拖拽力導(dǎo)體運(yùn)動(dòng)方向永磁體受水平拖拽力圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)方向杠桿支點(diǎn)圓形永磁體力臂L力臂L'圓盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)方向杠桿支點(diǎn)圓形永磁體力臂L力臂L'磁體(向上)懸浮磁體(向下)無(wú)懸浮31一種全新的非接觸驅(qū)動(dòng)方式

若在磁體的中心對(duì)稱軸位置上安裝一轉(zhuǎn)動(dòng)軸，磁體就可在運(yùn)動(dòng)導(dǎo)體的驅(qū)動(dòng)下作旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。這是一種全