2023年上海市新高二年級上冊數(shù)學(xué)同步講練(暑假預(yù)習(xí))第11章 簡單幾何體全章復(fù)習(xí)與測試含詳解

第11章簡單幾何體全章復(fù)習(xí)與測試

【知識梳理】

一.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1.棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成

的多面體叫做棱柱.棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD-A'B'CD'）.

2.認(rèn)識棱柱

底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面.

側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面.

側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱.

頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn).

高：棱中兩個底面之間的距離.

3.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1兩個底面互相平行

棱柱2.側(cè)面都是四邊形

3.側(cè)棱互相平行

根據(jù)楂柱的結(jié)構(gòu)特征，可知楂柱有以下性質(zhì)：

（1）側(cè)面都是平行四邊形

（2）兩底面是全等多邊形

（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形

（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和.

4.棱柱的分類

（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱….

（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱

柱.

直棱柱正桂柱

5.棱柱的體積公式

設(shè)棱柱的底面積為S,高為兒

二.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

1.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐.用頂點(diǎn)和底

面各頂點(diǎn)的字母表示，例：S-ABCD.

2.認(rèn)識棱錐

棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個面都叫做棱錐的側(cè)面.

棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.

棱錐的頂點(diǎn)；棱錐中各個側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).

棱錐的高：棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高.

棱錐的對角面；棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面.

3.楂錐的結(jié)構(gòu)特征

捺傕底面是多邊形

彼里N.側(cè)面是三角形

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：

平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比.

4.棱錐的分類

棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.正棱錐的各個側(cè)面都是

全等的等邃三角形.

5.棱錐的體積公式

設(shè)棱錐的底面積為S,高為h,

v極傕

0

三、旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線

叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體.

1.圓柱

①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓

圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱0。'.

②認(rèn)識圓柱

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸

高：軸上的邊（或它的長度）叫做圓柱的高

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面

側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線

③圓柱的特征及性質(zhì)

巴林有兩個底面互相平行，且形狀、大小一樣的危

（2.側(cè)面為曲面，展開為矩形

圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形.

④圓柱的體積和表面積公式

設(shè)圓柱底面的半徑為，，高為小

V圓柱=兀小

S|D柱=2X冗r。？兀rh=2兀r（r+h）

2.圓錐

①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐.

網(wǎng)椎

圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐so.

②認(rèn)識圓錐

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸

高：軸上的邊(或它的長度)叫做圓錐的高

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面

側(cè)面：三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊所在的邊都叫做圓錐的母線

③圓錐的特征及性質(zhì)

1.只有一個頂點(diǎn)，只有一個底面為18

圓錐

2.側(cè)面為曲面，展開為扇形

與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線.

母線長/與底面半徑「和高人的關(guān)系：/2=/?2+?

④圓錐的體積和表面積公式

設(shè)圓錐的底面半徑為「，高為九母線長為/：

12

「圓錐二了幾「h

2

S圖錐表面積:冗r+Krl=nr(r+1)

3.圓臺

①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓

臺.

圓臺

圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺。。'.

②認(rèn)識圓臺

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺的軸

高：軸上的邊(或它的長度)叫做圓臺的高

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓臺的底面

圓臺有兩個底面，分別是上底面和下底面

側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓臺的側(cè)面

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓臺的母線

③圓臺的特征及性質(zhì)

1.上下底面平行，為半徑不等的醫(yī)

圓臺

2.側(cè)面展開圖為一個扇環(huán)

平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形.

④圓臺的體積和表面積公式

設(shè)圓臺的上底面半徑為「，下底面半徑為R,高為兒母線長為/：

V圖臺=/冗11(12+區(qū)2+如)

S國臺表面租=K，+九R2+JTrl+KRl=7T(r2+R2+rl+Rl)

四.棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

側(cè)面積和全面積的定義：

(1)側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何

體的側(cè)面積.

(2)全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積.

柱體、錐體、臺體的表面積公式(c為底面周長，"為高，h'為斜高，/為母線)

S心柱表=2nr(r+/)?S(r+/)?S圜臺表=TC(J+rl+Rl+R2)

五.棱柱、棱錐、棱臺的體積

柱體、錐體、臺體的體積公式：

V柱=$力，vw=—Sh.

3

六.球的體積和表面積

I.球體：在空間中，到定點(diǎn)的距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合稱為球體，簡稱球.其中到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的

集合為球面.

2.球體的體積公式

設(shè)球體的半徑為R,

V球體=4■兀R3

3.球體的表面積公式

設(shè)球體的半徑為R,

S球體=4TTR2.

【命題方向】

考查球體的體積和表面積公式的運(yùn)用，常見結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試卷難度，根據(jù)題目所給條件得

出球體半徑是解題關(guān)鍵.

七.多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題的解法：

求多面體表面上兩點(diǎn)間的最短距離，一般將表面展開為平面圖形，從而把它轉(zhuǎn)化為平面圖形內(nèi)兩點(diǎn)連線的最短長

度問題，要注意的是，如果不是指定的兩點(diǎn)間的某種特殊路徑，其表面上兩點(diǎn)間的距離應(yīng)是按各種可能方式展開成

平面圖形后各自所得最短距離中的最小者.旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短距離，如同多面體一樣，將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化

為*展開面內(nèi)兩點(diǎn)連線的最短長度問題來解決.

【考點(diǎn)剖析J

一.棱柱的結(jié)構(gòu)特征（共6小題）

1.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）將12根長度相同的小木棍通過粘合端點(diǎn)的方式（不可折斷），不可能拼成（）

A.正三棱柱B.正四棱錐C.正四棱柱D.正六棱錐

2.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）正方體ABCD-AIBICIQI的棱長為4,E,尸分別為8C、CCi的中點(diǎn)，則平面4EF

截正方體所得的截面面積為.

3.（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，在三棱柱ABC--4向Ci中，乙4c4=90°,N4CCi=60°,N8CC1=45°,

側(cè)棱CO的長為1,則該三棱柱的高等于.

4.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）正方體的6個面無限延展后把空間分成個部分.

5.（2022秋?長寧區(qū)月考）在棱長為2的正方體ABCO-AiBCiQi中，E為棱8C的中點(diǎn)，〃是側(cè)面B1BCC1內(nèi)的動

點(diǎn)，若4尸〃平面4GE,則點(diǎn)F軌跡的長度為（）

A.返B.V2C.D.2/2

22

6.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）在棱長為1的正方體ABCD-AiBCiOi中，F(xiàn),P分別為線段A。和平面AiBCiDi

上的動點(diǎn)，點(diǎn)G為線段8C的中點(diǎn)，則4PG尸周長的最小值為.

二,棱錐的結(jié)構(gòu)特征（共7小題）

7.（2023春?虹口區(qū)期末）如圖，在三棱錐P-A8C中，以_L平面ABC,ACLBC,則以此三棱錐的棱為邊所構(gòu)成

的三角形中，直角三角形的個數(shù)有個.

8.（2023春?虹口區(qū)期末）棱長都是3的三棱錐的高等于.

9.（2021秋?楊浦區(qū)校級期中）正棱錐的高為2,側(cè)棱與底面所成角為45°,則該正棱錐的側(cè)棱長

為.

10.（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）已知正三棱性底面邊長為3,高為工，則斜高為_______.

2

11.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）若正棱錐的底面邊長與側(cè)棱長相等，則該棱錐一定不是（）

A.正三棱錐B.正四棱錐C.正五棱錐D.正六棱錐

12.（2022秋?嘉定區(qū)校級期中）下列說法中正確的是（）

A.各個面都是三角形的幾何體是三棱錐

B.以三角形的一條邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐

C.若棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐可能是六棱錐

D.若球O的半徑為2,球心到平面a的距離為1,則球O被平面a截得的截面面積為3n

13.（2022秋?普陀區(qū)校級月考）有四根長都為2的直鐵條，若再選兩根長都為。的直鐵條，使這六根鐵條端點(diǎn)處相

連能夠焊接成一個四面體的鐵框架，則a的取值范圍為.

三.旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）（共10小題）

14.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）已知一個圓柱和一個圓錐同底等高，且圓錐的軸截面是一個正三角形，則圓柱的側(cè)

面積與圓錐的側(cè)面積之比為.

15.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）（2015新課標(biāo)全國/理科）《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書

中有如下問題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺.問：積及為米幾何？”其意思為：”在屋內(nèi)墻角處堆放

米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米

各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3,估算出堆放的米約有（）

A.14MB.22斛C.36斛D.66斛

16.（2022秋?寶山區(qū)校級期末）若一個圓錐的母線與底面所成的角為?，體積為64m則此圓錐的高為______

6

17.（2022秋?上海期末）已知圓錐的底面半徑為1,母線長為2,則該圓錐的側(cè)面積為.

18.（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）若圓錐的側(cè)面積為2n，母線長為2,則此圓錐的體積為

19.（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）已知某圓錐體的底面半徑/*=2,沿圓錐體的母線把側(cè)面展開后得到一個圓心角為

”的扇形，則該圓錐體的表面積是________

3

20.（2022秋?普陀區(qū)校級期中）邊長為5的正方形EFGH是圓柱的軸截面，則從E點(diǎn)沿圓柱的側(cè)面到相對頂點(diǎn)G

的最短距離是.

21.（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）一矩形的一邊在4軸上，另兩個頂點(diǎn)在函數(shù)y一^（乂＞0）的圖象上，則此矩

l+2x?

形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的幾何體的體積的最大值為.

22.（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個圓心角為120°,且面積為3n的扇形，則該圓錐

的體積等于.

23.（2021秋?奉賢區(qū)校級月考）如圖，邊長為4的正方形為圓柱的軸截面，。是圓柱底面圓周上一點(diǎn).

（1）求證：ACJL平面BBC

（2）求圓柱的表面積和體積.

四.棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積（共8小題）

24.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）一個正四面體的棱長為1,則它的表面積是.

25.（2022秋?寶山區(qū)校級期中）若圓錐高為3,且母線與底面所成角為arccos^，則該圓錐的側(cè)面積為.

26.（2022秋?金山區(qū)校級期末）一間民房的屋頂有如圖三種不同的蓋法：①單向傾斜；②雙向傾斜；③四向傾斜.記

三種蓋法是屋頂面積分別為尸屋尸2、尸3,若屋頂傾斜面與水平面所成的角都是&則（）

①②③

A.P3=P2=P1B.P3>P2>P1C.P3>P2=P\D.P3=P2>Pl

27.（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）正四棱柱的底面積為4,高為3,則它的側(cè)面積為.

28.（2022秋?奉賢區(qū)校級期中）正三棱臺A5C-AEC上底面邊長2,下底面邊長為4,高為3,則該正三棱臺的斜

29.（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）三棱柱的各條棱長均為2,/4AB=N4iAC=NBAC=60°,則

該三棱柱的側(cè)面積為.

30.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）己知一球體剛好和圓臺的上、下底面及側(cè)面都相切，且圓臺上底面的半徑為2,下

底面的半徑為1,則該圓臺的側(cè)面積為.

31.（2022秋?浦東新區(qū)校級期中）如圖，在底面半徑為1,高為g的圓錐中，。是底面圓心，P為圓錐頂點(diǎn)，A,

8是底面圓周上的兩點(diǎn)，/ADR=2：,C為母線P3的中點(diǎn).

（1）求該圓錐的表面積；

（2）求在該圓錐的側(cè)面上，從4到C的最短路徑的長.

五.棱柱、棱錐、棱臺的體積（共19小題）

32.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）如圖，已知該幾何體由底面半徑均為3的圓柱和圓錐粘合而成，它們的母線長均為

5,求該幾何體的體積.

33.（2022秋?浦東新區(qū)校級期末）已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為18,圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體

積為（）

A.431V2nB.216V2nC.144&irD.

34.（2023春?虹口區(qū)期末）已知矩形ABC。的邊長AB=1,AD=3,若以直線4）為旋轉(zhuǎn)軸，將此矩形旋轉(zhuǎn)一周,

則所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積等于.

35.（2021秋?靜安區(qū)校級期末）如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm,

圓柱筒長2cm.

（1）這種“浮球”的體積是多少cm??（結(jié)果精確到J］）

（2）要在這樣2500個“浮球”表面涂一層狡質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠約多少克？（精確到克）

36.（2022秋?寶山區(qū)校級期末）已知正方體A8CD-481C1O1的棱長為2,E、尸是線段BIOI上的動點(diǎn)且Er=2,

則三棱錐A-BEF的體積為（）

A.2^2B.生反C.漢2D.無法確定

33

37.（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）用一根長為54的鐵絲圍成正三角形框架，其頂點(diǎn)為4、B、C,將半徑為6的球放

置在這個框架上（如圖），若M是球上任意一點(diǎn)，則四面體M48C體積的最大值是.

38.（2022秋?楊浦區(qū)校級期末）如圖，某種水箱用的“浮球”，足由兩個半球和一個圓柱筒組成.已知球的直徑為

8c7〃，圓柱筒高為3cm.

（1）求這種“浮球”的體積；

（2）要在這樣的3000個“浮球”的表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠0.1克，共需膠多少克？

39.（2022秋?虬口區(qū)校級期中）如圖，已知一個圓錐的底面半徑為2,高為2,且在這個圓錐中有一個高為x的圓

柱.

（1）當(dāng)X一生時，求圓柱的體積；

X3

（2）當(dāng)x為何值時，此圓柱的側(cè)面積最大，并求出此最大值.

40.（2023春?楊浦區(qū)校級月考）設(shè)ABC是等邊三角形，。為邊4C的中點(diǎn)，PO_平面ABC,PA=AC=2.

（1）求三棱錐P-ABC的體積；

（2）若M為的中點(diǎn)，求PM與平面用C所成角的大小.

P

41.（2023?麒麟?yún)^(qū)校級模擬）已知在四棱錐P—ABCD中，A8=4,BC=3,A￡>=5,ZDAB=ZABC=ZCBP=90°,

R\±CD,E為CD中點(diǎn)、.

（1）立面尸CD與平面附七能垂直嗎？請說明理由.

（2）若直線P8與平面R1E所成的角和PB與平面A8CO所成的角相等，求四棱錐P-A8C。的體積.

42.（2022秋?長寧區(qū)月考）如圖，已知三棱柱ABC的高為2,底面A8C是邊長為2的正三角形.

（1）求四棱錐A\-B\BCC\的體積;

（2）若48=4C,求證：側(cè)面BBC。為矩形.

小Bi

43.(2021秋?上海期末)在直三棱柱48C-41B1C1中，ACYBC,AC=BC=CC\=2.

(1)求四棱錐A-BCC\B\的體積V；

(2)求直線ABi與平面ACCiAi所成角的大小；

(3)求異面直線ABi與4cl所成角的大小.

44.(2022秋?普陀區(qū)校級期中)如圖，在正四棱錐尸中，48=2,側(cè)面與底面ABCO的夾角為？二

3

(1)求正四棱錐P-ABCD的體積;

(2)若點(diǎn)M是正四棱錐P-ABC。內(nèi)任意一點(diǎn)，點(diǎn)M到平面ABC。，平面MB,平面尸HC,平面PCQ,平面

尸D4的距離分別為di,d2,曲，山，d5,證明：2Ji+d2+d3+d4+d5=2V3;

(3)若球。是正四棱錐P-48co的內(nèi)切球，點(diǎn)。是正方形A8CQ內(nèi)一動點(diǎn)，且OQ=OP,當(dāng)點(diǎn)。沿著它所在

的軌跡運(yùn)動一周時，求線段OQ所形成的曲面與底面48。所圍成的幾何體的表面積.

AB

45.(2022秋?徐匯區(qū)校級期中)設(shè)尸為多面體M的一個頂點(diǎn)，定義多面體M在點(diǎn)P處的離散曲率為1-熹(/

2兀

01P04-ZQ2PQ3++ZQk-\PQk+ZQkPQ\),其中Q(i=l,2,…，k,223)為多面體M的所有與點(diǎn)P相鄰的

頂點(diǎn)，且平面Q1PO2,平面0P03,…，平面QhiPQa和平面。尸。1為多面體M的所有以尸為公共點(diǎn)的面.已

知在直四棱柱4BCO-A56OI中，底面A8CD為菱形，且A4i=4B=l.

(1)求直四棱柱ABCD-AB\C\D\在各個頂點(diǎn)的離散曲率之和；

(2)若直四棱柱ABCO-ABICIDI在點(diǎn)4處的離散曲率為乂直四棱柱48cz)-ABICIDI體積為了(公，求函數(shù)

y=/G)的解析式及單調(diào)區(qū)間.

圖1圖2圖3

(1)求此四棱錐的外接球的體積；

(2)M為PC上一點(diǎn)，求M4+MB的最小值；

(3)將邊長為4的正方形鐵皮用剪刀剪切后，焊接成一個正四棱錐(含底面)，并保持正四棱錐的表面與正方形

的面積相等，在圖2中用虛線畫出剪刀剪切的軌跡，并求焊接后的正四楂錐的體積.

47.（2022秋?普陀區(qū)校級期中）現(xiàn)需要設(shè)計一個倉庫，它由上下兩部分組成，上部分的形狀是正四棱錐P-A\B\C\D\,

下部分的形狀是正四棱柱ABCD-A\B\C\D\（如圖所示），并要求正四棱柱的高OO\是正四棱錐的高PO\的4

倍.

（1）若POi=2m,則倉庫的容積是多少？

（2）若正四棱錐的側(cè)棱長為6〃?，則當(dāng)POi為多少時，倉庫的容積最大？

48.（2021秋?徐匯區(qū)校級期末）已知四棱錐尸-ABC。的底面是菱形，對角線AC、BD交于點(diǎn)O,。尸=OA=4,OB

=3,OP_L底面A8CZ）,設(shè)點(diǎn)M滿足而“黃（°〈入＜1）.

（1）若人」，求三棱錐P-MBO的體積；

4

（2）直線布與平面”8。所成角的正弦值是返，求人的值.

49.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）在四面體ABCZ）中，H、G分別是4。、CO的中點(diǎn)，E、尸分別是AB、8c邊上的

點(diǎn)'且普卷8°）.

（1）求證：E、尸、G、”四點(diǎn)共面;

（2）若平面EFG”截四面體A8CD所得的五面體AC-EFG”的體積占四面體ABC。的且，求攵的值.

50.（2022秋?浦東新區(qū)校級月考）如圖，在四棱錐尸?A8CD中，底面A8CD是菱形，附_1_平面ABC。，AB=\,

PA*AC=i,N43c=e,ew（°，—]?

2

（1）若e/■，求二面角A-PC-B的大??；

2

（2）試求四棱錐尸-ABC。的體積V的取值范圍.

六.球的體積和表面積（共6小題）

51.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）己知球的表面積為12m則它的體積為.

52.（2022秋?普陀區(qū)校級期中）表面積為36K的球的體積為.

53.（2021秋?青浦區(qū)校級期末）若用與球心的距離為止的平面截球體所得的圓面半徑為1,則球的表面積

為.

54.（2021秋?黃浦區(qū)校級期中）如圖，幾何體。為一個圓柱和圓錐的組合體，圓錐的底面和圓柱的一個底面重合,

圓錐的頂點(diǎn)為P，圓柱的上、下底面的圓心分別為。、02,且該幾何體有半徑為1的外接球（即圓錐的頂點(diǎn)與

底面圓周在球面上，且圓柱的底面圓周也在球面上），外接球球心為0.

（1）若圓柱的底面圓半徑為近，求幾何體Q的體積；

2

（2）若POi：013=1：3,求幾何體C的表面積.

55.（2021秋?徐匯區(qū)校級期中）早在公元5世紀(jì)，我國數(shù)學(xué)家祖瞄在求球體積時.就創(chuàng)造性地提出了一個原理“帚

勢既同，則積不容異”，意思是兩個同高的幾何體，若在任意給定的等高處的截面積相等，則體積相等，在推導(dǎo)

半徑為R的球的體積公式時，可以先構(gòu)造如圖所示的圓柱體，圓柱體的底面半徑和高都為R,其底面和半球體的

底面同在平面a內(nèi)，然后挖去一個圓錐后運(yùn)用祖唯原理來推導(dǎo)，請你把右圖補(bǔ)充完整并寫出球的體積公式的證

明.

56.（2021秋?松江區(qū)校級期中）如圖所示，已知圓柱。1。2的軸截面ABCO是邊長為2近的正方形，球O在圓柱

OiQ內(nèi)，且與圓柱O1Q的上、下底面均相切.

（1）求球O的表面積；

（2）若P為圓柱下底面圓弧而的中點(diǎn)，求平面%8截球O所得截面的周長.

【過關(guān)檢測】

一、填空題

1.若正四棱柱的底面的面積為4cm2,其對角線和底面成45。角，則此正四棱柱的全面積是cmJ.

2.已知圓錐的底面半徑為正，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的母線長為.

3.已知一個圓柱的高不變，它的體積擴(kuò)大為原來的4倍，則它的側(cè)面積擴(kuò)大為原來的倍.

4."棱柱有相鄰兩個側(cè)面是矩形”是“棱柱是直棱柱"的條件（填“充分不必要必要不充分”、“充

要”、"不充分不必要”）

5.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一：它的形狀可視為一個正四棱錐.現(xiàn)己知該四棱錐的高與斜高的比值為

4

p則該四樓錐的底面面積與側(cè)面面積的比值是.

6.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于

7.若圓錐的表面積為27/r,且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的底面圓的直徑為

8.給出下列四個命題：

①棱柱的側(cè)面都是平行四邊形；

②底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體：

③直棱柱的側(cè)面是矩形：

④正棱柱的側(cè)面是全等的矩形.

其中真命題的序號是（填所有真命題的序號）.

9.正四面體4-BCO中，可，也分別是它的高與斜高，則4：%=.

10.圖中的多面體的底面是邊長為。的正方形，上面的棱平行于底面，其長為2a,其余的棱長都是已知

a=6夜，則這個多面體的體積是.

2a

11.圓柱形容器內(nèi)部盛有高度為8cm的水，若放入三個相同的球（球的半徑與圓柱的底面半徑相同）后，水恰好

淹沒最上面的球（如圖所示），則球的半徑是_cm.

12.己知圓柱的體積是倔，點(diǎn)。是下底面中心，底面半徑為1,點(diǎn)A是圓柱上底面圓周上的一點(diǎn)，則直線Q4與

圓柱底面所成角的大小為。

二、單選題

13.圖（1）是一個正三棱柱容器，高為2a,內(nèi)裝水若干，將容器放倒，把一個側(cè)面作為底面如圖（2）所示，此

時水面恰好為中截面，則圖（1）所示容器中水面的高度是（）

（1）（2）

313

A.-aB.aC.-aD.-a

224

14.《九章算術(shù)》卷五描述：“今有芻技，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高丈.”意思為：”今有底面為矩形

的屋脊?fàn)畹膬汉误w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高1丈.”若該芻矍的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上每

個小正方形邊長均為1丈，則該芻技的體積（單位：立方丈）為（）

5

A.-B.5C.10D.20

2

15.過半徑為4的球。表面上一點(diǎn)M作球。的截面，若。必與該截面所成的角是30。，則O到該截面的距離是

()

A.4B.2GC.2D.1

16.用與球心距離為1的平面去截面面積為工，則球的體積為

3248乃8五兀

A.-B.—C.gD.莫井

三、解答題

17.在正三棱柱ABC-ABG中，如圖所示，AA=48=a,G、E,尸分別是棱AG、AB.BC的中點(diǎn).

(1)求證：直線痔1直線GB；

⑵求G8與平面A8C所成的角的大小以及三棱錐片-8石尸的體積.

18.如圖，三棱錐P-A8c中，PA_L底面48C,M是8c的中點(diǎn)，若底面48c是邊長為2的正三角形，且P8與

(1)三棱錐P-ABC的體積;

(2)異面直線PM與AC所成角的大小.(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)

19.如圖，正方體A88—A4GA中，尸是AA的中點(diǎn).

(1)求證：4。，平面8。1。；

(2)已知該正方體的棱長為2,求三棱錐的體積.

20.用2乃平方米的材料制成?個有蓋的圓錐形容器，如果在制作過程中材料無損耗，且材料的厚度忽略不計，底

面半徑長為x,圓錐母線的長為y.

(1)建立y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

⑵圓錐的母線與底面所成的角大小為?，求所制作的圓錐形容器容積多少立方米(精確到O.Oln?).

21.如圖，用一平面去截球。，所得截面面積為16江，球心。到截面的距離為3cm，為截面小圓圓心，A8為截

面小圓的直徑，

⑴計算球。的表面積；

⑵若C是截面小圓上一點(diǎn)，NA8C=30°,M、N分別是線段4a和。。的中點(diǎn)，求異面直線AC與MN所成的

角.

第11章簡單幾何體全章復(fù)習(xí)與測試

【知識梳理】

一.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1.棱柱：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成

的多面體叫做棱柱.棱柱用表示底面各頂點(diǎn)的字母來表示（例：ABCD-A'B'CD'）.

2.認(rèn)識棱柱

底面：棱柱中兩個互相平行的面，叫做棱柱的底面.

側(cè)面：棱柱中除兩個底面以外的其余各個面都叫做棱柱的側(cè)面.

側(cè)棱：棱柱中兩個側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱.

頂點(diǎn)：棱柱的側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn).

高：棱中兩個底面之間的距離.

3.棱柱的結(jié)構(gòu)特征

1兩個底面互相平行

棱柱2.側(cè)面都是四邊形

3.側(cè)棱互相平行

根據(jù)楂柱的結(jié)構(gòu)特征，可知楂柱有以下性質(zhì)：

（1）側(cè)面都是平行四邊形

（2）兩底面是全等多邊形

（3）平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形

（4）長方體一條對角線長的平方等于一個頂點(diǎn)上三條棱的長的平方和.

4.棱柱的分類

（1）根據(jù)底面形狀的不同，可把底面為三角形、四邊形、五邊形…的棱柱稱為三棱柱、四棱柱、五棱柱….

（2）根據(jù)側(cè)棱是否垂直底面，可把棱柱分為直棱柱和斜棱柱；其中在直棱柱中，若底面為正多邊形，則稱其為正棱

柱.

直棱柱正桂柱

5.棱柱的體積公式

設(shè)棱柱的底面積為S,高為兒

二.棱錐的結(jié)構(gòu)特征

1.棱錐：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面圍成的幾何體叫做棱錐.用頂點(diǎn)和底

面各頂點(diǎn)的字母表示，例：S-ABCD.

2.認(rèn)識棱錐

棱錐的側(cè)面：棱錐中除底面外的各個面都叫做棱錐的側(cè)面.

棱錐的側(cè)棱：相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱.

棱錐的頂點(diǎn)；棱錐中各個側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn).

棱錐的高：棱錐的頂點(diǎn)到底面的距離叫做棱錐的高.

棱錐的對角面；棱錐中過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面叫做對角面.

3.楂錐的結(jié)構(gòu)特征

捺傕底面是多邊形

彼里N.側(cè)面是三角形

根據(jù)棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可知棱錐具有以下性質(zhì)：

平行于底面的截面和底面相似，且它們的面積比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比.

4.棱錐的分類

棱錐的底面可以是三角形、四邊形、五邊形…我們把這樣的棱錐分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱錐…

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點(diǎn)在底面內(nèi)的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐.正棱錐的各個側(cè)面都是

全等的等邃三角形.

5.棱錐的體積公式

設(shè)棱錐的底面積為S,高為h,

v極傕

0

三、旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）

旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征：一條平面曲線繞著它所在的平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面；該定直線

叫做旋轉(zhuǎn)體的軸；封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體.

1.圓柱

①定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓

圓柱用軸字母表示，如下圖圓柱可表示為圓柱0。'.

②認(rèn)識圓柱

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸

高：軸上的邊（或它的長度）叫做圓柱的高

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面

側(cè)面：平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱的母線

③圓柱的特征及性質(zhì)

fl.有兩個底面互相平行，且形狀、大小一樣的危

2.側(cè)面為曲面，展開為矩形

圓柱與底面平行的截面是圓，與軸平行的截面是矩形.

④圓柱的體積和表面積公式

設(shè)圓柱底面的半徑為，，高為小

V圓柱=兀小

S|D柱=2X冗r。？兀rh=2兀r（r+h）

2.圓錐

①定義：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐.

圓錐

圓錐用軸字母表示，如下圖圓錐可表示為圓錐so.

②認(rèn)識圓錐

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓錐的軸

高：軸上的邊(或它的長度)叫做圓錐的高

底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓錐的底面

側(cè)面：三角形的斜邊繞軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓錐的側(cè)面

母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，斜邊所在的邊都叫做圓錐的母線

③圓錐的特征及性質(zhì)

1.只有一個頂點(diǎn)，只有一個底面為18

圓錐

2.側(cè)面為曲面，展開為扇形

與圓錐底面平行的截面是圓，過圓錐的頂點(diǎn)的截面是等腰三角形，兩個腰都是母線.

母線長/與底面半徑「和高人的關(guān)系：/2=/?2+?

④圓錐的體積和表面積公式

設(shè)圓錐的底面半徑為「，高為九母線長為/：

12

「圓錐二了幾「h

2

S圖錐表面積:冗r+Krl=nr(r+1)

3.圓臺

①定義：以直角梯形中垂直于底邊的腰所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面所圍成的幾何體叫做圓

臺.

圓臺

圓臺用軸字母表示，如下圖圓臺可表示為圓臺。。'.

②認(rèn)識圓臺

軸：旋轉(zhuǎn)軸叫做圓臺的軸

乃仁高：軸上的邊(或它的長度)叫做圓臺的高

側(cè)面母線底面：垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓臺的底面

，‘,可??卜\‘圓臺有兩個底面，分別是上底面和下底面

乍透側(cè)面：不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓臺的側(cè)面

底廣'5母線：無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓臺的母線

③圓臺的特征及性質(zhì)

”(1.上下底面平行，為半徑不等的醫(yī)

風(fēng)口(2.側(cè)面展開圖為一個扇環(huán)

平行于底面的截面是圓，軸截面是等腰梯形.

④圓臺的體積和表面積公式

設(shè)圓臺的上底面半徑為「，下底面半徑為R,高為兒母線長為/：

V圖臺=/冗11(12+區(qū)2+如)

S國臺表面租=K，+九R2+JTrl+KRl=7T(r2+R2+rl+Rl)

四.棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積

側(cè)面積和全面積的定義：

(1)側(cè)面積的定義：把柱、錐、臺的側(cè)面沿著它們的一條側(cè)棱或母線剪開，所得到的展開圖的面積，就是空間幾何

體的側(cè)面積.

(2)全面積的定義：空間幾何體的側(cè)面積與底面積的和叫做空間幾何體的全面積.

柱體、錐體、臺體的表面積公式(c為底面周長，"為高，h'為斜高，/為母線)

S心柱表=2nr(r+/)?S(r+/)?S圜臺表=TC(J+rl+Rl+R2)

五.棱柱、棱錐、棱臺的體積

柱體、錐體、臺體的體積公式：

V柱=$力，v?=—S/i.

3

六.球的體積和表面積

I.球體：在空間中，到定點(diǎn)的距離等于或小于定長的點(diǎn)的集合稱為球體，簡稱球.其中到定點(diǎn)距離等于定長的點(diǎn)的

集合為球面.

2.球體的體積公式

設(shè)球體的半徑為R,

V球體=4■兀R3

3.球體的表面積公式

設(shè)球體的半徑為R,

S球體=4TTR2.

【命題方向】

考查球體的體積和表面積公式的運(yùn)用，常見結(jié)合其他空間幾何體進(jìn)行考查，以增加試卷難度，根據(jù)題目所給條件得

出球體半徑是解題關(guān)鍵.

七.多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題

多面體和旋轉(zhuǎn)體表面上的最短距離問題的解法：

求多面體表面上兩點(diǎn)間的最短距離，一般將表面展開為平面圖形，從而把它轉(zhuǎn)化為平面圖形內(nèi)兩點(diǎn)連線的最短長

度問題，要注意的是，如果不是指定的兩點(diǎn)間的某種特殊路徑，其表面上兩點(diǎn)間的距離應(yīng)是按各種可能方式展開成

平面圖形后各自所得最短距離中的最小者.旋轉(zhuǎn)體側(cè)面上兩點(diǎn)間的最短距離，如同多面體一樣，將側(cè)面展開，轉(zhuǎn)化

為展開面內(nèi)兩點(diǎn)連線的最短長度問題來解決.

3【考點(diǎn)剖析】

一.棱柱的結(jié)構(gòu)特征（共6小題）

1.（2022秋?徐匯區(qū)校級期中）將12根長度相同的小木棍通過粘合端點(diǎn)的方式（不可折斷），不可能拼成（）

A.正三棱柱B,正四棱錐C.正四棱柱D.正六棱錐

【分析】根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征逐一判斷即可.

【解答】解：對于A,正三棱柱中9條棱長度可以完全相同，故A成立；

對于"正四棱錐中5條棱長度可以完全相同，故5成立；

對于C,正四三棱柱中12條棱長度可以完全相同，故C成立；

對于D,因?yàn)檎呅蔚闹行牡搅鶄€頂點(diǎn)的距離都等于邊長，所以正六棱錐的側(cè)棱長總比底邊長，故。不成立；

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正三棱柱、正四棱錐、正四三棱柱及正六棱錐的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）正方體AIBICIOI的棱長為4,E,F分別為BC、CC1的中點(diǎn)，則平面AEF

截正方體所得的截面面積為18.

【分析】把截面AE補(bǔ)形為四邊形4E/7）］,由等腰梯形計算其面積即可.

【解答】解：如圖，把截面AE尸補(bǔ)形為四邊形AEFD1,

連接ADi,由正方體可得E尸〃A。，可得等腰梯形4EFA為平面人石尸械正方體所得的截面圖形，

由正方體4BCO-461C1O1的棱長為4,得4。|=4&,EF=2近,

D產(chǎn)^="+22=2臟，則E到的距離即等腰梯形AEFDi的高為J⑵而）？-（生絲？巨）

???所求截面的面積為S=2（2V2+4V2）X372=18.

2

故答案為：18.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正方體的截面面積，考查了正方體的結(jié)構(gòu)特征，屬于基礎(chǔ)題.

3.（2022秋?黃浦區(qū)校級期末）如圖，在三棱柱48C--中，N4C8=90°,NACCi=60°,=45°,

側(cè)棱CCi的長為1,則該三棱柱的高等于二

【分析】過0作平面AC8、直線8C、AC的垂線，交點(diǎn)分別為O,D,E,可得四邊形OECO為矩形，結(jié)合條

件可得源，OD"，進(jìn)而即得.

22

【解答】解：過。作平面ACB、直線BC、AC的垂線，交點(diǎn)分別為O,D,E,連接O。、OC、OE,則。。即

為三棱柱的高，

由CiO_L平面AC8,ACu平面AC5,可得CiO_LAC,

又4C_CiE,CiOnCiE=Ci,CiOu平面C]OE,CiEu平面OOE,

所以AC_L平面CTOE,又OEu平面OOE,

所以AC_LO￡,同理可得0D_L8C,又NAC8=90°,

所以四邊形OECO為矩形，

在直角三角形EC。和OCCi中，/ACCi=60°,NBCCi=45°,側(cè)棱ca的長為I,

則CEACCI]，CD=C\D=將,

所以O(shè)D二CE二技，

所以Xi=JDC[2_°D2制，

即三棱柱的高等于

2

故答案為：1.

2

【點(diǎn)評】本題主要考查了三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面垂直的判定，屬于中檔題.

4.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）正方體的6個面無限延展后把空間分成27個部分.

【分析】正方體的6個面無限延展后把空間分為3個層，每層有9部分，由此能求出結(jié)果.

【解答】解：正方體的6個面無限延展后把空間分為3個層，每層有9部分，

???正方體的6個面無限延展后把空間分成3X9=27個部分.

故答案為：27.

【點(diǎn)評】本題考查正方體的結(jié)構(gòu)特征等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，是中檔題.

5.（2022秋?長寧區(qū)月考）在棱長為2的正方體ABCD-AiBCQ中，E為棱的中點(diǎn)，尸是側(cè)面BiBCCi內(nèi)的動

點(diǎn)，若4尸〃平面APE,則點(diǎn)尸軌跡的長度為（）

A.返B.V2C.D.242

22

【分析】取4助中點(diǎn)M,BiCi中點(diǎn)N,連接則易證平面4MN〃平面AOE,進(jìn)而得當(dāng)產(chǎn)的軌跡為線段MN

時，則有4F〃平面ADiE,再根據(jù)勾股定理及三角形的中位線計算即可.

【解答】解：如圖所示：

取881中點(diǎn)M,81。中點(diǎn)M連接MN,

因?yàn)锽CiZ/AD],

所以MN〃AOi,MNU平面ADiE,AOiu平面ADiE,

所以MN〃平面ADE,

同理可證明4N〃平面AD\E,

又因?yàn)镸NRAiN=N,MN,4Nu平面4MM

所以平面4MN〃平面AD\E,

當(dāng)尸的軌跡為線段MN時，此時AiFu平面41MM則有41尸〃平面ADiE,

此時MN】BC1-yX272=72.

故選:B.

【點(diǎn)評】本題考查線面平行的判定定理，面面平行的判定定理，屬中檔題.

6.（2022秋?徐匯區(qū)校級期末）在棱長為1的正方體中，F(xiàn),P分別為線段4。和平面

上的動點(diǎn)，點(diǎn)G為線段81c的中點(diǎn)，則4PG尸周長的最小值為名.

一3一

【分析】若I尸內(nèi)取得最小值，則P在線段AICI上，將平面AAiC\繞AC\旋轉(zhuǎn)到與ABC\共面的情況，可知過G

作GFlAiCi于點(diǎn)尸，結(jié)合三角形三邊關(guān)系可知|PF1+|FG|的最小值為|PG|,可知所求三角形周長最小值為2|PG|；

利用二倍角公式可求得s