第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

PAGE11-第二節(jié)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】【知識(shí)梳理·歸納】1.四個(gè)基本事實(shí) 基本事實(shí)1:過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.符號(hào):A,B,C三點(diǎn)不共線?存在唯一的α使A,B,C∈α.基本事實(shí)2:如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi).符號(hào):A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α.基本事實(shí)3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線.符號(hào):P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l.基本事實(shí)4:平行于同一條直線的兩條直線平行.符號(hào):a∥b,b∥c?a∥c.2.基本事實(shí)的三個(gè)推論推論1:經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2:經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3:經(jīng)過(guò)兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.3.空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系項(xiàng)目直線與直線直線與平面平面與平面平行關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∥ba∥αα∥β相交關(guān)系圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言a∩b=Aa∩α=Aα∩β=l其他關(guān)系圖形語(yǔ)言-符號(hào)語(yǔ)言a,b是異面直線a?α-【微點(diǎn)撥】(1)直線在平面外分直線與平面平行和直線與平面相交兩種情況.(2)兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)分直線與直線平行和直線與直線異面兩種情況.4.等角定理如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).5.異面直線所成的角(1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O分別作直線a'∥a,b'∥b,把a(bǔ)'與b'所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).(2)范圍:0,【基礎(chǔ)小題·自測(cè)】類型辨析改編易錯(cuò)高考題號(hào)14231.(多維辨析)(多選題)下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn),則這兩個(gè)平面重合B.經(jīng)過(guò)兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面C.兩兩相交的三條直線共面D.若a,b是兩條直線,α,β是兩個(gè)平面,且a?α,b?β,則a,b是異面直線【解析】選ACD.A中的兩個(gè)平面可能相交;B正確;C中的三條直線相交于一點(diǎn)時(shí)可能不共面;D中的兩條直線可能是平行直線.2.(易錯(cuò)題)若直線l不平行于平面α,且l?α,則()A.α內(nèi)的所有直線與l異面B.α內(nèi)不存在與l平行的直線C.α內(nèi)存在唯一的直線與l平行D.α內(nèi)的直線與l都相交【解析】選B.由題意知,直線l與平面α相交,則直線l與平面α內(nèi)的直線只有相交和異面兩種位置關(guān)系,因而只有選項(xiàng)B是正確的.3.(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知正方體ABCD-A1B1C1D1,則()A.直線BC1與DA1所成的角為90°B.直線BC1與CA1所成的角為90°C.直線BC1與平面BB1D1D所成的角為45°D.直線BC1與平面ABCD所成的角為45°【解析】選ABD.如圖,連接AD1,在正方形A1ADD1中,AD1⊥DA1,因?yàn)锳D1∥BC1,所以BC1⊥DA1,所以直線BC1與DA1所成的角為90°,故A正確.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,CD⊥平面BCC1B1,又BC1?平面BCC1B1,所以CD⊥BC1,連接B1C,則B1C⊥BC1,因?yàn)镃D∩B1C=C,CD,B1C?平面DCB1A1,所以BC1⊥平面DCB1A1,又CA1?平面DCB1A1,所以BC1⊥CA1,所以直線BC1與CA1所成的角為90°,故B正確.連接A1C1,交B1D1于點(diǎn)O,則易得OC1⊥平面BB1D1D,連接OB,因?yàn)镺B?平面BB1D1D,所以O(shè)C1⊥OB,∠OBC1為直線BC1與平面BB1D1D所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,則易得BC1=2a,OC1=2a2,所以在Rt△BOC1中,OC1=12BC∠OBC1=30°,故C錯(cuò)誤.因?yàn)镃1C⊥平面ABCD,所以∠CBC1為直線BC1與平面ABCD所成的角,易得∠CBC1=45°,故D正確.4.(必修二P134例1變形式)如圖,在三棱錐A-BCD中,E,F,G,H分別是棱AB,BC,CD,DA的中點(diǎn),則(1)當(dāng)AC,BD滿足條件________時(shí),四邊形EFGH為菱形;

(2)當(dāng)AC,BD滿足條件________時(shí),四邊形EFGH為正方形.

【解析】(1)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為菱形,所以EF=EH,因?yàn)镋F=12AC,EH=12BD,所以AC(2)因?yàn)樗倪呅蜤FGH為正方形,所以EF=EH且EF⊥EH.因?yàn)镋F∥AC,EH∥BD,且EF=12AC,EH=12所以AC=BD且AC⊥BD.答案:(1)AC=BD(2)AC=BD且AC⊥BD【核心考點(diǎn)·分類突破】考點(diǎn)一空間位置關(guān)系的判斷[例1](1)(多選題)下列選項(xiàng)正確的是()A.兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線必在同一平面內(nèi)B.過(guò)空間中任意三點(diǎn)有且僅有一個(gè)平面C.若空間兩條直線不相交,則這兩條直線平行D.若直線l?平面α,直線m⊥平面α,則m⊥l【解析】選AD.對(duì)于選項(xiàng)A,可設(shè)l1與l2相交,這兩條直線確定的平面為α;若l3與l1相交于B,則交點(diǎn)B在平面α內(nèi),同理,l3與l2的交點(diǎn)A也在平面α內(nèi),所以AB?α,即l3?α,選項(xiàng)A正確.對(duì)于選項(xiàng)B,若三點(diǎn)共線,則過(guò)這三個(gè)點(diǎn)的平面有無(wú)數(shù)個(gè),選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)C,空間中兩條直線可能相交、平行或異面,選項(xiàng)C錯(cuò)誤.對(duì)于選項(xiàng)D,若直線m⊥平面α,則m垂直于平面α內(nèi)所有直線.因?yàn)橹本€l?平面α,所以直線m⊥直線l,選項(xiàng)D正確.(2)如圖,G,N,M,H分別是正三棱柱(兩底面為正三角形的直棱柱)的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn),則表示直線GH與MN是異面直線的圖形有________.(填序號(hào))

【解析】題圖①中,直線GH∥MN;題圖②中,G,H,N三點(diǎn)共面,但M?平面GHN,因此直線GH與MN異面;題圖③中,連接MG,則GM∥HN,因此GH與MN共面;題圖④中,G,M,N共面,但H?平面GMN,因此GH與MN異面,所以題圖②④中GH與MN異面.答案:②④【解題技法】1.點(diǎn)、線共面的判斷方法(1)納入平面法:要證明“點(diǎn)共面”或“線共面”,可先由部分點(diǎn)或直線確定一個(gè)平面,再證其余點(diǎn)或直線也在這個(gè)平面內(nèi).(2)輔助平面法:先證明有關(guān)的點(diǎn)、線確定平面α,再證明其余元素確定平面β,最后證明平面α,β重合.(3)證明四點(diǎn)共面常通過(guò)證明四點(diǎn)組成的四邊形為平行四邊形或梯形來(lái)解決.2.兩直線位置關(guān)系的判斷【微提醒】平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線與平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.已知異面直線a,b分別在平面α,β內(nèi),且α∩β=c,那么直線c一定()A.與a,b都相交B.只能與a,b中的一條相交C.至少與a,b中的一條相交D.與a,b都平行【解析】選C.由題意易知,c與a,b都可相交,也可只與其中一條相交,故A,B均錯(cuò)誤;若c與a,b都不相交,則c與a,b都平行,根據(jù)基本事實(shí)4,知a∥b,與a,b為異面直線矛盾,D錯(cuò)誤.2.設(shè)a,b,c是空間中的三條直線,下面給出四個(gè)命題:①若a∥b,b∥c,則a∥c;②若a⊥b,b⊥c,則a∥c;③若a與b相交,b與c相交,則a與c相交;④若a?平面α,b?平面β,則a,b一定是異面直線.上述命題中錯(cuò)誤的是__________(寫出所有錯(cuò)誤命題的序號(hào)).

【解析】由基本事實(shí)4知①正確;當(dāng)a⊥b,b⊥c時(shí),a與c可以相交、平行或異面,故②錯(cuò)誤;當(dāng)a與b相交,b與c相交時(shí),a與c可以相交、平行,也可以異面,故③錯(cuò)誤;a?α,b?β,并不能說(shuō)明a與b不同在任何一個(gè)平面內(nèi),故④錯(cuò)誤.答案:②③④考點(diǎn)二基本事實(shí)及其應(yīng)用[例2]如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是B1C1和C1D1的中點(diǎn).求證:(1)E,F,D,B四點(diǎn)共面;(2)BE,DF,CC1三線共點(diǎn).【證明】(1)如圖,連接EF,BD,B1D1,因?yàn)镋F是△B1C1D1的中位線,所以EF∥B1D1,因?yàn)锽B1與DD1平行且相等,所以四邊形BDD1B1是平行四邊形,所以BD∥B1D1,所以EF∥BD,所以E,F,D,B四點(diǎn)共面;(2)因?yàn)镋F∥BD,且EF≠BD,所以直線BE和DF相交,延長(zhǎng)BE,DF,設(shè)它們相交于點(diǎn)P,因?yàn)镻∈直線BE,直線BE?平面BB1C1C,所以P∈平面BB1C1C,因?yàn)镻∈直線DF,直線DF?平面CDD1C1,所以P∈平面CDD1C1,因?yàn)槠矫鍮B1C1C∩平面CDD1C1=CC1,所以P∈CC1,所以BE,DF,CC1三線共點(diǎn).【解題技法】1.證明空間點(diǎn)共線問(wèn)題的方法(1)一般轉(zhuǎn)化為證明這些點(diǎn)是某兩個(gè)平面的公共點(diǎn),再根據(jù)基本事實(shí)3證明這些點(diǎn)都在這兩個(gè)平面的交線上.(2)選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線,然后證明其余點(diǎn)也在該直線上.2.共面、共點(diǎn)問(wèn)題(1)先確定一個(gè)平面,然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi);(2)利用確定平面的定理,如由點(diǎn)構(gòu)造平行直線、構(gòu)造相交直線等.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.如圖,α∩β=l,A,B∈α,C∈β,且A,B,C?l,直線AB∩l=M,過(guò)A,B,C三點(diǎn)的平面記作γ,則γ與β的交線必經(jīng)過(guò)()A.點(diǎn)AB.點(diǎn)BC.點(diǎn)C但不過(guò)點(diǎn)MD.點(diǎn)C和點(diǎn)M【解析】選D.因?yàn)锳B?γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根據(jù)基本事實(shí)3可知,M在γ與β的交線上.同理可知,點(diǎn)C也在γ與β的交線上.所以γ與β的交線必經(jīng)過(guò)點(diǎn)C和點(diǎn)M.2.已知空間四邊形ABCD(如圖所示),E,F分別是AB,AD的中點(diǎn),G,H分別是BC,CD上的點(diǎn),且CG=13BC,CH=13DC.(1)E,F,G,H四點(diǎn)共面;(2)三直線FH,EG,AC共點(diǎn).【證明】(1)連接EF,GH,因?yàn)镋,F分別是AB,AD的中點(diǎn),所以EF∥BD.又因?yàn)镃G=13BC,CH=13所以GH∥BD,所以EF∥GH,所以E,F,G,H四點(diǎn)共面.(2)易知FH與直線AC不平行,但共面,所以設(shè)FH∩AC=M,所以M∈平面EFHG,M∈平面ABC.又因?yàn)槠矫鍱FHG∩平面ABC=EG,所以M∈EG,所以FH,EG,AC共點(diǎn).考點(diǎn)三異面直線所成的角[例3](1)如圖所示,圓柱O1O2的底面半徑為1,高為2,AB是一條母線,BD是圓O1的直徑,C是上底面圓周上一點(diǎn),∠CBD=30°,則異面直線AC與BD所成角的余弦值為()A.33535 BC.3714 D【解析】選C.連接AO2,設(shè)AO2的延長(zhǎng)線交下底面圓周上的點(diǎn)為E,連接CE,易知∠CAE(或其補(bǔ)角)即為異面直線AC與BD所成的角,連接CD(圖略),在Rt△BCD中,∠BCD=90°,BD=2,∠CBD=30°,得BC=3,CD=1.又AB=DE=AE=BD=2,AC=AB2+BC2=7,CE=DC2+DE2=5,所以在△CAE中即異面直線AC與BD所成角的余弦值為37(2)(2023·武漢模擬)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=AA1,D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),則異面直線C1D與B1E所成角的余弦值為()A.33 B.C.1010 D.【解析】選D.設(shè)AB=2,取A1B1的中點(diǎn)F,連接C1F,DF,DE,則B1F=12A1B1因?yàn)镈,E分別為AC,BC的中點(diǎn),所以DE∥AB,DE=12AB因?yàn)锳1B1∥AB,A1B1=AB,所以DE∥B1F,B1F=DE,所以四邊形DEB1F為平行四邊形,所以DF∥B1E,所以∠C1DF為異面直線C1D與B1E所成的角或補(bǔ)角.因?yàn)锳B⊥BC,AB=BC=AA1=2,D,E分別為AC,BC的中點(diǎn),所以DF=B1E=12+2C1F=12+22=5,C1D=所以cos∠C1DF=12C1DDF【解題技法】求異面直線所成角的方法(1)求異面直線所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三種類型:利用圖中已有的平行線平移;利用特殊點(diǎn)(線段的端點(diǎn)或中點(diǎn))作平行線平移;補(bǔ)形平移.(2)求異面直線所成角的三步:一作、二證、三求.①一作:根據(jù)定義作平行線,作出異面直線所成的角;②二證:證明作出的角是異面直線所成的角;③三求:解三角形,求出所作的角.如果求出的角是銳角或直角,則它就是要求的角;如果求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角才是要求的角.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練】1.在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為B1D1的中點(diǎn),則直線PB與AD1所成的角為()A.π2 B.π3 C.π4 【解析】選D.如圖,連接A1C1,BC1,因?yàn)锳D1∥BC1,所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則PB=6,PC1=2,BC1=22,則PB2+PC12=BC12,在Rt△因?yàn)閟in∠PBC1=PC1BC1所以直線PB與AD1所成的角為π62.如圖,在圓錐SO中,AB,CD為底面圓的兩條直徑,AB∩CD=O,且AB⊥CD,SO=OB=3,SE=14SB,則異面直線SC與OE所成角的正切值為(A.222 B.53 C.1316 【解析】選D.如圖,過(guò)點(diǎn)S作SF∥OE,交AB于點(diǎn)F,連接CF,則∠CSF(或其補(bǔ)角)為異面直線SC與OE所成的角.因?yàn)镾E=14SB,所以SE=1又OB=3,所以O(shè)F=13OB=1因?yàn)镾O⊥OC,SO=OC=3,所以SC=32.因?yàn)镾O⊥OF,所以SF=SO2+因?yàn)?/p>