處理導(dǎo)數(shù)解答題的八種常用方法專題講義 高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

PAGE2PAGE2處理導(dǎo)數(shù)解答題的八種常用方法一、方法：列表根據(jù)導(dǎo)函數(shù)正負(fù)，推導(dǎo)原函數(shù)的單調(diào)性，列表求極值和最值。分類討論導(dǎo)函數(shù)最常用的方法，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分段討論。分離參數(shù)對(duì)于恒成立問題和能成立問題，避免復(fù)雜的分類討論，將參數(shù)分離出來，構(gòu)造新函數(shù)求最值。洛必達(dá)法則對(duì)于端點(diǎn)值取不到的情況，使用洛必達(dá)法則，大題可以直接使用。兩邊取對(duì)數(shù)指數(shù)型的不等式或者連乘的不等式，可以兩邊取對(duì)數(shù)，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算降低運(yùn)算級(jí)別。變換主元若導(dǎo)數(shù)問題中含有雙變量，根據(jù)簡(jiǎn)單原則確定主元。設(shè)而不求導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)無法確定的隱零點(diǎn)問題，采用設(shè)而不求的方式設(shè)出零點(diǎn)，根據(jù)方程整體代換，再利用零點(diǎn)存在定理逐步逼近零點(diǎn)。二階求導(dǎo)對(duì)于導(dǎo)函數(shù)無法判斷正負(fù)的情況，可以嘗試二次求導(dǎo)或者多次求導(dǎo)，再根據(jù)圖像依次倒推出原函數(shù)的單調(diào)性。

二、例題：分離參數(shù)+列表1.已知函數(shù). ⑴若，求的單調(diào)區(qū)間；⑵已知是的兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，且，若恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍。解：⑴，或1令，解得令，解得，的增區(qū)間為；減區(qū)間為，⑵，即由題意兩根為，，又且△，.設(shè)，或2+00+極大值極小值又，，，.

二、分離參數(shù)+洛必達(dá)法則2.已知函數(shù),（其中R,為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.(1)當(dāng)時(shí),求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)≥1時(shí),若關(guān)于的不等式≥0恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(3)當(dāng)≥1時(shí),若關(guān)于的不等式≥0恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，,,,切線方程為．（2）[方法一] 設(shè),則, 在上為增函數(shù),≥, ,在上為增函數(shù), ≥,≤．[方法二], , 設(shè),, ≥0,≥0,在上為增函數(shù), ≥.（如何判斷其符號(hào)？由已知 恒成立有）又≥0恒成立,≥0,≤,≥,,在上為增函數(shù),此時(shí)≥≥0恒成立,≤．（改x≥0時(shí)，≥0恒成立.≤1）解：先證明在上是增函數(shù)，再由洛比達(dá)法則，∴，∴≤1.（正常的討論進(jìn)行不了，除非系數(shù)調(diào)到二次項(xiàng)上，分兩種情況討論可得≤1）三、兩邊取對(duì)數(shù)3.設(shè)函數(shù)且）（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求的取值范圍；（3）已知對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。解：（1）,當(dāng)時(shí)，即.當(dāng)時(shí)，即或.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.（2）由時(shí)，即，由（1）可知在上遞增，在遞減，所以在區(qū)間（－1，0）上，當(dāng)時(shí)，取得極大值，即最大值為.在區(qū)間上，.函數(shù)的取值范圍為.分（3），兩邊取自然對(duì)數(shù)得

四、兩邊取對(duì)數(shù)的技巧、換元構(gòu)造函數(shù)4.已知函數(shù)⑴求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;⑵若不等式對(duì)任意的都成立（其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求a的最大值.解:⑴函數(shù)的定義域是，設(shè)則令則當(dāng)時(shí)，在（－1，0）上為增函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù).所以h(x)在x=0處取得極大值，而h(0)=0,所以，函數(shù)g(x)在上為減函數(shù).于是當(dāng)時(shí)，當(dāng)x＞0時(shí)，所以，當(dāng)時(shí)，在（－1，0）上為增函數(shù).當(dāng)x＞0時(shí)，在上為減函數(shù).故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（－1，0），單調(diào)遞減區(qū)間為.⑵不等式等價(jià)于不等式由知，＞0，∴上式變形得設(shè)，則則由⑴結(jié)論知，（≤）即所以于是G(x)在上為減函數(shù).故函數(shù)在上的最小值為所以a的最大值為五、變換主元5.設(shè)函數(shù).⑴若函數(shù)在處與直線相切：①求實(shí)數(shù)的值；②求函數(shù)在上的最大值；⑵當(dāng)時(shí)，若不等式≥對(duì)所有的都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）①?！吆瘮?shù)在處與直線相切解得 .②當(dāng)時(shí)，令得；令，得，上單調(diào)遞增，在[1，e]上單調(diào)遞減，.（2）當(dāng)b=0時(shí)，若不等式對(duì)所有的都成立，則對(duì)所有的都成立，即對(duì)所有的都成立，令為一次函數(shù)，.上單調(diào)遞增，，對(duì)所有的都成立...（注：也可令所有的都成立，分類討論得對(duì)所有的都成立，，請(qǐng)根據(jù)過程酌情給分）

六、二階求導(dǎo)6.設(shè)函數(shù).⑴若，求的最小值；⑵若當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）時(shí)，，.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在上單調(diào)減小，在上單調(diào)增加故的最小值為（2），當(dāng)時(shí)，，所以在上遞增，而，所以，所以在上遞增，而，于是當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，而，于是當(dāng)時(shí)，，所以在上遞減，而，所以當(dāng)時(shí)，.綜上得的取值范圍為.

七、分類討論7.已知函數(shù)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的定義域（Ⅱ）確定函數(shù)f(x)在定義域上的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論.（Ⅲ）若x>0時(shí)恒成立，求正整數(shù)k的最大值.解：（1）定義域（2）單調(diào)遞減。當(dāng)，令，故在（－1，0）上是減函數(shù)，即，故此時(shí)在（－1，0）和（0，+）上都是減函數(shù)（3）當(dāng)x>0時(shí)，恒成立，令又k為正整數(shù)，∴k的最大值不大于3下面證明當(dāng)k=3時(shí)，恒成立當(dāng)x>0時(shí)恒成立令，則，，當(dāng)∴當(dāng)取得最小值當(dāng)x>0時(shí)，恒成立，因此正整數(shù)k的最大值為3

八、分離參數(shù)+設(shè)而不求8.已知函數(shù)，.若存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意的，不等式恒成立．求正整數(shù)的最大值．解：不等式，即，即.轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使對(duì)任意，不等式恒成立,即不等式對(duì)任意上恒成立。即不等式在上恒成立。設(shè)，則。設(shè)，則，因?yàn)?，有。故在區(qū)間上是減函數(shù)。又故存在，使得。當(dāng)時(shí)，有，當(dāng)時(shí)，有。從而在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減。又所以當(dāng)時(shí)，恒有；當(dāng)時(shí)，恒有；故使命題成立的正整數(shù)的最大值為5.

九、設(shè)而不求+兩邊取對(duì)9.已知函數(shù)（Ⅰ）試判斷函數(shù)上單調(diào)性并證明你的結(jié)論；（Ⅱ）若恒成立，求整數(shù)k的最大值；（Ⅲ）求證：(1+1×2)(1+2×3)…[1+n(n+1)]>e2n－3.解：（I）上遞減.（II）