空間向量與向量運(yùn)算練習(xí) 高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

3.2空間向量與向量運(yùn)算練習(xí)一、單選題1．給出下列命題：①零向量的方向是任意的；②若兩個空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；③若空間向量，滿足，則；④空間中任意兩個單位向量必相等．其中正確命題的個數(shù)為（

）．A． B． C． D．2．如圖，在底面為正方形的平行六面體的棱中，與向量模相等的向量有（

）

A．個 B．個 C．個 D．個3．給出下列命題：①將空間中所有的單位向量平移到同一個點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個圓；②在正方體中，必有；③若空間向量滿足，則；④空間中任意兩個單位向量必相等；其中假命題的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．44．下列說法正確的是（

）A．零向量沒有方向B．在空間中，單位向量唯一C．若兩個向量不相等，則它們的長度不相等D．若空間中的四點(diǎn)不共面，則是空間的一組基底5．下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是（

）A．單位向量都相等B．若，則，的長度相等而方向相同或相反C．若向量，滿足，則D．相等向量其方向必相同6．如圖，三棱錐中，，，，點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)N滿足，則（

）A． B．C． D．7．已知空間向量，，滿足，，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．8．如圖，在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）A． B．C． D．二、多選題9．已知，，是平面上的三個非零向量，那么下列說法正確的是（

）A．若，則或B．若，則C．若，則與的夾角為D．在正方體中，10．下列關(guān)于空間向量的命題中，不正確的是（

）A．長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量B．平行且模相等的兩個向量是相等向量C．若，則D．兩個向量相等，則它們的起點(diǎn)與終點(diǎn)相同11．已知，.若，則與的值可以是（

）A． B． C． D．三、填空題12．如果兩個向量和，那么它們互為負(fù)向量，記作．13．正四面體棱長為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)，，則的最小值為.14．正方體的棱長為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動點(diǎn)，則的取值范圍是.四、解答題15．如圖所示，以長方體的八個頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，(1)試寫出與模長相等的所有向量；(2)若，求向量的模．16．在正四棱臺中，.(1)若，四棱臺的體積為，求該四棱臺的高；(2)若，求的值.參考答案1．D【分析】根據(jù)零向量的定義判斷①，根據(jù)相等向量的定義判斷②③，根據(jù)單位向量定義判斷④.【詳解】零向量是大小為的向量，零向量的方向是任意的，命題①正確；方向相同，大小相等的空間向量相等，它們的起點(diǎn)不一定相同，終點(diǎn)也不一定相同，命題②錯誤；若空間向量，滿足，但由于它們的方向不一定相同，故不一定相等，③錯誤；空間中任意兩個單位向量由于它們的方向不一定相同，故它們不一定相等，④錯誤；所以正確的命題只有個；故選：D.2．C【分析】根據(jù)模的定義，以及平行六面體的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由向量的模的定義，根據(jù)平行六面體的性質(zhì)可知，與向量模相等的向量分別為：，共7個.故選：C．3．B【分析】根據(jù)空間向量的定義，逐個命題進(jìn)行判斷即可.【詳解】對于①，根據(jù)空間向量的定義，空間中所有的單位向量平移到同一個點(diǎn)為起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個球面，故①為假命題；對于②，根據(jù)正方體的定義，上下底面的對角線必定相等，結(jié)合向量的方向，所以，故②為真命題；對于③，根據(jù)向量相等的定義，明顯成立，故③為真命題；對于④，向量相等即模相等和方向相同，故空間中任意兩個單位向量必相等是假命題，故④為假命題.故選：B4．D【分析】根據(jù)零向量、單位向量、相等向量、共面向量的概念及性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得結(jié)論.【詳解】對于A，零向量有方向，方向是任意的，故A錯誤；對于B，在空間中，單位向量模長為1但方向有無數(shù)種，故單位向量不唯一，故B錯誤；對于C，若兩個向量不相等，則它們的方向不同或長度不相等，故C錯誤；對于D，若空間中的四點(diǎn)不共面，則向量不共面，故是空間的一組基底，故D正確.故選：D.5．D【分析】根據(jù)向量的相關(guān)概念及向量的性質(zhì)，即可判斷各項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A，單位向量長度相等，方向不確定，故A錯誤；對于B，只能說明，的長度相等而方向不確定，故B錯誤；對于C，向量作為矢量不能比較大小，故C錯誤；對于D，相等向量方向相同大小相等，故D正確.故選：D.6．C【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.【詳解】.故選：C.7．D【分析】由得，然后兩邊平方，結(jié)合向量數(shù)量積的運(yùn)算求向量的夾角.【詳解】設(shè)與的夾角為，由，得，兩邊同時平方得，所以1，解得，又，所以.故選：D8．A【分析】利用向量運(yùn)算的三角形法則、平行四邊形法則表示出即可.【詳解】=故選：A.9．BD【分析】根據(jù)向量的定義結(jié)合向量模的含義可判斷A；根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律判斷B；根據(jù)向量的夾角公式可判斷C；根據(jù)正方體的性質(zhì)可判斷D?！驹斀狻繉τ贏，若，但，的方向不確定，A錯誤；對于B，若，兩邊平方得，則，B正確；對于C，，則，即得，故，，故，而，故與的夾角為，C錯誤；對于D，在正方體中，，故四邊形為平行四邊形，故，故，D正確，故選：BD10．BCD【分析】根據(jù)相等向量的有關(guān)概念判斷．【詳解】對于選項(xiàng)A：由相等向量的定義知A正確；對于選項(xiàng)B：平行且模相等的兩個向量也可能是相反向量，B錯；對于選項(xiàng)C：若兩個向量不相等，但模長仍可能相等，例如不共線的單位向量，C錯；對于選項(xiàng)D：相等向量只要求長度相等、方向相同，而表示兩個向量的有向線段的起點(diǎn)不要求相同，D錯，故選：BCD．11．AB【分析】依題意利用空間向量平行的坐標(biāo)表示，解方程即可得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，有且，得，解得，；即可得，解得或；因此與的值可以是或.故選：AB12．模相等而方向相反【分析】略【詳解】略13．【分析】由題意計(jì)算可得，再由，推出，，，再由向量的數(shù)量積的計(jì)算公式得到，結(jié)合基本不等式，即可求解結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎拿骟w的棱長為，所以，同理可得，，又因?yàn)橐詾榍蛐那野霃綖?的球面上有兩點(diǎn)，，所以，由，則因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)取等號，此時，所以，故的最小值為.故答案為：.14．【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可知，，進(jìn)一步只需求出即可得解．【詳解】由題意等于正方體的體對角線長，設(shè)點(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，則，當(dāng)點(diǎn)與某個側(cè)面的中心重合時，最小，且，當(dāng)點(diǎn)與正方體的頂點(diǎn)重合時，最大，且，由于點(diǎn)是在正方體表面連續(xù)運(yùn)動，所以的取值范圍是，的取值范圍是．故答案為：15．(1)(2)3【分析】（1）根據(jù)向量模長相等判斷求解；（2）應(yīng)用立體圖形結(jié)合定義求出模長.【詳解】（1）在長方體中，與相等的所有向量（除本