2019高三數(shù)學(xué)理北師大版一輪教師用書(shū)第10章第8節(jié)　二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

第八節(jié)二項(xiàng)分布與正態(tài)分布[考綱](教師用書(shū)獨(dú)具)1.了解條件概率的概念，了解兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念.2.理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單問(wèn)題.3.借助直觀直方圖認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線所表示的意義．(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第185頁(yè))[基礎(chǔ)知識(shí)填充]1．條件概率在已知B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率叫作B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，用符號(hào)P(A|B)來(lái)表示，其公式為P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))(P(B)＞0)．2．相互獨(dú)立事件(1)一般地，對(duì)兩個(gè)事件A，B，如果P(AB)＝P(A)P(B)，則稱A，B相互獨(dú)立．(2)如果A，B相互獨(dú)立，則A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨(dú)立．(3)如果A1，A2，…，An相互獨(dú)立，則有P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．3．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布(1)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，其中Ai(i＝1,2，…，n)是第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．(2)二項(xiàng)分布進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果滿足以下條件：①每次試驗(yàn)只有兩個(gè)相互對(duì)立的結(jié)果，可以分別稱為“成功”和“失敗”；②每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1－p；③各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的．用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)若一個(gè)隨機(jī)變量X的分布列如上所述，稱X服從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布，簡(jiǎn)記為X～B(n，p)．4．正態(tài)分布(1)正態(tài)曲線的特點(diǎn)：①曲線位于x軸上方，與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定，σ越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中；σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝68.3%；②P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝95.4%；③P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝99.7%.[基本能力自測(cè)]1．(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤．(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)相互獨(dú)立事件就是互斥事件．()(2)若事件A，B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)．()(3)P(AB)表示事件A，B同時(shí)發(fā)生的概率，一定有P(AB)＝P(A)·P(B)．()(4)在正態(tài)分布的分布密度上，函數(shù)：f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))eeq\s\up12(\f(－(x－μ)2,2σ2))中，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差．()(5)二項(xiàng)分布是一個(gè)用公式P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n表示的概率分布列，它表示了n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)的概率分布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√(5)√2．已知P(B|A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(3,8)，則P(A)等于()A．eq\f(3,16) B．eq\f(13,16)C．eq\f(3,4) D．eq\f(1,4)C[由P(AB)＝P(A)P(B|A)，得eq\f(3,8)＝eq\f(1,2)P(A)，所以P(A)＝eq\f(3,4).]3．(教材改編)小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是eq\f(1,3)，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次獲得通過(guò)的概率是()A．eq\f(4,9)B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,27)D．eq\f(2,27)A[所求概率P＝Ceq\o\al(1,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(3－1)＝eq\f(4,9).]4．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()A．0.648B．0.432C．0.36D．0.312A[3次投籃投中2次的概率為P(k＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率為P(k＝3)＝0.63，所以通過(guò)測(cè)試的概率為P(k＝2)＋P(k＝3)＝Ceq\o\al(2,3)×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故選A．]5．已知隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(ξ＜4)＝0.8，則P(0＜ξ＜4)＝________.0.6[由P(ξ＜4)＝0.8，得P(ξ≥4)＝0.2.又正態(tài)曲線關(guān)于x＝2對(duì)稱．則P(ξ≤0)＝P(ξ≥4)＝0.2，所以P(0＜ξ＜4)＝1－P(ξ≤0)－P(ξ≥4)＝0.6.](對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)第186頁(yè))條件概率(1)(2018·西寧檢測(cè)(一))盒中裝有10個(gè)乒乓球，其中6個(gè)新球，4個(gè)舊球，不放回地依次摸出2個(gè)球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也摸出新球的概率為()A．eq\f(3,5) B．eq\f(5,9)C．eq\f(2,5) D．eq\f(1,10)(2)(2018·東北三省三校二模)甲、乙兩人從1,2,3，…，10中各任取一數(shù)(不重復(fù))，已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，則甲數(shù)大于乙數(shù)的概率為_(kāi)_______．(1)B(2)eq\f(13,18)[(1)“第一次摸出新球”記為事件A，則P(A)＝eq\f(3,5)，“第二次摸出新球”記為事件B，則P(AB)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，所以P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,3),\f(3,5))＝eq\f(5,9)，故選B．(2)由于已知甲取到的數(shù)是5的倍數(shù)，那么所有的取數(shù)的基本事件有(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，(10,1)，(10,2)，(10,3)，(10,4)，(10,5)，(10,6)，(10,7)，(10,8)，(10,9)，共18種，而滿足甲數(shù)大于乙數(shù)的基本事件有13種，故所求的概率為P＝eq\f(13,18).][規(guī)律方法]條件概率的兩種求法1定義法：先求PA和PAB，再由PB|A＝eq\f(P(AB),P(A))求PB|A.2基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)nA，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)nAB，得PB|A＝eq\f(n(AB),n(A)).3PAB的求法：AB即事件的交，即同時(shí)發(fā)生，法一、A與B相互獨(dú)立，用概率乘法公式.法二、A與B有公共基本事件時(shí)用古典概型.[跟蹤訓(xùn)練](2017·河北“五個(gè)一名校聯(lián)盟”二模)某個(gè)電路開(kāi)關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：79140372】A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,2)C[設(shè)“開(kāi)關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).故選C．]相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率(2018·重慶調(diào)研(二))甲、乙、丙三人各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲加工的零件是一等品且乙加工的零件不是一等品的概率為eq\f(1,2)，乙加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率為eq\f(1,12)，甲加工的零件是一等品且丙加工的零件也是一等品的概率為eq\f(2,9)，記A，B，C分別為甲、乙、丙三人各自加工的零件是一等品的事件．(1)分別求出事件A，B，C的概率P(A)，P(B)，P(C)；(2)從甲、乙、丙三人加工的零件中隨機(jī)各取1個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn)，記這3個(gè)零件是一等品的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列．[解](1)由題設(shè)條件有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P(A\x\to(B))＝\f(1,2)，,P(BC)＝\f(1,12)，,P(AC)＝\f(2,9)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(P(A)·(1－P(B))＝\f(1,2)，,P(B)·P(C)＝\f(1,12)，,P(A)·P(C)＝\f(2,9).))解得P(A)＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(1,4)，P(C)＝eq\f(1,3).(2)由(1)知P(eq\x\to(A))＝eq\f(1,3)，P(eq\x\to(B))＝eq\f(3,4)，P(eq\x\to(C))＝eq\f(2,3)，ξ的可能取值為0,1,2,3.∴P(ξ＝0)＝P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)eq\x\to(C))＝eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＝eq\f(1,6)，P(ξ＝1)＝P(Aeq\x\to(B)eq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)Beq\x\to(C))＋P(eq\x\to(A)eq\x\to(B)C)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(17,36)，P(ξ＝2)＝P(ABeq\x\to(C))＋P(Aeq\x\to(B)C)＋P(eq\x\to(A)BC)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(11,36)，P(ξ＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(1,3)＝eq\f(1,18).∴ξ的分布列為ξ0123Peq\f(1,6)eq\f(17,36)eq\f(11,36)eq\f(1,18)[規(guī)律方法]求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法1首先判斷幾個(gè)事件的發(fā)生是否相互獨(dú)立.2求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的方法主要有：①利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式直接求解；②正面計(jì)算較繁或難以入手時(shí)，可從其對(duì)立事件入手計(jì)算.3理解A＝eq\x\to(A)1eq\x\to(A)2A3＋A1eq\x\to(A)2eq\x\to(A)3＋eq\x\to(A)1A2eq\x\to(A)3的含義.[跟蹤訓(xùn)練](2017·南寧質(zhì)檢)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬(wàn)元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬(wàn)元．求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列．[解]記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}．由題設(shè)知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(E))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\x\to(F))＝eq\f(2,5)，且事件E與F，E與eq\x\to(F)，eq\x\to(E)與F，eq\x\to(E)與eq\x\to(F)都相互獨(dú)立．(1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則eq\o(H,\s\up7(－))＝eq\o(E,\s\up7(－))eq\o(F,\s\up7(－))，于是P(eq\o(H,\s\up7(－)))＝P(eq\o(E,\s\up7(－)))P(eq\o(F,\s\up7(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15).故所求的概率為P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up7(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬(wàn)元，則X的可能取值為0,100,120,220.因?yàn)镻(X＝0)＝P(eq\o(E,\s\up7(－))eq\o(F,\s\up7(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up7(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up7(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(2,5).故所求X的分布列為X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(1,5)eq\f(4,15)eq\f(2,5)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤(pán)游戲都需要擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂(lè)，要么不出現(xiàn)音樂(lè)；每盤(pán)游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂(lè)獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂(lè)獲得20分，出現(xiàn)三次音樂(lè)獲得100分，沒(méi)有出現(xiàn)音樂(lè)則扣除200分(即獲得－200分)．設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)的概率為eq\f(1,2)；且各次擊鼓出現(xiàn)音樂(lè)相互獨(dú)立．(1)設(shè)每盤(pán)游戲獲得的分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列；(2)玩三盤(pán)游戲，至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率是多少？[解](1)X的可能取值有－200,10,20,100.根據(jù)題意，有P(X＝－200)＝Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(0)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,8)，P(X＝10)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3,8)，P(X＝20)＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(1)＝eq\f(3,8)，P(X＝100)＝Ceq\o\al(3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))eq\s\up12(0)＝eq\f(1,8).所以X的分布列為X－2001020100Peq\f(1,8)eq\f(3,8)eq\f(3,8)eq\f(1,8)(2)由(1)知：每盤(pán)游戲出現(xiàn)音樂(lè)的概率是P＝eq\f(3,8)＋eq\f(3,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,8).則玩三盤(pán)游戲，至少有一盤(pán)出現(xiàn)音樂(lè)的概率是P1＝1－Ceq\o\al(0,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))eq\s\up12(0)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(7,8)))eq\s\up12(3)＝eq\f(511,512).[規(guī)律方法]1.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)質(zhì)及應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的實(shí)質(zhì)是相互獨(dú)立事件的特例，應(yīng)用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程.2.判斷某概率模型是否服從二項(xiàng)分布PnX＝k＝Ceq\o\al(k,n)pk1－pn－k的三個(gè)條件1在一次試驗(yàn)中某事件A發(fā)生的概率是同一個(gè)常數(shù)p.2n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且每次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的.3該公式表示n次試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生了k次的概率.[跟蹤訓(xùn)練]在一次數(shù)學(xué)考試中，第22題和第23題為選做題．規(guī)定每位考生必須且只需在其中選做一題．設(shè)4名學(xué)生選做每一道題的概率均為eq\f(1,2).(1)求其中甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的概率；(2)設(shè)這4名學(xué)生中選做第23題的學(xué)生個(gè)數(shù)為ξ，求ξ的分布列．[解](1)設(shè)事件A表示“甲選做第22題”，事件B表示“乙選做第22題”，則甲、乙兩名學(xué)生選做同一道題的事件為“AB＋eq\x\to(A)eq\x\to(B)”，且事件A、B相互獨(dú)立．故P(AB＋eq\x\to(A)eq\x\to(B))＝P(A)P(B)＋P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))＝eq\f(1,2).(2)隨機(jī)變量ξ的可能取值為0,1,2,3,4，且ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(1,2)))，則P(ξ＝k)＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(k)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))4－k＝Ceq\o\al(k,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)(k＝0,1,2,3,4)．故ξ的分布列為ξ01234Peq\f(1,16)eq\f(1,4)eq\f(3,8)eq\f(1,4)eq\f(1,16)正態(tài)分布(1)(2018·東北三省三校二模)已知隨機(jī)變量X～N(0，σ2)，若P(|X|<2)