福建省福州市八縣（市區(qū)）協(xié)作校2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題

福建省福州市八縣（市、區(qū)）協(xié)作校20232024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題【完卷時(shí)間:120分鐘;滿分:150分】命題:福清融城中學(xué)林世平何思斌一、單選題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.設(shè)，其中為虛數(shù)單位，則（）A. B. C.1 D.5【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等求解即得.【詳解】由，得，而，因此，所以.故選：A2.已知向量不共線，則向量與共線時(shí)，實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量定理，列式計(jì)算即得.【詳解】由向量不共線，得向量，由向量與共線，得，于是，所以.故選：B3.若向量，與的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)數(shù)量積為負(fù)以及共線情況，即可求解.【詳解】當(dāng)與共線時(shí)，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)與方向相反，當(dāng)與的夾角為鈍角時(shí)，則需且與不反向，所以且，解得，故選：A4.在中，角所對(duì)的邊分別為，若，則的形狀為（）A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理邊化角以及三角公式變形整理即可.【詳解】由得，即，即，所以，在中，，所以，，即的形狀為直角三角形.故選：B.5.在平行四邊形中，點(diǎn)在對(duì)角線上，點(diǎn)在邊上，，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】運(yùn)用向量的分解和加減運(yùn)算即可得出結(jié)果.【詳解】解析：．故選：C．6.已知復(fù)數(shù)滿足，則最小值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)模的幾何意義求解即得.【詳解】是復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，是上述圓上的點(diǎn)到復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離，而，所以的最小值是.故選：A7.已知向量，則以下說法正確的是（）A. B.方向上的單位向量為C.向量在向量上的投影向量為 D.若，則【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A：求出坐標(biāo)即可得模；對(duì)于B：通過求單位向量；對(duì)于C：通過投影向量的公式計(jì)算；對(duì)于D：通過計(jì)算是否成立來判斷.【詳解】對(duì)于A：，所以，A錯(cuò)誤；對(duì)于B：方向上的單位向量為，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，則向量在向量上的投影向量為，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，所以，D正確.故選：D.8.已知在中，角所對(duì)邊分別為a，b，c，若，，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理結(jié)合已知，化簡，再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求解即得.【詳解】在中，由，得，則，，由余弦定理得，因此，依題意，，則，所以的取值范圍是.故選：B二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分分)9.設(shè)復(fù)數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)、模的意義逐項(xiàng)計(jì)算判斷即得.【詳解】對(duì)于A，，則，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，而，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，則，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，D正確.故選：AD10.定義:已知兩個(gè)非零向量的夾角為，把兩個(gè)向量的叉乘記作:，則以下說法正確的是（）A.若，則 B.C.若四邊形ABCD為平行四邊形，則它的面積等于 D.若，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)給定兩個(gè)向量的叉乘定義，逐項(xiàng)計(jì)算判斷得解.詳解】對(duì)于A，由，得，而，因此，又，則或，所以，A正確；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，的面積，C正確；對(duì)于D，由，得，由，得，兩式平方相加得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：ACD11.如圖，是邊長為的正三角形，是以為圓心，半徑為1的圓上任意一點(diǎn)，則的取值可能是（）A.0 B.1 C.6 D.13【答案】BCD【解析】【分析】取中點(diǎn)，利用數(shù)量積的運(yùn)算律，結(jié)合定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離范圍求出的范圍即可.【詳解】在正中，取中點(diǎn)，連接，，則，由是以為圓心，半徑為1的圓上任意一點(diǎn)，得，所以，的取值可能是1，6，13，BCD正確，A錯(cuò)誤.故選：BCD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分)12.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值是__________．【答案】【解析】【分析】先利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再根據(jù)實(shí)部為零，虛部不為零列式計(jì)算.【詳解】，由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)得，所以.故答案為：.13.一艘游船從海島出發(fā)，沿南偏東的方向航行8海里后到達(dá)海島，然后再從海島出發(fā)，沿北偏東的方向航行16海里后到達(dá)海島，若游船從海島出發(fā)沿直線到達(dá)海島，速度為8海里/時(shí)，則需要的航行時(shí)間為__________小時(shí)．【答案】【解析】【分析】先利用余弦定理求出，再用距離除以速度等于時(shí)間來計(jì)算.【詳解】在中，，海里，海里，所以，所以海里，又游船速度為8海里/時(shí)，則需要的航行時(shí)間為小時(shí).故答案為：.14.平面向量滿足，對(duì)任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則的最小值為__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)給定的不等式，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律求出，再利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求出最小值.【詳解】由，得，整理得，依題意，，不等式恒成立，則，因此，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：四、解答題(本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)15.已知復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且滿足(為的共軛復(fù)數(shù))．（1）求實(shí)數(shù)的值;（2）若復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程，且的一個(gè)復(fù)數(shù)根，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，可得，再由共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)乘法計(jì)算得解.（2）利用方程根的意義，結(jié)合復(fù)數(shù)乘方運(yùn)算、復(fù)數(shù)相等求解即得.【小問1詳解】依題意，點(diǎn)在第四象限，即，由，得，即，所以.【小問2詳解】由（1）知，，由復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的根，得，整理得，而，因此，解得，所以.16.在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知．（1）求的值；（2）若，求的面積．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【小問1詳解】由于，，則．因?yàn)椋烧叶ɡ碇?，則．【小問2詳解】因?yàn)椋捎嘞叶ɡ?，得，即，解得，而，，所以的面積．17.已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，面積為S，且______________．在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的問題中，并根據(jù)這個(gè)條件解決下面的問題．（1）求A；（2）若，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求線段AD長的取值范圍．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①可利用正弦定理邊化角再結(jié)合三角形內(nèi)角和及兩角和差公式即可求得，或者利用余弦定理將角化邊即可求得A.（2）由點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，可用向量利用平行四邊形法則及余弦定理，將線段AD長轉(zhuǎn)化成含有的函數(shù)，再由取值范圍，求得函數(shù)的值域，即可求得線段AD長的取值范圍.【小問1詳解】若選①，方法一因?yàn)椋杂烧叶ɡ砜傻?，又，，即，又因?yàn)镃為三角形內(nèi)角，，所以，又因?yàn)?，所以．方法二因?yàn)椋杂捎嘞叶ɡ砜傻?，即，，又因?yàn)?，所以．若選②，因?yàn)?，所以，整理可得：，解得：或，又因?yàn)?，可得，所以，所以．若選③，因?yàn)?，所以，可得，即．又因?yàn)椋裕拘?詳解】法一：因?yàn)?，所以，．因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，所以，所以當(dāng)時(shí)，，即，又，即故線段AD長的取值范圍為．法二：因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，所以，所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，由可知：，即故線段AD長取值范圍為．法三：因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以，即，整理得，將，代入整理得：，所以?dāng)時(shí)，，即，又，即故線段AD長的取值范圍為．18.已知點(diǎn)G為三條中線交點(diǎn)．（1）求證:（2）若點(diǎn)為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)G重合)，求證:（3）過G作直線與AB，AC兩條邊分別交于點(diǎn)M，N，設(shè)，，求的最小值．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量線性運(yùn)算及共線向量定理的推論推理即得.（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合向量的減法法則推理即得.（3）由（1）的信息，結(jié)合共線向量定理的推論求得，再利用基本不等式“1”的妙用求解即得.【小問1詳解】令分別為的邊上的中線，則，由點(diǎn)在上，得，顯然，則，即，又點(diǎn)共線，于是，解得，則，因此，所以.【小問2詳解】由（1）知，，而點(diǎn)為所在平面內(nèi)任意一點(diǎn)(不與點(diǎn)G重合)，因此，即，所以.小問3詳解】由（1）知，，而，，因此，又點(diǎn)共線，則，即，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.19.如圖，在中，，點(diǎn)在線段上（異于兩點(diǎn)），延長到，使得，設(shè)（1）若，求的值；（2）求的取值范圍.【答案】（1）3（2）【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理可求得，根據(jù)題意可知，在根據(jù)向量的加減運(yùn)算求出，從而得出的值，然后求解即可.（2）設(shè)，由題意得，設(shè)，即可得點(diǎn)三點(diǎn)共線，因?yàn)辄c(diǎn)是直角斜邊上異于的點(diǎn)，所以當(dāng)