2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.2第1課時等差數(shù)列的概念和通項公式課時跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修5

PAGE等差數(shù)列的概念和通項公式[A組學(xué)業(yè)達標(biāo)]1．若a≠b，則等差數(shù)列a，x1，x2，b的公差是()A．b－a B.eq\f(b－a,2)C.eq\f(b－a,3) D.eq\f(b－a,4)解析：由等差數(shù)列的通項公式，得b＝a＋(4－1)d，所以d＝eq\f(b－a,3).答案：C2．已知等差數(shù)列{an}中，a3＋a8＝22，a6＝7，則a5等于()A．15B．22C．7D．29解析：設(shè){an}的首項為a1，公差為d，依據(jù)題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a8＝a1＋2d＋a1＋7d＝22，,a6＝a1＋5d＝7，))解得a1＝47，d＝－8.所以a5＝47＋(5－1)×(－8)＝15.答案：A3．等差數(shù)列{an}滿意a1＝39，a1＋a3＝74，則通項公式an＝()A．－2n＋41 B．－2n＋39C．－n2＋40n D．－n2－40n解析：因為等差數(shù)列{an}滿意a1＝39，a1＋a3＝74，所以39＋39＋2d＝74，解得d＝－2.所以通項公式an＝39＋(n－1)×(－2)＝－2n＋41.答案：A4．在等差數(shù)列{an}中，a1＋3a8＋a15＝60，則2a9－aA．6 B．8C．12 D．13解析：在等差數(shù)列{an}中，因為a1＋3a8＋a15＝60，所以a1＋3(a1＋7d)＋a1＋14d＝5(a1＋7d)＝60，所以a1＋7d＝12，2a9－a10＝2(a1＋8d)－(a1＋9d)＝a1＋7d答案：C5．在△ABC中，B是A和C的等差中項，則cosB＝________.解析：∵B是A和C的等差中項，∴2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝eq\f(π,3)，cosB＝eq\f(1,2).答案：eq\f(1,2)6．在等差數(shù)列{an}中，a1＝3，d＝2，an＝25，則n＝________.解析：an＝25＝3＋2(n－1)，解得n＝12.答案：127．在等差數(shù)列{an}中，若a2＋a4＋a9＝12，則a3＋a7＝________.解析：在等差數(shù)列{an}中，a2＋a4＋a9＝12，所以a2＋a4＋a9＝3a1＋12d＝3(a1＋4d)＝3a5＝12，解得a5＝4，則a3＋a7＝2a5＝8.答案：88．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝112，a2＝116，這個數(shù)列在450到600之間共有多少項？解析：由題意，得d＝a2－a1＝116－112＝4，所以an＝a1＋(n－1)d＝112＋4(n－1)＝4n＋108.令450≤an≤600，解得85.5≤n≤123.又因為n為正整數(shù)，所以共有38項．9．已知a，b，c成等差數(shù)列，試推斷a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)是否成等差數(shù)列．證明：∵a，b，c成等差數(shù)列，∴a＋c＝2b，∴b2(c＋a)＝2b3.而a2(b＋c)＋c2(a＋b)＝a2b＋a2c＋c2a＋c2b＝b(a2＋c2)＋ac(a＋c)＝b[(a＋c)2－2ac]＋2abc＝b(a＋c)2＝4b3，故2b2(c＋a)＝a2(b＋c)＋c2(a＋b)，∴a2(b＋c)，b2(c＋a)，c2(a＋b)成等差數(shù)列．[B組實力提升]10．一個等差數(shù)列的前4項是a，x，b,2x，則eq\f(a,b)等于()A.eq\f(1,4) B．eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＝a＋b，,2b＝x＋2x，))所以a＝eq\f(x,2)，b＝eq\f(3,2)x.所以eq\f(a,b)＝eq\f(1,3).答案：C11．設(shè)集合A1＝{a1}，A2＝{a2，a3}，A3＝{a4，a5，a6}，A4＝{a7，a8，a9，a10}，…，其中{an}為公差大于0的等差數(shù)列，若A2＝{3,5}，則199屬于()A．A12 B．A13C．A14 D．A15解析：因為{an}為公差大于0的等差數(shù)列，A2＝{a2，a3}＝{3,5}，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝3，,a3＝a1＋2d＝5，))解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，由an＝2n－1＝199，解得n＝100，因為1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝91，1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＋14＝105，所以199∈A14.答案：C12．若關(guān)于x的方程x2－x＋m＝0和x2－x＋n＝0(m，n∈R，且m≠n)的四個根組成首項為eq\f(1,4)的等差數(shù)列，則m＋n的值為________．解析：設(shè)x2－x＋m＝0，x2－x＋n＝0的根分別為x1，x2，x3，x4，則x1＋x2＝x3＋x4＝1(且1－4m＞0,1－4n＞0)．設(shè)數(shù)列的首項為x1，則數(shù)列的第4項為x2.由題意知x1＝eq\f(1,4).∴x2＝eq\f(3,4)，數(shù)列的公差d＝eq\f(\f(3,4)－\f(1,4),4－1)＝eq\f(1,6)，∴數(shù)列的中間兩項分別為eq\f(1,4)＋eq\f(1,6)＝eq\f(5,12)，eq\f(5,12)＋eq\f(1,6)＝eq\f(7,12).∴m＝x1x2＝eq\f(3,16)，n＝x3x4＝eq\f(5,12)×eq\f(7,12)＝eq\f(35,144).∴m＋n＝eq\f(3,16)＋eq\f(35,144)＝eq\f(31,72).答案：eq\f(31,72)13．下表是一個有i行j列的表格．已知每行、每列都成等差數(shù)列，47a1,3…a1，j712a2,3…a2，ja3,1a3,2a3,3…a3，j……………ai,1ai,2ai,3…ai，j其中ai，j表示表格中第i行第j列的數(shù)，則a4,5＝________，ai，j＝________.解析：依據(jù)表格中每行、每列都是等差數(shù)列，該表格的第一行是首項為4，公差為3的等差數(shù)列：a1，j＝4＋3(j－1)，其次行是首項為7，公差為5的等差數(shù)列：a2，j＝7＋5(j－1)，第i行是首項為4＋3(i－1)，公差為2i＋1的等差數(shù)列，因此ai，j＝4＋3(i－1)＋(2i＋1)(j－1)＝2ij＋i＋j.可得a4,5＝2×4×5＋4＋5＝49.答案：492ij＋i＋j14．已知數(shù)列{an}滿意a1＝eq\f(1,5)，且當(dāng)n＞1，n∈N*時，有an－1－an－4an－1an＝0.(1)求證：數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))為等差數(shù)列；(2)試問a1a2是否是數(shù)列{an解析：(1)證明：很明顯，數(shù)列中的各項均不為0，當(dāng)n≥2時，an－1－an－4an－1an＝0，兩邊同除以an－1an，得eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝4，即eq\f(1,an)－eq\f(1,an－1)＝4對n＞1，n∈N*成立，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(1,a1)＝5為首項，4為公差的等差數(shù)列．(2)由(1)得eq\f(1,a