2024-2025學年新教材高中數(shù)學第10章概率10.1.2事件的關(guān)系和運算學案含解析新人教A版必修第二冊

PAGE10.學習目標核心素養(yǎng)1.了解隨機事務(wù)的并、交與互斥的含義．(重點)2．能結(jié)合實例進行隨機事務(wù)的并、交運算．(重點、難點)1.通過對隨機事務(wù)的并、交與互斥的含義的學習，培育數(shù)學抽象素養(yǎng)．2．通過隨機事務(wù)的并、交運算，培育數(shù)學運算素養(yǎng).在擲骰子試驗中，定義如下事務(wù)：C1＝{出現(xiàn)1點}；C2＝{出現(xiàn)2點}；C3＝{出現(xiàn)3點}；C4＝{出現(xiàn)4點}；C5＝{出現(xiàn)5點}；C6＝{出現(xiàn)6點}；D1＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于1}；D2＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于3}；D3＝{出現(xiàn)的點數(shù)不大于5}；E＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于5}，F(xiàn)＝{出現(xiàn)的點數(shù)大于4}，G＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù))，H＝{出現(xiàn)的點數(shù)為奇數(shù)}．問題：在上述事務(wù)中，(1)事務(wù)C1與事務(wù)C2的并事務(wù)是什么？(2)事務(wù)D2與事務(wù)G及事務(wù)C2間有什么關(guān)系？(3)事務(wù)C1與事務(wù)C2間有什么關(guān)系？(4)事務(wù)E與事務(wù)F間有什么關(guān)系？1．包含關(guān)系定義一般地，若事務(wù)A發(fā)生，則事務(wù)B肯定發(fā)生，我們就稱事務(wù)B包含事務(wù)A(或事務(wù)A包含于事務(wù)B)含義A發(fā)生導致B發(fā)生符號表示B?A(或A?B)圖形表示特別情形假如事務(wù)B包含事務(wù)A，事務(wù)A也包含事務(wù)B，即B?A且A?B，則稱事務(wù)A與事務(wù)B相等，記作A＝B2.并事務(wù)(和事務(wù))定義一般地，事務(wù)A與事務(wù)B至少有一個發(fā)生，這樣的一個事務(wù)中的樣本點或者在事務(wù)A中，或者在事務(wù)B中，我們稱這個事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))含義A與B至少一個發(fā)生符號表示A∪B(或A＋B)圖形表示3.交事務(wù)(積事務(wù))定義一般地，事務(wù)A與事務(wù)B同時發(fā)生，這樣的一個事務(wù)中的樣本點既在事務(wù)A中，也在事務(wù)B中，我們稱這樣的一個事務(wù)為事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))含義A與B同時發(fā)生符號表示A∩B(或AB)圖形表示4.互斥(互不相容)定義一般地，假如事務(wù)A與事務(wù)B不能同時發(fā)生，也就是說A∩B是一個不行能事務(wù)，即A∩B＝?，則稱事務(wù)A與事務(wù)B互斥(或互不相容)含義A與B不能同時發(fā)生符號表示A∩B＝?圖形表示5.互為對立定義一般地，假如事務(wù)A與事務(wù)B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝?，那么稱事務(wù)A與事務(wù)B互為對立．事務(wù)A的對立事務(wù)記為eq\o(A,\s\up7(－))含義A與B有且僅有一個發(fā)生符號表示A∩B＝?，A∪B＝Ω圖形表示思索1：一粒骰子擲一次，記事務(wù)A＝{出現(xiàn)的點數(shù)為2}，事務(wù)C＝{出現(xiàn)的點數(shù)為偶數(shù)}，事務(wù)D＝{出現(xiàn)的點數(shù)小于3}，則事務(wù)A，C，D有什么關(guān)系？[提示]A＝C∩D．思索2：命題“事務(wù)A與B為互斥事務(wù)”與命題“事務(wù)A與B為對立事務(wù)”什么關(guān)系？(指充分性與必要性)[提示]依據(jù)互斥事務(wù)和對立事務(wù)的概念可知，“事務(wù)A與B為互斥事務(wù)”是“事務(wù)A與B為對立事務(wù)”的必要不充分條件．1．思索辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若兩個事務(wù)是互斥事務(wù)，則這兩個事務(wù)是對立事務(wù)． ()(2)若事務(wù)A和B是互斥事務(wù)，則A∩B是不行能事務(wù)． ()(3)事務(wù)A∪B是必定事務(wù)，則事務(wù)A和B是對立事務(wù)． ()[提示](1)錯誤．對立事務(wù)是互斥事務(wù)，但互斥事務(wù)不肯定是對立事務(wù)．(2)正確．因為事務(wù)A和B是互斥事務(wù)，所以A∩B為空集，所以A∩B是不行能事務(wù)．(3)錯誤．反例：拋擲一枚骰子，事務(wù)A為：向上的點數(shù)小于5，事務(wù)B為：向上的點數(shù)大于2，則事務(wù)A∪B是必定事務(wù)，但事務(wù)A和B不是對立事務(wù)．[答案](1)×(2)√(3)×2．許洋說：“本周我至少做完3套練習題．”設(shè)許洋所說的事務(wù)為A，則A的對立事務(wù)為()A．至多做完3套練習題B．至多做完2套練習題C．至多做完4套練習題D．至少做完3套練習題B[至少做完3套練習題包含做完3,4,5,6…套練習題，故它的對立事務(wù)為做完0,1,2套練習題，即至多做完2套練習題．]3．從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，那么互斥而不對立的兩個事務(wù)是()A．“至少有一個黑球”與“都是黑球”B．“至少有一個黑球”與“至少有一個紅球”C．“恰有一個黑球”與“恰有兩個黑球”D．“至少有一個黑球”與“都是紅球”C[A中的兩個事務(wù)能同時發(fā)生，故不互斥；同樣，B中兩個事務(wù)也可同時發(fā)生，故不互斥；D中兩個事務(wù)是對立的，故選C．]4．拋擲一枚骰子，“向上的點數(shù)是1或2”為事務(wù)A，“向上的點數(shù)是2或3”為事務(wù)B，則()A．A?BB．A＝BC．A∪B表示向上的點數(shù)是1或2或3D．A∩B表示向上的點數(shù)是1或2或3C[設(shè)A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的點數(shù)為1或2或3.]事務(wù)關(guān)系的推斷【例1】從一堆產(chǎn)品(其中正品與次品都多于2件)中任取2件，視察正品件數(shù)與次品件數(shù)，推斷下列每對事務(wù)是不是互斥事務(wù)，假如是，再推斷它們是不是對立事務(wù)．①“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；②“至少有1件次品”和“全是次品”；③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”．[解]依據(jù)互斥事務(wù)的定義，即事務(wù)A與事務(wù)B在一次試驗中不會同時發(fā)生可知：①中恰好有1件次品和恰好有2件次品不行能同時發(fā)生，因此它們是互斥事務(wù)，又因為它們的和事務(wù)不是必定事務(wù)，所以它們不是對立事務(wù)；同理可以推斷：②中的2個事務(wù)不是互斥事務(wù)，從而也不是對立事務(wù)；③中的2個事務(wù)不是互斥事務(wù)，從而也不是對立事務(wù)．推斷事務(wù)間關(guān)系的方法1要考慮試驗的前提條件，無論是包含、相等，還是互斥、對立，其發(fā)生的條件都是一樣的.2考慮事務(wù)間的結(jié)果是否有交事務(wù)，可考慮利用Venn圖分析，對較難推斷關(guān)系的，也可列出全部結(jié)果，再進行分析.eq\o([跟進訓練])從裝有2個紅球和2個白球(球除顏色外其他均相同)的口袋中任取2個球，用集合的形式分別寫出下列事務(wù)，并推斷每對事務(wù)的關(guān)系：(1)至少有1個白球，都是白球；(2)至少有1個白球，至少有1個紅球；(3)至少有1個白球，都是紅球．[解]給兩個紅球編號為1,2，給兩個白球編號為3,4，從口袋中任取兩個球，用(x，y)表示取出的兩個球，則試驗的樣本空間為Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，設(shè)A＝“至少有1個白球”，則A＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}．(1)設(shè)B＝“都是白球”，B＝{(3,4)}，所以B?A．即A和B不是互斥事務(wù)．(2)設(shè)C＝“至少有一個紅球”，則C＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，因為A∩C＝{(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)}，所以A和C不互斥．(3)設(shè)D＝“都是紅球”，則D＝{(1,2)}，因為A∪D＝Ω，A∩D＝?，所以A和D為對立事務(wù)．事務(wù)的運算[探究問題]1．事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))的樣本點是如何構(gòu)成的？[提示]事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)(或和事務(wù))的樣本點是由在事務(wù)A中，或者在事務(wù)B中的樣本點構(gòu)成的．2．事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))的樣本點是如何構(gòu)成的？[提示]事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)(或積事務(wù))的樣本點是由既在事務(wù)A中，也在事務(wù)B中的樣本點構(gòu)成的．3．“事務(wù)B包含事務(wù)A”“事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)”“事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)”分別對應(yīng)集合中的哪些關(guān)系或運算？[提示]“事務(wù)B包含事務(wù)A”對應(yīng)于集合A是集合B的子集；“事務(wù)A與事務(wù)B的并事務(wù)”對應(yīng)集合A和集合B的并集，“事務(wù)A與事務(wù)B的交事務(wù)”對應(yīng)集合A與集合B的交集．【例2】在投擲骰子試驗中，依據(jù)向上的點數(shù)可以定義很多事務(wù)，如：A＝{出現(xiàn)1點}，B＝{出現(xiàn)3點或4點}，C＝{出現(xiàn)的點數(shù)是奇數(shù)}，D＝{出現(xiàn)的點數(shù)是偶數(shù)}．(1)說明以上4個事務(wù)的關(guān)系；(2)求A∩B，A∪B，A∪D，B∩D，B∪C．[思路探究](1)eq\x(分析事務(wù)所包含的樣本點)→eq\x(推斷事務(wù)間的關(guān)系)(2)eq\x(樣本點表示各事務(wù))→eq\x(進行事務(wù)的運算)[解]在投擲骰子的試驗中，依據(jù)向上出現(xiàn)的點數(shù)有6種基本領(lǐng)件，記作Ai＝{出現(xiàn)的點數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)．則A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事務(wù)A與事務(wù)B互斥，但不對立，事務(wù)A包含于事務(wù)C；事務(wù)A與D互斥，但不對立；事務(wù)B與C不是互斥事務(wù)，事務(wù)B與D也不是互斥事務(wù)；事務(wù)C與D是互斥事務(wù)，也是對立事務(wù)．(2)A∩B＝?，A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出現(xiàn)點數(shù)1,3或4}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出現(xiàn)點數(shù)1,2,4或6}．B∩D＝A4＝{出現(xiàn)點數(shù)4}．B∪C＝A1∪A3∪A4∪A5＝{出現(xiàn)點數(shù)1,3,4或5}．1．在例2的條件下，求A∩C，A∪C，B∩C．[解]A∩C＝A＝{出現(xiàn)1點}，A∪C＝C＝{出現(xiàn)點數(shù)1,3或5}，B∩C＝A3＝{出現(xiàn)點數(shù)3}．2．用事務(wù)Ai＝{出現(xiàn)的點數(shù)為i}(其中i＝1,2，…，6)表示下列事務(wù)：①B∪D；②C∪D．[解]B∪D＝{出現(xiàn)點數(shù)2,3,4或6}＝A2∪A3∪A4∪A6.C∪D＝{出現(xiàn)點數(shù)1,2,3,4,5,6}＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.事務(wù)間的運算方法(1)利用事務(wù)間運算的定義．列出同一條件下的試驗全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，分析并利用這些結(jié)果進行事務(wù)間的運算．(2)利用Venn圖．借助集合間運算的思想，分析同一條件下的試驗全部可能出現(xiàn)的結(jié)果，把這些結(jié)果在圖中列出，進行運算．一、學問必備互斥事務(wù)和對立事務(wù)都是針對兩個事務(wù)而言的，它們之間既有區(qū)分，又有聯(lián)系．在一次試驗中，兩個互斥事務(wù)有可能都不發(fā)生，也可能只有一個發(fā)生，但不行能兩個都發(fā)生；而對立事務(wù)必有一個發(fā)生，但是不行能兩個事務(wù)同時發(fā)生，也不行能都不發(fā)生．所以兩個事務(wù)互斥，它們未必對立；但兩個事務(wù)對立，它們肯定互斥．二、方法必備進行事務(wù)間關(guān)系的推斷或運算，可借助于圖形．1．從1,2，…，9中任取兩數(shù)，其中：①恰有一個偶數(shù)和恰有一個奇數(shù)；②至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是奇數(shù)；③至少有一個奇數(shù)和兩個數(shù)都是偶數(shù)；④至少有一個奇數(shù)和至少有一個偶數(shù)．在上述各對事務(wù)中，是對立事務(wù)的是()A．① B．②④C．③ D．①③C[從1,2，…，9中任取兩數(shù)，包括一奇一偶、兩奇、兩偶，共三種互斥事務(wù)，所以只有③中的兩個事務(wù)才是對立事務(wù)．]2．把紅、藍、黑、白4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得1張，事務(wù)“甲分得紅牌”與事務(wù)“乙分得紅牌”是()A．對立事務(wù) B．互斥但不對立事務(wù)C．不行能事務(wù) D．以上說法都不對B[因為只有1張紅牌，所以這兩個事務(wù)不行能同時發(fā)生，所以它們是互斥事務(wù)；但這兩個事務(wù)加起來并不是總體事務(wù)，所以它們不是對立事務(wù)．]3．袋中裝有9個白球，2個紅球，從中任取3個球，則：①恰有1個紅球和全是白球；②至少有1個紅球和全是白球；③至少有1個紅球和至少有2個白球；④至少有1個白球和至少有1個紅球．在上述事務(wù)中，是對立事務(wù)的為________．②[①是互斥不對立的事務(wù)，②是對立事務(wù)，③④不是互斥事務(wù)．]4．盒子