河北省保定市2024屆高三下學(xué)期二模試題 數(shù)學(xué) 含解析

2023—2024學(xué)年高三第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上．2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑．如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．4．本試卷主要考試內(nèi)容：高考全部?jī)?nèi)容．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．設(shè)集合，且，則（）A．2 B．3 C．4 D．52．若，則（）A． B． C． D．3．函數(shù)的部分圖象大致為（）A． B．C． D．4．如圖，在正四棱柱中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．5．已知雙曲線的離心率為方程的解，則的漸近線的斜率的絕對(duì)值為（）A． B． C． D．6．已知，則（）A． B． C． D．7．6名同學(xué)想平均分成兩組進(jìn)行半場(chǎng)籃球比賽，有同學(xué)提出用“剪刀、石頭、布”游戲決定分組．當(dāng)大家同時(shí)展示各自選擇的手勢(shì)（剪刀、石頭或布）時(shí)，如果恰好只有3個(gè)人手勢(shì)一樣，或有3個(gè)人手勢(shì)為上述手勢(shì)中的同一種，另外3個(gè)人手勢(shì)為剩余兩種手勢(shì)中的同一種，那么同手勢(shì)的3個(gè)人為一組，其他人為另一組，則下列結(jié)論正確的是（）A．在進(jìn)行該游戲前將6人平均分成兩組，共有20種分組方案B．一次游戲共有種手勢(shì)結(jié)果C．一次游戲分不出組的概率為D．兩次游戲才分出組的概率為8．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為是上的點(diǎn)，且在第一象限，是的角平分線，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，若，則的離心率為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下圖是2023年5月1日至5月5日某旅游城市每天最高氣溫與最低氣溫（單位：℃）的折線圖，則下列結(jié)論正確的是（）A．這5天的最高氣溫的平均數(shù)與最低氣溫的中位數(shù)的差為B．這5天的最低氣溫的極差為C．這5天的最高氣溫的眾數(shù)是D．這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是10．已知直四棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)為3，底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，為棱上的一點(diǎn)，且為底面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)（含邊界），則下列命題正確的是（）A．若與平面所成的角為，則點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線長(zhǎng)為B．若點(diǎn)到平面的距離為，則三棱錐體積的最大值為C．若以為球心的球經(jīng)過點(diǎn)，則該球與直四棱柱的公共部分的體積為D．經(jīng)過三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面面積為411．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿足，則（）A． B．C．是奇函數(shù) D．存在函數(shù)以及，使得的值為三、填空題：本題共3小題，毎小題5分，共15分．12．已知向量的夾角的余弦值為，且，則_______．13．在等比數(shù)列中，，則_______．14．已知點(diǎn)為圓上位于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線分別交軸于兩點(diǎn)，則_______，_______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）在中，角的對(duì)邊分別為，已知．（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，求的長(zhǎng)．16．（15分）某青少年跳水隊(duì)共有100人，在強(qiáng)化訓(xùn)練前、后，教練組對(duì)他們進(jìn)行了成績(jī)測(cè)試，分別得到如圖1所示的強(qiáng)化訓(xùn)練前的頻率分布直方圖，如圖2所示的強(qiáng)化訓(xùn)練后的頻率分布直方圖．（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，估計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）與成績(jī)的中位數(shù)（中位數(shù)精確到0.01）．（2）我們規(guī)定得分80分以上（含80分）的為“優(yōu)秀”，低于80分的為“非優(yōu)秀”．優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前強(qiáng)化訓(xùn)練后合計(jì)將上面的表格補(bǔ)充完整，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否據(jù)此推斷跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān)？附：．0.050.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82817．（15分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，分別為的中點(diǎn)，且．（1）證明：．（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．18．（17分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過作互相垂直的直線，分別與交于和兩點(diǎn)（A，D在第一象限），當(dāng)直線的傾斜角等于時(shí)，四邊形的面積為32．（1）求C的方程；（2）設(shè)直線AD與BE交于點(diǎn)Q，證明：點(diǎn)Q在定直線上交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定直線上．19．（17分）已知函數(shù)為其導(dǎo)函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若存在兩個(gè)不同的正數(shù)，使得，證明：．2023～2024學(xué)年高三第二次模擬考試高三數(shù)學(xué)試題參考答案1．C因?yàn)榈膬筛鶠?，且，所以，所以，解得?．A因?yàn)?，所以?．A設(shè)，則，所以為奇函數(shù)，設(shè)，可知為偶函數(shù)，所以為奇函數(shù)，則B，C錯(cuò)誤，易知，所以A正確．4．C連接（圖略），易知，則就是異面直線與所成的角．設(shè)，則，所以．5．D因?yàn)榉匠痰慕鉃榛?，且雙曲線的離心率大于1，所以．由，解得．6．B因?yàn)椋?，解得或（舍去），所以?．D一共有種分組方案，A錯(cuò)誤．每人有3種選擇，所以一次游戲共有種手勢(shì)結(jié)果，B錯(cuò)誤．要分出組，有兩類情況．第一類情況，首先確定3個(gè)人出一樣的手勢(shì)，再確定另外2個(gè)人出其他兩種手勢(shì)中的一種，最后1個(gè)人出剩下的手勢(shì)，所以能分出組的手勢(shì)結(jié)果有）種．第二類情況，當(dāng)其中3個(gè)人出同一種手勢(shì)，另外3個(gè)人出剩余兩種手勢(shì)中的同一種時(shí)，能分出組的手勢(shì)結(jié)果有種，所以一次游戲就分出組的概率為，所以一次游戲分不出組的概率為，C錯(cuò)誤．兩次游戲才分出組的概率為，D正確．8．B如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，可知，所以，所以．9．ACD對(duì)于A，這5天的最高氣溫的平均數(shù)為，最低氣溫的中位數(shù)為，它們的差為，A正確．對(duì)于B，這5天的最低氣溫的極差為，B錯(cuò)誤．對(duì)于C，這5天的最高氣溫的眾數(shù)為，C正確．對(duì)于D，最低氣溫從小到大排列為，且，所以這5天的最低氣溫的第40百分位數(shù)是，D正確．10．AD對(duì)于A，可知的軌跡是以為圓心，半徑為1的圓，所以點(diǎn)的軌跡與直四棱柱的交線為圓弧，圓弧長(zhǎng)為，故A正確．對(duì)于B，可知點(diǎn)在線段上，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，三棱錐體積最大，且最大值為，所以B錯(cuò)誤．對(duì)于C，可知該球的半徑為1，球與直四棱柱的公共部分的體積為，所以C錯(cuò)誤．對(duì)于D，如圖，經(jīng)過三點(diǎn)的平面截直四棱柱所得的截面為平行四邊形，其中，可得．設(shè)的中點(diǎn)為的中點(diǎn)為，連接，可得平面，所以，求得，所以，D正確．11．ACD由，取，得，A正確．取，得，解得．取，得，所以，B錯(cuò)誤．取，得，所以是奇函數(shù)，C正確．當(dāng)時(shí)，在兩邊同時(shí)除以，得，令，則當(dāng)時(shí)，，所以，所以，D正確．12．4因?yàn)?，所以，解得?3．－3由，得．設(shè)等比數(shù)列的公比為，由，得，所以．14．2；圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心，則為的角平分線，所以．設(shè)，則，所以，則，即，解得，則，所以點(diǎn)與重合，此時(shí)，可得，所以．15．解：（1）因?yàn)椋曰?jiǎn)得，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以．?）因?yàn)椋?，解得．因?yàn)闉榈闹芯€，所以，所以．因?yàn)?，所以，解得?6．解：（1）強(qiáng)化訓(xùn)練后的平均成績(jī)約為．由于前三列概率之和為，設(shè)中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)約為83.13．（2）零假設(shè)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練無關(guān)．補(bǔ)充完整的表格為優(yōu)秀人數(shù)非優(yōu)秀人數(shù)合計(jì)強(qiáng)化訓(xùn)練前4060100強(qiáng)化訓(xùn)練后6040100合計(jì)100100200則，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為跳水運(yùn)動(dòng)員是否優(yōu)秀與強(qiáng)化訓(xùn)練有關(guān)．17．（1）證明：連接．因?yàn)榈酌媸橇庑危謩e為的中點(diǎn)，所以，所以．又，所以平面．因?yàn)槠矫?，所以．?）解：因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．又，所以平面．連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．設(shè)，則，，，．設(shè)是平面的法向量，由，得取，可得．設(shè)是平面的法向量，由取，可得，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為．18．（1）解：當(dāng)直線的傾斜角等于時(shí)，直線的傾斜角等于，直線的方程為由拋物線的對(duì)稱性知，所以，得．聯(lián)立方程組消去得．設(shè)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，則．又，所以，所以的方程為．（2）證明：由（1）知，依題意，可設(shè)直線的方程為，則直線的方程為．聯(lián)立方程組消去得，設(shè)，