2025屆吉林市長(zhǎng)春汽車(chē)經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)第六中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題含解析

2025屆吉林市長(zhǎng)春汽車(chē)經(jīng)濟(jì)開(kāi)發(fā)區(qū)第六中學(xué)數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列命題錯(cuò)誤的是()A.命題“若，則”的逆否命題為“若，則”B.命題“若，則”的否命題為“若，則”C.若命題p：或；命題q：或，則是的必要不充分條件D.“”是“”的充分不必要條件2．一條光線(xiàn)從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或3．如果一個(gè)矩形長(zhǎng)與寬的比值為，那么稱(chēng)該矩形為黃金矩形.如圖，已知是黃金矩形，，分別在邊，上，且也是黃金矩形.若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為（）A. B.C. D.4．設(shè)，是橢圓C：的左、右焦點(diǎn)，若橢圓C上存在一點(diǎn)P，使得，則橢圓C的離心率e的取值范圍為（）A. B.C. D.5．由于受疫情的影響，學(xué)校停課，同學(xué)們通過(guò)三種方式在家自主學(xué)習(xí)，現(xiàn)學(xué)校想了解同學(xué)們對(duì)假期學(xué)習(xí)方式的滿(mǎn)意程度，收集如圖1所示的數(shù)據(jù)；教務(wù)處通過(guò)分層抽樣的方法抽取4%的同學(xué)進(jìn)行滿(mǎn)意度調(diào)查，得到的數(shù)據(jù)如圖2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A.樣本容量為240B.若，則本次自主學(xué)習(xí)學(xué)生的滿(mǎn)意度不低于四成C.總體中對(duì)方式二滿(mǎn)意學(xué)生約為300人D.樣本中對(duì)方式一滿(mǎn)意的學(xué)生為24人6．在等差數(shù)列中，，，則使數(shù)列的前n項(xiàng)和成立的最大正整數(shù)n=（）A.2021 B.2022C.4041 D.40427．各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A. B.C. D.8．已知是拋物線(xiàn)上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，若，則（）A1011 B.2020C.2021 D.20229．已知向量，，則向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）10．2021年是中國(guó)共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國(guó)共產(chǎn)黨成立100周年慶祝活動(dòng)標(biāo)識(shí)（如圖1）.其中“100”的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（如圖2）.已知，則由其中一個(gè)圓心向另一個(gè)小圓引的切線(xiàn)長(zhǎng)與兩大圓的公共弦長(zhǎng)之比為（）A. B.3C. D.11．若不等式在上有解，則的最小值是（）A.0 B.-2C. D.12．設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，若上的任意一點(diǎn)都滿(mǎn)足，則的離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，且原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為，則直線(xiàn)方程是______14．已知數(shù)列滿(mǎn)足，，若，則_______15．已知等比數(shù)列滿(mǎn)足，則_________16．等差數(shù)列中，若，，則______，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）從①，②，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并作答：已知等差數(shù)列公差大于零，且前n項(xiàng)和為，，______，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，那么按照第一個(gè)解答計(jì)分）18．（12分）某校在全體同學(xué)中隨機(jī)抽取了100名同學(xué)，進(jìn)行體育鍛煉時(shí)間的專(zhuān)項(xiàng)調(diào)查．將調(diào)查數(shù)據(jù)按平均每天鍛煉時(shí)間的多少（單位：分鐘）分成五組：，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖．將平均每天體育鍛煉時(shí)間不少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉達(dá)標(biāo)，平均每天體育鍛煉時(shí)間少于60分鐘的同學(xué)定義為鍛煉不達(dá)標(biāo)（1）求a的值，并估計(jì)該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)；（2）在樣本中，對(duì)平均每天體育鍛煉時(shí)間不達(dá)標(biāo)的同學(xué)，按分層抽樣的方法抽取6名同學(xué)了解不達(dá)標(biāo)的原因，再?gòu)倪@6名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名進(jìn)行調(diào)研，求這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率19．（12分）已知圓，P（2，0），M點(diǎn)是圓Q上任意一點(diǎn)，線(xiàn)段PM的垂直平分線(xiàn)交半徑MQ于點(diǎn)C，當(dāng)M點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)C的軌跡為曲線(xiàn)C（1）求曲線(xiàn)C方程；（2）已知直線(xiàn)l：x＝8，A、B是曲線(xiàn)C上的兩點(diǎn)，且不在x軸上，，垂足為，，垂足為，若D（3，0），且的面積是△ABD面積的5倍，求△ABD面積的最大值20．（12分）平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)，，點(diǎn)M滿(mǎn)足.記M的軌跡為C.（1）說(shuō)明C是什么曲線(xiàn)，并求C的方程；（2）已知經(jīng)過(guò)的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求.21．（12分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（1）；（2）22．（10分）已知中，分別為角的對(duì)邊，且（1）求；（2）若為邊的中點(diǎn)，，求的面積

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】根據(jù)逆否命題的定義可判斷A；根據(jù)否命題的定義可判斷B；求出、，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可以判斷C；解出不等式，根據(jù)充分條件和必要條件的概念可判斷D.【詳解】命題“若，則”的逆否命題為“若，則”，故A正確；命題“若，則”的否命題為“若，則”，故B正確；若命題p：或；命題q：或，則：－1≤x≤1是：－2≤x≤1的充分不必要條件，故C錯(cuò)誤；或x＜1，故“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：C.2、D【解析】由光的反射原理知，反射光線(xiàn)的反向延長(zhǎng)線(xiàn)必過(guò)點(diǎn)，設(shè)反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)的斜率為，則反射光線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為：，即：.又因?yàn)楣饩€(xiàn)與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線(xiàn)的方程；3、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系.3、B【解析】由幾何概型的面積型，只需求小矩形的面積和大矩形面積之比.【詳解】由題意，不妨設(shè)，則，又也是黃金矩形，則，又，解得，于是大矩形面積為：，小矩形的面積為，由幾何概型的面積型，概率為若在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自黃金矩形內(nèi)的概率為：.故選：B.4、B【解析】先設(shè)，根據(jù)P在橢圓上得到，由，得到的范圍，即為離心率的范圍.【詳解】由橢圓的方程可得，，設(shè)，由，則，即，由P在橢圓上可得，所以，代入可得所以，因?yàn)椋哉砜傻茫?，消去得：所以，即所?故選：B5、B【解析】利用扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖可求出結(jié)果【詳解】選項(xiàng)A，樣本容量為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，根據(jù)題意得自主學(xué)習(xí)的滿(mǎn)意率，錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，樣本可以估計(jì)總體，但會(huì)有一定的誤差，總體中對(duì)方式二滿(mǎn)意人數(shù)約為，該選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，樣本中對(duì)方式一滿(mǎn)意人數(shù)為，該選項(xiàng)正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查了命題真假的判斷，考查扇形統(tǒng)計(jì)圖和條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題6、C【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)易得，，再應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)、下標(biāo)和的性質(zhì)可得、，即可確定答案.【詳解】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列且，，所以，，.故選：C.7、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可知，，，成等比數(shù)列，由等比中項(xiàng)特點(diǎn)可構(gòu)造方程求得，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，，，成等比數(shù)列，則，即，解得：，，，解得：.故選：D.8、C【解析】結(jié)合向量坐標(biāo)運(yùn)算以及拋物線(xiàn)的定義求得正確答案.【詳解】設(shè)，因?yàn)槭菕佄锞€(xiàn)上的點(diǎn)，F(xiàn)是拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，所以，準(zhǔn)線(xiàn)為：，因此，所以，即，由拋物線(xiàn)的定義可得，所以故選：C9、B【解析】根據(jù)空間向量線(xiàn)性運(yùn)算的坐標(biāo)表示即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，所?故選：B.10、C【解析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.【詳解】如示意圖，由題意，，則，又，，所以，所以.故選：C.11、D【解析】將題設(shè)條件轉(zhuǎn)化為在上有解,然后求出的最大值即可得解.【詳解】不等式在上有解,即為在上有解,設(shè),則在上單調(diào)遞減,所以,所以,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查二次不等式能成立問(wèn)題,可以選擇分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題,也可以進(jìn)行分情況討論.12、C【解析】設(shè)，由，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式表示出，分類(lèi)討論求出的最大值，再構(gòu)建齊次不等式，解出即可【詳解】設(shè)，由，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?dāng)，即時(shí)，，即，符合題意，由可得，即；當(dāng)，即時(shí)，，即，化簡(jiǎn)得，，顯然該不等式不成立故選：C【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是如何求出的最大值，利用二次函數(shù)求指定區(qū)間上的最值，要根據(jù)定義域討論函數(shù)的單調(diào)性從而確定最值二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】直線(xiàn)斜率不存在不滿(mǎn)足題意，即設(shè)直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，再利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式，求出的值，即可求出直線(xiàn)方程.【詳解】①當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，顯然不滿(mǎn)足題意.②當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)為.原點(diǎn)到直線(xiàn)l的距離為，即直線(xiàn)方程為.故答案為：.14、【解析】由遞推式，結(jié)合依次求出、即可.【詳解】由，可得：，又，可得：.故答案為：.15、84【解析】設(shè)公比為q，求出，再由通項(xiàng)公式代入可得結(jié)論【詳解】設(shè)公比為q，則，解得所以故答案為：8416、①.②.【解析】設(shè)等差數(shù)列公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求通項(xiàng)公式；，采用裂項(xiàng)相消的方法求.【詳解】設(shè)等差數(shù)列公差為d，，，；∵，∴.故答案為：；.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、；【解析】將條件①②③轉(zhuǎn)化為的形式，列方程組，并求解，寫(xiě)出的通項(xiàng)公式，從而表示出，利用裂項(xiàng)相消法求和.【詳解】選①：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以選②：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以選③：設(shè)等差數(shù)列首項(xiàng)為，公差為，因?yàn)?，，所以，所以，所以，所以【點(diǎn)睛】數(shù)列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差數(shù)列、與二項(xiàng)式系數(shù)、對(duì)稱(chēng)性相關(guān)聯(lián)的數(shù)列的求和(2)錯(cuò)位相減：用于等差數(shù)列與等比數(shù)列的積數(shù)列的求和(3)分組求和：用于若干個(gè)等差或等比數(shù)列的和或差數(shù)列的求和18、（1），中位數(shù)為64；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)中位數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合頻率直方圖求中位數(shù).（2）首先由分層抽樣求6名同學(xué)的分布情況，再應(yīng)用列舉法求概率.【詳解】（1）由題設(shè)，，可得，∴中位數(shù)應(yīng)在之間，令中位數(shù)為，則，解得.∴該校同學(xué)平均每天體育鍛煉時(shí)間的中位數(shù)為64.（2）由題設(shè)，抽取6名同學(xué)中1名在，2名在，3名在，若1名在為，2名在為，3名在為，∴隨機(jī)抽取2名的可能情況有共15種，其中至少有一名在內(nèi)的共12種，∴這2名同學(xué)中至少有一名每天體育鍛煉時(shí)間（單位：分鐘）在內(nèi)的概率為.19、（1）（2）【解析】（1）由定義法求出曲線(xiàn)C的方程；（2）先判斷出直線(xiàn)AB過(guò)定點(diǎn)H(2,0)或H(4,0).當(dāng)AB過(guò)定點(diǎn)H(4,0)，求出最大；當(dāng)H(2,0)時(shí)，可設(shè)直線(xiàn)AB：.用“設(shè)而不求法”表示出，不妨設(shè)（），利用函數(shù)的單調(diào)性求出△ABD面積的最大值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榫€(xiàn)段PM的垂直平分線(xiàn)交半徑MQ于點(diǎn)C，所以,所以,符合橢圓的定義，所以點(diǎn)C的軌跡為以P、Q為焦點(diǎn)的橢圓，其中，所以，所以曲線(xiàn)C的方程為.【小問(wèn)2詳解】不妨設(shè)直線(xiàn)l：x＝8交x軸于G(8,0)，直線(xiàn)AB交x軸于H(h,0)，則,.因?yàn)椋?，，所?又因?yàn)榈拿娣e是△ABD面積的5倍，所以.因?yàn)镚(8,0)，D（3，0），所以，所以H(2,0)或H(4,0).當(dāng)H(4,0)時(shí)，則H與A（或H與B）重合，不妨設(shè)H與A重合，此時(shí)，，要使△ABD面積最大，只需B在短軸頂點(diǎn)時(shí)，=2最大，所以最大；當(dāng)H(2,0)時(shí)，要想構(gòu)成三角形ABD，直線(xiàn)AB的斜率不為0，可設(shè)直線(xiàn)AB：.設(shè),則，消去x可得：，所以，，，所以.不妨設(shè)（），則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)t=4時(shí)，，此時(shí)最大綜上所述，△ABD面積的最大值為.【點(diǎn)睛】（1）“設(shè)而不求”是一種在解析幾何中常見(jiàn)的解題方法，可以解決直線(xiàn)與二次曲線(xiàn)相交的問(wèn)題；（2）解析幾何中最值計(jì)算方法有兩類(lèi)：①幾何法：利用幾何圖形求最值；②代數(shù)法：表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.20、（1）C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓，（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的定義即可得到答案.（2）當(dāng)垂直于軸時(shí)，，舍去.當(dāng)不垂直于軸時(shí)，可設(shè)，再根據(jù)題意結(jié)合韋達(dá)定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，，所以C是以點(diǎn)，為左右焦點(diǎn)的橢圓.于是，，故，因此C的方程為.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)垂直于軸時(shí)，，，舍去.當(dāng)不