2025屆新鄉(xiāng)市重點(diǎn)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆新鄉(xiāng)市重點(diǎn)中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在上的最大值是A. B.C. D.2．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，公差，．若取得最大值，則的值為（）A.6或7 B.7或8C.8或9 D.9或103．在數(shù)列中，，則的值為（）A. B.C. D.以上都不對(duì)4．橢圓與雙曲線有公共的焦點(diǎn)、，與在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，是以線段為底邊的等腰三角形，若橢圓的離心率的范圍是，則雙曲線的離心率取值范圍是（）A. B.C. D.5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在雙曲線的右支上，且，則雙曲線離心率的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知圓與圓外切，則（）A. B.C. D.7．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.C. D.8．已知雙曲線，則雙曲線M的漸近線方程是（）A. B.C. D.9．在正方體中，為棱的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.10．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，點(diǎn)在拋物線上，則拋物線的方程為（）A. B.C. D.11．如圖是等軸雙曲線形拱橋，現(xiàn)拱頂距離水面6米，水面寬米，若水面下降6米，則水面寬()A.米 B.米C.米 D.米12．的展開式中的系數(shù)是（）A.1792 B.C.448 D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)，平面過，，三點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為________.14．已知點(diǎn)P是雙曲線右支上的一點(diǎn)，且以點(diǎn)P及焦點(diǎn)為定點(diǎn)的三角形的面積為4，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是_____________15．甲口袋中裝有2個(gè)黑球和1個(gè)白球，乙口袋中裝有3個(gè)白球．現(xiàn)同時(shí)從甲、乙兩口袋中各任取一個(gè)球交換放入對(duì)方口袋，共進(jìn)行了2次這樣的操作后，甲口袋中恰有2個(gè)黑球的概率為__________________.16．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則_______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓A：的圓心為A，過點(diǎn)B(，0)任作直線l交圓A于點(diǎn)C、D，過點(diǎn)B作與AD平行的直線交AC于點(diǎn)E.（1）求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)E的軌跡與y軸正半軸交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P且斜率為k1，k2的兩直線交動(dòng)點(diǎn)E的軌跡于M、N兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P)，若，證明：直線MN過定點(diǎn).18．（12分）將離心率相同的兩個(gè)橢圓如下放置，可以形成一個(gè)對(duì)稱性很強(qiáng)的幾何圖形，現(xiàn)已知.（1）若在第一象限內(nèi)公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1，求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假設(shè)一條斜率為正的直線與依次切于兩點(diǎn)，與軸正半軸交于點(diǎn)，試求的最大值及此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程.19．（12分）已知空間中三點(diǎn)，，，設(shè)，（1）求向量與向量的夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實(shí)數(shù)的值20．（12分）已知集合，，.（1）求；（2）若“”是“”的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.21．（12分）已知橢圓：，的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，的離心率為，的離心率為，點(diǎn)在上，過點(diǎn)E和，分別作直線交橢圓于，和，點(diǎn)，如圖.（1）求，的方程；（2）求證：直線和的斜率之積為定值；（3）求證：為定值.22．（10分）已知幾何體中，平面平面，是邊長(zhǎng)為4的菱形，，是直角梯形，，，且（1）求證：；（2）求平面與平面所成角的余弦值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值即可【詳解】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)令可得，可得上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，函數(shù)在上的最大值是故選D【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，是一道中檔題2、B【解析】根據(jù)題意可知等差數(shù)列是，單調(diào)遞減數(shù)列，其中，由此可知，據(jù)此即可求出結(jié)果.【詳解】在等差數(shù)列中，所以，所以，即，又等差數(shù)列中，公差，所以等差數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，所以，所以等差數(shù)列的前項(xiàng)和為取得最大值，則的值為7或8.故選:B.3、C【解析】由數(shù)列的遞推公式可先求數(shù)列的前幾項(xiàng)，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，進(jìn)而可求.【詳解】解：，數(shù)列是以3為周期的數(shù)列故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是由遞推關(guān)系發(fā)現(xiàn)數(shù)列的周期性的特點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】求得，可得出，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，可得，由可求得的取值范圍.【詳解】設(shè)，設(shè)雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，因?yàn)榕c在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，是以線段為底邊的等腰三角形，則，由橢圓的定義可得，由雙曲線的定義可得，所以，，則，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為、，則，即，因，則，故.故選：B.5、C【解析】根據(jù)雙曲線的定義求得，利用可得離心率范圍【詳解】因?yàn)?，又，所以，，又，即，，所以離心率故選：C6、D【解析】根據(jù)兩圓外切關(guān)系，圓心距離等于半徑的和列方程求參數(shù).【詳解】由題設(shè)，兩圓圓心分別為、，半徑分別為1、r，∴由外切關(guān)系知：，可得.故選：D.7、A【解析】先化簡(jiǎn)函數(shù)表達(dá)式，然后再平移即可.【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象.故選：A8、C【解析】由雙曲線的方程直接求出見解析即可.【詳解】由雙曲線，則其漸近線方程為：故選：C9、D【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，連接，以為坐標(biāo)原點(diǎn)如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，由于平面，平面，故又正方形，故平面故平面，所以為平面的一個(gè)法向量，故直線與平面所成角正弦值為.故選：D10、B【解析】首先根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，利用點(diǎn)在曲線上的條件為點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線的方程，代入求得參數(shù)的值，最后得到答案.【詳解】解：根據(jù)題意設(shè)出拋物線的方程，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，所以有，解得，所以拋物線的方程是：，故選：B.11、B【解析】以雙曲線的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，求出雙曲線方程，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】如圖所示，以雙曲線的對(duì)稱中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)所在對(duì)稱軸為y軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：(a＞0)，則頂點(diǎn)，，將A點(diǎn)代入雙曲線方程得，，當(dāng)水面下降6米后，，代入雙曲線方程得，，∴水面寬：米.故選：B.12、D【解析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式計(jì)算出正確答案.【詳解】的展開式中，含的項(xiàng)為.所以的系數(shù)是.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先求得平面ABC的一個(gè)法向量，然后由求解.【詳解】因?yàn)?，，，，所以，設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以則點(diǎn)到平面的距離為，故答案：14、【解析】由題可得P到x軸的距離為1，把代入，得，可得P點(diǎn)坐標(biāo)【詳解】設(shè)，由題意知，所以，則，由題意可得，把代入，得，所以P點(diǎn)坐標(biāo)為故答案為：15、【解析】分兩類：兩次都互相交換白球的概率和第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率求和可得答案.【詳解】分兩類：①兩次都互相交換白球的概率為；②第一次甲交出黑球收到白球，且第二次甲交出白球收到黑球的概率為.故答案為：.16、【解析】代入，展開整理得，①化為，與①式相加得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程，求解即可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，則，整理得，解得.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理的邊角互化，考查三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析【解析】(1)作出圖象，易知|EB|＋|EA|為定值，根據(jù)橢圓定義即可判斷點(diǎn)E的軌跡，從而寫出其軌跡方程；(2)設(shè)，當(dāng)直線MN斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，聯(lián)立MN方程和E的軌跡方程得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)解出k與m的關(guān)系即可以判斷MN過定點(diǎn)；最后再考慮MN斜率不存在時(shí)是否也過該定點(diǎn)即可.【小問1詳解】由圓A：可得(，∴圓心A(－，0)，圓的半徑r＝8，，，可得，，，由橢圓的定義可得：點(diǎn)E的軌跡是以A(，0)、B(，0)為焦點(diǎn)，2a＝8的橢圓，即a＝4，c＝，∴＝16－7＝9，∴動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程為；【小問2詳解】由(1)知，P(0，3)，設(shè)，當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：，由，可得，∴，，∵，∴，即，整理可得：，∴k＝m＋3或m＝3，當(dāng)m＝3時(shí)，直線MN的方程為：，此時(shí)過點(diǎn)P(0，3)不符合題意，∴k＝m＋3，∴直線MN的方程為：此時(shí)直線MN過點(diǎn)(－1，－3)，當(dāng)直線MN的斜率不存在時(shí)，，，解得，此時(shí)直線MN的方程為：，過點(diǎn)(－1，－3)，綜上所述：直線MN過定點(diǎn)(－1，－3).18、（1）（2）；【解析】（1）設(shè)，將點(diǎn)代入得出的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）聯(lián)立與直線的方程，得出兩點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得出，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)得出的最大值及此時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)方程.【小問1詳解】由題意得：在第一象限的公共點(diǎn)為設(shè)，則有：的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】設(shè)y=kx+m則①，則②，，，又，由①有代入①有，令，則令，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，此時(shí)，則，代入②得，綜上：的最大值2，此時(shí).19、（1）；（2）或.【解析】（1）坐標(biāo)表示出、，利用向量夾角的坐標(biāo)表示求夾角余弦值；（2）坐標(biāo)表示出k＋、k－2，利用向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求的值.【詳解】由題設(shè)，＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)（1）cosθ＝，所以和的夾角余弦值為.（2）k＋＝k(1,1,0)＋(－1,0,2)＝(k－1,k,2)，k－2＝(k＋2,k,－4)，又(k＋)⊥(k－2)，則(k－1,k,2)·(k＋2,k,－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝2k2＋k－10＝0，解得k＝－或2.20、(1).(2).【解析】分析：（1）先求出A,B集合的解集，A集合求定義，B集合解不等式即可，然后由交集定義即可得結(jié)論；（2）若“”是“”的必要不充分條件，說明且，然后根據(jù)集合關(guān)系求解.詳解：(1),.則(2)，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以且.由，得，解得.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，成立，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：考查定義域，解不等式，交集的定義以及必要不充分條件，正確求解集合，縷清集合間的基本關(guān)系是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.21、（1）：；：（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】（1）利用待定系數(shù)法，根據(jù)條件先求曲線的方程，再求曲線的方程；（2）首先設(shè)，表示直線和的斜率之積，即可求解定值；（3）首先表示直線與方程聯(lián)立消，利用韋達(dá)定理表示弦長(zhǎng)，以及利用直線和的斜率關(guān)系，表示弦長(zhǎng)，并證明為定值.【小問1詳解】由題設(shè)知，橢圓離心率為解得∴，∵橢圓的左右焦點(diǎn)，是雙曲線的左右頂點(diǎn)，∴設(shè)雙曲線：∴的離心率為解得.∴：：；【小問2詳解】證明：∵點(diǎn)在上∴設(shè)則，∴.∴直線和的斜率之積為定值1；【小問3詳解】證明：設(shè)直線和的斜率分別為，，則設(shè)，：與方程聯(lián)立消得“*”則，是“*”的二根則則同理∴.22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合