2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章計(jì)數(shù)原理1.3.1二項(xiàng)式定理學(xué)案含解析新人教A版選修2-3

PAGE1．3二項(xiàng)式定理1．3.1二項(xiàng)式定理內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.能用計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理．2.理解二項(xiàng)式定理及二項(xiàng)綻開式的特征，駕馭二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式．3.正確運(yùn)用二項(xiàng)綻開式綻開或化簡某些二項(xiàng)式，運(yùn)用通項(xiàng)求某些特定項(xiàng)、二項(xiàng)式系數(shù)或項(xiàng)的系數(shù)．4.能解決與二項(xiàng)式定理有關(guān)的簡潔問題.利用數(shù)學(xué)抽象提升數(shù)學(xué)運(yùn)算授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第16頁[基礎(chǔ)相識]學(xué)問點(diǎn)二項(xiàng)式定理及其相關(guān)概念學(xué)問梳理二項(xiàng)式定理公式(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn，稱為二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)(k＝0,1，…，n)通項(xiàng)Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk二項(xiàng)式定理的特例(1＋x)n＝Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)x＋Ceq\o\al(2,n)x2＋…＋Ceq\o\al(k,n)xk＋…＋Ceq\o\al(n,n)xn[自我檢測]1．(2x＋1)4的綻開式為________________．答案：16x4＋32x3＋24x2＋8x＋12．(x＋2)8的綻開式中的第6項(xiàng)為________，其二項(xiàng)式系數(shù)為________．答案：1792x356授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第17頁探究一二項(xiàng)式定理的正用、逆用[閱讀教材P30例1]求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(x)－\f(1,\r(x))))6的綻開式．題型：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用方法步驟：(1)先將二項(xiàng)式整理為eq\f(1,x3)(2x－1)6.(2)再用二項(xiàng)式定理將(2x－1)綻開并化簡即得到綻開式．[例1](1)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4的綻開式．(2)化簡：Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n－Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2－…＋(－1)kCeq\o\al(k,n)(x＋1)n－k＋…＋(－1)nCeq\o\al(n,n).[解析](1)法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝(3eq\r(x))4＋Ceq\o\al(1,4)(3eq\r(x))3·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))＋Ceq\o\al(2,4)(3eq\r(x))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))2＋Ceq\o\al(3,4)(3eq\r(x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))3＋Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,\r(x))))4＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).法二：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(x)＋\f(1,\r(x))))4＝eq\f(3x＋14,x2)＝eq\f(C\o\al(0,4)3x4＋C\o\al(1,4)3x3＋C\o\al(2,4)3x2＋C\o\al(3,4)3x＋C\o\al(4,4),x2)＝eq\f(81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1,x2)＝81x2＋108x＋54＋eq\f(12,x)＋eq\f(1,x2).(2)原式＝Ceq\o\al(0,n)(x＋1)n＋Ceq\o\al(1,n)(x＋1)n－1(－1)＋Ceq\o\al(2,n)(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Ceq\o\al(k,n)(x＋1)n－k(－1)k＋…＋Ceq\o\al(n,n)(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.方法技巧1.(a＋b)n的二項(xiàng)綻開式有n＋1項(xiàng)，是和的形式，各項(xiàng)的冪指數(shù)規(guī)律是：(1)各項(xiàng)的次數(shù)和等于n；(2)字母a按降冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到0；字母b按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到n.2．逆用二項(xiàng)式定理可以化簡多項(xiàng)式，體現(xiàn)的是整體思想，留意分析已知多項(xiàng)式的特點(diǎn)，向二項(xiàng)綻開式的形式靠攏．跟蹤探究1.化簡：(2x＋1)5－5(2x＋1)4＋10(2x＋1)3－10(2x＋1)2＋5(2x＋1)－1.解析：原式＝Ceq\o\al(0,5)(2x＋1)5－Ceq\o\al(1,5)(2x＋1)4＋Ceq\o\al(2,5)(2x＋1)3－Ceq\o\al(3,5)(2x＋1)2＋Ceq\o\al(4,5)(2x＋1)－Ceq\o\al(5,5)(2x＋1)0＝[(2x＋1)－1]5＝(2x)5＝32x5.探究二二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)的應(yīng)用[閱讀教材P31例2](1)求(1＋2x)7的綻開式的第4項(xiàng)的系數(shù)；(2)求eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,x)))9的綻開式中x3的系數(shù)．題型：二項(xiàng)綻開式通項(xiàng)公式的應(yīng)用方法步驟：對于(1)干脆用通項(xiàng)公式寫出T4從而得出該項(xiàng)系數(shù)．對于(2)，寫出Tr＋1并整理由x3項(xiàng)得到r的值，從而求出該項(xiàng)系數(shù)．[例2]若eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x)＋\f(1,2\r(4,x))))n綻開式中前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求：(1)綻開式中含x的一次項(xiàng)；(2)綻開式中全部的有理項(xiàng)．[解析](1)由已知可得Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)·eq\f(1,22)＝2Ceq\o\al(1,n)·eq\f(1,2)，即n2－9n＋8＝0，解得n＝8或n＝1(舍去)．Tk＋1＝Ceq\o\al(k,8)(eq\r(x))8－k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2\r(4,x))))k＝Ceq\o\al(k,8)·2－k·x4－eq\f(3,4)k，令4－eq\f(3,4)k＝1，得k＝4.所以x的一次項(xiàng)為T5＝Ceq\o\al(4,8)2－4x＝eq\f(35,8)x.(2)令4－eq\f(3,4)k∈Z，且0≤k≤8，則k＝0,4,8，所以含x的有理項(xiàng)分別為T1＝x4，T5＝eq\f(35,8)x，T9＝eq\f(1,256x2).方法技巧1.利用二項(xiàng)式的通項(xiàng)求二項(xiàng)綻開式的特定項(xiàng)的常見題型(1)求第k項(xiàng)，Tk＝Ceq\o\al(k－1,n)an－k＋1bk－1；(2)求含xk的項(xiàng)(或xpyq的項(xiàng))；(3)求常數(shù)項(xiàng)；(4)求有理項(xiàng)．2．求二項(xiàng)綻開式的特定項(xiàng)的常用方法(1)對于常數(shù)項(xiàng)，隱含條件是字母的指數(shù)為0(即0次項(xiàng))；(2)對于有理項(xiàng)，一般是先寫出通項(xiàng)公式，其全部的字母的指數(shù)恰好都是整數(shù)的項(xiàng)．解這類問題必需合并通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)，依據(jù)詳細(xì)要求，令其屬于整數(shù)，再依據(jù)數(shù)的整除性來求解；(3)對于二項(xiàng)綻開式中的整式項(xiàng)，其通項(xiàng)公式中同一字母的指數(shù)應(yīng)是非負(fù)整數(shù)，求解方式與求有理項(xiàng)一樣．跟蹤探究2.在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(3,x))))8的綻開式中，求：(1)第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)及第5項(xiàng)的系數(shù)；(2)x2的系數(shù)．解析：(1)T5＝T4＋1＝Ceq\o\al(4,8)(2x2)8－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))4＝Ceq\o\al(4,8)·24·xeq\f(20,3)，所以第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Ceq\o\al(4,8)＝70，第5項(xiàng)的系數(shù)是Ceq\o\al(4,8)·24＝1120.(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x2－\f(1,\r(3,x))))8的通項(xiàng)是Ceq\o\al(r,8)(2x2)8－req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(3,x))))r＝(－1)rCeq\o\al(r,8)·28－r·x16－eq\f(7,3)r.由題意，得16－eq\f(7,3)r＝2，解得r＝6，因此，x2的系數(shù)是(－1)6Ceq\o\al(6,8)·28－6＝112.探究三利用二項(xiàng)式定理解決整除和余數(shù)問題[閱讀教材P37習(xí)題1.3B組1(2)]用二項(xiàng)式定理證明：9910－1能被1000整除．證明：9910－1＝(100－1)10－1＝Ceq\o\al(0,10)10010－Ceq\o\al(1,10)1009＋Ceq\o\al(2,10)1008－…－Ceq\o\al(9,10)100＋Ceq\o\al(10,10)－1＝Ceq\o\al(0,10)10010－Ceq\o\al(1,10)1009＋Ceq\o\al(2,10)1008－…－1000，每一項(xiàng)均能被1000整除．所以9910－1能被1000整除．[例3]試推斷7777－1能否被19整除．[解析]7777－1＝(76＋1)77－1＝7677＋Ceq\o\al(1,77)×7676＋Ceq\o\al(2,77)×7675＋…＋Ceq\o\al(76,77)×76＋Ceq\o\al(77,77)－1＝76×(7676＋Ceq\o\al(1,77)×7675＋Ceq\o\al(2,77)×7674＋…＋Ceq\o\al(76,77))．由于76能被19整除，因此7777－1能被19整除．方法技巧用二項(xiàng)式定理解決an＋b整除(或余數(shù))問題時，一般須要將底數(shù)a寫成除數(shù)m的整數(shù)倍加上或減去r(1≤r＜m)的形式，利用二項(xiàng)綻開式求解．跟蹤探究3.230－3除以7的余數(shù)為________．解析：∵230－3＝(23)10－3＝810－3＝(7＋1)10－3＝Ceq\o\al(0,10)×710＋Ceq\o\al(1,10)×79＋…＋Ceq\o\al(9,10)×7＋Ceq\o\al(10,10)－3＝7×(Ceq\o\al(0,10)79＋Ceq\o\al(1,10)78＋…＋Ceq\o\al(9,10))－2.又余數(shù)不能為負(fù)數(shù)(需轉(zhuǎn)化為正數(shù))，∴230－3除以7的余數(shù)為5.答案：5授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第18頁[課后小結(jié)](1)二項(xiàng)綻開式的特點(diǎn)①綻開式共有n＋1項(xiàng)．②各項(xiàng)的次數(shù)和都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n.③字母a的冪指數(shù)按降冪排列，從第一項(xiàng)起先，次數(shù)由n逐項(xiàng)減1直到為0，字母b的冪指數(shù)按升冪排列，從第一項(xiàng)起先，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到為n.(2)對通項(xiàng)公式的四點(diǎn)說明①通項(xiàng)公式Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr是(a＋b)n的綻開式的第r＋1項(xiàng)，這里r＝0,1，…，n.②二項(xiàng)式(a＋b)n的第r＋1項(xiàng)Ceq\o\al(r,n)an－rbr和(b＋a)n的綻開式的第r＋1項(xiàng)Ceq\o\al(r,n)bn－rar是有區(qū)分的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時，其中的a和b是不能隨意交換的．③留意二項(xiàng)式系數(shù)Ceq\o\al(r,n)與綻開式中對應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不肯定相等，二項(xiàng)式系數(shù)肯定為正，而項(xiàng)的系數(shù)有時可為負(fù)．④通項(xiàng)公式是在(a＋b)n這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，而(a－b)n的二項(xiàng)綻開式的通項(xiàng)公式是Tr＋1＝(－1)rCeq\o\al(r,n)an－rbr(只需把－b看成b代入二項(xiàng)式定理)，這與Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr是不同的，在這里對應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是相等的，都是Ceq\o\al(r,n)，但項(xiàng)的系數(shù)一個是(－1)rCeq\o\al(r,n)，一個是Ceq\o\al(r,n)，可看出二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念．[素養(yǎng)培優(yōu)]1.對綻開式的通項(xiàng)記不清是第幾項(xiàng)致錯(eq\r(2)x－1)5的綻開式中第4項(xiàng)的系數(shù)是()A．5eq\r(2) B．－10C．20 D．－20易錯分析：第4項(xiàng)的系數(shù)為Ceq\o\al(4,5)(eq\r(2))(－1)4＝5eq\r(2)，故選A.考查數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．自我訂正：由綻開式的通項(xiàng)，得T4＝Ceq\o\al(3,5)·(eq\r(2)x)2·(－1)3＝－10×2x2＝－20x2，所以第4項(xiàng)的系數(shù)為－20.答案：D2．因混淆二項(xiàng)綻開式中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)而致錯設(shè)(x－eq\r(2))n綻開式中，其次項(xiàng)與第四項(xiàng)的系數(shù)之比為1∶2，試求含x2的項(xiàng)．易錯分析：把二項(xiàng)綻開式中項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)混淆了．考查直觀想象及數(shù)學(xué)運(yùn)算的學(xué)科素養(yǎng)．自我訂正：(x－eq\r(2))n綻開式的第2項(xiàng)與第4項(xiàng)分別為Ceq\o\al(1,n)xn－1(－eq\r(2))＝－eq\r(2)nxn－1，Ceq\o\al(3,n)xn－3(－eq\r(2))3＝－2eq\r(2)Ceq\o\al(3,n)xn－3.依題意得eq\f(－\r(2)n,－2\r(2)C\o\al(3,n))＝eq\f(1,2)?n2－3n－4＝0，解方程并舍去不合題意的負(fù)根，得n＝4.3．顛倒公式(a＋b)n中a，b