2025屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第十一章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理學(xué)案理含解析

PAGE第一節(jié)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理[最新考綱][考情分析][核心素養(yǎng)]1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理.2.會(huì)用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理分析和解決一些簡(jiǎn)潔的實(shí)際問(wèn)題.主要在選擇題、填空題中考查兩個(gè)原理的應(yīng)用，分值為5分.1.數(shù)學(xué)建模2.數(shù)學(xué)運(yùn)算‖學(xué)問(wèn)梳理‖兩個(gè)計(jì)數(shù)原理完成一件事的策略完成這件事共有的方法分類加法計(jì)數(shù)原理有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法N＝eq\x(1)m＋n種不同的方法分步乘法計(jì)數(shù)原理須要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法N＝eq\x(2)m×n種不同的方法‖基礎(chǔ)自測(cè)‖一、疑誤辨析1．推斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)．(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，兩類不同方案中的方法可以相同．()(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能干脆完成這件事．()(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，事情是分兩步完成的，其中任何一個(gè)單獨(dú)的步驟都能完成這件事．()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×二、走進(jìn)教材2．(選修2－3P28B2改編)現(xiàn)有4種不同顏色要對(duì)如圖所示的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊界的兩塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法共有()A．24種 B．30種C．36種 D．48種答案：D3．(選修2－3P5例3改編)書架的第1層放有4本不同的計(jì)算機(jī)書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書．從書架中任取1本書，則不同取法的種數(shù)為_(kāi)_______．答案：9三、易錯(cuò)自糾4．小王有70元錢，現(xiàn)有面值分別為20元和30元的兩種IC電話卡．若他至少買一張，則不同的買法共有()A．7種 B．8種C．6種 D．9種解析：選A要完成的“一件事”是“至少買一張IC電話卡”，分3類完成：買1張IC電話卡，買2張IC電話卡，買3張IC電話卡，而每一類都能獨(dú)立完成“至少買一張IC電話卡”這件事．買1張IC電話卡有2種方法，買2張IC電話卡有3種方法，買3張IC電話卡有2種方法．所以不同的買法共有2＋3＋2＝7(種)．5．已知集合M＝{1，－2，3}，N＝{－4，5，6，－7}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則在平面直角坐標(biāo)系中，第一、二象限不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：分兩類：一是以集合M中的元素為橫坐標(biāo)，以集合N中的元素為縱坐標(biāo)有3×2＝6(個(gè))不同的點(diǎn)；二是以集合N中的元素為橫坐標(biāo)，以集合M中的元素為縱坐標(biāo)有4×2＝8(個(gè))不同的點(diǎn)，故由分類加法計(jì)數(shù)原理得共有6＋8＝14(個(gè))不同的點(diǎn)．答案：14eq\a\vs4\al(考點(diǎn)一\a\vs4\al(分類加法原理))|題組突破|1．(2025屆河北保定一模)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)高考之后支配去A，B，C三個(gè)不同社區(qū)進(jìn)行幫扶活動(dòng)，每人只能去一個(gè)社區(qū)，每個(gè)社區(qū)至少去一人．其中甲必需去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的支配方法種數(shù)為()A．8 B．7C．6 D．5解析：選B依據(jù)題意，分2種狀況探討：①乙和甲一起去A社區(qū)，此時(shí)將丙丁二人支配到B，C社區(qū)即可，有Aeq\o\al(2,2)＝2(種)狀況．②乙不去A社區(qū)，則乙必需去C社區(qū)，若丙丁都去B社區(qū)，有1種狀況；若丙丁中有1人去B社區(qū)，則先在丙丁中選出1人，支配到B社區(qū)，剩下1人支配到A或C社區(qū)，有2×2＝4(種)狀況，則不同的支配方法有2＋1＋4＝7(種)，故選B．2．(2025屆廣西桂林、崇左、百色模擬)如圖，某貨場(chǎng)有兩堆集裝箱，一堆2個(gè)，一堆3個(gè)，現(xiàn)須要全部裝運(yùn)，每次只能從其中一堆取最上面的一個(gè)集裝箱，則在裝運(yùn)的過(guò)程中不同取法的種數(shù)是()A．6 B．10C．12 D．24解析：選B將題圖中左邊的集裝箱從上往下分別記為1，2，3，右邊的集裝箱從上往下分別記為4，5.分兩種狀況探討：若先取1，則有12345，12453，12435，14523，14235，14253，共6種取法；若先取4，則有45123，41235，41523，41253，共4種取法，故共有6＋4＝10(種)取法．3．若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，且m∈{1，2，3，4，5}，n∈{1，2，3，4，5，6，7}，則這樣的橢圓的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．解析：若橢圓eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦點(diǎn)在y軸上，則m<n.當(dāng)m＝1時(shí)，n＝2，3，4，5，6，7，共6個(gè)；當(dāng)m＝2時(shí)，n＝3，4，5，6，7，共5個(gè)；當(dāng)m＝3時(shí)，n＝4，5，6，7，共4個(gè)；當(dāng)m＝4時(shí)，n＝5，6，7，共3個(gè)；當(dāng)m＝5時(shí)，n＝6，7，共2個(gè)．故共有6＋5＋4＋3＋2＝20(個(gè))滿意條件的橢圓．答案：20?名師點(diǎn)津運(yùn)用分類加法原理時(shí)2個(gè)留意點(diǎn)(1)依據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時(shí)，留意完成這件事的任何一種方法必需屬于某一類，不能重復(fù)．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)二\a\vs4\al(分類乘法原理))|題組突破|4．(2025屆湖北黃岡第一次調(diào)研)現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外學(xué)問(wèn)講座，每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座，則不同選法的種數(shù)是()A．56 B．65C．eq\f(5×6×5×4×3×2,2) D．6×5×4×3×2解析：選A每名同學(xué)有5種選法，且相互之間獨(dú)立，所以共有5×5×5×5×5×5＝56(種)選法，故選A．5．(2025屆濱州模擬)甲、乙兩人從4門課程中選修2門，則甲、乙所選課程中恰有1門相同的選法有()A．6種 B．12種C．24種 D．30種解析：選C分步完成：第一步，甲、乙選同一門課程有4種方法；其次步，甲從剩余的3門課程選一門有3種方法；第三步，乙從剩余的2門中選出一門課程有2種方法．∴甲、乙恰有1門相同課程的選法有4×3×2＝24(種)．6．從集合{0，1，2，3，4，5，6}中任取兩個(gè)互不相等的數(shù)a，b組成復(fù)數(shù)a＋bi，其中虛數(shù)的個(gè)數(shù)是()A．30 B．42C．36 D．35解析：選C因?yàn)閍＋bi為虛數(shù)，所以b≠0，即b有6種取法，所以a有6種取法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知可以組成6×6＝36(個(gè))虛數(shù)．?名師點(diǎn)津需謹(jǐn)記分步必需滿意的兩個(gè)條件：一是各步驟相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步確保連續(xù)，逐步完成．當(dāng)正面考慮問(wèn)題比較困難時(shí)，可采納正難則反的原則解題．eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用))【例】(1)在如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，現(xiàn)有四種顏色可供選擇，要求每一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為()A．24 B．48C．72 D．96(2)假如一條直線與一個(gè)平面垂直，那么稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”．在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是()A．48 B．18C．24 D．36[解析](1)分兩種狀況：①A，C不同色，先涂A有4種，C有3種，E有2種，B，D有1種，有4×3×2＝24(種)涂法．②A，C同色，先涂A有4種，E有3種，C有1種，B，D各有2種，有4×3×2×2＝48(種)涂法．故共有24＋48＝72(種)涂色方法．(2)第1類，對(duì)于每一條棱，都可以與兩個(gè)側(cè)面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有2×12＝24(個(gè))；第2類，對(duì)于每一條面對(duì)角線，都可以與一個(gè)對(duì)角面構(gòu)成“正交線面對(duì)”，這樣的“正交線面對(duì)”有12個(gè)．所以正方體中“正交線面對(duì)”共有24＋12＝36(個(gè))．[答案](1)C(2)D?名師點(diǎn)津1．利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決應(yīng)用問(wèn)題的一般思路(1)弄清完成一件事是做什么．(2)確定是先分類后分步，還是先分步后分類．(3)弄清分步、分類的標(biāo)準(zhǔn)是什么．(4)利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理求解．2．涂色、種植問(wèn)題的解題關(guān)注點(diǎn)和關(guān)鍵(1)關(guān)注點(diǎn)：首先分清元素的數(shù)目，其次分清在不相鄰的區(qū)域內(nèi)是否可以運(yùn)用同類元素．(2)關(guān)鍵：是對(duì)每個(gè)區(qū)域逐一進(jìn)行，選擇下手點(diǎn)，分步處理．|跟蹤訓(xùn)練|1．如圖所示，用4種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C，D中，要求相鄰的矩形涂色不同，則不同的涂法有________種．解析：按要求涂色至少須要3種顏色，故分兩類：一是4種顏色都用，這時(shí)A有4種涂法，B有3種涂法，C有2種涂法，D有1種涂法，共有4×3×2×1＝24(種)涂法；二是用3種顏色，這時(shí)A，B，C的涂法有4×3×2＝24(種)，D只要不與C同色即可，故D有2種涂法，共有24×2＝48(種)涂法．所以不同的涂法共有24＋48＝72(種)．答案：722.如圖所示，在連接正八邊形的三個(gè)頂點(diǎn)而成的三角形中，與正八邊形有公共邊的三角形有________個(gè)(用數(shù)字作答)．解析：把與正八邊形有公共邊的三角形分為兩類：第一類，有一條公共邊的三角形共有8×4＝32(個(gè))．其次類，有兩條公共邊的三角形共有8個(gè)．由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有32＋8＝40(個(gè))．答案：40eq\a\vs4\al(考點(diǎn)\a\vs4\al(兩個(gè)原理的創(chuàng)新交匯應(yīng)用問(wèn)題))【例】設(shè)集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中滿意條件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素個(gè)數(shù)為()A．60 B．90C．120 D．130[解析]設(shè)t＝|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|，若t＝1，說(shuō)明x1，x2，x3，x4，x5中有一個(gè)為－1或1，其他為0，所以有Ceq\o\al(1,5)×2＝10(個(gè))元素滿意t＝1；若t＝2，說(shuō)明x1，x2，x3，x4，x5中有兩個(gè)為－1或1，其他為0，所以有Ceq\o\al(2,5)×2×2＝40(個(gè))元素滿意t＝2；若t＝3，說(shuō)明x1，x2，x3，x4，x5中有三個(gè)為－1或1，其他為0，所以有Ceq\o\al(3,5)×2×2×2＝80(個(gè))元素滿意t＝3，從而，共有10＋40＋80＝130(個(gè))元素滿意1≤t≤3.[答案]D?名師點(diǎn)津兩個(gè)原理綜合應(yīng)用的1個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)解決綜合