2025屆高考數學統考第二輪專題復習第18講概率統計統計案例學案理含解析

PAGE第18講概率、統計、統計案例高考年份全國卷Ⅰ全國卷Ⅱ全國卷Ⅲ2024散點圖與回來方程·T5古典概型·T3樣本的數字特征·T32024古典概型·T6相互獨立事務·T15樣本的數字特征·T5,T13樣本的頻率·T32024統計圖表·T3幾何概型·T10古典概型·T8二項分布·T81.[2024·全國卷Ⅰ]某校一個課外學習小組為探討某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位:℃)的關系,在20個不同的溫度條件下進行種子發(fā)芽試驗,由試驗數據(xi,yi)(i=1,2,…,20)得到如圖M6-18-1所示的散點圖:圖M6-18-1由此散點圖,在10℃至40℃之間,下面四個回來方程類型中最相宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回來方程類型的是 ()A.y=a+bx B.y=a+bx2C.y=a+bex D.y=a+blnx2.[2024·全國卷Ⅰ]某地區(qū)經過一年的新農村建設,農村的經濟收入增加了一倍,實現翻番.為更好地了解該地區(qū)農村的經濟收入改變狀況,統計了該地區(qū)新農村建設前后農村的經濟收入構成比例,得到如圖M6-18-2的餅圖:圖M6-18-2則下面結論中不正確的是 ()A.新農村建設后,種植收入削減B.新農村建設后,其他收入增加了一倍以上C.新農村建設后,養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農村建設后,養(yǎng)殖收入與第三產業(yè)收入的總和超過了經濟收入的一半3.[2024·天津卷]從一批零件中抽取80個,測量其直徑(單位:mm),將所得數據分為9組:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到如圖M6-18-3所示的頻率分布直方圖,則在被抽取的零件中,直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內的個數為 ()圖M6-18-3A.10 B.18 C.20 D.364.[2024·全國卷Ⅲ]在一組樣本數據中,1,2,3,4出現的頻率分別為p1,p2,p3,p4,且∑i=14pi=1,A.p1=p4=0.1,p2=p3=0.4B.p1=p4=0.4,p2=p3=0.1C.p1=p4=0.2,p2=p3=0.3D.p1=p4=0.3,p2=p3=0.25.[2024·全國卷Ⅱ]我國數學家陳景潤在哥德巴赫猜想的探討中取得了世界領先的成果.哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數可以表示為兩個素數的和”,如30=7+23.在不超過30的素數中,隨機選取兩個不同的數,其和等于30的概率是 ()A.112 B.114 C.115 6.[2024·全國卷Ⅰ]圖M6-18-4來自古希臘數學家希波克拉底所探討的幾何圖形.此圖由三個半圓構成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ,黑色部分記為Ⅱ,其余部分記為Ⅲ.在整個圖形中隨機取一點,此點取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分別記為p1,p2,p3,則 ()圖M6-18-4A.p1=p2 B.p1=p3C.p2=p3 D.p1=p2+p37.[2024·全國卷Ⅲ]某群體中的每位成員運用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立.設X為該群體的10位成員中運用移動支付的人數,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p= ()A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.38.[2024·浙江卷]盒中有4個球,其中1個紅球,1個綠球,2個黃球.從盒中隨機取球,每次取1個,不放回,直到取出紅球為止.設此過程中取到黃球的個數為ξ,則P(ξ=0)=,E(ξ)=.

9.[2024·全國卷Ⅰ]甲、乙兩隊進行籃球決賽,實行七場四勝制(當一隊贏得四場成功時,該隊獲勝,決賽結束).依據前期競賽成果,甲隊的主客場支配依次為“主主客客主客主”.設甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場競賽結果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是.

用樣本估計總體1(1)已知我市某居民小區(qū)戶主子數和戶主對戶型結構的滿足率分別如圖M6-18-5①,②所示,為了解該小區(qū)戶主對戶型結構的滿足程度,用分層抽樣的方法抽取30%的戶主進行調查,則樣本容量和抽取的戶主對四居室滿足的人數分別為 ()圖M6-18-5A.240,18 B.200,20C.240,20 D.200,18(2)5G時代悄然來臨,為了探討中國手機市場現狀,中國信息通信探討院統計了2024年手機市場每月出貨量以及與2024年當月同比增長的狀況,得到如圖M6-18-6所示的統計圖,依據該統計圖,下列說法錯誤的是 ()圖M6-18-6A.2024年全年手機市場出貨量中,5月份出貨量最多B.2024年下半年手機市場各月份出貨量相對于上半年各月份波動較小C.2024年全年手機市場總出貨量低于2024年全年總出貨量D.2024年12月的手機出貨量低于當年8月的手機出貨量(3)已知某校運動會田徑綜合賽男生組以選手三項運動的綜合積分凹凸確定排名.詳細積分規(guī)則如表1所示,某代表隊四名男生的模擬成果如表2.表1田徑綜合賽項目及積分規(guī)則項目積分規(guī)則100米跑以13秒得60分為標準,每少0.1秒加5分,每多0.1秒扣5分跳高以1.2米得60分為標準,每多0.02米加2分,每少0.02米扣2分擲實心球以11.5米得60分為標準,每多0.1米加5分,每少0.1米扣5分表2某代表隊模擬成果明細姓名100米跑(秒)跳高(米)擲實心球(米)甲13.31.2411.8乙12.61.311.4丙12.91.2611.7丁13.11.2211.6依據模擬成果,該代表隊應選派參賽的隊員是 ()A.甲 B.乙 C.丙 D.丁【規(guī)律提煉】目前高考中的圖表信息題,主要考查運用圖表分析問題、解決問題的實力,特殊是能否從圖表中看到數字特征,通過對比、類比、關聯等發(fā)覺事物的改變規(guī)律.測題1.某市為了促進生活垃圾的分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設置了相應的垃圾箱,為調查居民生活垃圾分類投放狀況,現隨機抽取了該市三類垃圾箱中總計1000噸生活垃圾,數據(單位:噸)統計如表.“廚余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱廚余垃圾400100100可回收物3024030其他垃圾202060現已知該市每天產生20000噸生活垃圾,則估計該市生活垃圾投放錯誤的有 ()A.6000噸 B.8000噸 C.12000噸 D.14000噸2.依據某外賣企業(yè)兩位員工阿朱、阿紫在今年3月某10天日派送外賣量的數據(單位:件)繪制的莖葉圖如圖M6-18-7所示,針對這10天的數據,下面說法錯誤的是()圖M6-18-7A.阿朱的日派送外賣量的眾數為76B.阿紫的日派送外賣量的中位數為77C.阿朱的日派送外賣量的中位數為76D.阿朱的日派送外賣量更穩(wěn)定3.某保險公司為客戶定制了5個險種:甲,一年期短險;乙,兩全保險;丙,理財類保險;丁,定期壽險:戊,重大疾病保險.各種保險按相關約定進行參保與理賠.該保險公司對5個險種參?？蛻暨M行抽樣調查,得出如圖M6-18-8所示的統計圖,以下四個選項中,說法錯誤的是 ()圖M6-18-8A.54周歲以上客戶人數最少B.18~29周歲客戶參?？傎M用最少C.丁險種更受客戶青睞D.30周歲以上的客戶約占參?？蛻舻?0%古典概型與幾何概型2(1)北京公交車101路是北京最早的無軌電車之一,最早可追溯至1957年,其站點如圖M6-18-9所示.游客甲與乙同時從紅廟路口西站上了開往百萬莊西口站方向的101路公交車,甲將在故宮站之前的隨意一站下車,乙將在展覽路站之前的隨意一站下車,他們都至少坐一站再下車,則甲比乙后下車的概率為 ()圖M6-18-9A.48209 B.1148 C.50209 (2)在正多邊形中,只有三種形態(tài)能用來鋪滿一個平面圖形而中間沒有空隙,分別是正三角形、正方形、正六邊形,稱之為“正多邊形的鑲嵌規(guī)律”.已知圖M6-18-10是由多邊形鑲嵌的圖形T,在T內隨機取一點,則此點取自正方形的概率是 ()圖M6-18-10A.23 B.C.77+43 D【規(guī)律提煉】1.古典概型確定基本領件一般有三種方法:(1)列舉法;(2)樹狀圖法;(3)利用計數原理、排列組合計算基本領件個數.2.對于幾何概型的概率計算公式中的“測度”要有正確的相識,它只與大小有關,而與形態(tài)和位置無關,在解題時,要駕馭“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法.測題1.《周易》是我國古代典籍,它用“卦”描述了天地世間萬象改變.圖M6-18-11是一個八卦圖,包含乾、坤、震、巽、坎、離、艮、兌八卦(每一卦由三個爻組成,其中“”表示一個陽爻,“??”表示一個陰爻).若從八卦中任取兩卦,這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率為 ()圖M6-18-11A.356 B.328 C.314 2.如圖M6-18-12,AB為半圓O的直徑,在弧AB上隨機取一點P,記△PAB與半圓的面積之比為λ,則λ∈1π,2π的概率為 ()圖M6-18-12A.112 B.16 C.13 3.某學校上午支配上四節(jié)課,每節(jié)課時間為40分鐘,第一節(jié)課上課時間為8:00~8:40,課間休息10分鐘.某學生因故遲到,若他在9:10~10:00之間到達教室,則他聽其次節(jié)課的時間不少于10分鐘的概率為 ()A.15 B.310 C.25 條件概率、相互獨立事務與獨立重復試驗3(1)甲罐中有5個紅球、2個白球和3個黑球,乙罐中有4個紅球、3個白球和3個黑球.先從甲罐中隨機取出1個球放入乙罐,分別以事務A1,A2和A3表示由甲罐取出的球是紅球、白球和黑球;再從乙罐中隨機取出1個球,以事務B表示由乙罐取出的球是紅球.則下列說法中正確的是 ()①P(B)=25②P(B|A1)=511③事務B與事務A1相互獨立;④A1,A2,A3是兩兩互斥的事務.A.②④ B.①③ C.②③ D.①④(2)某校為了增加學生的記憶力和辨識力,組織了一場類似《最強大腦》的競賽,A,B兩隊各由4名選手組成,每局兩隊各派一名選手參與競賽,競賽分為四局.除第三局勝者得2格外,其余各局勝者均得1分,每局的負者得0分.假設每局競賽A隊選手獲勝的概率均為23,且各局競賽結果相互獨立,則競賽結束時A隊的得分高于B隊的得分的概率為 (A.1627 B.5281 C.2027 (3)一個箱子中裝有形態(tài)完全相同的5個白球和n(n∈N*)個黑球.現從中有放回地摸取4次,每次都是隨機摸取1個球,設摸得白球的次數為X,若D(X)=1,則E(X)=()A.1 B.2 C.3 D.4【規(guī)律提煉】1.條件概率是一個難點,求條件概率的一般方法是:(1)基本領件法;(2)公式法:特殊地,若事務B,C互斥,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A),即為了求得比較困難事務的概率,往往可以先把它分解成若干個互不相容的較簡潔事務之和,求出這些簡潔事務的概率,再利用加法公式即得所求困難事務的概率.2.對于其他事務的概率,須要細致審題,辨別出它是獨立事務還是互斥事務,是超幾何分布還是二項分布等,然后依據所涉及的學問點進行分析與處理.測題1.某單位舉辦詩詞大會競賽,給每位參賽者設計了“保留題型”“升級題型”“創(chuàng)新題型”三類題型,每類題型均指定一道題讓參賽者回答.已知某位參賽者答對每道題的概率均為45,且各次答對與否相互獨立,則該參賽者答完三道題后至少答對兩道題的概率為 (A.112125 B.1625 C.113125 2.某老師打算對一天的五節(jié)課進行課程支配,要求語文、數學、外語、物理、化學每科分別要排一節(jié)課,則數學不排第一節(jié)課,物理不排最終一節(jié)課的狀況下,化學排第四節(jié)課的概率是 ()A.320 B.313 C.739 3.勤洗手、常通風、戴口罩是切斷新冠肺炎傳播的有效手段.疫情期間某小區(qū)居民人人養(yǎng)成了出門戴口罩的好習慣,且選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的概率為p,每人是否選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩是相互獨立的.現隨機抽取5位該小區(qū)居民,其中選擇佩戴一次性醫(yī)用口罩的人數為X,且P(X=2)<P(X=3),D(X)=1.2,則p的值為.

第18講概率、統計、統計案例真知真題掃描1.D[解析]由散點圖可知回來方程的類型為對數型,故選D.2.A[解析]不妨設該地區(qū)建設前經濟收入為100萬元,則建設后經濟收入為200萬元.四個選項的狀況分析如下:選項建設前建設后結論A100×60%=60200×37%=74>60×B100×4%=4200×5%=10>4×2√C100×30%=30200×30%=60=30×2√D200×(30%+28%)=116>100√所以選A.3.B[解析]依據頻率分布直方圖,得零件的直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內的頻率為(6.25+5.00)×0.02=0.225,則抽取的零件中,直徑落在區(qū)間[5.43,5.47)內的個數為80×0.225=18.故選B.4.B[解析]易知B,D對應的樣本數據較分散,故推斷B,D即可.對于B,樣本的平均數為E(xB)=1×0.4+2×0.1+3×0.1+4×0.4=2.5,則方差為D(xB)=(1-2.5)2×0.4+(2-2.5)2×0.1+(3-2.5)2×0.1+(4-2.5)2×0.4=1.85,標準差為1.85≈1.36;對于D,樣本的平均數為E(xD)=1×0.3+2×0.2+3×0.2+4×0.3=2.5,則方差為D(xD)=(1-2.5)2×0.3+(2-2.5)2×0.2+(3-2.5)2×0.2+(4-2.5)2×0.3=1.45,標準差為1.45≈1.205.C[解析]不超過30的素數有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10個,從中任取兩個有C102種取法,其中和為30的有3種,即(7,23),(11,19),(13,17),所以所求概率P=3C6.A[解析]設AB=a,AC=b,BC=c,則a2+b2=c2.記△ABC的面積為S1,黑色部分的面積為S2,則S2=12πa22+12πb22+12ab-12πc22=18π(a2+b2-c2)+127.B[解析]由DX=10p(1-p)=2.4,解得p=0.4或p=0.6.由P(X=4)=C104p4(1-p)6<P(X=6)=C106p6(1-p)4,可知p>0.5,故p=0.68.131[解析]由題意知,ξ=0,1,2.若ξ=0,則有兩種狀況,即第一個就取出紅球或第一個取出綠球,其次個取出紅球,P(ξ=0)=14+14×13=14+112=13;若ξ=1,則有兩種狀況,即第一個取出黃球,其次個取出紅球或取出的前兩個球為一黃一綠,第三個取出紅球,P(ξ=1)=12×13+12×13+14×23×12=16+16=13;P(ξ=2)=1-13-13=13.故E9.0.18[解析]由題意可知,甲、乙兩隊共競賽了5場,前4場甲隊只輸了其中1場,且第5場甲隊獲勝.分兩種狀況:①甲在第1,2場的主場競賽中輸了1場,由獨立事務的概率計算公式得,其概率為C21×0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.072;②甲在第3,4場的客場競賽中輸了1場,同理可得其對應的概率為C21×0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.108.所以由互斥事務的概率加法計算公式得所求的概率為0.072+0.108=考點考法探究小題1例1(1)A(2)D(3)C[解析](1)樣本容量為(150+250+400)×30%=240,∴抽取的戶主對四居室滿足的人數為240×150150+250+400×40%=18,故選A(2)對于A,由柱狀圖可得5月份的手機出貨量最高,故A中說法正確;對于B,依據曲線幅度可得下半年手機市場各月份出貨量相對于上半年各月份波動較小,故B中說法正確;對于C,依據曲線上數據可得2024年僅有4月份和5月份的手機出貨量比2024年當月高,其余各月份的手機出貨量均低于2024年,且明顯總出貨量低于2024年,故C中說法正確;對于D,2024年12月的手機出貨量為3044.4÷(1-14.7%)≈3569.05(萬部),8月的手機出貨量為3087.5÷(1-5.3%)≈3260.3(萬部),又3260.3<3569.05,故12月的手機出貨量更高,故D中說法錯誤.故選D.(3)由題意知,四名運動員的各項得分成果如下.姓名100米跑(秒)跳高(米)擲實心球(米)總計甲456475184乙807055205丙656670201丁556265182由表中數據知,乙的綜合得分最高,應選乙參與競賽.故選B.【自測題】1.A[解析]由于1000噸生活垃圾中投放錯誤的有30+20+100+20+100+30=300(噸),故投放錯誤的比例約為3001000=0.3故估計該市生活垃圾投放錯誤的有20000×0.3=6000(噸),故選A.2.C[解析]由莖葉圖可知,阿朱的日派送外賣量由小到大依次為63,64,72,76,76,77,78,84,86,94,眾數為76,中位數為76.5,阿紫的日派送外賣量由小到大依次為54,58,63,72,73,81,86,89,95,99,中位數為77.由莖葉圖可知,阿朱的日派送外賣量數據相對集中,阿紫的日派送外賣量數據相對分散,所以,阿朱的日派送外賣量更穩(wěn)定.故選C.3.B[解析]由參保人數比例圖可知,54周歲以上客戶人數最少,30周歲以上的客戶約占參?？蛻舻?0%,所以選項A,D中說法均正確;由參保險種比例圖可知,丁險種更受客戶青睞,所以選項C中說法正確;由不同年齡段人均參保費用圖可知,18-29周歲客戶人均參保費用最少,但18-29周歲客戶所占比例為20%,所以總費用不肯定最少.故選B.小題2例2(1)D(2)B[解析](1)甲、乙下車的全部可能狀況有11×19=209(種),若乙在小莊路口東站下車,則甲可在呼家樓西站到沙灘路口西站中隨意一站下車,共有10種可能;若乙在呼家樓西站下車,則甲可在關東店站到沙灘路口西站中隨意一站下車,共有9種可能;……若乙在美術館東站下車,則甲只能在沙灘路口西站下車,只有1種可能.故甲比乙后下車的概率為10+9+…+111×19=55209(2)設題圖中正三角形的邊長為1,則每個正三角形的面積為347個正三角形的面積之和為7×34=734,又正方形的邊長為1,所以3個正方形的面積為3,所以此點取自正方形的概率是33+73【自測題】1.C[解析]從八卦中任取兩卦,基本領件總數n=C82=28,這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻包含的基本領件個數m=C32+C31C11=6,∴這兩卦的六個爻中恰有兩個陽爻的概率P=2.B[解析]連接OP,設P到AB的距離為h,圓的半徑為r,則S△PAB=12×2r×h=rh,S半圓=12πr2,則λ=rh1由λ∈