山東省青島市即墨區(qū)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題 含解析

2023—2024學(xué)年度第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.滿(mǎn)分150分，考試用時(shí)120分鐘.考試結(jié)束后，將本試卷和答案卡一并交回.注意事項(xiàng)：1.答第I卷前考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，2.選出每小題答案前，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?所有試題的答案，寫(xiě)在答題卡上，不能答在本試卷上，否則無(wú)效.一?選擇題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是A.（0,2） B.（0,1） C.（2,0） D.（1,0）【答案】D【解析】【詳解】試題分析：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故選D.【考點(diǎn)】拋物線(xiàn)的性質(zhì)【名師點(diǎn)睛】本題考查拋物線(xiàn)的定義．解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支，圓錐曲線(xiàn)是解析幾何的重要內(nèi)容，它們的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是我們要重點(diǎn)掌握的內(nèi)容，一定要熟記掌握．2.已知四面體中，為中點(diǎn)，若，則（）A.3 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，結(jié)合題意，列出方程，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，利用空間向量的運(yùn)算法則，可得：，因?yàn)?，所以，解?故選：D.3.正方體中，分別是的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先通過(guò)平移將異面直線(xiàn)的所成角轉(zhuǎn)化為相交直線(xiàn)的所成角，在三角形內(nèi)利用余弦定理即可求得【詳解】如圖，取的中點(diǎn)，再取的中點(diǎn)，連接，因點(diǎn)是的中點(diǎn)，易證,可得，又因點(diǎn)是的中點(diǎn)，故，則，故直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角即直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角.不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為4，在中，，由余弦定理，，即直線(xiàn)與直線(xiàn)所成角的余弦值為.故選：C.4.等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為，若成等比數(shù)列，則（）A.0或 B.2或 C.2 D.0或2【答案】A【解析】【分析】利用等比中項(xiàng)及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，所以，因?yàn)榈炔顢?shù)列的首項(xiàng)為1，公差為，所以，即，解得或.故選：A.5.已知兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓截直線(xiàn)所得弦長(zhǎng)為（）A. B. C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得已知圓圓心和半徑，利用直線(xiàn)與圓相交形成的弦心距，半徑和半弦長(zhǎng)的關(guān)系式即可求得.【詳解】依題意，以線(xiàn)段為直徑的圓的圓心為：，半徑為，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則該圓截直線(xiàn)所得弦長(zhǎng)為.故選：A.6.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)與交于兩點(diǎn)，則的面積與面積的比值為（）A.3 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】將所求面積比轉(zhuǎn)化為的比，再利用點(diǎn)線(xiàn)距離公式即可得解.【詳解】根據(jù)題意可得，，又直線(xiàn)可化為，設(shè)到直線(xiàn)為的距離分別為，則.故選：B.7.某公司為激勵(lì)創(chuàng)新，計(jì)劃遂年加大研發(fā)資金投入.若該公司2020年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)，則該公司年投入研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是（）（參考數(shù)據(jù)：）A.2024年 B.2025年 C.2026年 D.2027年【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型列不等式，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可求解．【詳解】設(shè)在2020年后第年超過(guò)200萬(wàn)，則，則，兩邊取對(duì)，即，則，可得，第年滿(mǎn)足題意，即為2024年.故選：A.8.曲線(xiàn)圍成圖形的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，結(jié)合圓的面積公式，利用數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行求解即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，曲線(xiàn)圍成圖形如下圖所示：其中每個(gè)象限內(nèi)半圓的半徑為，所以曲線(xiàn)圍成圖形的面積為：，故選：D二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線(xiàn)與直線(xiàn)，下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的傾斜角為B.直線(xiàn)恒過(guò)點(diǎn)C若，則D.若，則【答案】BD【解析】【分析】利用直線(xiàn)斜率與傾斜角的關(guān)系判斷A，利用直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的求解判斷B，利用直線(xiàn)平行與垂直的性質(zhì)判斷CD，從而得解.【詳解】A中，當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)的斜率，設(shè)其傾斜角為，所以，則，所以A不正確；B中，直線(xiàn)，整理可得，令，可得，即直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，所以B正確；C中，當(dāng)時(shí)，兩條直線(xiàn)方程分別為：，則兩條直線(xiàn)重合，所以C不正確；D中，當(dāng)時(shí)，兩條直線(xiàn)方程分別為：，顯然兩條直線(xiàn)垂直，所以D正確.故選：BD.10.關(guān)于等差數(shù)列和等比數(shù)列，下列說(shuō)法正確的是（）A.若數(shù)列的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等比數(shù)列B.若的前項(xiàng)和，則數(shù)列為等差數(shù)列C.若數(shù)列為等比數(shù)列，為前項(xiàng)和，則成等比數(shù)列D.若數(shù)列為等差數(shù)列，為前項(xiàng)和，則成等差數(shù)列【答案】AD【解析】【分析】對(duì)選項(xiàng)A，利用與的關(guān)系判斷即可判斷，對(duì)選項(xiàng)B，利用特值法即可判斷，對(duì)選項(xiàng)C，利用特值法即可判斷，對(duì)選項(xiàng)D，根據(jù)等差數(shù)列公式即可判斷.【詳解】對(duì)選項(xiàng)A，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，取時(shí)，，此時(shí)也滿(mǎn)足，故的通項(xiàng)公式為所以數(shù)列為等比數(shù)列，故A正確；對(duì)選項(xiàng)B，，，不滿(mǎn)足數(shù)列為等差數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，為等比數(shù)列，，不滿(mǎn)足成等比數(shù)列，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)是，，，，因此，則成等差數(shù)列，故D正確.故選：AD.11.下列說(shuō)法正確的是（）A.已知，則在上的投影向量為B.若是四面體的底面的重心，則C.若，則四點(diǎn)共面D.若向量，（都是不共線(xiàn)的非零向量）則稱(chēng)在基底下的坐標(biāo)為，若在單位正交基底下的坐標(biāo)為，則在基底下的坐標(biāo)為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解可判斷A；根據(jù)空間向量基本定理可判斷B；根據(jù)四點(diǎn)共面的結(jié)論可判斷C；根據(jù)空間向量基本定理分析可判斷D.【詳解】對(duì)于A，在上的投影向量為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，如圖，是四面體的底面的重心，延長(zhǎng)交與點(diǎn)，則點(diǎn)是的中點(diǎn)，所以，故B正確；對(duì)于C，若，則，所以四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D，設(shè)在基底下的坐標(biāo)為，則，因?yàn)樵趩挝徽换紫碌淖鴺?biāo)為，所以，解得，則在基底下的坐標(biāo)為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.已知點(diǎn)為圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為B.切線(xiàn)C.直線(xiàn)的方程為D.【答案】AC【解析】【分析】將圓的方程配方易得A項(xiàng)正確；利用圓的切線(xiàn)的性質(zhì)和勾股定理易求得；設(shè)出切線(xiàn)方程，由圓心到切線(xiàn)的距離等于半徑求出值，回代入直線(xiàn)方程與圓的方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用斜率關(guān)系即可求得直線(xiàn)的方程；先判斷，求出的正余弦，再求即得.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由可得：，知圓心為,半徑為，故A項(xiàng)正確；如圖，點(diǎn)為圓的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為.對(duì)于B項(xiàng)，分別連接,在中，,則,故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)過(guò)點(diǎn)的圓的切線(xiàn)方程為：，即：，由圓心到直線(xiàn)的距離，解得：，取，則切線(xiàn)方程為代入整理得：，解得：，代入可得：，即得：，因,直線(xiàn)的斜率為1，則直線(xiàn)的斜率為，故直線(xiàn)的方程為：，即：，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，由對(duì)稱(chēng)性可知,由上分析知，,則，于是，.故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題主要考查直線(xiàn)與圓相切產(chǎn)生的切線(xiàn)長(zhǎng)，直線(xiàn)方程和夾角問(wèn)題，屬于較難題.解決此類(lèi)題目的思路即是，作出圖形，利用圖形的幾何性質(zhì)，借助于直線(xiàn)與圓的方程聯(lián)立，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)和相關(guān)角的三角函數(shù)值即可依次求得.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.直線(xiàn)在軸?軸上的截距分別是和，則直線(xiàn)的一般式直線(xiàn)方程為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】由已知先求出直線(xiàn)的截距式方程，再化為一般式方程即可得解.【詳解】由題意，直線(xiàn)l的截距式方程為，化為一般式方程為.故答案為：.14.若雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與圓相切，則__________.【答案】【解析】【分析】由雙曲線(xiàn)方程寫(xiě)出漸近線(xiàn)方程，再由已知圓與漸近線(xiàn)相切列出方程，求解即得.【詳解】由可得其漸近線(xiàn)方程為：，即，由可得：.依題意，圓心到直線(xiàn)的距離，解得：，因，故.故答案為：.15.如圖，兩條異面直線(xiàn)所成的角為，在直線(xiàn)上分別取點(diǎn)和點(diǎn)，使.已知，則__________.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得，兩邊平方，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合題意已知可得結(jié)果.【詳解】由題意知，，所以，展開(kāi)得，因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成角為，所以向量夾角為或，因?yàn)?，所以，即，且，代入可得：，得方程：或，所以或，故答案為：?16.如圖所示，已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在上，點(diǎn)在軸上，，則的離心率為_(kāi)_________.【答案】##【解析】【分析】設(shè)出，利用橢圓定義和圖形對(duì)稱(chēng)性，借助于求得與的數(shù)量關(guān)系，接著在中求得，從而得到，最后在中運(yùn)用余弦定理即可求得.【詳解】設(shè)，依題意，，因點(diǎn)在軸上，則，，又因則，化簡(jiǎn)得，在中，，故,在中由余弦定理，,即，解得：，即，則離心率為.故答案為：.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由橢圓的焦半徑想到橢圓定義式，由垂直想到求三邊利用勾股定理，由邊的數(shù)量關(guān)系想到設(shè)元替換，遇到三角形的邊角關(guān)系，要考慮能否用正、余弦定理.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.17.在正四棱柱中，，點(diǎn)在線(xiàn)段上，且，點(diǎn)為中點(diǎn).（1）求點(diǎn)到直線(xiàn)的距離；（2）求證：面.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依題建系，求得相關(guān)點(diǎn)和向量的坐標(biāo)，利用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離的空間向量計(jì)算公式即可求得；（2）由（1）中所建系求出的坐標(biāo)，分別計(jì)算得到和，由線(xiàn)線(xiàn)垂直推出線(xiàn)面垂直.【小問(wèn)1詳解】如圖,以為原點(diǎn)，以分別為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，正四棱柱,為中點(diǎn),則點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為：.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，則，由可得，又由可得，又，故面.18.是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，與直線(xiàn)垂直，垂足位于第一象限，與直線(xiàn)垂直，垂足位于第四象限.若四邊形（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為6.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）如圖所示，斜率為且過(guò)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，射線(xiàn)與曲線(xiàn)交于點(diǎn)，與直線(xiàn)交于點(diǎn).證明：成等比數(shù)列.【答案】（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）設(shè)動(dòng)點(diǎn)，利用題設(shè)條件列出方程，化簡(jiǎn)得到軌跡方程，并考慮自變量范圍即得；（2）依題設(shè)出直線(xiàn)的方程，將其與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立，寫(xiě)出韋達(dá)定理，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，接著將直線(xiàn)的方程與雙曲線(xiàn)方程聯(lián)立求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再證明三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列即得.小問(wèn)1詳解】如圖，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，因分別與直線(xiàn)垂直，則四邊形是矩形，依題，代入得：兩點(diǎn)分別在一?四象限，點(diǎn)的軌跡方程為：【小問(wèn)2詳解】如圖，設(shè)直線(xiàn)的方程為：，中點(diǎn)直線(xiàn)的方程與的方程聯(lián)立消元得：則解得：且，由可得：將其代入得，即.要證成等比數(shù)列，只要證明三點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等比數(shù)列即可.因直線(xiàn)的斜率,則直線(xiàn)的方程為由可得點(diǎn)橫坐標(biāo)滿(mǎn)足，因點(diǎn)的橫坐標(biāo)顯然是，則故成等比數(shù)列.19.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，且成等比數(shù)列，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前30項(xiàng)的和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等比中項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式求得，從而得解；（2）利用并項(xiàng)求和法，結(jié)合等差數(shù)列的求和公式即可得解.【小問(wèn)1詳解】依題意，則，解得，則，故，所以，解得，則，故.【小問(wèn)2詳解】，，.20.如圖，在底面是菱形的四棱錐中，底面分別在梭上，為的中點(diǎn).（1）若為中點(diǎn)，證明：面；（2）若，是否存在點(diǎn)，使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在點(diǎn)，且或【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用法向量證明線(xiàn)面平行即可；（2）設(shè)，利用向量法求出求出線(xiàn)面角的正弦，由正弦值得出參數(shù)，即可得解.【小問(wèn)1詳解】，所以為等邊三角形，為中點(diǎn)，，又，所以以為原點(diǎn)，分別頭軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，，令，可得，，，又面，面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則,,設(shè)平面的法向量，則，即，令，得平面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成的角為，則，解得或，即存在點(diǎn)，且或.21.如圖形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊渾所著的《詳解九章算法商功》中，后人稱(chēng)為“三角垛”，“三角垛”的最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列.（1）寫(xiě)出與的遞推關(guān)系，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，在與之間插入個(gè)數(shù)，若這個(gè)數(shù)恰能組成一個(gè)公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，，再利用累加法即可得解；（2）利用與的關(guān)系，結(jié)合為等比數(shù)列求得，進(jìn)而利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，再利用錯(cuò)位相減法即可得解.【小問(wèn)1詳解】從圖中可以發(fā)現(xiàn)每一層球的數(shù)量比上一層多的個(gè)數(shù)等于層數(shù)，所以有，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由，得，兩式相減得，則，因?yàn)闉榈缺葦?shù)列，則公比為，當(dāng)時(shí)，，解得，，則，，，，，則，兩式相減，得，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第2小題解決的關(guān)鍵是利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，從而得解.22.已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)，過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)且平行于軸的直線(xiàn)與圓相切，與交與兩點(diǎn)，.（1）求和圓的方程；（2）過(guò)上一點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)分別與交于兩點(diǎn)，判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由.【答案】（1）的方程為，圓的方程為（2）直線(xiàn)與圓相切，理由見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得