199勾股定理（第2課時）（作業(yè)）

19.9勾股定理（第2課時）（作業(yè)）【夯實基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）如圖，已知釣魚竿的長為，露在水面上的魚線長為，某釣者想看看魚鉤上的情況，把魚竿轉(zhuǎn)動到的位置，此時露在水面上的魚線為，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理分別求出AB和AB′，再根據(jù)BB′=ABAB′即可得出答案．【詳解】∵AC＝6m，BC＝3m，∴AB＝＝＝3m，∵AC′＝6m，B′C′＝m，∴AB′＝＝＝m，∴BB′＝AB﹣AB′＝3﹣＝2m；故選：B．【點睛】考查了二次根式的應(yīng)用和勾股定理，解題關(guān)鍵是根據(jù)已知條件求出AB和AB′的長度．2．（2021·上海虹口·八年級期末）直角三角形的兩條直角邊分別為5和12，那么這個三角形的斜邊上的中線長為（）A．6 B．6.5 C．10 D．13【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理可求得直角三角形斜邊的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求解．【詳解】解：∵直角三角形兩直角邊長為5和12，∴斜邊＝，∴此直角三角形斜邊上的中線的長＝＝6.5．故選：B．【點睛】本題主要考查勾股定理及直角三角形斜邊中線定理，熟練掌握勾股定理及直角三角形斜邊中線定理是解題的關(guān)鍵．3．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）在△ABC中，BC=7，AC=24，AB=25，如果CD是AB邊上的高，則CD=（

）A．7 B．24 C．25 D．【答案】D【分析】由題干條件知：AC2+BC2=AB2，根據(jù)勾股定理的逆定理可知三角形為直角三角形，根據(jù)三角形的面積相等即可求出CD的長．【詳解】在△ABC中，∵AB=25，AC=24，BC=7，∴242+72=252，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°．根據(jù)三角形面積相等可知，BC?AC=AB?CD，∴CD=．故選：D．【點睛】本題主要考查了勾股定理的逆定理，利用好勾股定理的逆定理以及面積法求高是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題4．（2022·上海·八年級專題練習(xí)）如圖，一棵垂直于地面的大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹干底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是____________米．【答案】8【分析】在圖中標(biāo)出字母，由題意得到米，米，，運用勾股定理AB，最后利用來求解．【詳解】解：如下圖．由題意得：米，米，，∴折斷的部分AB的長為：（米），∴折斷前高度為（米）．故答案為：8．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生對勾股定理在實際生活中的運用能力．5．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┻呴L為6的等邊三角形的面積是__________．【答案】【分析】作出相應(yīng)圖形中，作，由三線合一性質(zhì)解得DC=3，繼而根據(jù)勾股定解得AD的長，最后根據(jù)三角形面積公式解題．【詳解】如圖，在中，作，故答案為：．【點睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)、三線合一性質(zhì)、勾股定理、三角形面積公式等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．6．（2021·上海虹口·八年級期末）將一副三角尺如圖所示疊放在一起，點A、C、D在同一直線上，AE與BC交于點F，若AB＝14cm，則AF＝_____cm．【答案】【分析】求出∠AFC＝∠E＝45°，由直角三角形的性質(zhì)求出AC＝7cm，由勾股定理可得出答案．【詳解】解：由題意知，∠ACB＝∠D＝90°，∴CF∥DE，∵∠E＝45°，∴∠AFC＝∠E＝45°，∴AC＝CF，∵AB＝14cm，∠B＝30°，∴AC＝AB＝7cm，∴AF＝（cm）．故答案為：．【點睛】本題主要考查含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理，熟練掌握含30度直角三角形的性質(zhì)及勾股定理是解題的關(guān)鍵．7．（2020·上海市川沙中學(xué)南校八年級期末）一木桿在離地面3m處折斷，木桿頂端落在離木桿底端4m處，則木桿折斷前有_______米．【答案】8【分析】由題意得，在直角三角形中，知道了兩直角邊，運用勾股定理即可求出斜邊，從而得出這棵樹折斷之前的高度．【詳解】解：∵一棵垂直于地面的大樹在離地面3米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，如圖，∴折斷的部分長為，∴折斷前高度為5+3=8（米）．故答案為：8．【點睛】此題考查了勾股定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生對勾股定理在實際生活中的運用能力．8．（2020·上海市靜安區(qū)實驗中學(xué)八年級課時練習(xí)）已知直角三角形的兩邊長分別為3、4．則第三邊長為________．【答案】5或【分析】已知直角三角形兩邊的長，但沒有明確是直角邊還是斜邊，因此分兩種情況討論．【詳解】解：①長為3的邊是直角邊，長為4的邊是斜邊時，第三邊的長為：；②長為3、4的邊都是直角邊時，第三邊的長為：；∴第三邊的長為：或5，故答案為：或5．三、解答題9．（2021·上海市南匯第四中學(xué)八年級期末）如圖，在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝5，求：△ABC的面積和∠C的度數(shù)．【答案】面積為，∠C＝60°【分析】作AD⊥BC于D，取的中點，連接，利用勾股定理構(gòu)建方程求出x，即可求出AD，證明是等邊三角形，即可求得，進而解答即可．【詳解】解：作AD⊥BC于D，取的中點，連接設(shè)CD＝x，則BD＝8﹣x，由勾股定理可得：，解得：x＝2.5，即CD＝2.5，，是的中點，，是等邊三角形，∴．【點睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習(xí)）某中學(xué)初二年級游同學(xué)在學(xué)習(xí)了勾股定理后對《九章算術(shù)》勾股章產(chǎn)生了學(xué)習(xí)興趣．今天，他學(xué)到了勾股章第7題：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索卻行，去本八尺而索盡．問索長幾何？”本題大意是：如圖，木柱，繩索AC比木柱AB長三尺，BC的長度為8尺，求：繩索AC的長度．【答案】繩索長是尺【分析】設(shè)，則，由勾股定理及即可求解．【詳解】設(shè)，則，在中，，∴，解得：，答：繩索長是尺．【點睛】本題考查勾股定理得應(yīng)用，用題意列出等量關(guān)系式是解題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2019·上海市進才中學(xué)北校八年級階段練習(xí)）《九章算術(shù)》中的“折竹抵地”問題：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺．問折高者幾何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一陣風(fēng)將竹子折斷，其竹梢恰好抵地，抵地處離竹子底部6尺遠(yuǎn)，問折斷處離地面的高度是多少？設(shè)折斷處離地面的高度為尺，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先畫出三角形，根據(jù)勾股定理和題目設(shè)好的未知數(shù)列出方程．【詳解】解：如圖，根據(jù)題意，，，設(shè)折斷處離地面的高度是x尺，即，根據(jù)勾股定理，，即．故選：D．【點睛】本題考查勾股定理的方程思想，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意利用勾股定理列出方程．2．（2022·上?！ぐ四昙墕卧獪y試）“趙爽炫圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙爽炫圖”是由四個全等直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為,較短直角邊長為，若(a+b)2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的邊長為(

)A． B．2 C． D．【答案】C【詳解】觀察圖形可知，小正方形的面積=大正方形的面積4個直角三角形的面積，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面積為13，可以得出直角三角形的面積，進而求出小正方形的面積，即可得出小正方形的邊長．解：∵(a+b)2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面積為13，2ab=21?13=8，∴小正方形的面積為13?8=5.∴小正方形的邊長為.故選C.二、填空題3．（2022·上?！y試·編輯教研五八年級期中）如圖，點是正方形內(nèi)一點，且點到點、、的距離分別為、、，則正方形的面積為______．【答案】##【分析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點作于．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，進而根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，再根據(jù)勾股定理得到，再由直角三角形斜邊上的中線得到，最后根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，過點作于．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，，，，，，，，，，，，，共線，，，，，，正方形的面積為．故答案為．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和判定，勾股定理，直角三角形斜邊上的中線，正確構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形是解題的關(guān)鍵．4．（2022·上?！ぐ四昙壠谀毒耪滤阈g(shù)》中有一道題：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，問折者高幾何？”大致意思是：有一根長為10尺的竹子，中間折斷后竹梢觸底，如圖，離開根部為3尺（），那么折斷后的竹子（）的高度為___________．【答案】4.55尺．【分析】設(shè)AB=x，則BC=10x，在直角三角形ABC中，利用勾股定理列方程求解即可．【詳解】∵∠ABC=90°，AB+AC=10，設(shè)AB=x，則BC=10x，在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得x=4.55∴折斷后的竹子（）的高度為4.55尺，故答案為：4.55尺．【點睛】本題考查了直角三角形的勾股定理，熟練掌握定理，并靈活列式求解是解題的關(guān)鍵．5．（2022·上?！ぐ四昙壠谀┮阎?，如圖，在中，是上的中線，如果將沿翻折后，點的對應(yīng)點，那么的長為__________．【答案】．【分析】先用勾股定理求得BC，利用斜邊上的中線性質(zhì)，求得CD，BD的長，再利用折疊的性質(zhì)，引進未知數(shù)，用勾股定理列出兩個等式，聯(lián)立方程組求解即可．【詳解】如圖所示，∵，∴BC==8，∵CD是上的中線，∴CD=BD=AD=5，設(shè)DE=x，BE=y，根據(jù)題意，得，，解得x=，y=,∴,故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理，斜邊上中線的性質(zhì)，方程組的解法，折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，正確構(gòu)造方程組計算是解題的關(guān)鍵．6．（2020·上海市奉賢區(qū)弘文學(xué)校八年級期末）如圖，在邊長為的等邊三角形ABC中，過點C作垂直于BC的直線交∠ABC的平分線于點P，則點P到邊AB所在直線的距離為_________．【答案】2【分析】根據(jù)△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC，得到∠PBC=30°，利用PC⊥BC，所以∠PCB=90°，根據(jù)含30°直角三角形邊的特殊關(guān)系和勾股定理即可解答.【詳解】解：∵△ABC為等邊三角形，BP平分∠ABC，∴，∵PC⊥BC，∴∠PCB=90°，在Rt△PCB中，設(shè)，則,根據(jù)勾股定理可得：，且，解得：，∵∠ABC的平分線是PB，∴點P到邊AB所在直線的距離與點P到邊BC所在直線的距離相等.故答案為：2．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、利用勾股定理求值，解決本題的關(guān)鍵是等邊三角形的性質(zhì)．7．（2019·上海松江·八年級期末）如圖，將繞著頂點逆時針旋轉(zhuǎn)使得點落在上的處，點落在處，聯(lián)結(jié)，如果，，那么__________．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理求出BC，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出AC′、B′C′，在Rt△BC′B′中，求出BC′，B′C′即可解決問題．【詳解】在中，，，，，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，∠AC′B′=∠C=90°，，∠B′C′B=90°，．故答案為：．【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及勾股定理．三、解答題8．（2021·上海民辦行知二中實驗學(xué)校八年級期中）閱讀材料：兩點間的距離公式：如果直角坐標(biāo)系內(nèi)有兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），那么A、B兩點的距離AB＝．則AB2＝（x1﹣x2）2+（y1﹣y2）2．例如：若點A（4，1），B（2，3），則AB＝根據(jù)上面材料完成下列各題：(1)若點A（﹣2，3），B（1，﹣3），則A、B兩點間的距離是．(2)若點A（﹣2，3），點B在坐標(biāo)軸上，且A、B兩點間的距離是5，求B點坐標(biāo)．(3)若點A（x，3），B（3，x+1），且A、B兩點間的距離是5，求x的值．【答案】(1)(2)或或或(3)【分析】（1）直接利用AB＝計算即可；（2）分兩種情況討論：點B在坐標(biāo)軸上，設(shè)或再利用可得列方程，再解方程即可；（3）直接利用列方程，再解方程即可.(1)解：點A（﹣2，3），B（1，﹣3），則A、B兩點間的距離是：故答案為：(2)解：點B在坐標(biāo)軸上，設(shè)或當(dāng)時，點A（﹣2，3），且A、B兩點間的距離是5，或或當(dāng)時，點A（﹣2，3），且A、B兩點間的距離是5，或解得：或(3)解：點A（x，3），B（3，x+1），且A、B兩點間的距離是5，整理得：解得：【點睛】本題考查的是已知兩點坐標(biāo)求解兩點之間的距離，一元二次方程的解法，掌握“兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），則A、B兩點的距離AB＝”是解本題的關(guān)鍵.9．（2022·上海·八年級期末）閱讀下面的材料，然后解答問題：我們新定義一種三角形，兩邊的平方和等于第三邊平方的倍的三角形叫做奇異三角形．（1）①根據(jù)奇異三角形的定義，等邊三角形一定______奇異三角形；（填“是”或“不是”）②若某三角形的三邊長分別為、、，試判斷該三角形是否為奇異三角形？并說明理由．（2）探究：已知某直角三角形的兩條邊長分別是、，且，，則這個三角形是否為奇異三角形？請說明理由．【答案】（1）①是；②是，理由見解析；（2）是，理由見解析【分析】（1）①根據(jù)等邊三角形的三邊相等、奇異三角形的定義判斷；②根據(jù)奇異三角形的定義判斷；（2）分c為斜邊、b為斜邊兩種情況，根據(jù)勾股定理、奇異三角形的定義判斷．【詳解】解：（1）①設(shè)等邊三角形的邊長為a，則a2+a2=2a2，∴等邊三角形一定是奇異三角形，故答案為：是；②因為，，，所以該三角形是奇異三角形．（2）當(dāng)為斜邊時，則，則，，，所以不是奇異三角形；當(dāng)為斜邊時，，則有，所以是奇異三角形，答：當(dāng)為斜邊時，不是奇異三角形；當(dāng)為斜邊時，是奇異三角形．【點睛】本題考查的是勾股定理、奇異三角形的定義，如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2．10．（2021·上海浦東新·八年級階段練習(xí)）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，∠C＝60°，BC＝CD＝6，現(xiàn)將梯形折疊，點B恰與點D重合，折痕交AB邊于點E，則CE＝_____．【答案】4【分析】連接DE，BD，由題意可證△BCD是等邊三角形，可得BD＝BC＝6，∠DBC＝60°，由直角三角形的性質(zhì)可求AD＝3，AB＝3，由直角三角形的性質(zhì)可求BE＝2，由勾股定理可求解．【詳解】解：如圖，連接DE，BD，∵∠BCD＝60°，BC＝CD＝6，∴△BCD是等邊三角形，∴BD＝BC＝6，∠DBC＝60°，∵∠B＝90°，AD∥BC，∴∠DAB＝90°，∠ABD＝30°，∠ADB＝∠DBC＝60°，∴AD＝BD＝3，AB＝AD＝3，∵折痕交AB邊于點E，∴BE＝DE，∵∠DBE＝∠BDE＝30°，∴∠ADE＝30°，∴DE＝2AE，∴BE＝2AE，∵AE+BE＝AB＝3，∴BE＝2，∴EC＝＝＝4，故答案為：4．【點睛】本題考查了折疊和勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)和勾股定理．11．（2019·上海市進才中學(xué)北校八年級階段練習(xí)）"引葭赴岸“是《九章算木》中的一道題:”今有池一丈,葭生其中央,出水一尺，引葭赴岸,適與岸芥.伺水深,葭氏各幾何?"題意是:有一個邊長為10尺的正方形池塘，一棵蘆葦AB生長在它的中央,高出水面BC為1尺.如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊,那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'.向蘆葦長多少?(畫出幾何圖形并解答)【答案】13尺【分析】我們可以將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)幾何圖形，可知邊長為10尺的正方形，則B'C＝5尺，設(shè)出AB＝AB'＝x尺，表示出水深A(yù)C，根據(jù)勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到蘆葦?shù)拈L和水深．【詳解】設(shè)蘆葦長AB＝AB′＝x尺，則水深A(yù)C＝（x?1）尺，因為邊長為10尺的正方形，所以B'C＝5尺在Rt△AB'C中，52＋（x?1）2＝x2，解之得x＝13，即水深12尺，蘆葦長13尺．故蘆葦長13尺.【點睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟悉數(shù)形結(jié)合的解題思想是解題關(guān)鍵．12．（2017·上?！ぐ四昙壠谥校┤鐖D所示，有一個長方體，它的長、寬、高分別為5cm，3cm，4cm．在頂點A處有一只螞蟻，它想吃到與頂點A相對的頂點B的食物．（1）請畫出該螞蟻沿長方體表面爬行的三條線路圖（即平面展開圖）；（2）已知螞蟻沿長方體表面爬行的速度是1cm/s，問螞蟻能否在8秒內(nèi)獲取到食物？【答案】（1）圖形見解析；（2）螞蟻不能在8秒內(nèi)獲取到食物.【詳解】試題分析：（1）按下圖三種方式展開即可畫出三條路線圖；（2）根據(jù)（1）中所畫的路線圖結(jié)合長方體的長、寬、高由勾股定理可計算出每條路線的長度，從而可得最短的路線長度，再除以螞蟻爬行的速度即可得螞蟻由A爬行到B所需的時間，與8比較即可得出結(jié)論.試題解析：（1）如下圖所示：從長方體的一條對角線的一個端點A出發(fā)，沿表面運動到另一個端點B，有以下三種方案：（2）如圖（1）由勾股定理得：AB=

如圖（2）由勾股定理得：AB=如圖（3）由勾股定理得：AB=∵＜＜∴它想吃到與頂點A相對的頂點B的食物最短路程為，∴所需時間為∵∴∴螞蟻不能在8秒內(nèi)獲取到食物．點睛：如圖所示的長方體的長、寬、高分別為，若，則沿著這個長方體的表面由點A爬行到點B的最短路線長為：.13．（2019·上海市仙霞高級中學(xué)八年級階段練習(xí)）小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計了如下問題：如圖，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在黃石A坐“武黃城際列車”到武漢青山站C，再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站B．設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請你幫助小明解決以下問題：(1)求A，C之間的距離．(參考數(shù)據(jù)≈4.6)(2)若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，“武黃城際列車”的平均速度為180km/h，為了在最短時間內(nèi)到達武昌客運站，小明應(yīng)選擇哪種乘車方案？請說明理由．(不計候車時間)【答案】（1）92km；（2）選擇乘“武黃城際列車”．【詳解】試題分析:（1）先作出輔助線,過點C作AB的垂線,交AB的延長線于E點,構(gòu)造出一個直