高考大題研究課十二

高考大題研究課十二概率統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題在掌握概率與統(tǒng)計(jì)的基本知識(shí)和基本技能的前提下，重點(diǎn)掌握概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列、函數(shù)的交匯問(wèn)題，提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．關(guān)鍵能力·題型剖析題型一概率統(tǒng)計(jì)與數(shù)列的綜合例1(12分)[2023·新課標(biāo)Ⅰ卷]甲、乙兩人投籃，每次由其中一人投籃，規(guī)則如下：若命中則此人繼續(xù)投籃，若未命中則換為對(duì)方投籃．無(wú)論之前投籃情況如何，甲每次投籃的命中率均為0.6，乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽確定第1次投籃的人選，第1次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.(1)求第2次投籃的人是乙的概率；(2)求第i次投籃的人是甲的概率；(3)已知：若隨機(jī)變量Xi服從兩點(diǎn)分布，且P(Xi＝1)＝1－P(Xi＝0)＝qi，i＝1，2，…，n，則E(i=1nXi)＝i=1nqi.記前n次(即從第1次到第n次投籃)中甲投籃的次數(shù)為思路導(dǎo)引(1)由全概率公式求出．(2)設(shè)P(Ai)＝Pi→Pi＋1＝0.4Pi＋0.2→構(gòu)造數(shù)列→根據(jù)構(gòu)造的數(shù)列求通項(xiàng)→P(3)由(2)Pi→E(Y)．[滿分答卷·評(píng)分細(xì)則]解析：(1)記“第i次投籃的人是甲”為事件Ai，“第i次投籃的人是乙”為事件Bi，所以，P(B2)＝P(A1B2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(B2|A1)＋P(B1)P(B2|B1)＝0.5×(1－0.6)＋0.5×0.8＝0.6.→正確寫出P(B2)并計(jì)算出結(jié)果得3分．(2)設(shè)P(Ai)＝Pi，依題意知P(Bi)＝1－Pi，則P(Ai＋1)＝P(AiAi＋1)＋P(BiAi＋1)＝P(Ai)P(Ai＋1|Ai)＋P(Bi)P(Ai＋1|Bi)即Pi＋1＝0.6Pi＋(1－0.8)×(1－Pi)＝0.4Pi＋0.2，→正確推導(dǎo)出Pi＋1與Pi的遞推關(guān)系式得3分．構(gòu)造等比數(shù)列{Pi＋λ}，設(shè)Pi＋1＋λ＝25(Pi＋λ)，解得λ＝－13，則Pi＋1－13＝25(Pi－13)，又P1＝12，P1－13＝16，所以{Pi－13}是首項(xiàng)為1即Pi－13＝16×(25)i所以Pi＝16×(25)i－1＋13.→正確求出Pi(3)由(2)得當(dāng)n∈N*時(shí)，E(Y)＝P1＋P2＋…＋Pn＝16×1-25n1-25+n3＝所以E(Y)＝518[1－(25)n]＋n3.→由等比數(shù)列求和正確求出E(Y)題后師說(shuō)此類問(wèn)題常常以概率統(tǒng)計(jì)為命題背景，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定即前n項(xiàng)和，解題時(shí)要準(zhǔn)確把握題中所涉及的事件，明確其所屬的事件類型．鞏固訓(xùn)練1[2024·安徽合肥模擬]為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨成立102周年，學(xué)校某班組織開(kāi)展了“學(xué)黨史，憶初心”黨史知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng)，抽取四位同學(xué)，分成甲、乙兩組，每組兩人，進(jìn)行對(duì)戰(zhàn)答題．規(guī)則如下：每次每位同學(xué)給出6道題目，其中有一道是送分題(即每位同學(xué)至少答對(duì)1題)．若每次每組答對(duì)的題數(shù)之和為3的倍數(shù)，原答題組的人再繼續(xù)答題；若答對(duì)的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)，就由對(duì)方組接著答題．假設(shè)每位同學(xué)每次答題之間相互獨(dú)立．求：(1)若第一次由甲、乙組答題是等可能的，求第2次由乙組答題的概率；(2)若第一次由甲組答題，記第n次由甲組答題的概率為Pn，求Pn.題型二概率統(tǒng)計(jì)與導(dǎo)數(shù)的綜合例2[2024·河北石家莊模擬]肝臟疾病是各種原因引起的肝臟損傷，是一種常見(jiàn)的危害性極大的疾病，研究表明有八成以上的肝病，是由乙肝發(fā)展而來(lái)，身體感染乙肝病毒后，病毒會(huì)在體內(nèi)持續(xù)復(fù)制，肝細(xì)胞修復(fù)過(guò)程中形成纖維化，最后發(fā)展成肝?。蚋腥疽腋尾《竞笊眢w初期沒(méi)有任何癥狀，因此忽視治療，等到病情十分嚴(yán)重時(shí)，患者才會(huì)出現(xiàn)痛感，但已經(jīng)錯(cuò)過(guò)了最佳治療時(shí)機(jī)，對(duì)乙肝病毒應(yīng)以積極預(yù)防為主，通過(guò)接種乙肝疫苗可以預(yù)防感染乙肝病毒、體檢是篩查乙肝病毒攜帶者最好的方法，國(guó)家在《中小學(xué)生健康體檢管理辦法》中規(guī)定：中小學(xué)校每年組織一次在校學(xué)生健康體檢，現(xiàn)某學(xué)校有4000名學(xué)生，假設(shè)攜帶乙肝病毒的學(xué)生占m%，某體檢機(jī)構(gòu)通過(guò)抽血的方法篩查乙肝病毒攜帶者，如果對(duì)每個(gè)人的血樣逐一化驗(yàn)，就需要化驗(yàn)4000次．為減輕化驗(yàn)工作量，統(tǒng)計(jì)專家給出了一種化驗(yàn)方法：隨機(jī)按照k個(gè)人進(jìn)行分組，將各組k個(gè)人的血樣混合再化驗(yàn)，如果混合血樣呈陰性，說(shuō)明這k個(gè)人全部陰性；如果混合血樣呈陽(yáng)性，說(shuō)明其中至少有一人的血樣呈陽(yáng)性，就需對(duì)該組每個(gè)人血樣再分別化驗(yàn)一次．假設(shè)每人血樣化驗(yàn)結(jié)果呈陰性還是陽(yáng)性相互獨(dú)立．(1)若m＝0.4，記每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X，當(dāng)k取何值時(shí)，X的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總次數(shù)；

(2)若m＝0.8，設(shè)每人血樣單獨(dú)化驗(yàn)一次費(fèi)用5元，k個(gè)人混合化驗(yàn)一次費(fèi)用k＋4元．求當(dāng)k取何值時(shí)，每人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小，并求化驗(yàn)總費(fèi)用．參考數(shù)據(jù)及公式：10≈3.16，(1＋x)n≈1＋nx(n∈N*，n≥2，|x|≤0.01)．題后師說(shuō)在概率與統(tǒng)計(jì)的問(wèn)題中，決策的工具是樣本的數(shù)字特征或有關(guān)概率．決策方案的最佳選擇是將概率最大(最小)或均值最大(最小)的方案作為最佳方案，這往往借助于函數(shù)、導(dǎo)數(shù)或不等式去實(shí)現(xiàn)．鞏固訓(xùn)練2[2024·河南焦作模擬]小李參加某項(xiàng)專業(yè)資格考試，一共要考3個(gè)科目，若3個(gè)科目都合格，則考試直接過(guò)關(guān)；若都不合格，則考試不過(guò)關(guān)；若有1個(gè)或2個(gè)科目合格，則所有不合格的科目需要進(jìn)行一次補(bǔ)考，補(bǔ)考都合格的考試過(guò)關(guān)，否則不過(guò)關(guān)．已知小李每個(gè)科目每次考試合格的概率均為p(0<p<1)，且每個(gè)科目每次考試的結(jié)果互不影響．(1)記“小李恰有1個(gè)科目需要補(bǔ)考”的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0.(2)以(1)中確定的p0作為p的值．(ⅰ)求小李這項(xiàng)資格考試過(guò)關(guān)的概率；(ⅱ)若每個(gè)科目每次考試要繳納20元的費(fèi)用，將小李需要繳納的費(fèi)用記為X元，求E(X)．高考大題研究課十二概率統(tǒng)計(jì)與其他知識(shí)的交匯問(wèn)題關(guān)鍵能力·題型剖析鞏固訓(xùn)練1解析：(1)設(shè)第1次由甲組答題記作事件A，第1次由乙組答題記作事件A，第2次由乙組答題記作事件B，因?yàn)榇饘?duì)的題數(shù)之和為3的倍數(shù)分別為1＋2，2＋4，1＋5，4＋5，3＋3，6＋6，3＋6，所以答對(duì)的題數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為5×2+236所以答對(duì)的題數(shù)之和不是3的倍數(shù)的概率為1－13＝2則P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)·P(B|A)＋P(A)·P(B|A)＝12×2(2)第(n＋1)次由甲組答題，是第n次由甲組答題第(n＋1)次繼續(xù)由甲組答題的事件與第n次由乙組答題第(n＋1)次由甲組答題的事件和，它們互斥，又各次答題相互獨(dú)立，所以第n次由甲組答題，第(n＋1)次繼續(xù)由甲組答題的概率為13Pn第n次由乙組答題，第(n＋1)次由甲組答題的概率為23(1－Pn)因此Pn＋1＝13Pn＋23(1－Pn)＝－13Pn＋23(n∈N*)，則Pn＋1－12＝－13(因?yàn)榈谝淮斡杉捉M答題，則P1＝1，所以Pn-12是首項(xiàng)為12所以Pn－12＝12·(－13)n－1，即Pn＝12·(－13)n例2解析：(1)設(shè)每人血樣化驗(yàn)次數(shù)為X，由題意若混合血樣呈陰性，則X＝1k，若混合血樣呈陽(yáng)性，則X＝1k＋1，∵m＝0.4，∴每個(gè)學(xué)生呈陰性概率為1－0.4%＝∴P(X＝1k)＝0.996k，P(X＝1k＋1)＝1－0.996∴E(X)＝1k×0.996k＋(1＋1k)×(1－0.996k)＝1＋1k－0.996k＝1＋1k－(1－0.004)k≈1k＋令f(x)＝1x＋0.004x則f(x)在(0，510)上單調(diào)遞減，在(510，＋∞)上單調(diào)遞增，∵k∈Z，且f(15)＝115＋0.004×15≈0.1267，f(16)＝0.1265∴k＝16取得最小值，E(X)最小值為0.1265.∴按16人一組，每個(gè)人血樣化驗(yàn)次數(shù)的數(shù)學(xué)期望最小，此時(shí)化驗(yàn)總次數(shù)為4000×0.1265＝506(次)．(2)設(shè)每組k人，每組化驗(yàn)總費(fèi)用為Y元，若混合血樣呈陰性則Y＝k＋4，若混合血樣為陽(yáng)性，則Y＝6k＋4，m＝0.8時(shí)，每個(gè)學(xué)生呈陰性概率為1－0.08%＝0.992，∴P(Y＝k＋4)＝0.992k，P(Y＝6k＋4)＝1－0.992k，∴E(Y)＝(k＋4)×0.992k＋(6k＋4)(1－0.992k)＝6k－5k×0.992k＋4，每個(gè)人血樣的化驗(yàn)費(fèi)用為：EYk＝6－5×0.992k＋4k＝6－5×(1－0.008)≈6－5×(1－0.008k)＋4k＝1＋0.04k＋4k≥1＋20.04k·4當(dāng)且僅當(dāng)0.04k＝4k，即k＝10時(shí)取等號(hào)∴10個(gè)人一組，每個(gè)人血樣化驗(yàn)費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望最小，化驗(yàn)總費(fèi)用為4000×1.8＝7200(元)．鞏固訓(xùn)練2解析：(1)由題意知f(p)＝C31p2(1－p)＝3p2(1－p)，0<p則f′(p)＝－9p2＋6p＝3p(2－3p)，當(dāng)0<p<23時(shí)，f′(p)>0當(dāng)23<p<1時(shí)，f′(p)<0所以函數(shù)f(p)在(0，23)單調(diào)遞增，(23，1)所以當(dāng)p＝23時(shí)，f(p)取最大值，即p0＝2(2)(ⅰ)小李第一次考試3個(gè)科目都合格的概率為P1＝(23)3＝8小李第一次考試有2個(gè)科目合格，補(bǔ)考1個(gè)科目且合格的概率為P2＝