14解直角三角形（練習(xí)）

第一章直角三角形的邊角關(guān)系第四節(jié)解直角三角形精選練習(xí)基礎(chǔ)篇基礎(chǔ)篇一、單選題1．（2021·安徽合肥市·九年級(jí)期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD為△ABC的角平分線，CE是△ABC的中線，AD、CE相交于點(diǎn)F，則的值為（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】過(guò)作于先證明設(shè)再用含的代數(shù)式表示再證明利用相似三角形的性質(zhì)可得的值，從而可得答案．【詳解】解：過(guò)作于∠ACB=90°，AD為△ABC的角平分線，CE是△ABC的中線，設(shè)故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形相似的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．2．（2020·浙江省溫嶺市第四中學(xué)九年級(jí)期中）已知如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，AB=4，連接AC，若∠CAD=30°，則CD為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AD延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，由CH=AB=4求出AH的長(zhǎng)，再減去AD即得到DH的長(zhǎng)，再在Rt△DCH中使用勾股定理即可求出CD．【詳解】解：如圖所示，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥AD延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠BAH=90°，且∠H=90°，∴四邊形ABCH為矩形，∴AB=CH=4，在Rt△ACH中，，∴DH=AHAD=，∴在Rt△CDH中，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握30°，60°，90°三角形中三邊之比為是解決本題的關(guān)鍵．3．（2020·慶云縣渤海中學(xué)八年級(jí)期中）△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，D為BC上一點(diǎn)，且AD=2CD，則∠DAB=（）A．30° B．45° C．60° D．15°【答案】D【分析】在Rt△ADC中，由得到∠ADC＝60°，而∠ADC＝45°＝∠B＋∠DAB，根據(jù)等腰直角三角形即可求出∠ADC．【詳解】解：在Rt△ADC中，∠C=90°，sin∠CAD=，

∴∠CAD＝30°，

∴∠ADC＝60°

而∠ADC＝∠B＋∠DAB

∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠B＝45°

∴∠DAB＝15°．

故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形外角和定理和等腰直角三角形的性質(zhì)，掌握這些知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．（2021·河南南陽(yáng)市·九年級(jí)期末）如圖，一艘船向東航行，上午8時(shí)到達(dá)O處，測(cè)得一燈塔在船的北偏東方向，且與船相距海里；上午11時(shí)到達(dá)處，測(cè)得燈塔在船的正北方向．則這艘船航行的速度為（）A．海里/時(shí) B．海里/時(shí) C．海里/時(shí) D．海里/時(shí)【答案】B【分析】易得∠AOB=30°，利用30°的余弦函數(shù)可求得OB的長(zhǎng)，除以3即為所求的航行速度．【詳解】解：連接AB，∵上午8時(shí)到達(dá)O處，測(cè)得一燈塔在船的北偏東方向，上午11時(shí)到達(dá)處，測(cè)得燈塔在船的正北方向∴∠AOB=90°60°=30°，∠ABO=90°∴在Rt△AOB中，OB=海里∴這艘船航行的速度為45÷3=15海里/時(shí)故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查銳角三角函數(shù)的運(yùn)用，正確理解題意掌握相關(guān)概念正確計(jì)算是解題關(guān)鍵．5．（2021·浙江寧波市·九年級(jí)期末）如圖，某商場(chǎng)為了便于殘疾人的輪椅行走，準(zhǔn)備拆除臺(tái)階換成斜坡，又考慮安全，斜坡的坡角不得超過(guò)，此商場(chǎng)門前的臺(tái)階高出地面米，則斜坡的水平寬度至少需（）（精確到米．參考值：，，）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】由題意得：結(jié)合列方程求解并檢驗(yàn)即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，所以斜坡的水平寬度至少需故選：【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，掌握正切的含義是解題的關(guān)鍵．6．（2019·山西九年級(jí)期末）利用計(jì)算機(jī)可以輔助數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，如圖是小明利用幾何畫(huà)板軟件，繪制的他家（點(diǎn)）到兩個(gè)景點(diǎn)，的示意圖，景點(diǎn)位于他家的東南（即南偏東）方向，景點(diǎn)位于他家的正南方向，并測(cè)得，，則景點(diǎn)位于景點(diǎn)的（）A．南偏東方向 B．北偏東方向 C．北偏東方向 D．南偏東方向【答案】B【分析】過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45o利用三角函數(shù)求BD=AD=cos∠DAB?AB，然后求出CD，再利用三角函數(shù)求出∠C=30o，景點(diǎn)B在景點(diǎn)C的方向就知道了【詳解】過(guò)B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45o，∴BD=AD=cos∠DAB?AB=，∵，∴CD=ACAD=km，在Rt△CDB中，∵BD=1km，CD=km，∴tan∠C=，∵tan30o=，∴∠C=30o，景點(diǎn)B在景點(diǎn)C北偏東30o方向，故選擇：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用解直角三角形確定方位角問(wèn)題，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解題關(guān)鍵．7．（2020·安徽九年級(jí)月考）如圖，某校教學(xué)樓與的水平間距，在教學(xué)樓的頂部點(diǎn)測(cè)得教學(xué)樓的頂部點(diǎn)的仰角為，測(cè)得教學(xué)樓的底部點(diǎn)的俯角為，則教學(xué)樓的高度是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB，根據(jù)解Rt△BCE求出BE，再利用Rt△ACE求出AE，故可求解．【詳解】過(guò)C點(diǎn)作CE⊥AB，∵∴CE=BD=am,在Rt△BCE中，BE=CEtan=在Rt△ACE中，AE=CEtan=∴=+故選A．【點(diǎn)睛】此題主要考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知正切的定義．8．（2020·合肥實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)月考）如圖，小明在一條東西走向公路的O處，測(cè)得圖書(shū)館A在他的北偏東60o方向，且與他相距300m，則圖書(shū)館A到公路的距離AB為（）A．150m B．150m C．150m D．100m【答案】C【分析】由題意得知，進(jìn)而在中直接計(jì)算即可．【詳解】由題：，，，在中，；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了用特殊角的三角函數(shù)值求直角三角形的邊長(zhǎng)問(wèn)題，能夠準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2021·山東濰坊市·九年級(jí)期末）如圖，的頂點(diǎn)都是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)，則__________．【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到AC、BC和AB的長(zhǎng)，然后根據(jù)等面積法可以求得CD的長(zhǎng)，再利用勾股定理求得AD的長(zhǎng)，從而可以得到cos∠CAB的值．【詳解】解：作CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，由圖可得，，∵，解得，，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．10．（2020·浙江嘉興市·八年級(jí)期末）在中，，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以的速度沿移動(dòng)到點(diǎn)B，則為等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為_(kāi)________．【答案】秒或1秒或秒．【分析】根據(jù)，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，，由①,②,③分三種情況求解即可．【詳解】解：在中，，，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則，，①由,過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB于D，，在中，，，解得，，當(dāng)P出發(fā)秒時(shí)，是等腰三角形；②由時(shí)，解得，，∴當(dāng)P出發(fā)1秒時(shí)，是等腰三角形；③由時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作于E，，在中，，解得，，∴當(dāng)P出發(fā)秒時(shí)，是等腰三角形．綜上所述，當(dāng)點(diǎn)P出發(fā)秒或1秒或秒時(shí)，是等腰三角形．故答案為：秒或1秒或秒．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理和等腰三角形的判定，解答此題的關(guān)鍵是首先根據(jù)勾股定理求出AB的長(zhǎng)，然后再利用等腰三角形的性質(zhì)去判定．11．（2021·山東東營(yíng)市·九年級(jí)期末）如圖是一斜坡的橫截面，某人沿著坡度為的斜坡從點(diǎn)A向上走了5米到點(diǎn)B處，則此時(shí)人離水平面的垂直高度為_(kāi)____．【答案】【分析】如圖，過(guò)作于由，可得：設(shè)則再利用勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：如圖，過(guò)作于，設(shè)則由（負(fù)根舍去），所以此時(shí)人離水平面的垂直高度為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，坡度的含義，勾股定理的應(yīng)用，掌握坡度的含義是解題的關(guān)鍵．12．（2021·山東泰安市·九年級(jí)期末）如圖，某海監(jiān)船以20海里/小時(shí)的速度在某海域執(zhí)行巡航任務(wù)，當(dāng)海監(jiān)船由西向東航行至處時(shí)，測(cè)得島嶼恰好在其正北方向，繼續(xù)向東航行小時(shí)到達(dá)處，測(cè)得島嶼在其北偏西方向，保持航向不變又航行小時(shí)到達(dá)處，此時(shí)海監(jiān)船與島的之間的距離(即的長(zhǎng))為_(kāi)____________________海里．(結(jié)果用根號(hào)表示)【答案】【分析】首先證明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，再利用，求解PA即可解決問(wèn)題．【詳解】解：由題意得：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，由題意得BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，PA=AB?tan60°，∴（海里），故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用方位角問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是證明PB=PC．提升篇提升篇三、解答題13．（2021·山東青島市·九年級(jí)期末）如圖，一艘貨輪由港沿北偏東度方向航行海里到達(dá)港，裝配好貨物再沿北偏西度方向航行運(yùn)抵港，港在港的正北方向．求兩港之間的距離．(結(jié)果精確到海里）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】海里【分析】過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，構(gòu)造出直角三角形，分別解直角三角形即可.【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AC，垂足為D，在Rt△ABD中，∵，，∵∠CBE=58°，∴∠DBC=32°，在,∴海里答：兩剛之間距離海里.【點(diǎn)睛】本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構(gòu)造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵.14．（2021·云南壯族苗族自治州·九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD為矩形，，，點(diǎn)E是BC邊的中點(diǎn)，將沿直線AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接CF．（1）求證：；（2）求的值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)為的中點(diǎn)，可得，在根據(jù)圖形翻折后對(duì)應(yīng)邊相等可得，即可求解（2），，利用勾股定理可求得，根據(jù)可得，根據(jù)翻折的性質(zhì)可得，根據(jù)內(nèi)角和相加等于，可求得，進(jìn)而可求得，【詳解】（1）∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，由翻折的性質(zhì)可知，∴（2）∵,點(diǎn)為的中點(diǎn),∴,在中，由勾股定理可得：∴∵∴由翻折的性質(zhì)可知，∵，∴∴∴．【點(diǎn)睛】本題考查了翻著變換（折疊問(wèn)題），矩形的性質(zhì)，解直角三角形，解題關(guān)鍵在于利用勾股定理進(jìn)行運(yùn)算，把所求角的三角函數(shù)值利用等量關(guān)系轉(zhuǎn)換到可求解的直角三角形中．15．（2020·福建省福州延安中學(xué)）如圖，嘉琪在一座橋的附近試飛一架小型無(wú)人機(jī)，無(wú)人機(jī)飛行的高度為AD，且D，B，C在同一水平線上．（1）有下列說(shuō)法：①無(wú)人機(jī)俯視橋頭B的俯角為∠EAC；②無(wú)人機(jī)俯視橋頭C的俯角為∠C；③站在橋頭B處看無(wú)人機(jī)的仰角為∠ABD；④從C處走向B處的過(guò)程中觀察無(wú)人機(jī)，仰角越來(lái)越大；其中正確的是（只填序號(hào)即可）．（2）若∠EAB=60°，∠EAC=30°，橋BC的長(zhǎng)度為24米，求無(wú)人機(jī)飛行的高度AD（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)，）．【答案】（1）③④；（2）約為21米．【分析】（1）由仰角和俯角的定義分別進(jìn)行判斷即可；（2）由∠EAB＝60°，∠EAC＝30°可得出∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，進(jìn)而可得出CD＝AD、BD＝AD，再結(jié)合BC＝24，即可求出AD的長(zhǎng)度．【詳解】解：（1）①無(wú)人機(jī)俯視橋頭B的俯角為∠EAB，故①不正確；②無(wú)人機(jī)俯視橋頭C的俯角為∠EAC，故②不正確；③站在橋頭B