14解直角三角形（練習）

第一章直角三角形的邊角關系第四節(jié)解直角三角形精選練習基礎篇基礎篇一、單選題1．（2021·安徽合肥市·九年級期末）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，AD為△ABC的角平分線，CE是△ABC的中線，AD、CE相交于點F，則的值為（）A． B． C． D．2【答案】A【分析】過作于先證明設再用含的代數(shù)式表示再證明利用相似三角形的性質可得的值，從而可得答案．【詳解】解：過作于∠ACB=90°，AD為△ABC的角平分線，CE是△ABC的中線，設故選：【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的判定與性質，角平分線的性質，勾股定理的應用，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形相似的判定與性質，銳角三角函數(shù)的應用，掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2020·浙江省溫嶺市第四中學九年級期中）已知如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=，AB=4，連接AC，若∠CAD=30°，則CD為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過C點作CH⊥AD延長線于H點，由CH=AB=4求出AH的長，再減去AD即得到DH的長，再在Rt△DCH中使用勾股定理即可求出CD．【詳解】解：如圖所示，過C點作CH⊥AD延長線于H點，∵AD∥BC，∠B=90°，∴∠BAH=90°，且∠H=90°，∴四邊形ABCH為矩形，∴AB=CH=4，在Rt△ACH中，，∴DH=AHAD=，∴在Rt△CDH中，，故選：B．【點睛】本題考查了解直角三角形，熟練掌握30°，60°，90°三角形中三邊之比為是解決本題的關鍵．3．（2020·慶云縣渤海中學八年級期中）△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，D為BC上一點，且AD=2CD，則∠DAB=（）A．30° B．45° C．60° D．15°【答案】D【分析】在Rt△ADC中，由得到∠ADC＝60°，而∠ADC＝45°＝∠B＋∠DAB，根據(jù)等腰直角三角形即可求出∠ADC．【詳解】解：在Rt△ADC中，∠C=90°，sin∠CAD=，

∴∠CAD＝30°，

∴∠ADC＝60°

而∠ADC＝∠B＋∠DAB

∵△ABC為等腰直角三角形，∠C=90°，

∴∠B＝45°

∴∠DAB＝15°．

故選：D．【點睛】本題考查了直角三角形的性質，三角形外角和定理和等腰直角三角形的性質，掌握這些知識點是解題關鍵．4．（2021·河南南陽市·九年級期末）如圖，一艘船向東航行，上午8時到達O處，測得一燈塔在船的北偏東方向，且與船相距海里；上午11時到達處，測得燈塔在船的正北方向．則這艘船航行的速度為（）A．海里/時 B．海里/時 C．海里/時 D．海里/時【答案】B【分析】易得∠AOB=30°，利用30°的余弦函數(shù)可求得OB的長，除以3即為所求的航行速度．【詳解】解：連接AB，∵上午8時到達O處，測得一燈塔在船的北偏東方向，上午11時到達處，測得燈塔在船的正北方向∴∠AOB=90°60°=30°，∠ABO=90°∴在Rt△AOB中，OB=海里∴這艘船航行的速度為45÷3=15海里/時故選：B

【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的運用，正確理解題意掌握相關概念正確計算是解題關鍵．5．（2021·浙江寧波市·九年級期末）如圖，某商場為了便于殘疾人的輪椅行走，準備拆除臺階換成斜坡，又考慮安全，斜坡的坡角不得超過，此商場門前的臺階高出地面米，則斜坡的水平寬度至少需（）（精確到米．參考值：，，）A．米 B．米 C．米 D．米【答案】A【分析】由題意得：結合列方程求解并檢驗即可得到答案．【詳解】解：由題意得：，經檢驗：符合題意，所以斜坡的水平寬度至少需故選：【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，掌握正切的含義是解題的關鍵．6．（2019·山西九年級期末）利用計算機可以輔助數(shù)學學習，如圖是小明利用幾何畫板軟件，繪制的他家（點）到兩個景點，的示意圖，景點位于他家的東南（即南偏東）方向，景點位于他家的正南方向，并測得，，則景點位于景點的（）A．南偏東方向 B．北偏東方向 C．北偏東方向 D．南偏東方向【答案】B【分析】過B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45o利用三角函數(shù)求BD=AD=cos∠DAB?AB，然后求出CD，再利用三角函數(shù)求出∠C=30o，景點B在景點C的方向就知道了【詳解】過B作BD⊥AC于D，在Rt△ADB中，，∠DAB=45o，∴BD=AD=cos∠DAB?AB=，∵，∴CD=ACAD=km，在Rt△CDB中，∵BD=1km，CD=km，∴tan∠C=，∵tan30o=，∴∠C=30o，景點B在景點C北偏東30o方向，故選擇：B．【點睛】本題考查利用解直角三角形確定方位角問題，掌握解直角三角形的方法，方位角的表示方法是解題關鍵．7．（2020·安徽九年級月考）如圖，某校教學樓與的水平間距，在教學樓的頂部點測得教學樓的頂部點的仰角為，測得教學樓的底部點的俯角為，則教學樓的高度是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】過C點作CE⊥AB，根據(jù)解Rt△BCE求出BE，再利用Rt△ACE求出AE，故可求解．【詳解】過C點作CE⊥AB，∵∴CE=BD=am,在Rt△BCE中，BE=CEtan=在Rt△ACE中，AE=CEtan=∴=+故選A．【點睛】此題主要考查解直角三角形的應用，解題的關鍵是熟知正切的定義．8．（2020·合肥實驗學校九年級月考）如圖，小明在一條東西走向公路的O處，測得圖書館A在他的北偏東60o方向，且與他相距300m，則圖書館A到公路的距離AB為（）A．150m B．150m C．150m D．100m【答案】C【分析】由題意得知，進而在中直接計算即可．【詳解】由題：，，，在中，；故選：C．【點睛】本題考查了用特殊角的三角函數(shù)值求直角三角形的邊長問題，能夠準確記憶三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值是解決此類問題的關鍵．二、填空題9．（2021·山東濰坊市·九年級期末）如圖，的頂點都是正方形網格中的格點，則__________．【答案】【分析】根據(jù)題意和圖形，可以得到AC、BC和AB的長，然后根據(jù)等面積法可以求得CD的長，再利用勾股定理求得AD的長，從而可以得到cos∠CAB的值．【詳解】解：作CD⊥AB，交AB于點D，由圖可得，，∵，解得，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查解直角三角形，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．10．（2020·浙江嘉興市·八年級期末）在中，，動點P從點A出發(fā)，以的速度沿移動到點B，則為等腰三角形時，點P的運動時間為_________．【答案】秒或1秒或秒．【分析】根據(jù)，利用勾股定理求出AB的長，設點P的運動時間為t秒，則，，由①,②,③分三種情況求解即可．【詳解】解：在中，，，設點P的運動時間為t秒，則，，①由,過點C作CD⊥AB于D，，在中，，，解得，，當P出發(fā)秒時，是等腰三角形；②由時，解得，，∴當P出發(fā)1秒時，是等腰三角形；③由時，過點P作于E，，在中，，解得，，∴當P出發(fā)秒時，是等腰三角形．綜上所述，當點P出發(fā)秒或1秒或秒時，是等腰三角形．故答案為：秒或1秒或秒．【點睛】本題考查了勾股定理和等腰三角形的判定，解答此題的關鍵是首先根據(jù)勾股定理求出AB的長，然后再利用等腰三角形的性質去判定．11．（2021·山東東營市·九年級期末）如圖是一斜坡的橫截面，某人沿著坡度為的斜坡從點A向上走了5米到點B處，則此時人離水平面的垂直高度為_____．【答案】【分析】如圖，過作于由，可得：設則再利用勾股定理求解即可得到答案．【詳解】解：如圖，過作于，設則由（負根舍去），所以此時人離水平面的垂直高度為故答案為：【點睛】本題考查的是解直角三角形的應用，坡度的含義，勾股定理的應用，掌握坡度的含義是解題的關鍵．12．（2021·山東泰安市·九年級期末）如圖，某海監(jiān)船以20海里/小時的速度在某海域執(zhí)行巡航任務，當海監(jiān)船由西向東航行至處時，測得島嶼恰好在其正北方向，繼續(xù)向東航行小時到達處，測得島嶼在其北偏西方向，保持航向不變又航行小時到達處，此時海監(jiān)船與島的之間的距離(即的長)為_____________________海里．(結果用根號表示)【答案】【分析】首先證明PB=BC，推出∠C=30°，可得PC=2PA，再利用，求解PA即可解決問題．【詳解】解：由題意得：在Rt△PAB中，∵∠APB=30°，∴PB=2AB，由題意得BC=2AB，∴PB=BC，∴∠C=∠CPB，∵∠ABP=∠C+∠CPB=60°，∴∠C=30°，∴PC=2PA，PA=AB?tan60°，∴（海里），故答案為．【點睛】本題考查解直角三角形的應用方位角問題，解題的關鍵是證明PB=PC．提升篇提升篇三、解答題13．（2021·山東青島市·九年級期末）如圖，一艘貨輪由港沿北偏東度方向航行海里到達港，裝配好貨物再沿北偏西度方向航行運抵港，港在港的正北方向．求兩港之間的距離．(結果精確到海里）（參考數(shù)據(jù)：）【答案】海里【分析】過點B作BD⊥AC，垂足為D，構造出直角三角形，分別解直角三角形即可.【詳解】解：過點B作BD⊥AC，垂足為D，在Rt△ABD中，∵，，∵∠CBE=58°，∴∠DBC=32°，在,∴海里答：兩剛之間距離海里.【點睛】本題考查了方位角視角下的解直角三角形，構造直角三角形，熟練掌握銳角三角函數(shù)是解題的關鍵.14．（2021·云南壯族苗族自治州·九年級期末）如圖，四邊形ABCD為矩形，，，點E是BC邊的中點，將沿直線AE折疊，點B落在點F處，連接CF．（1）求證：；（2）求的值．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)點為的中點，可得，在根據(jù)圖形翻折后對應邊相等可得，即可求解（2），，利用勾股定理可求得，根據(jù)可得，根據(jù)翻折的性質可得，根據(jù)內角和相加等于，可求得，進而可求得，【詳解】（1）∵點為的中點，∴，由翻折的性質可知，∴（2）∵,點為的中點,∴,在中，由勾股定理可得：∴∵∴由翻折的性質可知，∵，∴∴∴．【點睛】本題考查了翻著變換（折疊問題），矩形的性質，解直角三角形，解題關鍵在于利用勾股定理進行運算，把所求角的三角函數(shù)值利用等量關系轉換到可求解的直角三角形中．15．（2020·福建省福州延安中學）如圖，嘉琪在一座橋的附近試飛一架小型無人機，無人機飛行的高度為AD，且D，B，C在同一水平線上．（1）有下列說法：①無人機俯視橋頭B的俯角為∠EAC；②無人機俯視橋頭C的俯角為∠C；③站在橋頭B處看無人機的仰角為∠ABD；④從C處走向B處的過程中觀察無人機，仰角越來越大；其中正確的是（只填序號即可）．（2）若∠EAB=60°，∠EAC=30°，橋BC的長度為24米，求無人機飛行的高度AD（結果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)，）．【答案】（1）③④；（2）約為21米．【分析】（1）由仰角和俯角的定義分別進行判斷即可；（2）由∠EAB＝60°，∠EAC＝30°可得出∠CAD＝60°，∠BAD＝30°，進而可得出CD＝AD、BD＝AD，再結合BC＝24，即可求出AD的長度．【詳解】解：（1）①無人機俯視橋頭B的俯角為∠EAB，故①不正確；②無人機俯視橋頭C的俯角為∠EAC，故②不正確；③站在橋頭B