湖北省黃岡市黃梅縣育才高級中學(xué)高三上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題

高三數(shù)學(xué)9月月考卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共計40分1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別求出集合和，然后，利用交集的運算可得答案.【詳解】，，.故選：C2.已知復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對應(yīng)點位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】求出復(fù)數(shù)后可求，從而可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面中的對應(yīng)點，故可得正確的選項.【詳解】，故，其對應(yīng)的點為，該點在第四象限，故選：D.3.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量的計算即可求解.【詳解】由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C4.已知，則（）A.或7 B.或 C.7或7 D.7或【答案】B【解析】【分析】根據(jù)輔助角公式可求，故可求的值.【詳解】因為，故，故，故，故，故選：B.5.已知且，若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，對進行分類討論，可得答案.【詳解】的值域為，當時，則，為增函數(shù)，，而時，為增函數(shù)，此時，，不符題意；當時，則，為減函數(shù)，，而時，為減函數(shù)，此時，，因為的值域為，當且僅當時，滿足題意，此時，，則，整理得，，解得；綜上，時滿足題意.故選：A6.已知點在所在的平面內(nèi)，且.過點的直線與直線分別交于，設(shè)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用平面向量基本定理可得，再利用基本不等式可求最小值.【詳解】設(shè)的中點為，連接，則，故即，故為中點，因為三點共線，故存在實數(shù)，使得，故，而，因為不共線，故即，，當且僅當時等號成立，故的最小值為，故選：C.7.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（）A.2 B.2 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用正切的和角公式化簡得，結(jié)合題意得分母為偶函數(shù)，則，繼而即可求解.【詳解】，是上的奇函數(shù)，又為奇函數(shù)，則分母上的函數(shù)需為偶函數(shù)，，.故選：.8.若不等式恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，依題意可得恒成立，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，說明函數(shù)的單調(diào)性，求出，即可得到，從而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可得解.【詳解】令，則恒成立，又，當時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，且時，不符合題意；當時，令，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，令，，則，所以當時，當時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即的取值范圍是.故選：B【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題關(guān)鍵是推導(dǎo)出，從而得到.二、多選題：本大題共3小題，每小題6分，共計18分，9.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在上的值域為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)，逐次判斷各選項即可得到結(jié)論．【詳解】由函數(shù)的部分圖象可知：，又因為，即結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,故A錯誤；即所以,故B正確；所以．對于選項C：當時，可得，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于選項D：當時，，所以，即，故D錯誤；故選：BC．10.已知等差數(shù)列的首項為，公差為，其前項和為，若，則下列說法正確的是（）A.當時，最大B.使得成立的最小自然數(shù)C.D.數(shù)列中的最小項為【答案】ACD【解析】【分析】利用等差數(shù)列及，判斷出，，再利用等差數(shù)列和等差數(shù)列前項和的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】若，則，所以，即等差數(shù)列an為遞減數(shù)列，對于A，由，知等差數(shù)列an前7項為正數(shù)，其余項為負數(shù)，故當時，最大，故A正確；對于B，，故所以使得成立的最小自然數(shù)不是，故B錯誤；對于C，，則，故C正確；對于D，當或時，；當時，；由，所以中最小項為，故D正確.故選：ACD11.已知定義域為的偶函數(shù)滿足，當時，則下列結(jié)論正確的有（）A.B.的圖象關(guān)于點成中心對稱C.D.【答案】ABD【解析】【分析】對A，利用賦值法再結(jié)合偶函數(shù)即可求解；對B，先推出的周期，再結(jié)合中心對稱的結(jié)論即可求解；對C，利用周期性即可求解；對D，利用函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)的對稱性即可求解.【詳解】對A，滿足，令，則，即f1=0又為偶函數(shù)，，故A對；對B，，，故的周期，再根據(jù)，即，∴fx的圖象關(guān)于點成中心對稱，故B對；對C，由B知：的周期，故，，令，則f2又當時，，即，即，，故，故C錯誤；對D，滿足，∴fx關(guān)于1,0又當時，∴fx在0,2當時，，當時，為偶函數(shù)，，，當且僅當時，即時等號成立，，故D對.故選：ABD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答此類有關(guān)函數(shù)性質(zhì)的題目，關(guān)鍵點在于要結(jié)合函數(shù)性質(zhì)，利用賦值法以及代換法，推出函數(shù)相應(yīng)的性質(zhì).三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計15分.12.已知平面向量，若，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量坐標運算和向量垂直的坐標表示即可得到方程，解出即可.【詳解】，因為，所以，即，解得.故答案為：.13.已知，分別為直線和曲線上的點，則AB的最小值_______【答案】【解析】【分析】利用數(shù)形結(jié)合思想可知直線與曲線相切的切點到直線的距離是最小值，從而利用導(dǎo)數(shù)來求出切點，再用點到直線的距離公式求出最小值即可.【詳解】直線與曲線相切于點A，由題意的最小值為切點A到直線的距離，如圖所示，對求導(dǎo)有，由可得，即，故最小值為.故答案為：.14.已知數(shù)列有30項，，且對任意，都存在，使得.（1）__________；（寫出所有可能的取值）（2）數(shù)列中，若滿足：存在使得，則稱具有性質(zhì).若中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為20，則__________.【答案】①.②.1047【解析】【分析】①根據(jù)題意代入即可求解；②先根據(jù)題意分析出具有性質(zhì)的項，易知從開始是以為首項為公差的等差數(shù)列，再根據(jù)等差數(shù)列求和即可求解.【詳解】當時，，當時，，或，當時，，或，或時有或，當時，，或，或時有或，或時有或或，綜上所述：的所有可能取值為：.中恰有4項具有性質(zhì)，且這4項的和為20，故，，即具有性質(zhì)，則易知從開始是以為首項為公差的等差數(shù)列，.故答案為：；1047.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查數(shù)列新定義問題的求解，涉及到根據(jù)新定義求解數(shù)列中的項、數(shù)列求和等知識；關(guān)鍵是能夠準確理解所給的新定義，得到所給數(shù)列性質(zhì)與等差數(shù)列之間的關(guān)系.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和.【答案】（1），（2），.【解析】【分析】（1）利用得出數(shù)列是等比數(shù)列，從而可得通項公式；（2）由已知求得，得出是等差數(shù)列，求出其前項和，然后根據(jù)絕對值的性質(zhì)得出數(shù)列與的前項和的關(guān)系，從而求得結(jié)論．小問1詳解】由，則當時兩式相減得，所以.將代入得，，所以對于，故an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，所以.【小問2詳解】.，因為當時，當時，所以當時，，當時，.故16.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.【答案】（1）（2）答案見詳解【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，可得，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程；（2）求導(dǎo)可得，分類討論的符號以及與0的大小關(guān)系，利用導(dǎo)數(shù)判斷原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.【小問1詳解】當時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率為，所以切線方程為，即.【小問2詳解】由題意可知：的定義域為R，且，（i）若，則，令f′x>0，解得；令f′可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在0,+∞內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當，即時，令f′x>0，解得或；令f′x可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當，即時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；③當ln?a2令f′x>0，解得或x>ln?a可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為0,+∞；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.17.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點，為的平分線，且，求的面積【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意利用正弦定理邊化角，再結(jié)合三角恒等變換運算求解；（2）根據(jù)面積關(guān)系可得，再結(jié)合余弦定理解得，進而可得面積.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因為，則，可得，所以.【小問2詳解】因為為的平分線，則，因為，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18.如圖，平面四邊形中，，對角線相交于．（1）設(shè)，且，（?。┯孟蛄勘硎鞠蛄?；（ⅱ）若，記，求的解析式．（2）在（ⅱ）的條件下，記△，△的面積分別為，，求的取值范圍．【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ），；（2）.【解析】【分析】（1）（?。┯善矫嫦蛄康木€性運算即可求解，（ⅱ）根據(jù)已知條件可得，將（?。┲械慕Y(jié)論兩邊同時平方再展開化簡即可求解；（2）利用三角形的面積公式結(jié)合（ⅱ）中的結(jié)論將面積之比表示為關(guān)于的函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）（?。┮驗?，，所以，即，所以，（ⅱ）因為，，所以，因為且，所以，即，所以，整理可得：，即，.（2）由（1）知：，由三角形面積公式可得：，記，所以，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.19.已知函數(shù).（1）當時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在1,+∞上恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（3）帕德近似（Padeapproximation）是數(shù)學(xué)中常用的一種將三角函數(shù)?指數(shù)函數(shù)?對數(shù)函數(shù)等“超越函數(shù)”在一定范圍內(nèi)用“有理函數(shù)”近似表示的方法，比如在附近，可以用近似表示.（i）當且時，試比較與的大??；（ii）當時，求證：.【答案】（1）減區(qū)間為，無增區(qū)間（2）（3）（i）答案見解析；（ii）證明見解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（2）采用分離常數(shù)的方法得（），設(shè)，求hx在1,+∞上的最小值即可.（3）（i）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性及，比較與的大??；（ii）利用（i）的結(jié)論，進行證明.【小問1詳解】當時，，則.所以的減區(qū)間為0,+∞，無增區(qū)間.【小問2詳解】因為在1,+∞上恒成立，所以，所以（）設(shè)，則再設(shè)，則，則在1,+∞上恒成立，所以在1,+∞單調(diào)遞增，所以，所以h′x>0在1,+∞上恒成立，所以所以.又在1,+∞上恒成立，所以.【小問3詳解】（i）記，則，所以Fx在0,+∞上