11探索勾股定理(備作業(yè))2021-2022學年八年級數(shù)學上冊（北師大版）

1.1探索勾股定理一、單選題1．直角三角形中，有兩邊的長分別為3和4，那么第三邊的長的平方為（）A．25 B．14 C．7 D．7或25【答案】D【解析】根據(jù)勾股定理可以得到解答．解：由勾股定理知，第三邊的長的平方為或者，故選D．【點睛】本題考查勾股定理的應用，注意第三邊的平方既可能是已知兩邊的平方和，也可能是已知兩邊的平方差．2．若直角三角形的兩條直角邊各擴大2倍，則斜邊擴大（）A．2倍 B．4倍 C．6倍 D．8倍【答案】A【解析】設直角三角形的兩直角邊分別是x，y，求出原來的斜邊和擴大后的斜邊，然后可求出結(jié)果．解：設直角三角形的兩直角邊分別是x，y，原來直角三角形的斜邊：．兩條直角邊都擴大2倍后兩直角邊為2x，2y，則斜邊：=2．所以斜邊也擴大2倍．故選：A．【點睛】本題考查勾股定理，可設出直角邊，求出變化前和變化后的斜邊做比較就可求得結(jié)果．3．某直角三角形的周長為30，且一條直角邊長為5，則另一條直角邊長為（）A．3 B．4 C．12 D．13【答案】C【解析】已知直角三角形的周長和其中一條直角邊，即可以得出另外兩條邊的和，設其中一條直角邊為，則斜邊為，利用勾股定理列出方程求解出即可．解：設另一條直角邊長為，則斜邊長為．由勾股定理可得，解得．故選：C．【點睛】本題主要考查的是勾股定理的應用，在直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，掌握勾股定理是解此題的關(guān)鍵.4．如圖，分別以直角三角形三邊為邊向外作三個正方形，其面積分別用，、表示，若，，則的值為（）．A．9 B．12 C．16 D．18【答案】C【解析】先設Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，再分別用a、b、c表示S1、S2、S3的值，由勾股定理即可得出S2的值．解：設Rt△ABC的三邊分別為a、b、c，∴S1=a2=25，S1=b2，S3=c2=9，∵△ABC是直角三角形，∴c2+b2=a2，即S3+S2=S1，∴S2=S1S3=259=16．故選：C．【點睛】本題考查的是勾股定理的應用以及正方形的面積公式，熟知勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．5．下列說法正確的是（）．A．若、、是的三邊長，則B．若、、是的三邊長，則C．若、、是的三邊長，，則D．若、、是的三邊長，，則【答案】D【解析】【解析】根據(jù)勾股定理，直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即可解答.解：由勾股定理，A、沒有確定直角和斜邊，故A錯誤；B、沒有確定斜邊，故B錯誤；C、斜邊為，則，故C錯誤；D、，則與為直角邊，為斜邊，則，故D正確；故選擇：D.【點睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理.6．如圖所示，，為垂足，設，，則，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．不確定【答案】C【解析】由于AC⊥BD，運用勾股定理分別表示AB2，CD2，AD2，BC2，然后計算mn，即可得出m，n的大小關(guān)系．解：∵AC⊥BD，∴AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2．∴mn=AB2+CD2AD2BC2=OA2+OB2+OC2+OD2（OA2+OD2+OB2+OC2）=0，∴m=n．故選C．【點睛】本題考查勾股定理的運用，難度中等，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵，直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.7．如圖，在中，，是邊上一點，，，，則的長為（）A． B． C．6 D．8【答案】A【解析】根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)得到∠B＝∠BAD，求出BD，計算即可．解：∵∠C＝90°，AC＝4，AD＝5，∴CD＝3，∵∠ADC＝2∠B，∠ADC＝∠B+∠BAD，∴∠B＝∠BAD，∴DB＝AD＝5，∴BC＝BD+CD＝8，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8，∴故選：A．【點睛】本題考查的是勾股定理、等腰三角形判定的應用，掌握如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2是解題的關(guān)鍵．8．利用四個全等的直角三角形可以拼成如圖所示的圖形通過該圖形，可以驗證公式（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【解析】利用兩種方法表示出大正方形的面積，根據(jù)面積相等可以整理出c2=a2+b2．∵大正方形的面積表示為：c2又可以表示為：ab×4+（ba）2，∴c2=ab×4+（ba）2，c2=2ab+b22ab+a2，∴c2=a2+b2．故選C．【點睛】此題考查的知識點是勾股定理得證明，關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長的關(guān)系進行組合圖形，利用面積的關(guān)系證明勾股定理．9．如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為，則圖中所有正方形的面積的和是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】如圖，設正方形A、B、C、D、E、F的邊長分別為a、b、c、d、x、f，根據(jù)勾股定理得出正方形之間的關(guān)系，再將所有正方形的面積相加即可得出答案．解：如圖，設正方形A、B、C、D、E、F的邊長分別為a、b、c、d、x、f所有的三角形都是直角三角形由勾股定理可得，，S正方形A+S正方形B=S正方形E，S正方形C+S正方形D=S正方形F，S正方形E+S正方形F=64S正方形A+S正方形B+S正方形C+S正方形D+S正方形E+S正方形F+82=2（S正方形E+S正方形F）+64=264+64=192（cm2）所有的正方形的面積和是192cm2故選D．【點睛】本題考查了勾股定理的應用，求得所有正方形的面積是關(guān)鍵，注意不要漏掉．10．七巧板是大家熟悉的一種益智類玩具．用七巧板能拼出許多有趣的圖案．小明將一個直角邊長為的等腰直角三角形紙板，切割七塊．正好制成一副七巧板，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根據(jù)七巧板意義，計算出陰影等腰直角三角形的直角邊的長即可.如圖，根據(jù)題意，得BC=20，CD=BD=10=EM，∴EG=GM=5，∴EF=FG=5，∴，故選B.【點睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的面積，熟練掌握七巧板制作規(guī)律和制作特點是解題的關(guān)鍵.11．如圖，分別以直角三角形的三邊為斜邊向外作直角三角形，且，，，這三個直角三角形的面積分別為，，，且，，則S（）A．25 B．32 C．7 D．18【答案】A【解析】根據(jù)△ADC為直角三角形且AD=CD，可得到，同理可得到及，在△ACB中，由勾股定理得出：，繼而可得，代入計算即可．解：∵△ADC為直角三角形，且AD=CD，∴在△ADC中，有，∴，即，∴，同理可得：，，∵∠ACB=，∴，即，∴，∵，，∴，故答案為：A．【點睛】本題考查勾股定理，由勾股定理得出三角形的面積關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以Rt△ABC各邊為斜邊分別向外作等腰Rt△ADB、等腰Rt△AFC、等腰Rt△BEC，然后將等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如圖方式疊放到等腰Rt△BEC中，其中BH＝BA，CI＝CA，已知，S四邊形GKJE＝1，S四邊形KHCJ＝8，則AC的長為（）A．2 B． C．4 D．6【答案】D【解析】設AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由S四邊形GHCE＝S四邊形GKJE+S四邊形KHCJ＝9，可求b＝3，即可求解．解：設AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴ABa，ACb，BCc，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵將等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如圖方式疊放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵S四邊形GHCE＝S四邊形GKJE+S四邊形KHCJ＝9，∴（a+c）（c﹣a）＝9，∴c2﹣a2＝18，∴b2＝18，∴b＝3，∴ACb＝6，故選：D．【點睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，利用整體思想解決問題是本題的關(guān)鍵．二、填空題13．是的高且，，則____．【答案】【解析】由∠A：∠B：∠C=1:2:3，可得∠C=90°，∠A=30°，由AB=m可得CB=，由勾股定理可得AC=，通過面積計算可得CD長度．∵∠A：∠B：∠C=1:2:3，∴∠C=90°，∠A=30°，∵AB=m，∴CB=，則AC==，由等積法可得：，即：，解得：CD=．故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理，有一個角是的直角三角形的邊長關(guān)系，勾股定理，以及等積法求三角形的高的問題，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．如圖，在四邊形ABCD中，AB=1，BC=1，CD=2，則四邊形ABCD的面積是____________．【答案】【解析】先根據(jù)勾股定理求出AC長，再由勾股定理逆定理證明是直角三角形，則四邊形面積就是兩個直角三角形面積的和．解：在中，，，在中，，，，則，∴是直角三角形，．故答案是：．【點睛】本題考查勾股定理以及勾股定理逆定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這兩個定理的運用．15．如圖，每個小正方形的邊長為1，四邊形的頂點A，B，C，D都在格點上，則線段長度為的是_______．【答案】AB【解析】根據(jù)勾股定理求出每條線段的長即可．解：由勾股定理可得：，BC=3，，，故長度為是AB，故答案為AB．【點睛】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．16．如圖，在中，，，，點在上，將沿折疊，使點落在斜邊上的點處，則的長為____．【答案】【解析】先利用勾股定理求出BC,再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，，,設，最后利用勾股定理列出方程即可求出的長．解:由勾股定理，得．由折疊可知，，．設，則，，．在中，，解得，即的長為故答案為:．【點睛】此題考查的是勾股定理和折疊問題,掌握利用勾股定理解直角三角形和折疊的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵．17．如圖，Rt△ABC中，∠C=90°，在△ABC外取點D，E，使AD=AB，AE=AC，且α+β＝∠B，連結(jié)DE．若AB＝4，AC＝3，則DE＝__．【答案】5【解析】根據(jù)角度轉(zhuǎn)換，得到三角形ADE是直角三角形，然后運用勾股定理計算出DE的長.∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°.∵α+β＝∠B，∴∠DAE=α+β+∠BAC==∠B+∠BAC=90°.∴△ADE是直角三角形.∴DE===5.【點睛】本題主要考查到運用勾股定理求長度，說明三角形ADE是直角三角形是解題的關(guān)鍵.18．在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，（1）計算：①當a=1，c=2時，b2②當a=3，c=5時，b2③當a=0.6，c=1時，b2（2）通過（1）中計算出的b2的值，可知b是整數(shù)的是________；b是分數(shù)的是________；b【答案】3160.64②③①【解析】【解析】（1）根據(jù)勾股定理求解即可；（2）分別根據(jù)整數(shù)和分數(shù)的概念進行判斷即可.（1）計算：①當a=1，c=2時，b2∴b=3②當a=3，c=5時，b2∴b=4(負舍去)；③當a=0.6，c=1時，b2∴b=0.8(負舍去).（2）通過（1）中計算出的b2的值，可知b是整數(shù)的是②；b是分數(shù)的是③；b【點睛】此題考查了勾股定理以及正數(shù)的算術(shù)平方根，熟練掌握勾股定理的運用是解此題的關(guān)鍵.19．如圖，在三角形紙片ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，如果在AC邊上取一點E，以BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，那么CE的長為________．【答案】3【解析】利用勾股定理可求出AC=8，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得BD=AB，DE=AE，根據(jù)線段的和差關(guān)系可得CD的長，設CE=x，則DE=8x，利用勾股定理列方程求出x的值即可得答案．∵∠ACB＝90°，BC＝6，AB＝10，∴AC===8，∵BE為折痕，使AB的一部分與BC重合，A與BC延長線上的點D重合，∴BD=AB=10，DE=AE，∠DCE=90°，∴CD=BDBC=106=4，設CE=x，則DE=AE=ACCE=8x，∴在Rt△DCE中，DE2=CE2+CD2，即（8x）2=x2+42，解得：x=3，∴CE=3，故答案為：3【點睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)及勾股定理的應用，根據(jù)翻折前后的兩個圖形能夠重合得到相等的線段并轉(zhuǎn)化到一個直角三角形中，利用勾股定理列出方程是解此類題目的關(guān)鍵．20．如圖，在中，，，，將繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)得到，且恰好落在上，連接，取的中點D，連接，則的長為__________．【答案】【解析】先根據(jù)30°的直角三角形的性質(zhì)得出的長，進而求出的長，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得出，最后利用勾股定理計算即可．解：∠，∴∠∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，△，∴，，又∵∠，∴△是等邊三角形，為等邊三角形點D為的中點在中，∴故答案為：．【點睛】本題考查了含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定是解決本題的關(guān)鍵．21．如圖，在中，，，點為外一點，連接、、，，，，則______．【答案】【解析】將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，過點作于點，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的形狀得到≌，在根據(jù)勾股定理計算即可；如圖，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，得到，連接，過點作于點．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，≌．∴，，，，∴，∴，∴．∵，，∴，∵，∴，∴．故答案是：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的應用，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和勾股定理求解是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在中，，點為射線上一點，連接，點為三角形外右側(cè)一點，連接，連接交射線于點，已知，，則線段長為________．【答案】【解析】根據(jù)題意可求證，延長CM交AB與點G，過G作GK垂直于BC于點K，根據(jù)角相等判斷邊相等，AG=AM，列出方程求出AG的長，從而求出AM的長，從而求出BN的長，DN=BNBD即可求解．∵，，∴，∵，CN=CM∴，∴，延長CM交AB與點G，過G作GK垂直于BC于點K，∵，∴，，，∴，，，∴，AM=AG，∵，∴，∴，設BK=a，則GK=a，，∴，∴a=1，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查的是三角形全等的性質(zhì)及判定，正確做出輔助線，熟練掌握三角形全等的性質(zhì)及判定是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題23．已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AB=10，BC=6，求AC的長．【答案】見詳解【解析】根據(jù)∠ACB=90°，AB=10，BC=6，采用勾股定理，便可求解．解：△ABC中，∠ACB=90°AB=10，BC=6【點睛】本題考查勾股定理的的應用，關(guān)鍵在于熟悉勾股定理．24．如圖，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中點，MD⊥AB于D，求證：.【答案】見解析【解析】連接AM得到三個直角三角形，運用勾股定理分別表示出AD2、AM2、BM2進行代換就可以最后得到所要證明的結(jié)果．證明：連接MA，∵MD⊥AB，∴AD2=AM2MD2，BM2=BD2+MD2，∵∠C=90°，∴AM2=AC2+CM2∵M為BC中點，∴BM=MC．∴AD2=AC2+BD2【點睛】本題考查了勾股定理，三次運用勾股定理進行代換計算即可求出結(jié)果，另外準確作出輔助線也是正確解出的重要因素．25．如圖，在四邊形中，，，于，（1）求證：；（2）若，，求四邊形的面積．【答案】(1)詳見解析;(2)S四邊形ABCD=56【解析】(1)由等角的余角相等可得∠DAC=∠ABE,再根據(jù)題意可得Rt△BAE≌Rt△ADC,即可證．(2)根據(jù)勾股定理算出AC,由全等可得BE=AC,再算出△ACD的面積和△ABC的面積相加即可．(1)∵BE⊥AC,∴∠ABE+∠BAE=90°,∵BAD=90°,∴∠BAE+∠DAC=90°,∴∠DAC=∠ABE,又∵AB=AD,∠BEA=∠ACD,∴Rt△BAE≌Rt△ADC(AAS),∴BE=AC．(2)∵AB=10,CD=6,∠ACD=90°,∴,∵Rt△BAE≌Rt△ADC,∴BE=AC=8,∴．【點睛】本題考查三角形全等的判定和性質(zhì),關(guān)鍵在于牢記基礎(chǔ)知識并靈活使用．26．如圖，把長方形紙片沿折疊，使點落在邊上的點處，點落在點處.（1）試說明；（2）設，，，試猜想，，之間的關(guān)系，并說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2），，之間的關(guān)系是.理由見解析.【解析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)、平行的性質(zhì)及等角對等邊即可說明；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)將AE、AB、BF都轉(zhuǎn)化到直角三角形中，由勾股定理可得，，之間的關(guān)系.（1）由折疊的性質(zhì)，得，，在長方形紙片中，，所以，所以，所以，所以.（2），，之間的關(guān)系是.理由如下：由（1）知，由折疊的性質(zhì)，得，，.在中，，所以，所以.【點睛】本題主要考查了勾股定理，靈活利用折疊的性質(zhì)進行線段間的轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.27．已知，如圖，點A（a，b），B（c，d）在平面直角坐標系中的任意兩點，且AC⊥x軸于點C，BD⊥x軸于點D．（1）CD=，|DB﹣AC|=；（用含a，b，c，d的代數(shù)式表示）（2）請猜想：A，B兩點之間的距離；（3）利用猜想，若A（﹣2，5），B（4，﹣4），求AB兩點之間的距離．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）CD的長為A、B兩點的橫坐標之差的絕對值；|DB﹣AC|為A、B兩點的縱坐標之差的絕對值；（2）作垂線構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理推出距離公式；（3）利用（2）的公式計算．解：（1）CD=|c﹣a|，|DB﹣AC|=|b﹣d|；（2）如圖，過點B作BEAD與點E，，，由勾股定理，；（3）根據(jù)上一問的公式，AB=．【點睛】本題考查了兩點間的距離公式，需要注意的是在用坐標表示線段長度的時候要加上絕對值．28．在中，，分別以的三邊為直徑作半圓.（1）若這三個半圓在的兩側(cè)（如圖所示），半圓的面積分別為，，，則，之間有什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由.（2）若這三個半圓在的同一側(cè)（如圖所示），的面積等于，兩個“月牙”的面積分別為，，則，，之間有什么數(shù)量關(guān)系?請說明理由.【答案】（1）.理由見解析；（2）.理由見解析.【解析】（1）S1+S2=S3，理由為：根據(jù)圓的面積公式表示出S1、S2、S3，利用勾股定理列出關(guān)系式，整理即可得證；（2）S1+S2=S3，同理可證．（1）.理由如下：由題意得，，，.在中，由勾股定理.得，所以，所以（2）.理由如下：如圖，由題意得，，，在中，由勾股定理，得，所以，所以【點睛】此題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理是解本題的關(guān)鍵．29．如圖，點C為線段上一點，都是等邊三角形，與交于點與相交于點G．（1）求證：；（2）求證：（3）若，求的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）【解析】（1）根據(jù)SAS即可證明△BCE≌△ACD；（2）由△ACD≌△BCE可得∠CBG=∠CAF，從而利用ASA可證明△ACF≌△BCG；（3）求出CG=CF=4，過G作GM⊥BD于M，過點F作FN⊥BD于N，求出GM，F(xiàn)N，根據(jù)S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF可求出答案．解：（1）證明：∵△ABC，△CDE是等邊三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，即∠BCE=∠DCA，∴△ACD≌△BCE（SAS）．（2）由（1）得△ACD≌△BCE，∴∠CBG=∠CAF，又∵∠ACF=∠BCG=60°，BC=AC，在△ACF和△BCG中，，∴△ACF≌△BCG（ASA）；（3）∵△ACF≌△BCG，∴S△ACF=S△BCG，CG=CF，而CF+CG=8，∴CG=CF=4，過G作GM⊥BD于M，過點F作FN⊥BD于N，又∵∠ACB=∠DCE=60°，∴GM=CG=，F(xiàn)N=CF=，∴S△ACD=S△ACF+S△CDF=S△BCG+S△CDF=BC?GM+CD?FN=（BC+CD）=BD=．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)得出CG=CF是解答此題的關(guān)鍵．30．如圖，在中，過點A作，BE平分交AC于點E．（1）如圖1，已知，，，求BD的長；（2）如圖2，點F在線段BC上，連接EF、ED，若，，，求證：．【答案】（1）BD=5；（2）證明見解析【解析】（1）利用勾股定理運算即可；（2）利用角平分線的性質(zhì)可得到，證出得到，，再通過角的等量代換證出，取的中點，連接，即可證出，從而得到結(jié)論．解：（1）∵∴∴∴（2）∵平分∴又∵，∴∴，∴∴∵∴取的中點，連接，如圖2所示：則∴∵∴∴∴∴∴【點睛】本題主要考查了勾股定理，全等三角形的性質(zhì)及判定等，合理做出輔助線靈活證明全等是解題的關(guān)鍵．31．[閱讀理解]如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，BC＝7，過點A作直線BC的垂線，垂足為D，求線段AD的長．解：設BD＝x，則CD＝