2024-2025學年課時作業(yè)人教A版數(shù)學期末單元素養(yǎng)水平監(jiān)測

期末單元素養(yǎng)水平監(jiān)測(時間：120分鐘滿分：150分)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．)1．已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，則M∩N＝()A．{－2，－1，0，1}B．{0，1，2}C．{－2}D．22．已知冪函數(shù)f(x)＝xα(α是常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2，4)，那么f(－2)＝()A．4B.－4C.eq\f(1,4)D.－eq\f(1,4)3．設a＝50.7，b＝sin2，c＝log60.2，則a，b，c的大小關系正確的是()A．a(chǎn)>b>cB.b>a>cC.b>c>aD.c>a>b4．設函數(shù)f(x)＝2x＋x－5，則函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間是()A．(－1，0)B.(0，1)C.(1，2)D.(2，3)5．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（a－3）x＋5，x≤1,\f(2a,x)，x>1))是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，則a的取值范圍是()A．(0，3)B.(0，3]C.(0，2)D.(0，2]6．已知a>0，b>0且2a＋5b＝10，則ab的最大值為()A．2B.5C.eq\f(3,2)D.eq\f(5,2)7．函數(shù)y＝|lg(x＋1)|的圖象是()8．已知定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)f(x)，且當x∈[0，2a]時，f(x)單調(diào)遞減，則關于x的不等式f(x－1)>f(2x－3a)的解集是()A．(0，eq\f(2,3))B．[eq\f(1,6)，eq\f(5,6)]C．(eq\f(1,3)，eq\f(2,3))D．(eq\f(2,3)，eq\f(5,6)]二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)f(x)＝x2－mx＋1在區(qū)間[3，8]上單調(diào)，則實數(shù)m的值可以是()A．0B．8C．16D．2010．下列結(jié)論正確的是()A．－eq\f(4π,3)是第二象限角B．函數(shù)f(x)＝|sinx|的最小正周期是πC．若tanα＝3，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝4D．若圓心角為eq\f(π,6)的扇形的弧長為π，則該扇形的面積為3π11．f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝4x－x2，則下列說法中錯誤的是()A．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－2]∪[0，2]B．f(－π)<f(5)C．f(x)的最大值為4D．f(x)>0的解集為(－4，4)12．關于函數(shù)f(x)＝tan(eq\f(x,2)－eq\f(π,3))，下列說法正確的是()A．f(x)的最小正周期為2πB．f(x)的定義域為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠kπ＋\f(5π,6)，k∈Z))C．f(x)的圖象的對稱中心為(kπ＋eq\f(2π,3)，0)，k∈ZD．f(x)在區(qū)間(0，π)上單調(diào)遞增三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．函數(shù)f(x)＝3sin(ωx＋eq\f(π,3))的最小正周期T＝π，則ω＝________．14．若“－1<x<1”是“x－a≤0”的充分不必要條件，則實數(shù)a的取值范圍是________．15．已知sinα＝eq\f(5,13)，則cos(eq\f(3π,2)＋α)＝________．16．函數(shù)y＝eq\r(1＋log\s\do9(\f(1,2))（3x－1）)的定義域是________．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題10分)計算下列各式的值：(1)(2eq\f(1,4))eq\s\up6(\f(1,2))－(－0.96)0－(eq\f(8,27))eq\s\up6(\f(2,3))＋(eq\f(3,2))－2；(2)log327＋lg25＋lg4＋eln2.18．(本小題12分)已知sinα＝eq\f(3,5)，并且α是第二象限角，求：(1)cos2α和tanα的值；(2)求eq\f(2sinα＋3cosα,cosα－sinα)的值．19．(本小題12分)已知f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2)＋1.(1)求函數(shù)f(x)的對稱軸方程；(2)求出函數(shù)f(x)在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間及最值．20．(本小題12分)已知函數(shù)f(x)＝4x－2x＋1＋3.(1)當f(x)＝11時，求x的值；(2)當x∈[－2，1]時，求f(x)的最大值和最小值．21．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝loga(2＋3x)－loga(2－3x)(a>0，a≠1).(1)求函數(shù)f(x)的定義域；(2)判斷f(x)的奇偶性，并證明；(3)當0<a<1時，求關于x的不等式f(x)≥0的解集．22．(本小題12分)設f(x)＝eq\f(2x－1,2x＋1).(1)判斷函數(shù)y＝f(x)的奇偶性，并說明理由；(2)求證：函數(shù)y＝f(x)在R上是增函數(shù)；(3)若f(1－t)＋f(1－t2)<0，求t的取值范圍．期末單元素養(yǎng)水平監(jiān)測1．解析：方法一因為N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3或x≤－2}，所以M∩N＝{－2}，故選C.方法二由于1∈/N，所以1∈/M∩N，排除A，B；由于2∈/N，所以2∈/M∩N，排除D.故選C.答案：C2．解析：因為冪函數(shù)f(x)＝xα(α是常數(shù))的圖象經(jīng)過點(2，4)，所以2α＝4，解得α＝2，所以f(x)＝x2，所以f(－2)＝(－2)2＝4.故選A.答案：A3．解析：因為a＝50.7>50＝1，所以a>1；因為eq\f(π,2)<2<π，所以0<sin2<1；因為c＝log60.2<log61＝0，所以c<0.所以a>b>c.故選A.答案：A4．解析：因為函數(shù)f(x)＝2x＋x－5的圖象連續(xù)不斷，且f(－1)＝2－1－1－5＝－eq\f(11,2)<0，f(0)＝1＋0－5＝－4<0，f(1)＝2＋1－5＝－2<0，f(2)＝22＋2－5＝1>0，f(3)＝23＋3－5＝6>0，所以函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間是(1，2).故選C.答案：C5．解析：由函數(shù)是(－∞，＋∞)上的減函數(shù)可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－3<0,2a>0,（a－3）＋5≥2a))解得0<a≤2.故選D.答案：D6．解析：因為2a＋5b＝10≥2eq\r(2a·5b)，所以ab≤eq\f(5,2)，當且僅當a＝eq\f(5,2)，b＝1時，等號成立．所以ab的最大值為eq\f(5,2).故選D.答案：D7．解析：由于函數(shù)y＝lg(x＋1)的圖象可由函數(shù)y＝lgx的圖象左移一個單位而得到，函數(shù)y＝lgx的圖象與x軸的交點是(1，0)，故函數(shù)y＝lg(x＋1)的圖象與x軸的交點是(0，0)，即函數(shù)y＝|lg(x＋1)|的圖象與x軸的公共點是(0，0)，顯然四個選項只有A選項滿足．故選A.答案：A8．解析：由題意a－1＋2a＝0，a＝eq\f(1,3)，f(x)的定義域[－eq\f(2,3)，eq\f(2,3)]，x∈[0，eq\f(2,3)]時，f(x)遞減，又f(x)是偶函數(shù)，因此不等式f(x－1)>f(2x－3a)轉(zhuǎn)化為f(|x－1|)>f(|2x－1|)，|x－1|<|2x－1|≤eq\f(2,3)，(x－1)2<(2x－1)2≤eq\f(4,9)，解得eq\f(2,3)<x≤eq\f(5,6).故選D.答案：D9．解析：函數(shù)f(x)＝x2－mx＋1的對稱軸為x＝eq\f(m,2)，若函數(shù)f(x)＝x2－mx＋1在區(qū)間[3，8]上單調(diào)，則eq\f(m,2)≤3或eq\f(m,2)≥8，解得m≤6或m≥16.故選ACD.答案：ACD10．解析：對于A：根據(jù)象限角的范圍，－eq\f(4π,3)為第二象限角，故A正確；對于B：因為函數(shù)y＝sinx的最小正周期是2π，所以函數(shù)f(x)＝|sinx|的最小正周期是π，故B正確；對于C：若tanα＝3，則eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝2，故C錯誤；對于D：若圓心角為eq\f(π,6)的扇形的弧長為π，則該扇形的半徑為6，所以扇形的面積為S＝eq\f(1,2)·π·6＝3π，故D正確．故選ABD.答案：ABD11．解析：因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，當x≥0時，f(x)＝4x－x2，當x<0，－x>0，故f(x)＝f(－x)＝[－4x－(－x)2]＝－4x－x2，畫出f(x)的圖象如下：A：兩個單調(diào)遞增區(qū)間中間要用和或逗號分開，故A錯誤；B：f(－π)＝f(π)，f(x)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(－π)＝f(π)>f(5)，故B錯誤；C：當x≥0時，f(x)＝4x－x2＝－(x－2)2＋4，f(x)最大值為4，又因為f(x)是偶函數(shù)，故C正確；D：f(x)>0的解集為(－4，0)∪(0，4)，故D錯誤．故選ABD.答案：ABD12．解析：函數(shù)f(x)的最小正周期為T＝eq\f(π,\f(1,2))＝2π，A對；由eq\f(x,2)－eq\f(π,3)≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，解得x≠2kπ＋eq\f(5π,3)(k∈Z)，故函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠2kπ＋eq\f(5π,3)，k∈Z}，B錯；由eq\f(x,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(kπ,2)(k∈Z)，解得x＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，所以，函數(shù)f(x)圖象的對稱中心為(kπ＋eq\f(2π,3)，0)(k∈Z)，C對；當0<x<π時，－eq\f(π,3)<eq\f(x,2)－eq\f(π,3)<eq\f(π,6)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，π)上單調(diào)遞增，D對．答案：ACD13．解析：因為f(x)＝3sin(ωx＋eq\f(π,3))，所以T＝eq\f(2π,|ω|)＝π，解得ω＝±2.答案：±214．解析：因為x－a≤0，即x≤a，由于“－1<x<1”是“x－a≤0”的充分不必要條件，則－1<x<1?x≤a，但－1<x<1不能推出x≤a，所以a≥1.答案：[1，＋∞)15．解析：由誘導公式可知cos(eq\f(3π,2)＋α)＝sinα＝eq\f(5,13).答案：eq\f(5,13)16．解析：由題意得函數(shù)y＝eq\r(1＋log\s\do9(\f(1,2))（3x－1）)要有意義，需滿足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x－1>0,1＋log\s\do9(\f(1,2))（3x－1）≥0))，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,3),log\s\do9(\f(1,2))（3x－1）≥log\s\do9(\f(1,2))2))，解得eq\f(1,3)<x≤1，即函數(shù)y＝eq\r(1＋log\s\do9(\f(1,2))（3x－1）)的定義域是(eq\f(1,3)，1].答案：(eq\f(1,3)，1]17．解析：(1)(2eq\f(1,4))eq\s\up6(\f(1,2))－(－0.96)0－(eq\f(8,27))eq\s\up6(\f(2,3))＋(eq\f(3,2))－2＝(eq\f(9,4))eq\s\up6(\f(1,2))－1－(eq\f(8,27))eq\s\up6(\f(2,3))＋(eq\f(3,2))－2＝eq\f(3,2)－1－eq\f(4,9)＋eq\f(4,9)＝eq\f(1,2).(2)log327＋lg25＋lg4＋eln2＝log333＋lg(25×4)＋2＝3＋lg100＋2＝3＋2＋2＝7.18．解析：(1)因為α是第二象限角，則cosα＝－eq\r(1－sin2α)＝－eq\f(4,5)，所以cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(eq\f(3,5))2＝eq\f(7,25)，tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,5)×(－eq\f(5,4))＝－eq\f(3,4).(2)eq\f(2sinα＋3cosα,cosα－sinα)＝eq\f(2tanα＋3,1－tanα)＝eq\f(2×（－\f(3,4)）＋3,1－（－\f(3,4)）)＝eq\f(6,7).19．解析：(1)因為f(x)＝sin(2x＋eq\f(π,3))＋eq\f(\r(3),2)＋1，令2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，可得x＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z)，所以函數(shù)f(x)的對稱軸方程為x＝eq\f(π,12)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z).(2)當0≤x≤π時，則eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(7π,3)，由eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(π,2)，可得0≤x≤eq\f(π,12)；由eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(3π,2)，可得eq\f(π,12)≤x≤eq\f(7π,12)；由eq\f(3π,2)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(7π,3)，可得eq\f(7π,12)≤x≤π；所以函數(shù)f(x)在[0，π]上的增區(qū)間為[0，eq\f(π,12)]，[eq\f(7π,12)，π]，減區(qū)間為[eq\f(π,12)，eq\f(7π,12)]，因為eq\f(π,3)≤2x＋eq\f(π,3)≤eq\f(7π,3)，則sin(2x＋eq\f(π,3))∈[－1，1]，可得f(x)∈[eq\f(\r(3),2)，2＋eq\f(\r(3),2)]，故函數(shù)f(x)在[0，π]上的最大值為2＋eq\f(\r(3),2)，最小值為eq\f(\r(3),2).20．解析：(1)當f(x)＝11，即4x－2x＋1＋3＝11時，(2x)2－2·2x－8＝0，∴(2x－4)(2x＋2)＝0，∵2x＋2>0，∴2x－4＝0，2x＝4，故x＝2.(2)令t＝2x，t∈[eq\f(1,4)，2]，∴原函數(shù)即可化為y＝t2－2t＋3＝(t－1)2＋2，當t＝1，即x＝0時，函數(shù)的最小值f(x)min＝2，當t＝2，即x＝1時，函數(shù)的最大值f(x)max＝3，即函數(shù)的最大值和最小值分別為3和2.21．解析：(1)根據(jù)題意，函數(shù)f(x)＝loga(2＋3x)－loga(2－3x)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2＋3x>0,2－3x