專題01壓軸小題中指對冪比較大小講義教師版

專題01指對冪比較大小講義【考情分析】指對冪比較大小是高考小題壓軸題?？嫉膬?nèi)容，難度較大。解決此類問題的方法主要有：一是構造函數(shù)后利用單調(diào)性判斷，二是通過放縮比較大小，三是作差(商)比較法；【知識總結】1.指、對、冪大小比較的常用方法：(1)底數(shù)相同，指數(shù)不同時，如和，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；(2)指數(shù)相同，底數(shù)不同，如和利用冪函數(shù)單調(diào)性比較大小；(3)底數(shù)相同，真數(shù)不同，如和利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大??；(4)底數(shù)、指數(shù)、真數(shù)都不同，找中間變量0，1或其它能判斷大小的中間量，利用中間量進行大小判定；2.指對數(shù)的同構常用的公式：x=lnex，3.常用放縮公式：(注意：若是解答題，需要作證明，否則要扣分)(1)指數(shù)放縮：ex≥x+1(x=0取等號)；e(2)對數(shù)放縮：1?1x≤lnx≤x?1(x=1取等號)；lnx≤(3)三角放縮：x∈(0,π2【考點題型】題型一：構造相同的函數(shù)比較大小【例11】已知，且，則a，b，c的大小關系為（

）A．B．C．D．【答案】A【詳解】因為a=2,b=2.10.9,c=設函數(shù)f(x)=(1?x)ln(2+x),x∈[?0.1,0.1]，則f'令?x=?ln(2+x)+32+x?1則f'(x)≤f'(?0.1)=?所以f(?0.1)>f(0)>f(0.1)，從而c>a>b；故選：A．【例12】已知a=ln33，b=e?1，c=3ln28，則A．b<c<a B．a(chǎn)>c>b C．a(chǎn)>b>c D．b>a>c【答案】D【詳解】a=ln33=ln33,b=則f(x)在[e，+∞)上單調(diào)遞減；∴fe【對點訓練1】1．fx=x3?12sinx，若θ∈A．a(chǎn)>b>c B．b>a>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b【答案】A【詳解】因為f?x所以fx在R上是奇函數(shù).所以c=?f?12=f令gx=3x2?12cosx，則g'則12<x<1時，gx>g12=θ∈0,π12，所以cosθ>12>令?x=xlnx+ln2，則?當x>1e時，?'x>0,?而2e>e，即2>e1e，所以ln2>1e所以cosθsinθ>sinθsin2．設a=23,b=log6A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．c>b>aD．b>c>a【答案】D【詳解】因為log65=ln5ln6，log4再令?x=xlnx，則?'x=lnx當x∈e,+∞時x+1>x，所以x+1ln所以f5>f3，即ln5ln6因為33>24=2433所以b>c3．已知a=ln22,b=1eeA．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．b>a>cD．b>c>a【答案】C【詳解】令fx=lnxx，可得f當x∈(0,e)時，f'x>0，fx因為a=ln22=所以fe>f44．已知x=log45，y=ln195，z=76，則A．x>y>zB．z>y>xC．x>z>yD．y>z>x【答案】D【詳解】∵53=125<27=128，∴532<272，即∴z>x；令fx=lnx?2x∴f195>f1=0，即ln1955．已知a=17，b=18，c=ln87，則aA．a(chǎn)>c>bB．a(chǎn)>b>cC．c>a>bD．c>b>a【答案】A【詳解】令a=17，b=171+所以c=ln1+17<17所以fx在0,1上單調(diào)遞增，所以f176．若a，b，c∈0,1，且ae=ea，bA．c>b>a B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a【答案】C【詳解】由ae=ea，be1.2=1.2eb令f(x)=xex，則f'(x所以f(x)在(?∞,1)上是增函數(shù)，在(1,+∞)即f(a)>f(b)>f(c7．若a，b，c∈(0,1)，且滿足ae0.8=0.8ea，bA．c>b>a B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a【答案】B【詳解】由ae0.8=0.8ea，be1.2=1.2eb，ce當x<1時，f'x>0，當x>1時，f在1,+∞上是減函數(shù)，于是f1.2>f1.6，即fbae因為54=625>29=512，所以54>于是fa>fc，又a，令gx=xex?2?xe2?x，則g'x=1?于是fa<fb，又a，b∈0,1，所以a8．已知a=log215，b=415，c=19?1A．a(chǎn)<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b【答案】A【詳解】因為a=log215<log216=2a=log215=令gx=4x?4ln4，則易知gx在所以當x∈0,2ln24時，gx<0，即f則fx在0,2ln2又因為f16=0，所以f15則415>log215題型二：構造不同的函數(shù)比較大小【例21】若a=0.6e0.4，b=2?ln4，c=e?2，則a，A．a(chǎn)>b>cB．a(chǎn)>c>bC．b>c>aD．c>b>a【答案】B【詳解】對于a和b，∵a=0.6e0.4=構造函數(shù)fx=x1?lnx對fx求導，得f'x=?lnx，當x∈1,+∵1=e0<e0.4對于b和c，∵b?c=4?ln4?e=4?2ln2?當x∈0,e時，g'x>0；當x∈e,+∞時，∴gxmax=ge=0，∴g對于a和c，∵a?c=1?0.4e0.4?e當x∈0,1時，?'x<0，∴?x在0,1上單調(diào)遞減；∴?0.5>0，∴?0.4>?0.5>0，∴a?c>0【例22】已知a=0.75e0.5,b=eln1.5,c=1.125則a，bA．b<c<a B．b<a<c C．c<a<b D．a(chǎn)<c<b【答案】A【詳解】構造函數(shù)f(x)=lnx?1ex，當x>e時，f'x<0，則函數(shù)f故f(x)≤f(e)=lne?1=0,則2lnx≤x2e，則ln當x=0.75時，ln1.5<2e×0.75構造函數(shù)gx=ex?1?x，則g'x所以gx=ex?1故gx≥g1=0，所以ex?1當x=0.75時，e0.5>1.5，則0.75e0.5【例23】已知m+em=e，n+5n=A．nlgm<mlgn B．nlg【答案】B【詳解】n+5n=e>n+e因為tm>tn，所以m>n；令fx=lgxx=lnxx則fx=lnxxln10=g【對點訓練2】1．已知a=sinπ15，b=3log32?2，c=2ln3?A．a(chǎn)<c<bB．b<a<cC．b<c<aD．a(chǎn)<b<c【答案】D【詳解】由條件知b=3log32?2=3則f'x=1?cosx≥0，所以fx在構造函數(shù)gx=lnx當0<x<1是，g'x<0所以函數(shù)gx在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以g所以ln97?1?197>02．已知a=e0.4?1，b=0.4?2ln1.2，c=0.2A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．c>b>a【答案】B【詳解】令fx=e2x?1?x,x故fx>f0=0，取x=0.2，則f0.2令gx=x?2ln1+x,x故gx<g0=0，取x=0.2，則g0.2綜上可得：a,b,c3．已知a=tan20232022,b=e12023,c=2023A．c<b<aB．a(chǎn)<c<bC．c<a<bD．b<c<a【答案】D【詳解】令fx=tanx?x，1<x<∴fx在(1,32)上單調(diào)遞增，∴f20232022>f1令gx=lnx+1x?1，x∈1,+∞∴g20232022>g1=0，∴l(xiāng)n20232022>1?4．設a=sin12，b=e?1，c=ln32，則A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a【答案】B【詳解】將12用變量x替代，則a=sinx，b=令f(x)=sinx?ln易知g'(x)在0,1上單調(diào)遞減，且g'(0)=1>0，g當x∈0,x0時，g'(x)>0，又f'(0)=0，f'(1)=cos1?12>0∴fx>f0=0，即sin記?x=ex?sinx+1，又?0=e0?sin0+1=0，所以?(5．設a=sin14，b=4e?1，c=ln54A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．b>c>aD．c>b>a【答案】B【詳解】將14用變量x替代，則a=sinx，b=e令f(x)=sinx?ln(x+1)易知g'(x)在0,1上單調(diào)遞減，且g'(0)=1>0，g當x∈0,x0時，g'(x)>0，又f'(0)=0，f'(1)=cos1?12>0，∴∴fx>f0=0，即記?(x)=ex?(sinx+1)，又?(0)=e0?(sin0+1)=0，所以?(146．已知a=e0.9+1,b=2910A．a(chǎn)>c>bB．c>b>aC．b>a>cD．a(chǎn)>b>c【答案】D【詳解】a=e0.9+1,令fx=y1?y2=e所以f0.9>f0=0，所以e令gx=y2?y3=x?lnx所以0.9?ln0.9?1>0，所以0.9+2>ln0.9+3，所以b7．已知a=1.4，b=1.1e0.4，c=e0.5，則A．a(chǎn)<b<cB．a(chǎn)<c<bC．b<c<aD．c<b<a【答案】A【詳解】構造函數(shù)fx=1.5?xex，則當x<0.5時，f'x>0，函數(shù)當x>0.5時，f'x<0，函數(shù)fx設gx=ex?x?1，則g'x當x>0時，g'x>0，函數(shù)g故ex≥x+1，所以1.1e8．若a=sin0.1+tan0.1，b=0.2，c=0.16e0.2，則a，A．a(chǎn)<b<cB．b<c<aC．c<b<aD．c<a<b【答案】C【詳解】構造函數(shù)fx=sinx所以fx在0,π2上單調(diào)遞增，則f0.1>f0g'x<0在?∞,0上恒成立，故gx在?∞,0上單調(diào)遞減，則g所以e?0.2>1?0.2，即1?0.2e0.2<1，所以c題型三：用放縮法比較大小【例31】已知a=ln1.01，b=0.01，c=eA．c<a<b B．a(chǎn)<b<c C．b<a<c D．b<c<a【答案】B【詳解】構造函數(shù)f(x)=ln(x+1)?x，x∈(?1,+∞當x∈(?1,0)時，f'(x)>0，f(x)在(?1,0)上遞增，當x∈(0,+∞)時，∴a?b=f(0.01)<f(0)=0，a<b；構造函數(shù)g(x)=x?ex?1，x∈R當x∈(?∞,1)時，g'(x)>0,g(x)在(?∞,1)上遞增，當b?c=g(0.01)<g(1)=0，b<c，∴a<b<c；故選：B.【例32】設a=1101，b=lnA．a(chǎn)<b<c B．b<c<a C．b<a<c D．c<a<b【答案】A【詳解】設a,b,c分別是設gx=ex所以x∈?∞,0時，g'x<0,所以gx≥g0=0，即當x=0.01時，可得ln1.01<e0.01?1，即則f'所以x∈?1,0時，f'x<0,所以f0.01>f0，即ln1.01?0.011.01>ln1【對點訓練3】1．設a=124,b=23sin130,c=A．b>a>c B．a(chǎn)>b>c C．a(chǎn)>c>b D．c>a>b【答案】C【詳解】由c=e130?1，a=1因為f'x=54?e又545=31251024>3>e，所以5故f130=因為b=23sin130，c=因為ex≥1>23≥23cosxg130>g0=0，即e1302．已知a=1.031.01,b=1.011.03,c=1.021.02，則A．c<b<a B．c<a<b C．b<c<a D．a(chǎn)<c<b【答案】C【詳解】構造f(x)=構造u(x)=故u(x)在(0,+∞)故f'(x)=u(x因為(1.02+0.01)2=1.0609<e，所以1.02<e?0.01即1.01ln1.03>1.02ln1.02，即ln1.031.01>ln同理構造g(x)=構造v(x)=xx?0.01?ln(x?0.01)，則v'(x)=?0.01(x?0.01)2?1x即ln1.021.02>ln1.011.033．若a=1.1ln1.1，b=0.1e0.1，c=110，則a，A．a(chǎn)<b<c B．c<a<b C．b<a<c D．a(chǎn)<c<b【答案】B【詳解】設fx=x設?x=f'x且其值均大于0，y=1x+1單調(diào)遞減，所以所以?x在x>0單調(diào)遞減，且?0=0，所以在x>0時，?故f0>f0.1，即設gx當x>0時，g'x=lnx所以g0.1>g0，即4．若a=1.1ln1.1,b=0.1e0.1,c=A．a(chǎn)<b<cB．c<a<bC．b<a<cD．a(chǎn)<c<b【答案】A【詳解】設f(x)=所以f(x)在0,1上遞減，則f0.1<f0=1，即設?(x)=(1+x)ln(1+x)?設s(x)=?'(x)，則s'所以?(x)在x>0時是減函數(shù)，并且?(0)=0，所以x綜上，a<5．實數(shù)x，y，z分別滿足x2022=e，2022y=2023，2022z=2023，則x，yA．x>y>zB．x>z>yC．z>x>yD．y>x>z【答案】B【詳解】由已知得x=e12022，y=log20222023，z=所以f(x)=lnx即ln20232023<ln20222022所以又設?x=ex?x?1所以?x=ex?所以e12022>12022+1=6．已知a=2eπ，b=ee，c=e2ln2，試比較A．b>c>aB．b>a>cC．c>a>bD．c>b>a【答案】B【詳解】先證明兩個不等式：（1）2lnx<x則f'(x)=2x?1?即2lnx（2）lnx>2(x?1)即g(x)在(1,+∞)上遞增，故g再說明一個基本事實，顯然3<π<3.24，于是由（1）可得，取x=2，可得2ln2<1.5?ln2<0.75?由（2）可得，取x=2，可得ln2>23，再取x=4ba=ee2ca=e2ln22eπ7．設a=121,b=A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b【答案】C【詳解】記f(x)=ex?1?x,(x≥0)，則當x>0時，f(x)=ex?1?記g(x)=ln(x+1)?x,(x>0時，g(x)<g(0)=0，即ln(1+x)<x記?(x)=ln(x+1)?x1+所以?(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，所以當x>0時，?(所以ln1.05>0.051+0.05=5105=8．設a=4104，b=ln1.04，A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．c>a>bD．c>b>a【答案】D【詳解】令fx=ex?1?xx>0，則即ex?1>x，則e0.04?1>0.04∴gx在0,+∞上遞減，∴gx<g0=0，即令?x=ln1+x?x1+∴?x>?0=0，即ln1+x9．設a=3103，b=ln1.03，A．a(chǎn)>b>cB．b>a>cC．c>b>aD．c>a>b【答案】C【詳解】記fx=ex?1?x,x≥0；因為f'x=ex?1，所以當x記gx=ln1+x?x,x≥0；因為g'x=11+x?1=記?x=ln1+x?x1+x,x≥0；?'x=11+x所以b>a；綜上所述：c題型四作差(商)法比較大小【例4】已知，則（

）A．B．