《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖問題探究11.函數(shù)的極值情境與問題如圖(1)所示,在群山之中,各個(gè)山峰的頂端雖然不一定是群山的最高處,但它卻是其附近的最高點(diǎn).同樣,各個(gè)谷底雖然不一定是群山之中的最低處,但它卻是其附近的最低點(diǎn).觀察圖(2)中函數(shù)的圖像,指出其中是否有類似山峰、山谷的地方,如果有,嘗試用數(shù)學(xué)語言描述.結(jié)論:從圖(2)中可以看出,函數(shù)在這三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,都是其附近的函數(shù)值中的最大者;而在這兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值,都是其附近的函數(shù)值中的最小者.教師慢慢引導(dǎo)學(xué)生說出自己的發(fā)現(xiàn)，并初步修正到最終的結(jié)論上.培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)問題的能力.概念形成函數(shù)的極值與極值點(diǎn)一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè),如果對(duì)于附近的任意不同于的,都有（1）,則稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),且在處取極大值;（2）,則稱為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),且在處取極小值.極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都稱為極值點(diǎn).極大值與極小值都稱為極值.教師引導(dǎo)學(xué)生通過函數(shù)圖像理解極值點(diǎn)和極值的概念.通過師生互動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng).問題探究22.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值探究1從下圖所示的函數(shù)的圖像中可以看出,對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo),都是函數(shù)的極值點(diǎn).已知曲線在,處都存在切線.（1）處的切線具有什么特征?這說明在處的導(dǎo)數(shù)具有什么特點(diǎn)?（2）曲線在附近的點(diǎn)處的切線具有什么特征?提示:(1)曲線在處的切線平行于軸,這等價(jià)于.（2）在點(diǎn)與點(diǎn)左側(cè)的附近,曲線的切線的斜率都大于0;在右側(cè)的附近,曲線的切線的斜率都小于0.在點(diǎn)與點(diǎn)的附近則正好相反.因此,在兩側(cè)附近的符號(hào)不一樣.結(jié)論:一般地,如果是的極值點(diǎn),且在處可導(dǎo),則必有.探究2已知,求所有使得0的,并判斷所求得的數(shù)是否為函數(shù)的極值點(diǎn).提示:不是函數(shù)的極值點(diǎn).探究3若存在,“”是“是的極值點(diǎn)”的什么條件?提示:必要不充分條件.讓學(xué)生自己根據(jù)函數(shù)圖像發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)與極值、極值點(diǎn)的關(guān)系.教師總結(jié)此結(jié)論，讓學(xué)生理解.學(xué)生通過畫出函數(shù)的圖像，回答此問題.教師指導(dǎo)學(xué)生閱讀教材第93頁例1處的解答.通過探究2學(xué)生回答探究3.通過學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)導(dǎo)數(shù)和極值點(diǎn)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)問題的能力.由探究2和探究3學(xué)生得出函數(shù)取得極值的條件.形成規(guī)律一般地,設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),且.（1）如果對(duì)于左側(cè)附近的任意,都有,對(duì)于右側(cè)附近的任意,都有0,那么此時(shí)是的極大值點(diǎn).（2）如果對(duì)于左側(cè)附近的任意,都有,對(duì)于右側(cè)附近的任意,都有0,那么此時(shí)是的極小值點(diǎn).（3）如果在的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(hào)(或均為負(fù)號(hào)),則一定不是的極值點(diǎn).學(xué)生用自己的語言表達(dá)該規(guī)律，教師進(jìn)行必要的修正.通過觀察和討論得出極值與極值點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生抽象概括的能力.問題探究33.函數(shù)最值的求法嘗試與發(fā)現(xiàn)觀察下圖所示函數(shù)的圖像,回憶函數(shù)最值的定義,回答下列問題.（1）圖中所示函數(shù)的最值點(diǎn)與最值分別是多少?（2）圖中所示函數(shù)的極值點(diǎn)與極值分別是多少?提示:函數(shù)的最大值點(diǎn)為2,最大值為3;最小值點(diǎn)為0,最小值為;極大值點(diǎn)為,極大值為2;極小值點(diǎn)為0,極小值為.（3）一般地,函數(shù)的最值與函數(shù)的極值有什么關(guān)系?怎樣求可導(dǎo)函數(shù)的最值?學(xué)生回顧函數(shù)最值的定義，自主完成“嘗試與發(fā)現(xiàn)”中的問題（1）（2）.學(xué)生小組探究極值與最值的關(guān)系.通過討論總結(jié)出求函數(shù)最值的方法.形成結(jié)論一般地,如果函數(shù)在定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo),且函數(shù)存在最值,則函數(shù)的最值點(diǎn)一定是某個(gè)極值點(diǎn);如果函數(shù)的定義域?yàn)榍掖嬖谧钪?函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo),那么函數(shù)的最值點(diǎn)要么是區(qū)間端點(diǎn)或,要么是極值點(diǎn).教師引導(dǎo)學(xué)生理解極值點(diǎn)與最值點(diǎn)，極值與最值之間的關(guān)系.讓學(xué)生體會(huì)解題方法的支撐點(diǎn)是對(duì)概念的理解和把握.應(yīng)用舉例例1已知函數(shù),求函數(shù)的極值,并作出函數(shù)圖像的示意圖.解由題意可得.解方程,可得或.解不等式,可得或,此時(shí)遞增.解不等式,可得,此時(shí)遞減.因此,在上遞增,在上遞減,在上遞增,而且.從而可知是函數(shù)的極大值點(diǎn),極大值為;是函數(shù)的極小值點(diǎn),極小值為；函數(shù)圖像的示意圖如圖所示.練習(xí):教材第96頁練習(xí)A第2題.例2已知,求的極值點(diǎn)以及極值、最值點(diǎn)以及最值.解當(dāng)時(shí),解方程,可得或.解不等式,可得或1,此時(shí)遞增.解不等式,可得,此時(shí)遞減.因此,在上遞增,在上遞減,在上遞增.由于,可知是函數(shù)的極大值點(diǎn),極大值為；是函數(shù)的極小值點(diǎn),極小值為.又因?yàn)?所以函數(shù)的最大值點(diǎn)為1,最大值為對(duì)任意實(shí)數(shù)都是成立的,因此函數(shù)的最小值點(diǎn)為0,而且最小值是0.學(xué)生分組練習(xí),交流討論,教師巡視,收集信息及時(shí)評(píng)價(jià).教師指出:為了方便起見,也可以先將例1中的結(jié)論整理成如下表格的形式(表示遞增,表示遞減),然后再作示意圖.結(jié)合例1,教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)求函數(shù)極值的步驟.求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟:（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間,求導(dǎo)數(shù);（2）求方程的根;（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn),順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間,并列成表格.檢查在方程根左右的值的符號(hào),如果左正右負(fù),那么在這個(gè)根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么在這個(gè)根處取得極小值;如果左右不改變符號(hào),那么在這個(gè)根處無極值.學(xué)生獨(dú)立完成,集體訂正答案.學(xué)生自主完成例2,教師引導(dǎo)歸納利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的步驟.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則求在上的最大值與最小值的步驟如下:（1）求在內(nèi)的極值;（2）將的各極值與比較,得出函數(shù)在上的最值.通過例題，使學(xué)生總結(jié)出利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值和最值的步驟，掌握新知識(shí).課堂小結(jié)1.知識(shí)（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值；（2）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.2.思想方法本節(jié)用到了數(shù)形結(jié)合的思想方法.學(xué)生歸納小結(jié)，教師補(bǔ)充完善.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識(shí)框架，從整體上把握本節(jié)內(nèi)容.布置作業(yè)1.教材第96頁練習(xí)A第3，4，5，6題.2.教材第96頁練習(xí)B第4題.學(xué)生獨(dú)立完成，教師批閱.通過練習(xí)鞏固本節(jié)重點(diǎn)知識(shí).板書設(shè)計(jì)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值1.函數(shù)的極值與極值點(diǎn)一般地,設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?設(shè),如果對(duì)于附近的任意不同于的,都有（1）,則稱為函數(shù)的一個(gè)極大值點(diǎn),且在處取極大值（2）,則稱為函數(shù)的一個(gè)極小值點(diǎn),且在處取極小值極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)都稱為極值點(diǎn)極大值與極小值都稱為極值2.導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值一般地,如果是的極值點(diǎn),且在處可導(dǎo),則必有一般地,設(shè)函數(shù)在處可導(dǎo),且.（1）如果對(duì)于左側(cè)附近的任意,都有0,對(duì)于右側(cè)附近的任意,都有,那么此時(shí)是的極大值點(diǎn)（2）如果對(duì)于左側(cè)附近的任意,都有0,對(duì)于右側(cè)附近的任意,都有,那么此時(shí)是的極小值點(diǎn)（3）如果在的左側(cè)附近與右側(cè)附近均為正號(hào)(或均為負(fù)號(hào)),則一定不是的極值點(diǎn)3.函數(shù)