2023-2024學(xué)年北京六十六中高三（上）期中數(shù)學(xué)試題和答案

高中PAGE1試題2023北京六十六中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷說明：1．本試卷共三道大題，共4頁.2．卷面滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.3．試題答案一律在答題紙上作答，在試卷上作答無效.一、選擇題（每小題4分，共40分）1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.若等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足，，，則的公比為（）A.2 B. C.4 D.3.已知，且，則（）A. B. C. D.4.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.要得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)的圖象（）A.向左平移個(gè)單位； B.向右平移個(gè)單位；C.向左平移個(gè)單位； D.向右平移個(gè)單位6.下列函數(shù)中，在其定義域上既是偶函數(shù)又在(0，＋∞)上單調(diào)遞減的是()A.y＝x2 B.y＝x＋1C.y＝－lg|x| D.y＝－2x7.設(shè)，，，則（）A. B.C. D.8.若命題“”是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B. C. D.9.函數(shù)的部分圖象如圖所示，則將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象的解析式為（）A.y2x B.2x C. D.10.對實(shí)數(shù)，定義運(yùn)算“”：設(shè)函數(shù).實(shí)數(shù)互不相等，且，則的取值范圍是A. B. C. D.二、填空題（每小題5分，共25分）11.在中，若，，，則______．12.已知復(fù)數(shù)，則____________.13.已知向量，，，且，則實(shí)數(shù)__________．14.已知向量，．若存在實(shí)數(shù)，使得與的方向相同，則的一個(gè)取值為__________．15.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，，．給出下列四個(gè)結(jié)論：①是遞增數(shù)列；②都不是等差數(shù)列；③當(dāng)時(shí)，是中的最小項(xiàng)；④當(dāng)時(shí)，．其中所有正確結(jié)論的序號是____________．三、解答題（共6小題，共85分）16.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求不等式的解集．17.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）等比數(shù)列的首項(xiàng)為1，公比為，使得的每一項(xiàng)都是中的項(xiàng)．若，求m．（用含k的式子表示）18.已知函數(shù)，曲線在處的切線方程為求的值；若函數(shù)存在極大值，求的取值范圍.19.在中，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且.記，.（1）求證：；（2）若，，，求的長.20.設(shè)函數(shù)（1）討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)極值點(diǎn)和，記過點(diǎn)的直線的斜率為，問：是否存在，使得？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由．21.若數(shù)列的子列均為等差數(shù)列，則稱為k階等差數(shù)列．（1）若，數(shù)列的前15項(xiàng)與的前15項(xiàng)中相同的項(xiàng)構(gòu)成數(shù)列，寫出的各項(xiàng)，并求的各項(xiàng)和；（2）若數(shù)列既是3階也是4階等差數(shù)列，設(shè)的公差分別為．（?。┡袛嗟拇笮￡P(guān)系并證明；（ⅱ）求證：數(shù)列是等差數(shù)列．

參考答案1.【答案】C【分析】根據(jù)并集的定義即可求解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C2.【答案】B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的基本量運(yùn)算可得，然后利用等比數(shù)列的概念結(jié)合條件即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，則，所以，∴，，所以.故選：B.3.【答案】A【分析】由同角三角函數(shù)基本關(guān)系的平方關(guān)系可以求出的值且，再利用即可求解.【詳解】由得，因?yàn)?，所以，所以，所以，故選：A4.【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)單調(diào)遞增，由可得：，充分性成立，當(dāng)時(shí)，，但不一定，必要性不成立，故選：A5.【答案】D【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換規(guī)則計(jì)算可求解.【詳解】由題意知：，所以只需的圖像向右平移個(gè)單位就可以得到的圖像，故D項(xiàng)正確.故選：D.6.【答案】C【分析】選項(xiàng)A：在上單調(diào)遞增，不符合條件；選項(xiàng)B：代入特殊值，可知，且，故是非奇非偶函數(shù)，不符合條件；選項(xiàng)C：先求出定義域，再根據(jù)奇偶性的定義，確定是偶函數(shù)，時(shí)，單調(diào)遞減，故符合條件；選項(xiàng)D：代入特殊值，可知，且，故是非奇非偶函數(shù)，不符合條件.【詳解】選項(xiàng)A：的定義域?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞增，不符合題意，故A不正確；選項(xiàng)B：記，則，，則，，故是非奇非偶函數(shù)，不符合題意，故B不正確；選項(xiàng)C：定義域，記，則，所以，即是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，故C正確；選項(xiàng)D：記，則，，則，，不符合題意，故D不正確.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合，要求掌握常見函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．7.【答案】D【分析】根據(jù)指對數(shù)函數(shù)及余弦函數(shù)性質(zhì)判斷大小關(guān)系即可.【詳解】由，則，而，所以.故選：D8.【答案】B【分析】不等式能成立，等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解，用判別式計(jì)算求參數(shù)即可.【詳解】由題可知，不等式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有解，等價(jià)于方程有實(shí)數(shù)解，即，解得.故選：B.9.【答案】D【分析】先根據(jù)題意求得、、的值，得到函數(shù)的解析式，然后通過平移變換得到所求的解析式．【詳解】由圖象得，，．∵點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，，，，又，，．將的圖象向右平移個(gè)單位后，得到的圖象對應(yīng)的解析式為．故選：D．10.【答案】B【分析】由新定義寫出分段函數(shù)，由題意作函數(shù)的圖象，由二次函數(shù)的對稱軸得，由此利用函數(shù)的圖象可求的范圍.【詳解】由，得，作函數(shù)的圖象如下圖：∵互不相等，且，可設(shè)，∵，，由圖象得，且，∴，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)及運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的思想方法和運(yùn)用，注意通過圖象觀察，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．二、填空題（每小題5分，共25分）11.【答案】【分析】利用正弦定理可得答案.【詳解】由正弦定理可得，所以.故答案為：.12.【答案】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式直接運(yùn)算求解.【詳解】由題意可得：.故答案為：.13.【答案】【詳解】分析：先根據(jù)向量加法求，再根據(jù)向量數(shù)量積為零得方程，解得實(shí)數(shù)值.詳解：，∵，∴，解得．點(diǎn)睛：(1)向量平行：，,(2)向量垂直：，(3)向量加減乘：14.【答案】（答案不唯一，小于的實(shí)數(shù)均可）【分析】由兩向量同向可知，由此可構(gòu)造方程組求得，由可求得滿足題意的的范圍，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】與方向相同，，，，由得：，存在實(shí)數(shù)，，使得與方向相同.故答案為：（答案不唯一，小于的實(shí)數(shù)均可）.15.【答案】③④【分析】利用特殊數(shù)列排除①②，當(dāng)時(shí)顯然有，對數(shù)列遞推關(guān)系變形得到，再判斷③④即可.【詳解】當(dāng)數(shù)列為常數(shù)列時(shí)，，不是遞增數(shù)列，是公差為的等差數(shù)列，①②錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，顯然有，所以，又因?yàn)?，所以由遞推關(guān)系得，所以，故數(shù)列是遞增數(shù)列，是中的最小項(xiàng)，③正確；當(dāng)時(shí)，由③得，所以由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，所以，所以，④正確.故選：③④.三、解答題（共6小題，共85分）16.【答案】（1）（2）【分析】（1）利用二倍角公式和兩角和公式化簡，再利用最小正周期公式求解即可；（2）由正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)求解即可.【小問1詳解】由題意得，所以的最小正周期.【小問2詳解】由（1）得，當(dāng)時(shí)，，解得，即不等式的解集為.17.【答案】（1）（2）【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)條件列出方程組，求解和，可得通項(xiàng)公式；（2）求出，由，可得．從而求出．【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，，所以，解得所以．【小?詳解】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，即．得，因?yàn)?，為奇?shù)，為偶數(shù)，所以．可得．18.【答案】；【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合切線方程得到關(guān)于的方程組，解出即可；（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，結(jié)合二次函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合函數(shù)的存在極大值，確定的范圍即可．【詳解】解：因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為，所以解得，①當(dāng)時(shí)，不存在極大值，不符合題意.②當(dāng)時(shí)，.令.(i)當(dāng)，即時(shí)，不符合題意.(ii)當(dāng)，即時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.設(shè)方程兩個(gè)根為，且.的變化如表所示:極大值極小值所以為極大值.③當(dāng)時(shí)，恒成立.設(shè)方程兩個(gè)根為，且.的變化如表所示:極大值極小值所以，為極大值.綜上，若函數(shù)存在極大值，的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查了切線方程問題，導(dǎo)數(shù)在函數(shù)的單調(diào)性和極值問題中的應(yīng)用，考查分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想，是一道綜合題．19.【答案】（1）詳見解析；（2）.【詳解】試題分析：(1)由題意結(jié)合正弦定理整理計(jì)算即可證得結(jié)論；(2)利用題意結(jié)合余弦定理，設(shè)，，列方程求解可得.試題解析：（1）由正弦定理，在中，在中，因?yàn)椋?，因?yàn)椋?（2）因?yàn)?，，由?）得，設(shè)，，，由余弦定理得到，解得，所以.20.【答案】（1）答案見解析：（2）不存在【詳解】（1）定義域?yàn)?，，令，①?dāng)時(shí)，，，故在上單調(diào)遞增，②當(dāng)時(shí)，，的兩根都小于零，在上，，故在上單調(diào)遞增，③當(dāng)時(shí)，，的兩根為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故分別在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知，，因?yàn)?所以,又由（1）知，，于是，若存在，使得，則，即，亦即（）再由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，而，所以，這與（）式矛盾，故不存在，使得.21.【答案】（1）的各項(xiàng)為：4，16，28，40；的各項(xiàng)和為：（2）（?。?證明見解析；（ⅱ）證明見解析；【分析】（1）根據(jù)題意，利用枚舉法，即可求解；（2）（ⅰ）根據(jù)題意，均為等差數(shù)列，通過等量代換找到的關(guān)系即可；（ⅱ）均為等差數(shù)列，由（ⅰ）得，設(shè)，進(jìn)而利用等量代換關(guān)系，得到，進(jìn)而可以遞推，得到，即可證明數(shù)列是等差數(shù)列【小問1詳解】，，，前15項(xiàng)分別為：1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43；前15項(xiàng)分別為：4，8，12