《利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題》教學(xué)設(shè)計教學(xué)設(shè)計教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)內(nèi)容師生互動設(shè)計意圖問題探究情境與問題如圖所示,海中有一座油井,其離岸的距離,岸是筆直的,岸上有一座煉油廠,且.現(xiàn)要用輸油管將油井與煉油廠連接起來,且輸油管既可以鋪設(shè)在水下,也可以鋪設(shè)在陸地上,還可以一部分鋪設(shè)在水下另一部分鋪設(shè)在陸地上.已知水下的鋪設(shè)成本為每千米50萬元,陸地的鋪設(shè)成本為每千米30萬元.那么,鋪設(shè)輸油管的最少花費是多少?嘗試與發(fā)現(xiàn)分別計算下列兩種鋪法的鋪設(shè)成本,然后嘗試給出最優(yōu)的鋪設(shè)方案.（1）先沿鋪設(shè)再沿鋪設(shè);（2）直接沿著線段鋪設(shè).答案如果先沿鋪設(shè),再沿鋪設(shè),則成本為(萬元).又因為,，所以直接沿線段鋪設(shè),成本為(萬元).如上圖所示,在岸上取一點,設(shè)其離的距離為,則.設(shè)先沿鋪設(shè)再沿鋪設(shè)輸油管時成本為萬元,則.因此,當(dāng)時,.令,可解得.可知在上遞減,在上遞增.從而在時取得最小值,而且最小值為50.從而可知最少花費是96萬元.學(xué)生先自主思考，然后分組討論.讓學(xué)生計算兩種方案所需的費用，進步總結(jié)解決最優(yōu)化問題的方法和途徑.培養(yǎng)學(xué)生審題的能力及建立函數(shù)模型的能力.概念形成解決最優(yōu)化問題的基本思路：解決最優(yōu)化問題的一般步驟：（1）審題：閱讀理解題目中文字表達的含義，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；（2）建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；（4）作答：對結(jié)果進行驗證評估，定性定量分析，作出正確的判斷，確定其答案注意：實際應(yīng)用中，準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式并確定函數(shù)的定義域是關(guān)鍵.教師講解解決最優(yōu)化問題的基本思路和解題的一般步驟.通過師生互動，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).同時讓學(xué)生體會從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.應(yīng)用舉例例1如圖,某海島碼頭離岸邊最近點的距離是,岸邊的醫(yī)藥公司與點的距離為,現(xiàn)有一批藥品要盡快送達海島碼頭.已知與之間有一條公路,現(xiàn)要用海陸聯(lián)運的方式運送這批藥品,若汽車的時速為,快艇時速為.試在岸邊選一點,先將藥品用汽車從送到,再用快艇從運到海島碼頭,則點選在何處可使運輸時間最短?解設(shè)點與點的距離為,運輸時間為,則.因為，令,可解得.因此可知在上遞知,在上遞增,從而在時取得最小值.這就是說,點選在離點為時可使運輸時間最短.練習(xí):位于兩點處的甲、乙兩村合用一個變壓器,如圖所示,若兩村用同型號線架設(shè)輸電線路,問變壓器設(shè)在輸電干線何處時,所需電線總長最短?解設(shè),則.則所需電線總長,從而.令,即,解得或(舍去).因為在上使的點只有,所以根據(jù)實際意義,知就是我們所求的最小值點.即變壓器設(shè)在之間離點的距離為處時,所輸電線總長最短.例2如圖所示,現(xiàn)有一塊邊長為的正方形鐵板,如果從鐵板的四個角各截去一個邊長相等的小正方形,然后做成一個長方體形的無蓋容器,則容器的容積匙截下的小正方形邊長的函數(shù).（1）寫的函數(shù)的解析數(shù);（2）為了使容器的容積最大，截去的小正方形邊長應(yīng)為多少？解（1）根據(jù)題意可知,容器底面的邊?為,高為,于是,又因為?然的長度必須小于原有正方形邊長的一半,因此,所以.（2）由題意有.令,可解得.因此可知在上遞增,在上遞減.故在時取得極大值，而且在此時取得?大值.即截去的正方形邊長為時,容器的容積最大.練習(xí)：如下圖所示,用鐵絲彎成一個上面是半圓、下面是矩形的圖形,其面積為100,為使所用材料最省,半圓的直長應(yīng)為多少?解設(shè)半圓的半徑為,鐵絲化為,則矩形的一邊長為,設(shè)與其相鄰的另一邊長為,則,所以,所以,所以.令,得,所以,解得(負值舍去),故半圓的直徑為時用料最省.例3已知某型號手機總成本元是月產(chǎn)量萬件的函數(shù),且.將看成能取區(qū)間內(nèi)的每一個值,求月產(chǎn)量為多少時,才能使每件產(chǎn)品的平均成本最低?最低平均成本為多少?解記平均成本為元,則.因為時,有,令,可解得.因此可知在上遞減,在上遞增,從而在時取得極小值,而且在此時取得最小值.即當(dāng)月產(chǎn)量為10萬件時,每件產(chǎn)品的平均成本最低,最低為400元.練習(xí):甲、乙兩地相距400千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得超過100千米/時,已知該汽車每小時的運輸成本(元)關(guān)于速度(千米/時)的函數(shù)關(guān)系是.（1）求全程運輸成本(元)關(guān)于速度的函數(shù)關(guān)系式;（2）為使全程運輸成本最少,汽車應(yīng)以多大速度行駛?并求此時運輸成本的最小值.解.（2）由(1)可得,令,則(舍去)或.當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以千米/時時,全程運輸成本取得極小值,而且在此時取得最小值，且（元）.教師操作課件，引導(dǎo)學(xué)生自己解決問題，讓學(xué)生板演.學(xué)生自學(xué)例1，教師引導(dǎo)歸納.學(xué)生分組練習(xí)交流討論，教師巡視，收集信息及時評價.學(xué)生自己尋找?guī)缀误w與幾何體的展開圖中對應(yīng)量的關(guān)系，然后表示出體積公式，教師指出學(xué)生易忽視的自變量應(yīng)滿足的條件.學(xué)生分組練習(xí)交流討論，教師巡視，收集信息及時評價.讓學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗說出平均成本的表示方法，列出函數(shù)解析式.教師問：求函數(shù)的最值除了導(dǎo)數(shù)法還有哪些方法？生：基本不等式法、配方法、換元法、數(shù)形結(jié)合等.師：本例中構(gòu)建的函數(shù)還適合用哪種方法求最值？生：基本不等式法.學(xué)生分組練習(xí)交流討論，教師巡視，收集信息及時評價.此練習(xí)完成后教師出示教材第100頁例3，讓學(xué)生自主練習(xí).學(xué)生完成后，集體核對答案.通過運輸時間最短問題，讓學(xué)生經(jīng)歷解決實際問題的一般步驟.借助于學(xué)生熟知的立體幾何的體積問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力.以生活中的經(jīng)濟成本為背景，提升學(xué)生將問題情境翻譯為數(shù)學(xué)符號語言的意識.課堂小結(jié)本節(jié)課的重點內(nèi)容：解決最優(yōu)化問題的一般步驟.學(xué)生歸納小結(jié)，教師補充完善.引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建知識框架，從整體上把握本節(jié)內(nèi)容.布置作業(yè)教材第102頁習(xí)題6-3A第1，2，5題.學(xué)生獨立完成，教師批閱.通過練習(xí)鞏固本節(jié)重點知識.板書設(shè)計6.3利用導(dǎo)數(shù)解決實際問題1.解決最優(yōu)化問題的一般步驟：（1）審題：閱讀理解題目中文字表達的含義，分清條件和結(jié)論，找出問題的主要關(guān)系；（2）建模：將文字語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，利用數(shù)學(xué)知識，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型；（3）解模：把數(shù)學(xué)問題化歸為常規(guī)問題，選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解；（4）作答：對結(jié)果進行驗證評估，定性定量分析，作出正確的判斷，確定其答案注意：實際應(yīng)用中，準(zhǔn)確地列出函數(shù)解析式并確定函數(shù)的定義域是關(guān)鍵2.應(yīng)用舉例例1例2例33.小結(jié)解決最