云南省大理白族自治州2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)

云南省大理市20232024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)6月質(zhì)量檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.小王每次通過英語聽力測試概率是，且每次通過英語聽力測試相互獨(dú)立，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次通過的概率是（）A. B. C. D.2.的展開式中的系數(shù)為A.40 B.10 C.40 D.303.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.4.某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為（）A.12 B.18 C.20 D.60．5.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公差，則k=A.8 B.7 C.6 D.56.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.67.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的公比是（）A.或1 B.或1 C. D.8.定義集合，在使得的所有中，下列成立的是（）A.存在偶函數(shù)B.存在在處取最大值C.存在嚴(yán)格增D.存在在處取到極小值二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波,其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),我們聽到的聲音是由純音合成的,稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),則下列結(jié)論正確的是（）A.是一個(gè)周期 B.在上有個(gè)零點(diǎn)C.的最大值為 D.在上是增函數(shù)10.某不透明的盒子里裝有若干個(gè)形狀、大小、材質(zhì)完全相同的紅色和黑色的小球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)抽取小球，每次抽取一個(gè)，用隨機(jī)變量表示事件“抽到的小球?yàn)榧t色”發(fā)生的次數(shù)，下列說法正確的有（）A.若盒子里有2個(gè)紅色小球，4個(gè)黑色小球，從盒子里不放回地抽取小球，則第一次抽到紅色小球且第二次抽到黑色小球的概率為B.若盒子里有2個(gè)紅色小球，4個(gè)黑色小球，從盒子里有放回地抽取6次小球，則且C.若盒子里有個(gè)小球，其中紅色小球有個(gè)，從盒子里不放回地隨機(jī)抽取6個(gè)小球，且有紅色球的數(shù)學(xué)期望為2，則盒子里黑色小球的個(gè)數(shù)是紅色小球個(gè)數(shù)的2倍D.若，，，，則11.大衍數(shù)列來源《乾坤諾》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有10件，其中有2件次品；第二箱內(nèi)裝有20件，其中有3件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件，則取出的零件是次品的概率是___________.13.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則________.14.若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則__________.四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.袋子中有大小相同的2個(gè)白球?3個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球.（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到白球的概率；（2）若對摸出的球看完顏色后就放回，這樣連續(xù)摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次數(shù)的分布列和均值.16.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為2．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最小值；（2），，求的取值范圍.18.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長大于1小時(shí)人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長；（精確到0.1）（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？附：，.19.已知無窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足，滿足，，滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，，，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.（1）已知為二階等差數(shù)列，且，，，求通項(xiàng)公式；（2）若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列；（3）已知，令的前項(xiàng)和為，，證明：.云南省大理市20232024學(xué)年高二下學(xué)期數(shù)學(xué)6月質(zhì)量檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.小王每次通過英語聽力測試的概率是，且每次通過英語聽力測試相互獨(dú)立，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次通過的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生次概率計(jì)算公式求解.【詳解】小王每次通過英語聽力測試的概率是，且每次通過英語聽力測試相互獨(dú)立，他連續(xù)測試3次，那么其中恰有1次通過的概率是,故選：A2.的展開式中的系數(shù)為A.40 B.10 C.40 D.30【答案】D【解析】【分析】利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意知，的展開式的通項(xiàng)公式為，∴展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的展開式、求二項(xiàng)式展開式的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.3.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程.【詳解】由函數(shù)，求導(dǎo)得，則，而，所以所求切線方程為，即.故選：A4.某班聯(lián)歡會(huì)原定5個(gè)節(jié)目，已排成節(jié)目單，開演前又增加了2個(gè)節(jié)目，現(xiàn)將這2個(gè)新節(jié)目插入節(jié)目單中，要求新節(jié)目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法種數(shù)為（）A.12 B.18 C.20 D.60．【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，分為當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)和新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè)，結(jié)合排列數(shù)與組合數(shù)的計(jì)算，即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可分為兩類：①當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的一個(gè)時(shí)，有種方法；②當(dāng)新節(jié)目插在中間的四個(gè)空隙中的兩個(gè)時(shí)，有種方法，由分類計(jì)數(shù)原理得，共有種不同的差法.故選：C.5.設(shè)為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，公差，則k=A.8 B.7 C.6 D.5【答案】D【解析】【詳解】D.由，公差，得，從而，所以，解得k=56.已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，若，則（）A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.6【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)分布的概率性質(zhì)可求得，進(jìn)而可求的值.【詳解】，.隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，曲線關(guān)于對稱，.故選：B.7.已知是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則數(shù)列的公比是（）A.或1 B.或1 C. D.【答案】A【解析】【分析】分別利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，解方程組可得或.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為，依題意得，解得或.故選：A.8.定義集合，在使得所有中，下列成立的是（）A.存在是偶函數(shù)B.存在在處取最大值C.存在嚴(yán)格增D.存在在處取到極小值【答案】B【解析】【分析】利用反證法并結(jié)合函數(shù)奇偶性、單調(diào)性以及極小值的概念即可判斷ACD，構(gòu)造函數(shù)fx=【詳解】對，若存在是偶函數(shù)，取，則對于任意，而矛盾，故A錯(cuò)誤；對C，假設(shè)存在，使得嚴(yán)格遞增，則，與已知矛盾，故C錯(cuò)誤；對B，可構(gòu)造函數(shù)fx=當(dāng)時(shí)，則.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.則存在在處取最大值，故B正確；對，假設(shè)存在，使得在處取極小值，則在的左側(cè)附近存在n，使得fn>f這與已知集合M的定義矛盾，故錯(cuò)誤.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.聲音是由物體振動(dòng)產(chǎn)生的聲波,其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),我們聽到的聲音是由純音合成的,稱之為復(fù)合音.若一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),則下列結(jié)論正確的是（）A.是的一個(gè)周期 B.在上有個(gè)零點(diǎn)C.的最大值為 D.在上是增函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】①分別計(jì)算和的周期,再求其最小公倍數(shù)即可得到的周期.②令即可求得零點(diǎn).③對求導(dǎo),令,判斷單調(diào)性即可求得極值.④對求導(dǎo),令,即可求出單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】解：因?yàn)椋孩俚闹芷谑?的周期是,所以的周期是,故A正確.②當(dāng),時(shí),或解得或或,所以在上有個(gè)零點(diǎn),故正確.③令,求得或,因?yàn)樵趩握{(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以時(shí)取得最大值,則,故C正確.④由③得,要求增區(qū)間則,即（不成立）,或,所以所以在上是增函數(shù)是錯(cuò)誤的,故D錯(cuò)誤.故選：ABC【點(diǎn)睛】本意考查正弦、余弦函數(shù)的周期性、零點(diǎn)、單調(diào)性、極值,利用導(dǎo)數(shù)法求單調(diào)性和極值會(huì)使計(jì)算簡便.10.某不透明的盒子里裝有若干個(gè)形狀、大小、材質(zhì)完全相同的紅色和黑色的小球，現(xiàn)從盒子里隨機(jī)抽取小球，每次抽取一個(gè)，用隨機(jī)變量表示事件“抽到的小球?yàn)榧t色”發(fā)生的次數(shù)，下列說法正確的有（）A.若盒子里有2個(gè)紅色小球，4個(gè)黑色小球，從盒子里不放回地抽取小球，則第一次抽到紅色小球且第二次抽到黑色小球概率為B.若盒子里有2個(gè)紅色小球，4個(gè)黑色小球，從盒子里有放回地抽取6次小球，則且C.若盒子里有個(gè)小球，其中紅色小球有個(gè)，從盒子里不放回地隨機(jī)抽取6個(gè)小球，且有紅色球的數(shù)學(xué)期望為2，則盒子里黑色小球的個(gè)數(shù)是紅色小球個(gè)數(shù)的2倍D.若，，，，則【答案】AC【解析】【分析】利用古典概型計(jì)算可判斷A；利用二項(xiàng)分布的方差公式計(jì)算可判斷B；根據(jù)題意可得，計(jì)算可判斷C；由二項(xiàng)分布的概率公式求得，進(jìn)而可求得判斷D.【詳解】對于A項(xiàng)，第一次抽到紅色小球且第二次抽到黃色小球的概率為，故A項(xiàng)正確；對于B項(xiàng)，有放回地抽取抽取6次小球，變量，所以，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C項(xiàng)，依題意得，得，所以黑色小球的個(gè)數(shù)為，故C項(xiàng)正確；對于D項(xiàng)，因?yàn)?，，所以有，解得，則，因此，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.11.大衍數(shù)列來源《乾坤諾》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，數(shù)列中的每一項(xiàng)都代表太極衍生過程．已知大衍數(shù)列滿足，，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，聯(lián)立可得，利用累加法可得，從而可求得的通項(xiàng)公式，再逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】因?yàn)?，，令且，?dāng)時(shí)，①；當(dāng)時(shí)，②，由①②聯(lián)立得.所以，累加可得.令(且為奇數(shù))，得，當(dāng)時(shí)滿足上式，所以當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以，其中為偶數(shù).所以，故C正確.所以，故A錯(cuò)誤.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即，當(dāng)奇數(shù)時(shí)，，即，綜上可得，故B正確.因?yàn)?，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.假設(shè)有兩箱零件，第一箱內(nèi)裝有10件，其中有2件次品；第二箱內(nèi)裝有20件，其中有3件次品.現(xiàn)從兩箱中隨意挑選一箱，然后從該箱中隨機(jī)取1個(gè)零件，則取出的零件是次品的概率是___________.【答案】【解析】【分析】設(shè)表示從第箱取到的零件是次品，表示從第一箱中取零件，表示從第二箱中取零件，結(jié)合全概率公式，即可求解.【詳解】設(shè)（，2）表示從第箱取到的零件是次品，表示從第一箱中取零件，表示從第二箱中取零件，由全概率計(jì)算公式得取出的零件是次品的概率是：.故答案為：.13.記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則________.【答案】95【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出，再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，則由題意得，解得，則.故答案為：.14.若曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線，則__________.【答案】【解析】【分析】先求出曲線在的切線方程，再設(shè)曲線的切點(diǎn)為，求出，利用公切線斜率相等求出，表示出切線方程，結(jié)合兩切線方程相同即可求解.【詳解】由得，，故曲線在處的切線方程為；由得，設(shè)切線與曲線相切的切點(diǎn)為，由兩曲線有公切線得，解得，則切點(diǎn)為，切線方程為，根據(jù)兩切線重合,所以，解得.故答案為：四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17分，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.袋子中有大小相同的2個(gè)白球?3個(gè)黑球，每次從袋子中隨機(jī)摸出一個(gè)球.（1）若摸出的球不再放回，求在第一次摸到白球的條件下，第二次摸到白球的概率；（2）若對摸出的球看完顏色后就放回，這樣連續(xù)摸了3次，求3次摸球中摸到白球的次數(shù)的分布列和均值.【答案】（1）（2）分布列見解析，【解析】【分析】（1）根據(jù)條件概率公式的定義或者公式，即可求解；（2）首先寫出隨機(jī)變量的取值，再根據(jù)取值的意義，寫出概率，即可求出分布列和數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】角度一：第一次摸到白球，第二次摸球時(shí)袋子中有1個(gè)白球，3個(gè)黑球，所求概率.角度二：設(shè)“第一次摸到白球”，“第二次摸到白球”，則，,所求概率；【小問2詳解】所有可能取值為.，，，，的分布列為：0123,的均值.16.已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為1，公差為2．正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）直接得到的通項(xiàng)公式，由作差得到，從而求出的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，利用分組求和法計(jì)算可得.【小問1詳解】依題意可得，∵①，當(dāng)時(shí)，②，，，，∵，∴，且在①式中令或（舍去），∴，綜上可得，．【小問2詳解】由（1）可得，∴．17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2），，求的取值范圍.【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性可得最小值；（2）分類參數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可得的取值范圍.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，；【小問2詳解】，，，令，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，，，即的取值范圍是.18.為了解某地初中學(xué)生體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的關(guān)系，從該地區(qū)29000名學(xué)生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時(shí)長與學(xué)業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時(shí)間范圍學(xué)業(yè)成績學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長大于1小時(shí)人數(shù)約為多少？（2）估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長；（精確到0.1）（3）是否有95%的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均體育鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)？附：，.【答案】（1）（2）（3）有【解析】【分析】（1）求出相關(guān)占比，乘以總?cè)藬?shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可得到答案；（3）作出列聯(lián)表，再提出零假設(shè)，計(jì)算卡方值和臨界值比較大小即可得到結(jié)論.【小問1詳解】由表可知鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為占比，則估計(jì)該地區(qū)29000名學(xué)生中體育鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)的人數(shù)為．【小問2詳解】估計(jì)該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時(shí)長約為．則估計(jì)該地區(qū)初中學(xué)生日均體育鍛煉的時(shí)長為0.9小時(shí).【小問3詳解】由題列聯(lián)表如下：其他合計(jì)優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計(jì)222358580提出零假設(shè)：該地區(qū)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不少于1小時(shí)但少于2小時(shí)無關(guān)．其中．．則零假設(shè)不成立，即有的把握認(rèn)為學(xué)業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時(shí)長不小于1小時(shí)且小于2小時(shí)有關(guān)．19.已知無窮數(shù)列，構(gòu)造新數(shù)列滿足，滿足，，滿足，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等差數(shù)列；同理令，，，，若為常數(shù)數(shù)列，則稱為階等比數(shù)列.（1）已知為二階等差數(shù)列，且，，，求的通項(xiàng)公式；（2）若為階等差數(shù)列，為一階等比數(shù)列，證明：為階等比數(shù)列；（3）已知，令的前項(xiàng)和為，，證明：.【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）直接根據(jù)二階等差數(shù)列的定義求解；（2）先確定