人教版2024高中數(shù)學(xué)必修二第八章立體幾何初步(四十九)

單選題1、《九章算術(shù)·商功》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，AC⊥CD，AC＝BC＋CD＝2，當(dāng)△BCD的面積最大時(shí)，鱉臑ABCD的表面積為（

）A．B．C．D．答案：D分析：根據(jù)題意可證明，從而說(shuō)明三角形BCD是直角三角形，求得，進(jìn)而求得四個(gè)直角三角形的面積，可得答案.由題意可知：AB⊥平面BCD，平面BCD，故AB⊥

,又AC⊥CD，平面ABC，

故平面ABC，平面ABC，故,所以

,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)，故

,由AB⊥平面BCD，可知,故

,所以

,,所以鱉臑ABCD的表面積為

，故選：D2、如圖是長(zhǎng)方體被一平面所截得到的幾何體，四邊形為截面，長(zhǎng)方形為底面，則四邊形的形狀為（

）A．梯形B．平行四邊形C．可能是梯形也可能是平行四邊形D．矩形答案：B解析：利用面面平行的性質(zhì)判斷與的平行、與平行.因?yàn)槠矫?/平面,且平面平面,平面平面,根據(jù)面面平行的性質(zhì)可知//,同理可證明//.所以四邊形為平行四邊形.故選：B.小提示：本題考查長(zhǎng)方體截面形狀判斷，考查面面平行的性質(zhì)應(yīng)用，較簡(jiǎn)單.3、“迪拜世博會(huì)”于2021年10月1日至2022年3月31日在迪拜舉行，中國(guó)館建筑名為“華夏之光”，外觀取型中國(guó)傳統(tǒng)燈籠，寓意希望和光明．它的形狀可視為內(nèi)外兩個(gè)同軸圓柱，某愛(ài)好者制作了一個(gè)中國(guó)館的實(shí)心模型，已知模型內(nèi)層底面直徑為，外層底面直徑為，且內(nèi)外層圓柱的底面圓周都在一個(gè)直徑為的球面上.此模型的體積為（

）A．B．C．D．答案：C分析：求出內(nèi)層圓柱，外層圓柱的高，該模型的體積等于外層圓柱的體積與上下面內(nèi)層圓柱高出的幾何體的體積之和，計(jì)算可得解.如圖，該模型內(nèi)層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上，可知內(nèi)層圓柱的高同理，該模型外層圓柱底面直徑為，且其底面圓周在一個(gè)直徑為的球面上，可知外層圓柱的高此模型的體積為故選：C4、過(guò)半徑為4的球表面上一點(diǎn)作球的截面，若與該截面所成的角是，則到該截面的距離是（

）A．4B．C．2D．1答案：C分析：作出球的截面圖，根據(jù)幾何性質(zhì)計(jì)算，可得答案.作出球的截面圖如圖：設(shè)A為截面圓的圓心，O為球心，則截面，AM在截面內(nèi)，即有，故,所以

,即到該截面的距離是2，故選：C5、如圖已知正方體，M，N分別是，的中點(diǎn)，則（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線相交，直線平面D．直線與直線異面，直線平面答案：A分析：由正方體間的垂直、平行關(guān)系，可證平面，即可得出結(jié)論.連，在正方體中，M是的中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又N是的中點(diǎn)，所以，平面平面，所以平面.因?yàn)椴淮怪?，所以不垂直則不垂直平面，所以選項(xiàng)B,D不正確；在正方體中，，平面，所以，，所以平面，平面，所以，且直線是異面直線，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤，選項(xiàng)A正確.故選：A.小提示：關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練掌握正方體中的垂直、平行關(guān)系是解題的關(guān)鍵，如兩條棱平行或垂直，同一個(gè)面對(duì)角線互相垂直，正方體的對(duì)角線與面的對(duì)角線是相交但不垂直或異面垂直關(guān)系.6、在正方體中，三棱錐的表面積為，則正方體外接球的體積為（

）A．B．C．D．答案：B解析：根據(jù)三棱錐的表面積進(jìn)一步求出正方體的棱長(zhǎng)，最后求出正方體的外接球的半徑，進(jìn)一步求出結(jié)果．解：設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則，由于三棱錐的表面積為，所以所以所以正方體的外接球的半徑為，所以正方體的外接球的體積為故選：．小提示：與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.7、已知三棱錐，其中平面，，，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．B．C．D．答案：C分析：根據(jù)余弦定理、正弦定理，結(jié)合球的性質(zhì)、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.根據(jù)題意設(shè)底面的外心為，O為球心，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)是中點(diǎn)，因?yàn)?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，因此，因此四邊形是平行四邊形，故，由余弦定理，得，由正弦定理，得，所以該外接球的半徑滿足，故選：C．小提示：關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用正弦定理、余弦定理是解題的關(guān)鍵.8、如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為，沿圖1中對(duì)角面將它分割成兩個(gè)部分，拼成如圖2的四棱柱，則該四棱柱的全面積為（

）A．B．C．D．答案：C分析：拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個(gè)截面，減少了原來(lái)兩個(gè)正方形面，據(jù)此變化，進(jìn)行求解.由題意，拼成的幾何體比原正方體的表面增加了兩個(gè)截面，減少了原來(lái)兩個(gè)正方形面，由于截面為矩形，長(zhǎng)為，寬為，所以面積為，所以拼成的幾何體的表面積為.故選：C.多選題9、(多選題)下列說(shuō)法中，正確的結(jié)論有（

）A．如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等B．如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等C．如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)D．如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行答案：BD分析：由等角定理可判斷A的真假；根據(jù)直線夾角的定義可判斷B的真假；舉反例可判斷C的真假；由平行公理可判斷D的真假.對(duì)于選項(xiàng)A：如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角或直角相等，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，這兩個(gè)角的關(guān)系不確定，既可能相等也可能互補(bǔ)，也可能既不相等，也不互補(bǔ).反例如圖，在立方體中，與滿足，，但是，，二者不相等也不互補(bǔ).故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線平行，故選項(xiàng)D正確.故選：BD.10、矩形中，，，將此矩形沿著對(duì)角線折成一個(gè)三棱錐，則以下說(shuō)法正確的有（

）A．三棱錐的體積最大值為B．當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐的體積為C．當(dāng)二面角為直二面角時(shí)，三棱錐的外接球的表面積為D．當(dāng)二面角不是直二面角時(shí)，三棱錐的外接球的表面積小于答案：ABC分析：求出點(diǎn)C到平面ABD的最大距離即可計(jì)算棱錐的最大體積判斷選項(xiàng)A，B；求出三棱錐的外接球的半徑即可判斷選項(xiàng)C，D作答.過(guò)C作于E，在平面DBA內(nèi)過(guò)E作BD的垂線EG，則為二面角的平面角，如圖，平面CEG平面DBA，過(guò)C作CFEG于F，則平面，在直角中，，，顯然，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E與F重合時(shí)取“=”，即點(diǎn)C到平面ABD距離的最大值為，而，則三棱錐的體積最大值為，A正確；當(dāng)取最大值時(shí)，平面，又平面，則平面平面，即二面角為直二面角，三棱錐的體積為，B正確；取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，顯然有，于是得點(diǎn)A，B，C，D在以O(shè)為球心，AO為半徑的球面上，顯然，無(wú)論二面角如何變化，點(diǎn)A，B，C，D都在上述的球O上，其表面積為，C正確，D不正確.故選：ABC11、在棱長(zhǎng)為的正方體中，分別為的中點(diǎn)，則（

）A．B．平面C．平面D．過(guò)直線且與直線平行的平面截該正方體所得截面面積為答案：BC解析：（1）求出所成的角，不為（2）通過(guò)證明面面平行，再到線面平行.即先證面面，再可以說(shuō)明平面（3）先證面，則可說(shuō)明，同理可得，則證明了垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，故平面（4）找到過(guò)直線且與直線平行的平面即平面，求出面積即可A.

由圖易知，又有，故為等邊三角形，故與所成的角為所成的角為，故A錯(cuò).B.

記中點(diǎn)為，易知，，則可知面，面故面面面，故平面.C.

四邊形為正方形，

，又面，故

則面故同理故平面.D.記中點(diǎn)為，由B項(xiàng)可知，面面，故面，又面，故過(guò)且與直線平行的平面為如圖所示的平面，面積為.

故選：BC小提示：本題考查了空間幾何體的線面位置關(guān)系判定與證明：（1）對(duì)于異面直線的判定要熟記異面直線的概念：把既不平行也不相交的兩條直線稱為異面直線；（2）對(duì)于線面位置關(guān)系的判定中，熟記線面平行與垂直、面面平行與垂直的定理是關(guān)鍵.12、如圖直角梯形中，，，，E為中點(diǎn).以為折痕把折起，使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置，且則（

）A．平面平面B．C．二面角的大小為D．與平面所成角的正切值為答案：ABC解析：先證明平面，得，再結(jié)合，即證平面，所以平面平面，判斷A正確；利用投影判斷，判斷B正確；先判斷即為二面角的平面角，再等腰直角三角形判斷，即C正確；先判斷為與平面所成的角，再求正切，即知D錯(cuò)誤.由題易知，又，，所以，所以，又，，所以平面，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；在平面內(nèi)的射影為，又為正方形，所以，，故B正確；易知即為二面角的平面角，又，，所以，故C正確；易知為與平面所成的角，又，，，所以，故D錯(cuò)誤.小提示：求空間中直線與平面所成角的常見(jiàn)方法為：（1）定義法：直接作平面的垂線，找到線面成角；（2）等體積法：不作垂線，通過(guò)等體積法間接求點(diǎn)到面的距離，距離與斜線長(zhǎng)的比值即線面成角的正弦值；（3）向量法：利用平面法向量與斜線方向向量所成的余弦值的絕對(duì)值，即是線面成角的正弦值.本題使用了定義法.填空題13、已知三個(gè)頂點(diǎn)都在球的表面上，且，，是球面上異于??的一點(diǎn)，且平面，若球的表面積為，則球心到平面的距離為_(kāi)___________.答案：解析：根據(jù)題中的垂直關(guān)系，確定球心，再根據(jù)球的表面積公式計(jì)算，再求點(diǎn)到平面的距離.由，，并且平面，平面，，且

平面，，是直角三角形和的公共斜邊，取的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可知，所以點(diǎn)是三棱錐外接球的球心，設(shè)，則，則三棱錐外接球的表面積，，解得：,點(diǎn)到平面的距離.所以答案是：小提示：方法點(diǎn)睛：本題考查了球與幾何體的綜合問(wèn)題，考查空間想象能力以及化歸和計(jì)算能力，（1）當(dāng)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直時(shí)，并且側(cè)棱長(zhǎng)為，那么外接球的直徑，（2）當(dāng)有一條側(cè)棱垂直于底面時(shí)，先找底面外接圓的圓心，過(guò)圓心做底面的垂線，球心在垂線上，根據(jù)垂直關(guān)系建立的方程.（3）而本題類(lèi)型，是兩個(gè)直角三角形的公共斜邊的中點(diǎn)是外接球的球心.14、如圖，已知平面四邊形中，△是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，以為棱折成直二面角，若折疊后，，，四點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為_(kāi)__________.答案：分析：如圖，折疊后，取的中點(diǎn)，連接，由面面垂直的性質(zhì)可得平面，由，可得球心在上，設(shè)球半徑為，求得半徑R，再根據(jù)球的體積公式即可得出答案.解：如圖，折疊后，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為