數(shù)學(xué)各地名校一模試題分類(lèi)匯編專(zhuān)題10立體幾何選擇填空練習(xí)(原卷版+解析)

專(zhuān)題10立體幾何選擇填空一、單選題1．（2022·江蘇海門(mén)·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（）A．16π B． C．8π D．2．（2022·江蘇通州·高三期末）在正三棱錐P－ABC中，D是棱PC上的點(diǎn)，且PD＝2DC.設(shè)PB，PC與平面ABD所成的角分別為α，β，則sinα：sinβ＝（）A． B． C． D．3．（2022·江蘇如東·高三期末）已知三棱錐P－ABC的外接球半徑為4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，則三棱錐P－ABC體積的最大值是（）A． B． C．24π D．4．（2022·江蘇無(wú)錫·高三期末）正方體中，是正方形的中心，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．5．（2022·江蘇蘇州·高三期末）已知圓錐的高為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（）A． B． C． D．6．（2022·廣東羅湖·高三期末）在正方體中，為正方形的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（）A． B． C． D．7．（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍?，則圓柱的表面積與球的表面積之比為（）A． B． C． D．不能確定8．（2022·廣東潮州·高三期末）若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線(xiàn)與其底面所成的角的大小為（）A． B． C． D．9．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）在三棱錐中，，分別是的中點(diǎn)，若，則異面直線(xiàn)所成角的余弦值為（）A． B． C． D．10．（2022·廣東佛山·高三期末）長(zhǎng)方體中，，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．11．（2022·廣東汕尾·高三期末）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱(chēng)為撮尖，清代稱(chēng)攢尖．?dāng)€尖建筑的屋面在頂部交匯為一點(diǎn)，形成尖頂，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑．遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校園內(nèi)的明心亭，為一個(gè)八角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正八棱錐，設(shè)正八棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為，它的側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)度之比為（）．A． B． C． D．12．（2022·湖北武昌·高三期末）已知圓錐的底面圓心到母線(xiàn)的距離為2，當(dāng)圓錐母線(xiàn)的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．13．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）足球起源于中國(guó)東周時(shí)期的齊國(guó)，當(dāng)時(shí)把足球稱(chēng)為“蹴鞠”.漢代蹴鞠是訓(xùn)練士兵的手段，制定了較為完備的體制.如專(zhuān)門(mén)設(shè)置了球場(chǎng)，規(guī)定為東西方向的長(zhǎng)方形，兩端各設(shè)六個(gè)對(duì)稱(chēng)的“鞠域”，也稱(chēng)“鞠室”，各由一人把守.比賽分為兩隊(duì)，互有攻守，以踢進(jìn)對(duì)方鞠室的次數(shù)決定勝負(fù).年以前的世界杯用球多數(shù)由舉辦國(guó)自己設(shè)計(jì)，所以每一次球的外觀(guān)都不同，拼塊的數(shù)目如同擲骰子一樣沒(méi)準(zhǔn).自年起，世界杯官方用球選擇了三十二面體形狀的足球，沿用至今.如圖Ⅰ，三十二面體足球的面由邊長(zhǎng)相等的塊正五邊形和塊正六邊形拼接而成，形成一個(gè)近似的球體.現(xiàn)用邊長(zhǎng)為的上述正五邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球，其大圓圓周展開(kāi)圖可近似看成是由個(gè)正六邊形與個(gè)正五邊形以及條正六邊形的邊所構(gòu)成的圖形的對(duì)稱(chēng)軸截圖形所得的線(xiàn)段，如圖Ⅱ，則該足球的體積約為（）參考數(shù)據(jù)：，，，，.A． B． C． D．14．（2022·湖北江岸·高三期末）如圖，該幾何體是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，若被截的正方體棱長(zhǎng)為2，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．15．（2022·湖北襄陽(yáng)·高三期末）已知圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為1與2，高為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A． B． C． D．16．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.下面以圓形攢尖為例.如圖所示的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊邊長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A． B． C． D．17．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）在下列命題中，假命題是（）A．若平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面β內(nèi)的任一直線(xiàn)，則α⊥βB．若平面α內(nèi)任一直線(xiàn)平行于平面β，則α∥βC．若平面α⊥平面β，任取直線(xiàn)lα，則必有l(wèi)⊥βD．若平面α∥平面β，任取直線(xiàn)lα，則必有l(wèi)∥β18．（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑與母線(xiàn)長(zhǎng)的比為（）A． B． C． D．19．（2022·山東青島·高三期末）現(xiàn)有橡皮泥制作的表面積為的球，若將其重新制作成體積不變，高為1的圓錐，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．120．（2022·山東棗莊·高三期末）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（）．A． B． C． D．21．（2022·河北唐山·高三期末）已知圓柱的側(cè)面積為，其外接球的表面積為S，則S的最小值為（）A． B． C． D．22．（2022·河北張家口·高三期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，其側(cè)面面積是底面面積的倍，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．二、多選題23．（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長(zhǎng)?寬分別為的矩形紙，，分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線(xiàn)折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，則（）A．在該多面體中，B．該多面體是三棱錐C．在該多面體中，平面平面D．該多面體的體積為24．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．在翻折過(guò)程中，在邊A′N(xiāo)上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足CP∥平面A′BMB．若，則在翻折過(guò)程中的某個(gè)位置，滿(mǎn)足平面A′BC⊥平面BCNMC．若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61πD．在翻折過(guò)程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為25．（2022·江蘇海安·高三期末）設(shè)，為兩個(gè)平面，下列是“”的充分條件是（）A．，與平面都垂直B．內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與平面均無(wú)交點(diǎn)C．異面直線(xiàn)，滿(mǎn)足，D．內(nèi)有個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線(xiàn)）到的距離相等26．（2022·江蘇如東·高三期末）已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則（）A．若m//n，nα，則m//α B．若m⊥n，nα，則m⊥αC．若m⊥α，n⊥α，則m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，則m//n27．（2022·江蘇常州·高三期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是棱上的定點(diǎn)，且．點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．當(dāng)時(shí)，是直角三角形B．四棱錐的體積最小值為C．存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)平面D．任意點(diǎn)，都有直線(xiàn)平面28．（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）如圖所示，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面截正方體所得的截面可以是四邊形?五邊形或六邊形B．當(dāng)點(diǎn)與兩點(diǎn)不重合時(shí)，平面截正方體所得的截面是五邊形C．是銳角三角形D．面積的最大值是29．（2022·廣東羅湖·高三期末）在中，，且，，若將沿AC邊上的中線(xiàn)BD折起，使得平面平面BCD．點(diǎn)E在由此得到的四面體ABCD的棱AC上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（）A． B．四面體ABCD的體積為C．存在點(diǎn)E使得的面積為 D．四面體ABCD的外接球表面積為30．（2022·廣東汕尾·高三期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，底面ABCD，M為PA的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是（）A．PC//平面MBDB．平面PACC．異面直線(xiàn)BC與PD所成的角是D．直線(xiàn)PC與底面ABCD所成的角的正切值是31．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)，分別是線(xiàn)段，上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面B．四面體的體積是定值C．異面直線(xiàn)與所成角的正切值為D．二面角的余弦值為32．（2022·湖南常德·高三期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P，Q分別為棱，的中點(diǎn)，M為線(xiàn)段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．B．C．三棱錐的體積為定值D．M為BD的中點(diǎn)時(shí)，則二面角的平面角為60°33．（2022·湖南婁底·高三期末）在三棱錐中，已知，，，平面平面ABC，且，則（）．A．B．平面平面ABCC．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為34．（2022·湖南郴州·高三期末）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是35．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）如圖，點(diǎn)為邊長(zhǎng)為1的正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則（）A．直線(xiàn)、是異面直線(xiàn)B．C．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為D．三棱錐的體積為36．（2022·湖北襄陽(yáng)·高三期末）在棱長(zhǎng)為正方體中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．無(wú)論點(diǎn)在線(xiàn)段的什么位置，三棱錐的體積為定值B．無(wú)論點(diǎn)在線(xiàn)段的什么位置，都有C．當(dāng)時(shí)，與異面D．若直線(xiàn)與平面所成的角為，則的最大值為37．（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（）A．B．BE與平面DCE所成角的余弦值為C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為D．四面體ABCD的外接球表面積為38．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如圖，已知A，B是相互垂直的兩條異面直線(xiàn)，直線(xiàn)AB與a，b均相互垂直，垂足分別為A，B，且，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別位于直線(xiàn)A，B上，且P異于A，Q異于B.若直線(xiàn)PQ與AB所成的角，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M，下列說(shuō)法正確的是（）A．PQ的長(zhǎng)度為定值B．三棱錐的外接球的半徑長(zhǎng)為定值C．三棱錐的體積為定值D．點(diǎn)M到AB的距離為定值39．（2022·湖北江岸·高三期末）正方體的棱長(zhǎng)為2，且（），過(guò)P作垂直于平面的直線(xiàn)l，分別交正方體的表面于M，N兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．平面B．四邊形的面積的最大值為C．若四邊形的面積為，則D．若，則四棱錐的體積為40．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大值為C．當(dāng)平面截直四棱柱所得截面面積為時(shí)，D．四面體的體積為定值41．（2022·湖北·高三期末）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列命題，其中真命題的是（）A．三棱錐的體積恒為定值B．存在唯一的點(diǎn)E，使得截面的周長(zhǎng)取得最小值C．不存在點(diǎn)E，使得平面D．若點(diǎn)E滿(mǎn)足，則在棱上存在相應(yīng)的點(diǎn)G，使得∥平面42．（2022·山東青島·高三期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）A．正方體外接球的表面積為B．面截正方體外接球所得圓的面積為C．三棱錐的體積為D．直線(xiàn)與面所成角的正切值為43．（2022·山東棗莊·高三期末）已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在底面內(nèi)，且，則（）．A．線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為1B．直線(xiàn)和平面所成角的余弦值為C．到直線(xiàn)的最小距離為D．三棱錐的體積可能取值為1044．（2022·山東萊西·高三期末）設(shè)a，b是兩條不同的直線(xiàn)，，，是三個(gè)不同的平面，P是一個(gè)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的為（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，，則D．若，，則45．（2022·河北唐山·高三期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE所在的直線(xiàn)翻折，使A與重合，得到四棱錐，則在翻折的過(guò)程中（）A． B．存在某個(gè)位置，使得C．存在某個(gè)位置，使得 D．存在某個(gè)位置，使四棱錐的體積為146．（2022·河北保定·高三期末）如圖，為正方體中所在棱的中點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形狀可能為（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形47．（2022·河北張家口·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑（biēnào）.如圖，三棱錐為一個(gè)鱉臑，其中平面，，，，為垂足，則（）A．平面B．為三棱錐的外接球的直徑C．三棱錐的外接球體積為D．三棱錐的外接球體積與三棱錐的外接球體積相等48．（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）如圖，為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上（異于點(diǎn)A，B），直線(xiàn)垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M是線(xiàn)段的中點(diǎn)，下列命題正確的是（）A．平面； B．平面；C．平面 D．平面平面三、雙空題49．（2022·江蘇通州·高三期末）將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角A′－BD－C，設(shè)三棱錐A′－BDC的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為r1，r2，球心分別為O1，O2.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則________；O1O2＝__________.50．（2022·江蘇海安·高三期末）如圖，ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4dm．現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A－BD－C是90°的加熱零件，則AC間的距離是________dm；為了安全，把該零件放進(jìn)一個(gè)球形防護(hù)罩，則球形防護(hù)罩的表面積的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不計(jì)）51．（2022·江蘇如東·高三期末）已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，AC1⊥平面α，當(dāng)平面α過(guò)點(diǎn)B1時(shí)，平面α截此正方體所得截面多邊形的面積為_(kāi)________；當(dāng)平面α過(guò)線(xiàn)段BC中點(diǎn)時(shí)，平面α截此正方體所得截面多邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)________.52．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_(kāi)________，該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)________.53．（2022·江蘇無(wú)錫·高三期末）正四面體的棱長(zhǎng)為，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡是__________；設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，則的取值范圍為_(kāi)_________.54．（2022·江蘇蘇州·高三期末）已知直三棱柱中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為，則__________；平面截此三棱柱的外接球的截面面積為_(kāi)_________．55．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，P為的中點(diǎn)，過(guò)的平面分別與棱交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則平面截長(zhǎng)方體所得上下兩部分的體積比值為_(kāi)________；所得的截面四邊形的面積為_(kāi)__________．四、填空題56．（2022·江蘇海門(mén)·高三期末）已知圓柱的底面半徑為，體積為4π，則該圓柱的側(cè)面積為_(kāi)_________．57．（2022·江蘇宿遷·高三期末）已知一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體木塊可以在一個(gè)圓錐形容器內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，若圓錐的底面半徑為2，母線(xiàn)長(zhǎng)為4，則的最大值為_(kāi)_________.58．（2022·廣東潮州·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，在鱉臑A-BCD中，AB平面BCD，CDAD，AB=BD=，已知?jiǎng)狱c(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)，沿外表面經(jīng)過(guò)棱AD上一點(diǎn)到點(diǎn)B的最短距離為，則該棱錐的外接球的表面積為_(kāi)________．59．（2022·廣東東莞·高三期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，其側(cè)面積為，則該圓錐的體積為_(kāi)__________.60．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）已知四面體中，，，，則其外接球的體積為_(kāi)_____.61．（2022·湖南常德·高三期末）已知正三棱錐的底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，其內(nèi)切球的表面積為，且和各側(cè)面分別相切于點(diǎn)、、三點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．62．（2022·湖南婁底·高三期末）若四棱錐的各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球O的表面上，底面ABCD，，，，，則球O的體積為_(kāi)_____．63．（2022·湖北·高三期末）已知一個(gè)圓臺(tái)的上、下底面半徑之比為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，其母線(xiàn)與底面所成的角為，則這個(gè)圓臺(tái)的體積為_(kāi)___________．64．（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）四面體ABCD的頂點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，．若該球的表面積為．則四面體ABCD體積的最大值為_(kāi)_____．65．（2022·河北唐山·高三期末）已知圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為_(kāi)_____．66．（2022·河北保定·高三期末）如圖，是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形的中位線(xiàn)，將沿折起，使得點(diǎn)與重合，平面平面，則四棱雉外接球的表面積是___________.五、解答題專(zhuān)題10立體幾何選擇填空一、單選題1．（2022·江蘇海門(mén)·高三期末）已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為45°，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在球O的球面上，則球O的體積是（）A．16π B． C．8π D．【答案】B【分析】探求正四棱錐的頂點(diǎn)P在底面上射影與球O的球心關(guān)系即可計(jì)算作答.【詳解】在正四棱錐中，連接AC，BD，，連，如圖，則有平面，為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，即，于是得，因此，頂點(diǎn)P，A，B，C，D在以為球心，2為半徑的球面上，即點(diǎn)O與重合，所以球O的體積是.故選：B2．（2022·江蘇通州·高三期末）在正三棱錐P－ABC中，D是棱PC上的點(diǎn)，且PD＝2DC.設(shè)PB，PC與平面ABD所成的角分別為α，β，則sinα：sinβ＝（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，根據(jù)線(xiàn)面角的定義求，，由此可求.【詳解】設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，∵PB與平面ABD所成的角分別為α，∴，又與與平面ABD所成的角相等，∴，又PD＝2DC∴，故選：D.【點(diǎn)睛】3．（2022·江蘇如東·高三期末）已知三棱錐P－ABC的外接球半徑為4，底面ABC中，AC＝6，∠ABC＝60°，則三棱錐P－ABC體積的最大值是（）A． B． C．24π D．【答案】A【分析】由已知可得的外接圓的半徑,由余弦定理和基本不等式可得底面面積的最大值，點(diǎn)P到平面的距離的最大值為，由所得最值結(jié)合體積公式即可得到答案.【詳解】由已知可得，的外接圓的半徑，且由余弦定理得，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）所以,又外接球的球心到平面的距離為，所以點(diǎn)P到平面的距離的最大值為，所以三棱錐體積的最大值為.故選：A4．（2022·江蘇無(wú)錫·高三期末）正方體中，是正方形的中心，則直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】由正方體的性質(zhì)可證平面，所以與平面所成角的正弦等于與所成角余弦，即的余弦，再在三角形中，利用余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)樵谄矫鎯?nèi)的射影為，又，所以，同理可證，又，所以平面，與平面所成角的正弦等于與所成角余弦，即的余弦的絕對(duì)值；令，連接，則，，，在三角形中，由余弦定理，可得.故選：D.5．（2022·江蘇蘇州·高三期末）已知圓錐的高為，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，可知圓錐的底面周長(zhǎng)等于半圓弧長(zhǎng)，可得，繼而求得母線(xiàn)長(zhǎng).【詳解】設(shè)底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，側(cè)面展開(kāi)是一個(gè)半圓，即，，，，故選：A．6．（2022·廣東羅湖·高三期末）在正方體中，為正方形的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，則直線(xiàn)與所成的角為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】連接，先通過(guò)直線(xiàn)與平面垂直的判定定理證明面，進(jìn)而得知，通過(guò)三角形，易知//,進(jìn)而可知.【詳解】如下圖所示，連接,在正方形中,在正方體中，面，而平面，,又交于,面,而面，.在三角形中，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，//,,即直線(xiàn)與所成的角為.故選：A.7．（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）已知圓柱的軸截面為正方形，其外接球?yàn)榍?，則圓柱的表面積與球的表面積之比為（）A． B． C． D．不能確定【答案】A【分析】利用圓柱的軸截面信息求出圓柱的底面半徑與高的關(guān)系，再結(jié)合圓柱與外接球的關(guān)系求得對(duì)應(yīng)的比例關(guān)系.【詳解】因?yàn)閳A柱的軸截面為正方形，設(shè)圓柱底面圓的半徑為，其高，其外接球的半徑，則圓柱的表面積，球的表面積，則圓柱的表面積與球的表面積之比為，故選：.8．（2022·廣東潮州·高三期末）若一個(gè)圓錐的側(cè)面積是底面面積的2倍，則該圓錐的母線(xiàn)與其底面所成的角的大小為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，由題意求出，利用線(xiàn)面角的定義求解即可．【詳解】解：設(shè)圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面積是底面積的2倍，所以，解得，設(shè)該圓錐的母線(xiàn)與底面所成角，則，所以．故選：C9．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）在三棱錐中，，分別是的中點(diǎn)，若，則異面直線(xiàn)所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)得出和，從而可知異面直線(xiàn)所成角為或其補(bǔ)角，再在中利用余弦定理求出，從而得出異面直線(xiàn)所成角的余弦值.【詳解】解：如圖，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以，同理，所以異面直線(xiàn)所成角為或其補(bǔ)角，在中，，即異面直線(xiàn)所成角的余弦值為.故選：C.10．（2022·廣東佛山·高三期末）長(zhǎng)方體中，，E為棱上的動(dòng)點(diǎn)，平面交棱于F，則四邊形的周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將幾何體展開(kāi)，利用兩點(diǎn)之間直線(xiàn)段最短即可求得截面最短周長(zhǎng)．【詳解】解：將長(zhǎng)方體展開(kāi)，如圖所示：當(dāng)點(diǎn)為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)時(shí)，截面四邊形的周長(zhǎng)最小，最小值為．故選：B．11．（2022·廣東汕尾·高三期末）攢尖是古代中國(guó)建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式，宋代稱(chēng)為撮尖，清代稱(chēng)攢尖．?dāng)€尖建筑的屋面在頂部交匯為一點(diǎn)，形成尖頂，依其平面有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖．也有單檐和重檐之分，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑．遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校園內(nèi)的明心亭，為一個(gè)八角攢尖，它的主要部分的輪廓可近似看作一個(gè)正八棱錐，設(shè)正八棱錐的側(cè)面等腰三角形的頂角為，它的側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)度之比為（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】分別用和表示出的一半，得出側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)的比，再根據(jù)正八邊形的結(jié)構(gòu)特征求出底面內(nèi)切圓的半徑與邊長(zhǎng)的關(guān)系，即可求出結(jié)果．【詳解】設(shè)為正八棱錐底面內(nèi)切圓的圓心，連接，，取的中點(diǎn)，連接、，則是底面內(nèi)切圓半徑，如圖所示：設(shè)側(cè)棱長(zhǎng)為，底面邊長(zhǎng)為，由題意知，，則，解得；由底面為正八邊形，其內(nèi)切圓半徑是底面中心到各邊的距離，中，，所以，由，解得，所以，所以，解得，即側(cè)棱與底面內(nèi)切圓半徑的長(zhǎng)度之比為．故選:A．12．（2022·湖北武昌·高三期末）已知圓錐的底面圓心到母線(xiàn)的距離為2，當(dāng)圓錐母線(xiàn)的長(zhǎng)度取最小值時(shí)，圓錐的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)圓錐的底半徑為，母線(xiàn)為，高為，則，則由條件可得，由勾股定理可得，從而得出的最小值，得出答案.【詳解】設(shè)圓錐的底半徑為，母線(xiàn)為，高為，則由圓錐的底面圓心到母線(xiàn)的距離為2，則，即又，所以，解得由，則當(dāng)，即時(shí)，最小值則圓錐的側(cè)面積為故選：C13．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）足球起源于中國(guó)東周時(shí)期的齊國(guó)，當(dāng)時(shí)把足球稱(chēng)為“蹴鞠”.漢代蹴鞠是訓(xùn)練士兵的手段，制定了較為完備的體制.如專(zhuān)門(mén)設(shè)置了球場(chǎng)，規(guī)定為東西方向的長(zhǎng)方形，兩端各設(shè)六個(gè)對(duì)稱(chēng)的“鞠域”，也稱(chēng)“鞠室”，各由一人把守.比賽分為兩隊(duì)，互有攻守，以踢進(jìn)對(duì)方鞠室的次數(shù)決定勝負(fù).年以前的世界杯用球多數(shù)由舉辦國(guó)自己設(shè)計(jì)，所以每一次球的外觀(guān)都不同，拼塊的數(shù)目如同擲骰子一樣沒(méi)準(zhǔn).自年起，世界杯官方用球選擇了三十二面體形狀的足球，沿用至今.如圖Ⅰ，三十二面體足球的面由邊長(zhǎng)相等的塊正五邊形和塊正六邊形拼接而成，形成一個(gè)近似的球體.現(xiàn)用邊長(zhǎng)為的上述正五邊形和正六邊形所圍成的三十二面體的外接球作為足球，其大圓圓周展開(kāi)圖可近似看成是由個(gè)正六邊形與個(gè)正五邊形以及條正六邊形的邊所構(gòu)成的圖形的對(duì)稱(chēng)軸截圖形所得的線(xiàn)段，如圖Ⅱ，則該足球的體積約為（）參考數(shù)據(jù)：，，，，.A． B． C． D．【答案】A【分析】先由圖Ⅱ求出球的大圓的周長(zhǎng)，可求得球的半徑，利用球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)正五邊形的邊長(zhǎng)為，則，如下圖，在正五邊形中，內(nèi)角為，邊長(zhǎng)為，中，，，因?yàn)樵谡呅沃?，?nèi)角為，邊長(zhǎng)為，正六邊形的軸長(zhǎng)為，所以大圓的周長(zhǎng)為，設(shè)球的半徑為，則，可得，所以，該足球的體積為.故選：A.14．（2022·湖北江岸·高三期末）如圖，該幾何體是由正方體截去八個(gè)一樣的四面體得到的，若被截的正方體棱長(zhǎng)為2，則該幾何體的表面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】該幾何體的表面積由6個(gè)完全相同的正方形和8個(gè)完全相同的等邊三角形構(gòu)成，然后分別計(jì)算即可【詳解】根據(jù)題意，該幾何體的表面積分成兩部分，一部分是6個(gè)完全相同的正方形，另一部分是8個(gè)完全相同的等邊三角形6個(gè)完全相同的正方形的面積之和為：8個(gè)完全相同的等邊三角形的面積之和為：故該幾何體的表面積為：故選：B15．（2022·湖北襄陽(yáng)·高三期末）已知圓臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為1與2，高為，則圓臺(tái)的側(cè)面積為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓臺(tái)側(cè)面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)閳A臺(tái)的上下底面圓的半徑分別為1與2，高為，所以圓臺(tái)的母線(xiàn)為：，所以圓臺(tái)的側(cè)面積為：，故選：C16．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣式建筑、園林建筑.下面以圓形攢尖為例.如圖所示的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其軸截面（過(guò)圓錐旋轉(zhuǎn)軸的截面）是底邊邊長(zhǎng)為，頂角為的等腰三角形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出圓錐的高，再利用圓錐體積公式計(jì)算即可得解.【詳解】因?yàn)檩S截面的頂角為，所以底角，在中，依題意，該圓形攢尖的底面圓半徑，高，則()，所以該屋頂?shù)捏w積約為.故選：B.17．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）在下列命題中，假命題是（）A．若平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面β內(nèi)的任一直線(xiàn)，則α⊥βB．若平面α內(nèi)任一直線(xiàn)平行于平面β，則α∥βC．若平面α⊥平面β，任取直線(xiàn)lα，則必有l(wèi)⊥βD．若平面α∥平面β，任取直線(xiàn)lα，則必有l(wèi)∥β【答案】C【分析】對(duì)于A：利用線(xiàn)面垂直的定義和面面垂直的判定定理進(jìn)行證明；對(duì)于B：利用面面平行的定義進(jìn)行證明；對(duì)于C：在正方體中取反例否定結(jié)論；對(duì)于D：利用線(xiàn)面平行的定義進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A：根據(jù)線(xiàn)面垂直的定義，若平面α內(nèi)的一條直線(xiàn)垂直于平面β內(nèi)的任一直線(xiàn)，則這條直線(xiàn)垂直于平面β，又有面面垂直的判定定理，即可證明α⊥β.故A成立.對(duì)于B：若平面α內(nèi)任一直線(xiàn)平行于平面β，則直線(xiàn)與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)，所以平面α與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)，所以α∥β.故B成立.對(duì)于C：如圖示：在正方體中取面為平面α、面為平面β和直線(xiàn)為直線(xiàn)l，滿(mǎn)足平面α⊥平面β，直線(xiàn)lα，但是l∥β.故C不成立.對(duì)于D：若平面α∥平面β，則平面α與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)，任取直線(xiàn)lα，則直線(xiàn)l與平面β沒(méi)有公共點(diǎn)，所以l∥β.故D成立.故選：C18．（2022·山東省淄博實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期末）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的底面半徑與母線(xiàn)長(zhǎng)的比為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，利用已知條件可得出關(guān)于、的等量關(guān)系式，即可得解.【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，則，解得.故選：B.19．（2022·山東青島·高三期末）現(xiàn)有橡皮泥制作的表面積為的球，若將其重新制作成體積不變，高為1的圓錐，則圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為（）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】求出給定球的體積，設(shè)出圓錐母線(xiàn)，由此表示出圓錐底面圓半徑，借助體積計(jì)算作答.【詳解】表面積為的球半徑為1，其體積為，而圓錐的高，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，則有圓錐底面圓半徑，圓錐體積為，依題意，，而，解得，所以圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為.故選：A20．（2022·山東棗莊·高三期末）已知圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為3，圓心角為120°的扇形，則該圓錐的體積為（）．A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)此圓錐的底面半徑為，高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，根據(jù)底面圓周長(zhǎng)等于展開(kāi)扇形的弧長(zhǎng)，建立關(guān)系式解出，再根據(jù)勾股定理，即可求出此圓錐高，進(jìn)而求得體積.【詳解】設(shè)此圓的底面半徑為，高為，母線(xiàn)長(zhǎng)為，∵圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)半徑為，圓心角為的扇形，∴，又，解得，因此，此圓錐的高．圓錐的體積為故選：C．21．（2022·河北唐山·高三期末）已知圓柱的側(cè)面積為，其外接球的表面積為S，則S的最小值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，則由題意可得，得，設(shè)圓柱的外接球半徑為，則，然后利用基本不等式求出的最小值，從而可求出S的最小值【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A柱的側(cè)面積為，所以，得，設(shè)圓柱的外接球半徑為，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為1，所以外接球的表面積S的最小值為，故選：B22．（2022·河北張家口·高三期末）已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，其側(cè)面面積是底面面積的倍，則該圓錐的體積為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的母線(xiàn)為，高為，由題意可知，圓錐的底面半徑為，圓錐的側(cè)面積為，所以，故，所以該圓錐的體積為，故選：D.二、多選題23．（2022·江蘇宿遷·高三期末）如圖，一張長(zhǎng)?寬分別為的矩形紙，，分別是其四條邊的中點(diǎn).現(xiàn)將其沿圖中虛線(xiàn)折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，則（）A．在該多面體中，B．該多面體是三棱錐C．在該多面體中，平面平面D．該多面體的體積為【答案】BCD【分析】利用圖形翻折，結(jié)合勾股定理，確定該多面體是以為頂點(diǎn)的三棱錐，利用線(xiàn)面垂直，判定面面垂直，以及棱錐的體積公式即可得出結(jié)論．【詳解】由于長(zhǎng)、寬分別為，1，分別是其四條邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將其沿圖中虛線(xiàn)折起，使得四點(diǎn)重合為一點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，從而得到一個(gè)多面體，所以該多面體是以為頂點(diǎn)的三棱錐，故B正確；，，，故A不正確；由于，所以，，可得平面，則三棱錐的體積為，故D正確；因?yàn)?，，所以平面，又平面，可得平面平面，故C正確.故選：BCD24．（2022·江蘇揚(yáng)州·高三期末）在邊長(zhǎng)為6的正三角形ABC中M，N分別為邊AB，AC上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，把△AMN沿著MN翻折至A′MN位置，則下列說(shuō)法中正確的有（）A．在翻折過(guò)程中，在邊A′N(xiāo)上存在點(diǎn)P，滿(mǎn)足CP∥平面A′BMB．若，則在翻折過(guò)程中的某個(gè)位置，滿(mǎn)足平面A′BC⊥平面BCNMC．若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則四棱錐A′－BCNM的外接球的表面積為61πD．在翻折過(guò)程中，四棱錐A′－BCNM體積的最大值為【答案】BCD【分析】通過(guò)直線(xiàn)相交來(lái)判斷A選項(xiàng)的正確性；通過(guò)面面垂直的判定定理判斷B選項(xiàng)的正確性；通過(guò)求四棱錐外接球的表面積來(lái)判斷C選項(xiàng)的正確性；利用導(dǎo)數(shù)來(lái)求得四棱錐體積的最大值.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，過(guò)作，交于，則無(wú)論點(diǎn)P在A′N(xiāo)上什么位置，都存在CP與BQ相交，折疊后為梯形BCQP，則CP不與平面A′BM平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)分別是的中點(diǎn)，若，則AE＞DE，所以存在某一位置使得A′D⊥DE，又因?yàn)镸N⊥A′E，MN⊥DE，且A′E∩DE＝E，所以MN⊥平面A′DE，所以MN⊥A′D，，所以A′D⊥平面BCNM，所以A′BC⊥平面BCNM，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，設(shè)分別是的中點(diǎn)，若且二面角A′－MN－B的大小為120°，則△AMN為正三角形，∠BMN＝120°，∠C＝60°，則BCNM四點(diǎn)共圓，圓心可設(shè)為點(diǎn)G，其半徑設(shè)為r，DB＝DC＝DM＝DN＝3，所以點(diǎn)G即為點(diǎn)D，所以r＝3，二面角A′－MN－B的平面角即為∠A′ED＝120°，過(guò)點(diǎn)A′作A′H⊥DE，垂足為點(diǎn)H，EH＝，DH＝，A′H＝，，設(shè)外接球球心為，由，解得R2＝，所以外接球的表面積為S＝4πR2＝61π，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)分別是的中點(diǎn)，設(shè)是四棱錐的高.S△AMN＝6λ6λ＝9λ2，S△ABC＝66＝9，所以S四邊形BCNM＝9（1－λ2），則VA′－BCNM＝9（1－λ2）h≤3（1－λ2）A′E＝3（1－λ2）3λ＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），可設(shè)f（λ）＝27（－λ3＋λ），λ∈（0，1），則＝27（－3λ2＋1），令＝0，解得λ＝，則函數(shù)f（λ）在（0，）上單調(diào)遞增，在（，1）上單調(diào)遞減，所以f（λ）max＝f（）＝6，則四棱錐A′－BCN體積的最大值為，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD25．（2022·江蘇海安·高三期末）設(shè)，為兩個(gè)平面，下列是“”的充分條件是（）A．，與平面都垂直B．內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與平面均無(wú)交點(diǎn)C．異面直線(xiàn)，滿(mǎn)足，D．內(nèi)有個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線(xiàn)）到的距離相等【答案】BD【分析】舉反例可判斷A，C；由平面的性質(zhì)，面面平行的判定定理結(jié)合充分條件的定義可判斷B，D；進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：如圖正方體中：平面為平面，平面為平面，平面為平面，此時(shí)滿(mǎn)足，與平面都垂直，但平面與平面相交，所以，與平面都垂直得不出，所以，與平面都垂直不是的充分條件，故選項(xiàng)A不正確；對(duì)于B：內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與平面均無(wú)交點(diǎn)即內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與平面平行，由面面平行的判定定理可得，所以由內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與平面均無(wú)交點(diǎn)可得出，故內(nèi)有兩條相交直線(xiàn)與平面均無(wú)交點(diǎn)是“”的充分條件，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：如圖正方體中：直線(xiàn)為，直線(xiàn)為，平面為平面，平面為平面，此時(shí)符合異面直線(xiàn)，滿(mǎn)足，，但平面與平面相交，所以異面直線(xiàn)，滿(mǎn)足，得不出，異面直線(xiàn)，滿(mǎn)足，不是的充分條件，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于D：若內(nèi)有個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線(xiàn)）到的距離相等，則，所以?xún)?nèi)有個(gè)點(diǎn)（任意三點(diǎn)不共線(xiàn)）到的距離相等是“”的充分條件，故選項(xiàng)D正確，故選：BD.26．（2022·江蘇如東·高三期末）已知m，n是兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則（）A．若m//n，nα，則m//α B．若m⊥n，nα，則m⊥αC．若m⊥α，n⊥α，則m//n D．若m//α，m//β，α∩β＝n，則m//n【答案】CD【分析】根據(jù)空間直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系判斷．【詳解】m//n，nα?xí)r，或，A錯(cuò)；m⊥n，nα，與可能平行，也可能有或相交，不一定垂直，B錯(cuò)；若m⊥α，n⊥α，由線(xiàn)面垂直性質(zhì)定理知，C正確；m//α，m//β，α∩β＝n，如圖，過(guò)作平面交于直線(xiàn)，由得，同理過(guò)作平面與交于直線(xiàn)，得，所以，而，所以，又．，則，所以．D正確．故選：CD．27．（2022·江蘇常州·高三期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)是棱上的定點(diǎn)，且．點(diǎn)是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．當(dāng)時(shí)，是直角三角形B．四棱錐的體積最小值為C．存在點(diǎn)，使得直線(xiàn)平面D．任意點(diǎn)，都有直線(xiàn)平面【答案】AB【分析】由已知計(jì)算利用勾股定理可判斷A,當(dāng)與重合時(shí)，到平面的距離最小利用等體積轉(zhuǎn)化計(jì)算可判斷選項(xiàng)B,由平面,平面與平面不平行，可判斷選項(xiàng)C,當(dāng)與重合時(shí)，可驗(yàn)證平面不成立，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由已知計(jì)算可得：,,,為直角三角形，A對(duì)與重合時(shí)，到平面的距離最小在上取，使，，B對(duì)平面平面與平面不平行，與平面不垂直與重合時(shí)，平面為平面若平面，則平面，與平面矛盾，D錯(cuò).故選:AB28．（2022·廣東揭陽(yáng)·高三期末）如圖所示，已知正方體的棱長(zhǎng)為分別是的中點(diǎn)，是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面截正方體所得的截面可以是四邊形?五邊形或六邊形B．當(dāng)點(diǎn)與兩點(diǎn)不重合時(shí)，平面截正方體所得的截面是五邊形C．是銳角三角形D．面積的最大值是【答案】BD【分析】在不同的平面內(nèi)構(gòu)造平行線(xiàn)，將平面進(jìn)行擴(kuò)展，發(fā)現(xiàn)其與正方體各個(gè)面上的交線(xiàn)，從而獲得截面的形狀，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離取到最大值，的面積取到最大值，求得此時(shí)三角形的面積即可得出答案.【詳解】解：如圖，當(dāng)點(diǎn)與兩點(diǎn)不重合時(shí)，將線(xiàn)段向兩端延長(zhǎng)，分別交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，連接分別交于兩點(diǎn)，連接，此時(shí)截面為五邊形MPSNR，故B正確；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A或點(diǎn)重合時(shí)，截面為四邊形，不可能為六邊形，故A不正確；考慮，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，，，此時(shí)因?yàn)?，故為鈍角，所以C錯(cuò)誤；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離取到最大值，的面積取到最大值，此時(shí)，則邊上的高為，面積為，即最大值為，故D正確.故選：BD.29．（2022·廣東羅湖·高三期末）在中，，且，，若將沿AC邊上的中線(xiàn)BD折起，使得平面平面BCD．點(diǎn)E在由此得到的四面體ABCD的棱AC上運(yùn)動(dòng)，則下列結(jié)論正確的為（）A． B．四面體ABCD的體積為C．存在點(diǎn)E使得的面積為 D．四面體ABCD的外接球表面積為【答案】BCD【分析】取的中點(diǎn)，連接，利用垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化得到判定選項(xiàng)A錯(cuò)誤；過(guò)作的垂線(xiàn)，利用直角三角形求出高和底面面積，再利用體積公式求出體積判定選項(xiàng)B正確；求出的面積的最大值和最小值，進(jìn)而判定選項(xiàng)C正確；確定四面體外接球的球心，再通過(guò)直角三角形求出半徑，再求其體積判定選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A：取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又平面平面BCD，所以平面，則，若，則，所以平面，則，顯然不可能，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B：考查三棱錐的體積，易知的面積為，在平面中，過(guò)作的垂線(xiàn)，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，易知，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以到平面，即三棱錐的高為，所以三棱錐的體積為，即四面體的體積為，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：顯然當(dāng)平面時(shí)，的面積取得最小值，易知，且，所以，又四面體的體積為，所以，即，且的面積為，所以存在點(diǎn)使得的面積為，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D：設(shè)與的外心依次為，，過(guò)作平面的垂線(xiàn)，過(guò)作平面的垂線(xiàn)，則四面體的外接球球心為直線(xiàn)與的交點(diǎn)，則四邊形為矩形，且，，所以四面體的外接球半徑為，則外接球表面積為，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.30．（2022·廣東汕尾·高三期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，底面ABCD，M為PA的中點(diǎn)，則下列敘述中正確的是（）A．PC//平面MBDB．平面PACC．異面直線(xiàn)BC與PD所成的角是D．直線(xiàn)PC與底面ABCD所成的角的正切值是【答案】CD【分析】利用反證法，根據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理，結(jié)合題意，可判斷A的正誤；利用反證法，根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理，可判斷B的正誤；根據(jù)異面直線(xiàn)成角的幾何求法，即可判斷C的正誤；根據(jù)線(xiàn)面角的幾何求法，可判斷D的正誤，即可得答案.【詳解】設(shè)，則E不是中點(diǎn)，假設(shè)平面因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以，因?yàn)镸為中點(diǎn)，所以E是中點(diǎn)，與題意矛盾，所以A錯(cuò)；假設(shè)平面，則，因?yàn)橹苯翘菪蜛BCD所，，所以知與不垂直，與假設(shè)矛盾，故B錯(cuò)；因?yàn)椋援惷嬷本€(xiàn)與所成的角就是直線(xiàn)與所成的角，為，因?yàn)槭堑妊苯侨切危?，故異面直線(xiàn)與所成的角是，所以C對(duì)．因?yàn)榈酌妫灾本€(xiàn)與底面所成的角為，又因?yàn)?，，所以，所以D對(duì)．故選：CD．31．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三期末）如圖，在直三棱柱中，，，，點(diǎn)，分別是線(xiàn)段，上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，且，則下列說(shuō)法正確的是（）A．平面B．四面體的體積是定值C．異面直線(xiàn)與所成角的正切值為D．二面角的余弦值為【答案】ACD【分析】說(shuō)明四邊形是矩形，然后證明∥∥，推出平面，判斷A；設(shè)，然后求解四面體的體積可判斷B；說(shuō)明異面直線(xiàn)與所成角為，然后求解三角形，判斷C；利用空間向量求解二面角的余弦值【詳解】解：對(duì)于A，在直三棱柱中，四邊形是矩形，因?yàn)?，所以∥∥，所以平面，所以A正確；對(duì)于B，設(shè)，因?yàn)?，，，所以，因?yàn)椤危?，所以，所以，所以，四面體的體積為，所以四面體的體積不是定值，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椤?，所以異面直線(xiàn)與所成角為，在中，，所以，所以C正確；對(duì)于D，如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，同理可求得平面的一個(gè)法向量為，所以二面角的余弦值為，所以D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】此題考查立體幾何中的關(guān)每次和計(jì)算，二面角的平面角的求法，異面直線(xiàn)所成角的求法，屬于中檔題32．（2022·湖南常德·高三期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P，Q分別為棱，的中點(diǎn)，M為線(xiàn)段BD上的動(dòng)點(diǎn)，則（）A．B．C．三棱錐的體積為定值D．M為BD的中點(diǎn)時(shí)，則二面角的平面角為60°【答案】BC【分析】由題可得與不平行可判斷A，利用線(xiàn)面垂直的判斷定理及性質(zhì)定理判斷B，利用棱錐的體積公式可判斷C，利用坐標(biāo)法可判斷D.【詳解】由正方體的性質(zhì)可知，與不平行，故A錯(cuò)誤；由正方體的性質(zhì)可知，又，∴平面，又平面，∴，故B正確；由題可知M到平面的距離為定值d=2，三角形的面積為定值，所以為定值，故C正確；如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則∴，設(shè)平面PQM的法向量為，則，令，則，平面的法向量可取，設(shè)二面角的平面角為，則，故D錯(cuò)誤.故選：BC.33．（2022·湖南婁底·高三期末）在三棱錐中，已知，，，平面平面ABC，且，則（）．A．B．平面平面ABCC．三棱錐的體積為D．三棱錐的外接球的表面積為【答案】ABC【分析】通過(guò)證明平面來(lái)判斷AB選項(xiàng)的正確性；通過(guò)計(jì)算三棱錐的體積來(lái)判斷C選項(xiàng)的正確性；求出三棱錐的外接球的表面積來(lái)判斷D選項(xiàng)的正確性.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，過(guò)D作于E．因?yàn)槠矫嫫矫鍭BC，平面平面，所以平面ABC，所以，假設(shè)DB，DE不重合，因?yàn)椋云矫鍰BC，所以，這樣與矛盾，所以假設(shè)不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，所以，由于平面，所以平面平面ABC，所以A，B正確；三棱錐的體積為，所以C正確；設(shè)三角形ABC的外心為F，外接圓半徑為，過(guò)F作平面ABC，設(shè)O為外接球的球心，則，，所以，所以，解得，所以外接球的半徑為，所以三棱錐的外接球的表面積為，所以D不正確．故選：ABC34．（2022·湖南郴州·高三期末）如圖，點(diǎn)是棱長(zhǎng)為2的正方體的表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A．當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四棱錐的體積不變B．當(dāng)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的取值范圍是C．當(dāng)直線(xiàn)與平面所成的角為45°時(shí)，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為D．若是的中點(diǎn)，當(dāng)在底面上運(yùn)動(dòng)，且滿(mǎn)足平面時(shí)，長(zhǎng)度的最小值是【答案】AC【分析】A.由四棱錐的高和底面積判斷；B.根據(jù)是等邊三角形判斷；C.根據(jù)直線(xiàn)與平面所成的角為，結(jié)合正方體的特征判斷；D.建立空間直角坐標(biāo)系，求得的坐標(biāo)進(jìn)行判斷.【詳解】A.當(dāng)在平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)到面的距離不變，不變，故四棱錐的體積不變，故A正確；B.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，則，設(shè)與所成的角為，則，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，綜上：，所以與所成角的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；C.因?yàn)橹本€(xiàn)與平面所成的角為，若點(diǎn)在平面和平面內(nèi)，因?yàn)樽畲螅怀闪?；在平面?nèi)，點(diǎn)的軌跡是，在平面內(nèi)，點(diǎn)的軌跡是，在平面時(shí)，如圖所示：，作平面，因?yàn)椋?，又，所以，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的四分之一圓，所以點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，所以點(diǎn)的軌跡總長(zhǎng)度為長(zhǎng)度為，故C正確；D.建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：設(shè)，，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，因?yàn)槠矫?，所以，即，所以，?dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D錯(cuò)誤；故選：AC.35．（2022·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高三期末）如圖，點(diǎn)為邊長(zhǎng)為1的正方形的中心，為正三角形，平面平面，是線(xiàn)段的中點(diǎn)，則（）A．直線(xiàn)、是異面直線(xiàn)B．C．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為D．三棱錐的體積為【答案】BD【分析】通過(guò)作輔助線(xiàn)可以看到直線(xiàn)、是相交直線(xiàn)，說(shuō)明A選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，可以證明平面，從而求得，計(jì)算線(xiàn)與平面所成角的正弦值即可判斷C的正誤，借助于C的計(jì)算過(guò)程，再求出，可知B的對(duì)錯(cuò)；根據(jù)三棱錐體積公式求得其體積即可判斷D的對(duì)錯(cuò).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，連接，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，、平面，平面，同理可知平面，所以，與不是異面直線(xiàn)，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，四邊形是邊長(zhǎng)為的正方形，，平面平面，交線(xiàn)為，平面，平面，所以，直線(xiàn)與平面所成角為，為的中點(diǎn)，且是邊長(zhǎng)為的正三角形，則，，，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，取的中點(diǎn)，連接、，則且，，平面，平面，平面，，，，B選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，平面，的面積為，所以三棱錐的體積為，D選項(xiàng)正確.故選：BD.36．（2022·湖北襄陽(yáng)·高三期末）在棱長(zhǎng)為正方體中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A．無(wú)論點(diǎn)在線(xiàn)段的什么位置，三棱錐的體積為定值B．無(wú)論點(diǎn)在線(xiàn)段的什么位置，都有C．當(dāng)時(shí)，與異面D．若直線(xiàn)與平面所成的角為，則的最大值為【答案】BCD【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，其中.利用錐體的體積公式可判斷A選項(xiàng)；利用空間向量法可判斷B選項(xiàng)；利用共線(xiàn)向量的坐標(biāo)表示可判斷C選項(xiàng)；利用線(xiàn)面角的定義結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可判斷D選項(xiàng).【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、、、、，其中.對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，平面，，故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，即為，，因此，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，，則，故，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，，若，則，無(wú)解，故與不可能平行，若，設(shè)點(diǎn)，，，因?yàn)?，則，則，，，因?yàn)?，則，解得.所以，當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，與異面，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，，點(diǎn)到平面的距離為，由已知可得，當(dāng)取最小值時(shí)，取最大值，此時(shí)取最大值，且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，故的最大值為，D對(duì).故選：BCD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：計(jì)算線(xiàn)面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線(xiàn)面垂直，進(jìn)而確定線(xiàn)面角的垂足，明確斜線(xiàn)在平面內(nèi)的射影，即可確定線(xiàn)面角；（2）在構(gòu)成線(xiàn)面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，從而不必作出線(xiàn)面角，則線(xiàn)面角滿(mǎn)足（為斜線(xiàn)段長(zhǎng)），進(jìn)而可求得線(xiàn)面角；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，設(shè)為直線(xiàn)的方向向量，為平面的法向量，則線(xiàn)面角的正弦值為.37．（2022·湖北武昌·高三期末）已知四面體ABCD的一個(gè)平面展開(kāi)圖如圖所示，其中四邊形AEFD是邊長(zhǎng)為的菱形，B，C分別為AE，F(xiàn)D的中點(diǎn)，，則在該四面體中（）A．B．BE與平面DCE所成角的余弦值為C．四面體ABCD的內(nèi)切球半徑為D．四面體ABCD的外接球表面積為【答案】ACD【分析】幾何體內(nèi)各相關(guān)線(xiàn)段的計(jì)算即可.【詳解】由題意得，展開(kāi)圖拼成的幾何體如下圖所示，，，取AB中點(diǎn)M，CD中點(diǎn)N，MN中點(diǎn)O，連MN、OA，過(guò)O作于H，則OH是內(nèi)切球的半徑，OA是外接球的半徑.所以，對(duì)于A：，，，故平面ABN，而平面ABN，所以，故A正確；對(duì)于B：由于平面ACD，故平面ABN平面ACD，故是BE與平面DCE所成角，故，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，故C正確；對(duì)于D：所以外接球的表面積為，故D正確.故選：ACD38．（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）如圖，已知A，B是相互垂直的兩條異面直線(xiàn)，直線(xiàn)AB與a，b均相互垂直，垂足分別為A，B，且，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別位于直線(xiàn)A，B上，且P異于A，Q異于B.若直線(xiàn)PQ與AB所成的角，線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M，下列說(shuō)法正確的是（）A．PQ的長(zhǎng)度為定值B．三棱錐的外接球的半徑長(zhǎng)為定值C．三棱錐的體積為定值D．點(diǎn)M到AB的距離為定值【答案】ABD【分析】根據(jù)題意，將圖形還原為長(zhǎng)方體，進(jìn)而根據(jù)題意求出，進(jìn)而判斷A，B；根據(jù)，進(jìn)而判斷C；設(shè)交于R，則R為CQ的中點(diǎn)，取AB的中點(diǎn)N，然后證明四邊形RBNM是平行四邊形，進(jìn)而證明，最后求得答案.【詳解】如圖，將圖形還原為長(zhǎng)方體，因?yàn)?，所以（易知其為銳角）是PQ與AB所成的角，即，易知，則.A正確；對(duì)B，易知三棱錐的外接球與長(zhǎng)方體的外接球相同，則其直徑為4，半徑為2.B正確；對(duì)C，，不為定值.C錯(cuò)誤；對(duì)D，設(shè)交于R，則R為CQ的中點(diǎn)，連接MR，取AB的中點(diǎn)N，連接MN，又因?yàn)镸為PQ的中點(diǎn)，所以，而，故，所以四邊形RBNM是平行四邊形，則，因?yàn)椋瑒t.因?yàn)锳B⊥平面BCDQ，平面BCDQ，所以，則，所以點(diǎn)M到AB的距離為1.D正確.故選：ABD.39．（2022·湖北江岸·高三期末）正方體的棱長(zhǎng)為2，且（），過(guò)P作垂直于平面的直線(xiàn)l，分別交正方體的表面于M，N兩點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（）A．平面B．四邊形的面積的最大值為C．若四邊形的面積為，則D．若，則四棱錐的體積為【答案】BD【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出四邊形的面積，依據(jù)相應(yīng)條件分別對(duì)選項(xiàng)A，B，C，D進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)而可判斷A，B，C，D的正確性．【詳解】解：因?yàn)榕c不垂直，所以與平面不垂直，故選項(xiàng)A不正確；如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，2，．因?yàn)?，所以，，．因?yàn)槠矫?，所以，則，，，，，．若平面，則，即，0，，，，，；若平面，則，即，，，，2，，．因?yàn)椋运倪呅蔚拿娣e，當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大，且最大值為，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，即點(diǎn)到平面的距離為，所以四棱錐的體積，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)D正確．若四邊形的面積為，則或，解得或，故選項(xiàng)C不正確，故選：BD．40．（2022·湖北省鄂州高中高三期末）如圖，在直四棱柱中，底面是正方形，，，若，，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，B．直線(xiàn)與平面所成角的正弦值最大值為C．當(dāng)平面截直四棱柱所得截面面積為時(shí)，D．四面體的體積為定值【答案】ABD【分析】A選項(xiàng)：證明出平面，進(jìn)而證明；B選項(xiàng)：先用等體積法求出點(diǎn)A到平面的距離，根據(jù)P到平面的距離為定值，所以當(dāng)BP最小，即P為AC的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)BP與平面所成的角最大，從而求出所成角的正弦值，從而可判斷；C選項(xiàng)：根據(jù)幾何體的對(duì)稱(chēng)性可知，或，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：面積為定值，由平行關(guān)系得到P到平面的距離恒為定值，故可判斷四面體的體積為定值.【詳解】當(dāng)時(shí)，P為AC的中點(diǎn)，連接，，則，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，A正確.因?yàn)樗睦庵鶠橹彼睦庵?，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，則點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)A到平面的距離.設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，由,可得,即,又設(shè)與交于點(diǎn)，連接，則，則,，則所以所以設(shè)直線(xiàn)BP與平面所成的角為，，因?yàn)辄c(diǎn)P到平面的距離為定值，則,所以當(dāng)BP最小，即P為AC的中點(diǎn)時(shí)，直線(xiàn)BP與平面所成的角最大，此時(shí)，所以，所以B正確.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P為AC上靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作的平行線(xiàn)分別交于連接，由，所以，又所以等腰梯形為平面截四棱柱所得截面圖形.易知，,等腰梯形的高，所以梯形的面積為，由幾何體的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)平面截直四棱柱所得截面面積為時(shí)，或，C錯(cuò)誤.由上可知，平面，所以點(diǎn)P到平面的距離恒為定值，因?yàn)榈拿娣e為定值，所以四面體的體積為定值，D正確.故選：ABD.41．（2022·湖北·高三期末）如圖所示，在長(zhǎng)方體中，，點(diǎn)E是棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，給出下列命題，其中真命題的是（）A．三棱錐的體積恒為定值B．存在唯一的點(diǎn)E，使得截面的周長(zhǎng)取得最小值C．不存在點(diǎn)E，使得平面D．若點(diǎn)E滿(mǎn)足，則在棱上存在相應(yīng)的點(diǎn)G，使得∥平面【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A：易證平面，則點(diǎn)到平面的距離為定值，又底面的面積為定值，由等體積法可判斷三棱錐的體積為定值，則選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：將側(cè)面翻折到與底面同一平面，得矩形，連接，與的交點(diǎn)即為周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)，則選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：由題可證得，則只需作，即可證得，那么平面成立，則選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：要使∥平面，則考慮在平面內(nèi)找到一條直線(xiàn)與平行.將平面與長(zhǎng)方體表面的交線(xiàn)作出來(lái)，這樣更利用下一步構(gòu)造平行四邊形證明線(xiàn)線(xiàn)平行.【詳解】選項(xiàng)A：由可證平面，則點(diǎn)到平面的距離為定值，又底面的面積為定值，故三棱錐的體積為定值，由等體積法可判斷三棱錐的體積為定值，則選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B：將側(cè)面翻折到與底面同一平面，得矩形，連接，與交于點(diǎn)，即為周長(zhǎng)最小時(shí)的點(diǎn)，則選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：連接，在底面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，又由長(zhǎng)方體可知平面，則，由可證得平面，則連接，由可知四邊形是正方形，則，因，則平面，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，在棱上取點(diǎn)，使，連接，則可證得四邊形為平行四邊形.過(guò)點(diǎn)作，交棱于點(diǎn)，則四邊形為平行四邊形，.又過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，再過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，則四邊形也為平行四邊形，，則，連接，則四邊形為平行四邊形，.因平面，平面，則選項(xiàng)D正確.故選：ABD.42．（2022·山東青島·高三期末）已知正方體的棱長(zhǎng)為1，分別為的中點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）A．正方體外接球的表面積為B．面截正方體外接球所得圓的面積為C．三棱錐的體積為D．直線(xiàn)與面所成角的正切值為【答案】ABC【分析】正方體外接球的半徑為體對(duì)角線(xiàn)的一半，即可判斷出選項(xiàng)A與B，利用可以判斷選項(xiàng)C.直線(xiàn)與面所成角的正切值轉(zhuǎn)化為，即可得到答案.【詳解】正方體外接球的半徑為，外接球的表面積為.故A正確；面截正方體外接球所得圓的半徑為外接球的半徑，其圓的面積為，故B正確；由題意知，，，故C正確；取的中點(diǎn)為，連接，，，設(shè)，連接，面，面，，，面，面，，直線(xiàn)與面所成角的正切值為.故D錯(cuò)誤；故選：ABC.43．（2022·山東棗莊·高三期末）已知正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為4，點(diǎn)滿(mǎn)足，點(diǎn)在底面內(nèi)，且，則（）．A．線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為1B．直線(xiàn)和平面所成角的余弦值為C．到直線(xiàn)的最小距離為D．三棱錐的體積可能取值為10【答案】ACD【分析】根據(jù)條件確定,的軌跡，根據(jù)軌跡確定選項(xiàng)A,B的正誤，結(jié)合向量判斷選項(xiàng)C,D的正誤.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，所以，即點(diǎn)在上；因?yàn)辄c(diǎn)在底面內(nèi)，且，所以，即點(diǎn)在以為圓心，3為半徑的圓弧上，如圖，因?yàn)榈降木嚯x為4，所以線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為1，故A正確；對(duì)于B，由A可知，可以看作圓錐的一條母線(xiàn)，直線(xiàn)和平面所成角為，，故B不正確；對(duì)于C，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，；，；，到直線(xiàn)的距離；因?yàn)?，所以時(shí)，有最小值，故C正確；對(duì)于D，；由選項(xiàng)A可知，的面積的最大值為，而，所以三棱錐的體積可能取值為10，故D正確；故選：ACD44．（2022·山東萊西·高三期末）設(shè)a，b是兩條不同的直線(xiàn)，，，是三個(gè)不同的平面，P是一個(gè)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的為（）A．若，，則B．若，，，則C．若，，，，，則D．若，，則【答案】ABD【分析】選項(xiàng)A.由面面平行的性質(zhì)可判斷；選項(xiàng)B.設(shè)分別為直線(xiàn)的方向向量，由，則從而可判斷；選項(xiàng)C.由題意若時(shí)不一定成立；選項(xiàng)D.由平面平行的性質(zhì)可判斷.【詳解】選項(xiàng)A.若，，由面面平行的性質(zhì)可得，故正確.選項(xiàng)B.設(shè)分別為直線(xiàn)的方向向量，由，則由，，則向量分別為平面的法向量由，則，故正確.選項(xiàng)C.若，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，不一定能得到.過(guò)點(diǎn)作平面，使得，如圖.過(guò)點(diǎn)在平面作直線(xiàn)，都滿(mǎn)足條件，但不一定有，故不正確.選項(xiàng)D.若，，由平面平行的性質(zhì)可得，故正確.故選：ABD45．（2022·河北唐山·高三期末）如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，E為AB的中點(diǎn)，將沿DE所在的直線(xiàn)翻折，使A與重合，得到四棱錐，則在翻折的過(guò)程中（）A． B．存在某個(gè)位置，使得C．存在某個(gè)位置，使得 D．存在某個(gè)位置，使四棱錐的體積為1【答案】AB【分析】過(guò)作，垂足為，證得平面，可判定A正確；取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在平面上的投影在上時(shí)，可判定B正確；連接，由直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)，可判定C錯(cuò)誤；求得，結(jié)合體積公式求可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，如圖所示，過(guò)作，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，因?yàn)?，且，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，所以A正確；對(duì)于B中，取的中點(diǎn)，連接，當(dāng)在平面上的投影在上時(shí)，此時(shí)平面，從而得到，所以B正確；對(duì)于C中，連接，因?yàn)槠矫妫矫?，所以直線(xiàn)與是異面直線(xiàn)，所以不存在某個(gè)位置，使得，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由，解得，由作，可得，即此時(shí)四棱錐的高，此時(shí)，所以不存在某個(gè)位置，使四棱錐的體積為1，所以D錯(cuò)誤.故選：AB.46．（2022·河北保定·高三期末）如圖，為正方體中所在棱的中點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作正方體的截面，則截面的形狀可能為（）A．三角形 B．四邊形 C．五邊形 D．六邊形【答案】BD【分析】由正方體的對(duì)稱(chēng)性即可得解.【詳解】由正方體的對(duì)稱(chēng)性可知，截面的形狀不可能為三角形和五邊形，如圖，截面的形狀只可能為四邊形和六邊形.故選：BD47．（2022·河北張家口·高三期末）在《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)之為鱉臑（biēnào）.如圖，三棱錐為一個(gè)鱉臑，其中平面，，，，為垂足，則（）A．平面B．為三棱錐的外接球的直徑C．三棱錐的外接球體積為D．三棱錐的外接球體積與三棱錐的外接球體積相等【答案】BC【分析】利用線(xiàn)面垂直的判定可判斷A選項(xiàng)的正誤；利用直角三角形的性質(zhì)可判斷B選項(xiàng)的正誤；確定球心的位置，求出三棱錐的外接球的半徑，利用球體的體積公式可判斷C選項(xiàng)的正誤；求出三棱錐的外接球半徑，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，過(guò)點(diǎn)向引垂線(xiàn)，垂足為，平面，平面，則，，，則平面，又、平面，所以，，，，，則平面，這與平面矛盾，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，平面，平面，則，在三棱錐中，，則的中點(diǎn)到、、、的距離相等，所以為三棱錐的外接球的直徑，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，分別取、的中點(diǎn)、，連接，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，平面，則平面，平面，平面，則，故的外心為線(xiàn)段的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，則平面平面，故三棱錐的外接球球心在直線(xiàn)上，即該球球心在平面內(nèi)，所以的外接圓直徑為三棱錐的外接球直徑，，，，,在中，，，在中，由余弦定理得，，故，則，所以三棱錐的外接球體積為，故C正確；因?yàn)?，故為三棱錐的外接球的直徑，且，而三棱錐的外接球直徑為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.48．（2022·河北深州市中學(xué)高三期末）如圖，為圓O的直徑，點(diǎn)C在圓周上（異于點(diǎn)A，B），直線(xiàn)垂直于圓O所在的平面，點(diǎn)M是線(xiàn)段的中點(diǎn)，下列命題正確的是（）A．平面； B．平面；C．平面 D．平面平面【答案】AD【分析】根據(jù)題中條件，由線(xiàn)面平行的判定定理，可判斷A正確，B錯(cuò)；根據(jù)題中條件，判斷不與垂直，故C錯(cuò)；根據(jù)面面垂直的判定定理，可判斷D正確.【詳解】因?yàn)闉閳AO的直徑，M是線(xiàn)段的中點(diǎn)，所以；又平面，平面，所以平面；即A正確；又平面，即平面，故B錯(cuò)；因?yàn)辄c(diǎn)C在圓O的圓周上，所以，故不與垂直，所以不可能與平面垂直，即C錯(cuò)；由直線(xiàn)垂直于圓O所在的平面，所以；又，，平面、平面，所以平面，又平面，所以平面平面，即D正確.故選：AD.三、雙空題49．（2022·江蘇通州·高三期末）將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角A′－BD－C，設(shè)三棱錐A′－BDC的外接球和內(nèi)切球的半徑分別為r1，r2，球心分別為O1，O2.若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則________；O1O2＝__________.【答案】##【分析】由題可得，然后利用等積法可得，最后利用球的性質(zhì)即求.【詳解】設(shè)，則，∴三棱錐A′－BDC的外接球，點(diǎn)即為，∵將正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成直二面角A′－BD－C，又，∴平面，平面，∴，，∴，，∴，解得，∴，設(shè)球與平面，平面BCD分別切于P，Q，則為正方形，∴.故答案為：，.50．（2022·江蘇海安·高三期末）如圖，ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4dm．現(xiàn)將△BCD沿BD折起，成為二面角A－BD－C是90°的加熱零件，則AC間的距離是________dm；為了安全，把該零件放進(jìn)一個(gè)球形防護(hù)罩，則球形防護(hù)罩的表面積的最小值是________dm2．（所有器件厚度忽略不計(jì)）【答案】4【分析】設(shè)E為BD的中點(diǎn)，由題可得AE⊥平面BCD，進(jìn)而可求，再結(jié)合條件可得△DAB的中心為棱錐的外接球的球心，即求.【詳解】∵ABCD是一塊直角梯形加熱片，AB∥CD，∠DAB＝60°，AB＝AD＝4dm．∴△DAB為等邊三角形，，設(shè)E為BD的中點(diǎn)，連接AE，CE，則AE⊥BD，又二面角A－BD－C是90°，∴AE⊥平面BCD，CE平面BCD，∴AE⊥CE，又CE=2dm，，∴，設(shè)△DAB的中心為O，則OE⊥平面BCD，又E為BD的中點(diǎn)，△BCD為直角三角形，∴OB=OC=OD=OA，即O為三棱錐的外接球的球心，又，故球形防護(hù)罩的表面積的最小值為.故答案為：4，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三棱錐的外接球的表面積，結(jié)合條件即得.51．（2022·江蘇如東·高三期末）已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，AC1⊥平面α，當(dāng)平面α過(guò)點(diǎn)B1時(shí)，平面α截此正方體所得截面多邊形的面積為_(kāi)________；當(dāng)平面α過(guò)線(xiàn)段BC中點(diǎn)時(shí)，平面α截此正方體所得截面多邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)________.【答案】【分析】由平面知識(shí)得出平面α截此正方體所得截面就是平面，再由面積公式得出平面α截此正方體所得截面多邊形的面積，取取的中點(diǎn)為，證明平面α截此正方體所得截面就是平面，最后由邊長(zhǎng)關(guān)系得出周長(zhǎng).【詳解】如下圖所示，由平面，則，又，，所以平面，所以，同理可證，，由線(xiàn)面垂直判定可知平面，即平面α截此正方體所得截面就是平面，由可知，.分別取的中點(diǎn)為，連接，延長(zhǎng)，容易得出的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，如下圖所示，因?yàn)?，所以共面，共面，平面平面，又平面，平面，所以共面，容易證明，由線(xiàn)面垂直判定可知平面，即平面α截此正方體所得截面就是平面，因?yàn)?，所以平面α截此正方體所得截面多邊形的周長(zhǎng)為.故答案為：；52．（2022·江蘇如皋·高三期末）已知三棱錐D－ABC中，AB＝AC＝AD＝1，∠DAB＝∠DAC＝，∠BAC＝，則點(diǎn)A到平面BCD的距離為_(kāi)________，該三棱錐的外接球的體積為_(kāi)________.【答案】【分析】①，等積法計(jì)算頂點(diǎn)到底面的距離；②求三棱錐外接球球心，然后再求體積.【詳解】①如下圖所示，設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h，取BC中點(diǎn)E，連AE、DE，因?yàn)锳B=AC=AD=1，，所以BC=1，，，所以②取AB中點(diǎn)F，連CF交AE于G，則G是的外心，過(guò)G作，O為三棱錐外接球的球心，過(guò)O作，所以設(shè)球的半徑為R，則，所以，所以故答案為：①；②53．（2022·江蘇無(wú)錫·高三期末）正四面體的棱長(zhǎng)為，在平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則點(diǎn)的軌跡是__________；設(shè)直線(xiàn)與直線(xiàn)所成的角為，則的取值范圍為_(kāi)_________.【答案】圓【分析】（1）求出正四面體的高，進(jìn)而求得，可判斷點(diǎn)的軌跡是何種曲線(xiàn)；（2）在四面體底面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)軌跡方程，據(jù)此可設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的夾角公式求解，可得答案.【詳解】設(shè)底面的中心為，則平面，，,由，則，點(diǎn)軌跡是圓；又，如圖在平面BCD內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O和BC垂直的直線(xiàn)為y軸，則，，故在上運(yùn)動(dòng)，則可設(shè)，,，故，故答案為：圓；54．（2022·江蘇蘇州·高三期末）已知直三棱柱中，，，分別為棱，的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作平面將此三棱柱分成兩部分，其體積分別記為，則__________；平面截此三棱柱的外接球的截面面積為_(kāi)_________．【答案】【分析】取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連，，求出棱臺(tái)的體積，再由柱體體積減去臺(tái)體體積可得；求出三棱錐外接球半徑為，利用向量法求出外接球球心到平面距離，從而求出小圓的半徑，即可得到答案；【詳解】取中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連，平面為平面，，，，三棱錐外接球半徑，如下圖建系，，，，，設(shè)平面的法向量，，，不妨設(shè)，則，球心到平面距離，，．故答案為：，55．（2022·廣東清遠(yuǎn)·高三期末）如圖，在長(zhǎng)方體中，，P為的中點(diǎn)，過(guò)的平面分別與棱交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則平面截長(zhǎng)方體所得上下兩部分的體積比值為_(kāi)________；所得的截面四邊形的面積為_(kāi)__________．【答案】3【分析】第一空：過(guò)點(diǎn)B作的平行線(xiàn)分別與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于G，H，連接，并分別與交于E，F(xiàn)，可得平面即平面，利用體積公式求出，進(jìn)而可得；第二空：根據(jù)四邊形為