新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第15講長(zhǎng)度定值問(wèn)題(原卷版+解析)

第15講長(zhǎng)度定值問(wèn)題一、解答題1．已知橢圓：，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A，B兩點(diǎn)．（1）求證：O到直線AB的距離為定值．（2）求0AB面積的最大值．2．已知直線l的方程為x＝﹣2，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，圓O：與x軸交于A，B兩點(diǎn)（如圖）．（1）過(guò)M點(diǎn)的直線l1交圓于P、Q兩點(diǎn)，且O點(diǎn)到直線l1的距離為，求直線l1的方程；（2）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為圓O的半徑的橢圓方程；（3）過(guò)M點(diǎn)的圓的切線l2，交（2）中的一個(gè)橢圓于C、D兩點(diǎn)，其中C、D兩點(diǎn)在x軸上方，求線段CD的長(zhǎng)．3．已知橢圓.（1）直線過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（2）在圓上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值.4．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由5．設(shè)橢圓C：1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，使得2．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．（3）若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：為定值．6．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．7．已知橢圓，離心率，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：為定值．8．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)A、B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP、BP分別交直線于E、Ｆ兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.9．如圖，已知橢圓，點(diǎn)B是其下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線交橢圓C于另一點(diǎn)A（A點(diǎn)在軸下方），且線段AB的中點(diǎn)E在直線上.（1）求直線AB的方程；（2）若點(diǎn)P為橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且直線AP,BP分別交直線于點(diǎn)M、N，證明：OM·ON為定值.10．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓E交于A，C兩點(diǎn)，以AC為對(duì)角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點(diǎn)為N，求證：為定值.11．已知橢圓：（）經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足.求證：為定值.12．已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點(diǎn).（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.13．已知橢圓：在右、上頂點(diǎn)分別為、，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相切于點(diǎn)（在第二象限），過(guò)作直線的平行線與直線相交于點(diǎn)，問(wèn)：線段的長(zhǎng)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.14．已知點(diǎn)F1為橢圓1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，在橢圓上，PF1⊥x軸.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線l：y＝kx+m與橢圓交于（1，2），B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.15．已知橢圓C：（）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上不同于A、B的任一點(diǎn)，若直線PA與PB的斜率之積為，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若P點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，直線PA，PB交y軸于M，N兩點(diǎn)，若直線OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切.切點(diǎn)為T(mén)，問(wèn)切線長(zhǎng)是否為定值，若是，求出定值，若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.16．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn)．（1）求C的方程；（2）點(diǎn)M，N在C上，且，D為垂足，問(wèn)是否存在定點(diǎn)Q，使得為定值，若存在，求出Q點(diǎn)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．第15講長(zhǎng)度定值問(wèn)題一、解答題1．已知橢圓：，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作兩條互相垂直的射線，與橢圓分別交于A，B兩點(diǎn)．（1）求證：O到直線AB的距離為定值．（2）求0AB面積的最大值．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），若k存在，則設(shè)直線AB：y＝kx+m，聯(lián)立橢圓方程，由OA⊥OB，得x1x2+y1y2＝0，化簡(jiǎn)整理，再由點(diǎn)到直線的距離，即可得到定值；若AB的斜率不存在時(shí)，顯然成立；（2）運(yùn)用弦長(zhǎng)公式，化簡(jiǎn)整理，再由基本不等式，即可得到最大值，當(dāng)斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)|AB|＜2也成立即可．【詳解】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），若AB的斜率k存在，則設(shè)直線AB：y＝kx+m．由，得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，則x1+x2＝﹣，①由OA⊥OB，得x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2＝0，將①代入，得4m2＝3k2+3，即有m2＝（k2+1），則有原點(diǎn)到直線AB的距離d＝＝，當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，|x1|＝|y1|，可得|x1|＝＝d，依然成立．所以點(diǎn)O到直線AB的距離為定值．（2）|AB|2＝（1+k2）（x1﹣x2）2＝（1+k2）[（）2﹣4×]＝＝3+＝當(dāng)且僅當(dāng)9k2＝，即k＝時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)AB的斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)|AB|＜2．所以S△OAB≤，即有△OAB面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線和橢圓方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理和弦長(zhǎng)公式，考查點(diǎn)到直線的距離公式和基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．2．已知直線l的方程為x＝﹣2，且直線l與x軸交于點(diǎn)M，圓O：與x軸交于A，B兩點(diǎn)（如圖）．（1）過(guò)M點(diǎn)的直線l1交圓于P、Q兩點(diǎn)，且O點(diǎn)到直線l1的距離為，求直線l1的方程；（2）求以l為準(zhǔn)線，中心在原點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為圓O的半徑的橢圓方程；（3）過(guò)M點(diǎn)的圓的切線l2，交（2）中的一個(gè)橢圓于C、D兩點(diǎn)，其中C、D兩點(diǎn)在x軸上方，求線段CD的長(zhǎng)．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）可設(shè)直線l1的方程為y＝k（x+2），由點(diǎn)到直線的距離公式可得k的方程，解方程可得；（2）設(shè)橢圓的方程為1（a＞b＞0），易得a＝1或b＝1，分別可得b和a值，可得方程；（3）可設(shè)直線l2的方程為y（x+2）和橢圓聯(lián)立可得5x2+8x+2＝0，由弦長(zhǎng)公式可得．【詳解】（1）∵點(diǎn)到直線的距離為.設(shè)的方程為，∴，∴.∴的方程為.（2）設(shè)橢圓方程為，半焦距為，則.，，∴.∴所求橢圓方程為.（3）設(shè)切點(diǎn)為，則由題意得，橢圓方程為，在中，，，則，∴的方程為，代入橢圓中，整理得.設(shè)，，則，.∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關(guān)系，所使用方法為韋達(dá)定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不要忽視判別式的作用．3．已知橢圓.（1）直線過(guò)點(diǎn)與橢圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；（2）在圓上取一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線與橢圓交于兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）；（2）2.【分析】（1）利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題中求直線方程；（2）分類討論切線斜率不存在與存在，利用兩向量垂直其向量的數(shù)量積為零，可證明，進(jìn)而在中，由與相似，得求得答案.【詳解】解：（1）設(shè)，，，即，解得.兩點(diǎn)在橢圓上，，兩式相減，得，則，故直線的方程為，即.（2）當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，不妨設(shè)的方程為，由橢圓的方程可知，，則，，即.當(dāng)切線斜率存在時(shí)，可設(shè)的方程為，，即，聯(lián)立和橢圓的方程，得，則，

，.綜上所述，圓上任意一點(diǎn)處的切線交橢圓于點(diǎn)，都有.在中，由與相似，得.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中利用點(diǎn)差法解決中點(diǎn)弦問(wèn)題，還考查了直線與橢圓的位置關(guān)系中的定值問(wèn)題，屬于較難題.4．已知分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，.（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否存在實(shí)數(shù)t，使得恒成立.若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由【答案】（1）；（2）存在；.【分析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于的方程組，求解出的值，則橢圓方程可求；（2）根據(jù)條件可得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直接計(jì)算即可；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，聯(lián)立直線與橢圓方程，根據(jù)韋達(dá)定理形式表示出，由此確定出是否存在滿足條件.【詳解】解：（1）由題意可得，解得.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可知.當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，，則.當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其斜率為k，則直線l的方程為.聯(lián)立，整理得，則，從而故由題意可得.則.因?yàn)?，所?綜上，存在實(shí)數(shù)，使得恒成立.【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用直線與圓錐曲線聯(lián)立求解相關(guān)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)：（1）假設(shè)直線方程的時(shí)候，要注意分析直線的斜率是否存在；（2）利用公式或不僅可以求解弦長(zhǎng)，同時(shí)還可以求解兩點(diǎn)之間的距離.5．設(shè)橢圓C：1（a＞b＞0）的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線C：x2＝4y的焦點(diǎn)重合，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，且離心率e且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F2的直線l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)．（1）求橢圓C的方程；（2）是否存在直線l，使得2．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．（3）若AB是橢圓C經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的弦，MN∥AB，求證：為定值．【答案】（1）（2）或（3）定值【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)確定橢圓的頂點(diǎn)，結(jié)合離心率，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．分兩種情況討論：①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)不合題意；②設(shè)存在直線l為y＝k（x﹣1）（k≠0），與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合向量條件，即可求得直線l的方程；（3）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4），求出|MN|與|AB|的長(zhǎng)，從而可證結(jié)論．【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為∵橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合∴橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，即∵，∴a＝2，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）由題可知，橢圓的右焦點(diǎn)為（1，0），直線l與橢圓必相交．①當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，M（1，），N（1，），∴，不合題意．②設(shè)存在直線l為y＝k（x﹣1）（k≠0），且M（x1，y1），N（x2，y2）．由得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，，，所以，故直線l的方程為或（3）證明：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），A（x3，y3），B（x4，y4）由（2）可得：|MN|．由消去y，并整理得：，|AB|，∴為定值【點(diǎn)睛】本題重點(diǎn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．6．已知斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為．（1）證明：；（2）設(shè)為的右焦點(diǎn)，為上一點(diǎn),且．證明：，，成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．【答案】（1）（2）或【詳解】分析：（1）設(shè)而不求，利用點(diǎn)差法進(jìn)行證明．（2）解出m,進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，得到,再由兩點(diǎn)間距離公式表示出，得到直的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程由韋達(dá)定理進(jìn)行求解．詳解：（1）設(shè)，則.兩式相減，并由得.由題設(shè)知，于是.①由題設(shè)得，故.（2）由題意得，設(shè)，則.由（1）及題設(shè)得.又點(diǎn)P在C上，所以，從而，.于是.同理.所以.故，即成等差數(shù)列.設(shè)該數(shù)列的公差為d，則.②將代入①得.所以l的方程為，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以該數(shù)列的公差為或.點(diǎn)睛：本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，等差數(shù)列的性質(zhì)，第一問(wèn)利用點(diǎn)差法，設(shè)而不求可減小計(jì)算量，第二問(wèn)由已知得到,求出m得到直線方程很關(guān)鍵，考查了函數(shù)與方程的思想，考察學(xué)生的計(jì)算能力，難度較大．7．已知橢圓，離心率，點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上一點(diǎn)，左頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，直線PA與y軸交于點(diǎn)M，直線PB與x軸交于點(diǎn)N，求證：為定值．【答案】（1）；（2）見(jiàn)解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)橢圓的離心率，點(diǎn)在橢圓上，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、、的方程組，求出、、，即可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，根據(jù)三點(diǎn)共線斜率相等，可分別求出的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式可將用表示，結(jié)合點(diǎn)在橢圓上消去即可得結(jié)果.試題解析：（1）依題意得，設(shè)，則，由點(diǎn)在橢圓上，有，解得，則，橢圓C的方程為：設(shè)，，，則，由APM三點(diǎn)共線，則有，即，解得，則，由BPN三點(diǎn)共線，有，即，解得，則=又點(diǎn)P在橢圓上，滿足，有，代入上式得=，可知為定值．【方法點(diǎn)睛】本題主要考查待定待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的離心率、直線的斜率公式以及圓錐曲線的定值問(wèn)題以及點(diǎn)在曲線上問(wèn)題，屬于難題.探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見(jiàn)方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧?，先根?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.8．已知橢圓的離心率為，且過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若點(diǎn)A、B為橢圓C的左右頂點(diǎn)，直線與x軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)P是橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，直線AP、BP分別交直線于E、Ｆ兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）為定值1【分析】(1)由題意可知,,結(jié)合，可求出橢圓方程.(2)設(shè),則直線AP的方程為，求出，同理得出，將點(diǎn)在橢圓上這個(gè)條件代入，可得到答案.【詳解】（1）由題意可知又因?yàn)榍?，解得，所以橢圓C的方程為；（2）為定值1.由題意可得：，設(shè)，由題意可得：，所以直線AP的方程為，令，則，即；同理：直線BP的方程為，令，則，即；所以而，即，代入上式得，所以為定值1.【點(diǎn)睛】本題考查利用離心率求橢圓方程和橢圓中的定值問(wèn)題，考查運(yùn)算能力，屬于難題.9．如圖，已知橢圓，點(diǎn)B是其下頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B的直線交橢圓C于另一點(diǎn)A（A點(diǎn)在軸下方），且線段AB的中點(diǎn)E在直線上.（1）求直線AB的方程；（2）若點(diǎn)P為橢圓C上異于A、B的動(dòng)點(diǎn)，且直線AP,BP分別交直線于點(diǎn)M、N，證明：OM·ON為定值.【答案】（1）（2）詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：（1）兩點(diǎn)確定一條直線，所以只需再確定A點(diǎn)坐標(biāo)即可，這可利用A在橢圓上及AB中點(diǎn)在直線上聯(lián)立方程組解得：A（，），從而根據(jù)兩點(diǎn)式求出直線AB的方程為．（2）本題涉及的條件為坐標(biāo)，所以用分別表示M點(diǎn)、N點(diǎn)坐標(biāo)就是解題方法：由A，P，M三點(diǎn)共線，又點(diǎn)M在直線y=x上，解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由B，P，N三點(diǎn)共線，點(diǎn)N在直線y=x上，，解得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)．所以O(shè)M·ON==＝2=，又，所以O(shè)M·ON====．試題解析：解：（1）設(shè)點(diǎn)E（m，m），由B（0，－2）得A（2m，2m+2）．代入橢圓方程得，即，解得或（舍）．3分所以A（，），故直線AB的方程為．6分（2）設(shè)，則，即．設(shè),由A，P，M三點(diǎn)共線，即，∴，又點(diǎn)M在直線y=x上，解得M點(diǎn)的橫坐標(biāo)，9分設(shè)，由B，P，N三點(diǎn)共線，即，∴，點(diǎn)N在直線y=x上，，解得N點(diǎn)的橫坐標(biāo)．12分所以O(shè)M·ON==＝2====．16分考點(diǎn)：直線與橢圓位置關(guān)系10．已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與橢圓E交于A，C兩點(diǎn)，以AC為對(duì)角線作正方形ABCD，記直線l與x軸的交點(diǎn)為N，求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【分析】（1）由題意可知，，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式求得，及，由此即可求證為定值．【詳解】（1）由題意知，橢圓E的焦點(diǎn)在x軸且，，∴.故橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.（2）設(shè)、，線段AC的中點(diǎn)為M，聯(lián)立，消去y，得.由，解得，，，，∴.∴.又直線l與x軸的交點(diǎn)，∴，∴，故為定值.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理，弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．11．已知橢圓：（）經(jīng)過(guò)與兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，橢圓上一點(diǎn)滿足.求證：為定值.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）橢圓過(guò)與兩點(diǎn)，利用待定系數(shù)法求、即可得橢圓方程；（2）根據(jù)直線的斜率情況分類討論，當(dāng)斜率不存在或時(shí)易證定值，當(dāng)斜率存在且時(shí)聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合有定值，整合結(jié)論為定值即得證【詳解】（1）橢圓過(guò)與兩點(diǎn)，則解得∴橢圓的方程為（2）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)：當(dāng)直線的斜率不存在或時(shí)，有當(dāng)直線的斜率存在且時(shí)，令直線：，代入橢圓方程有若，，即又橢圓上一點(diǎn)滿足，知：垂直平分，可令直線：∴同理可得：或即故綜上，知：為定值得證【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓，利用橢圓過(guò)兩定點(diǎn)，應(yīng)用待定系數(shù)法求橢圓方程，根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系，及動(dòng)點(diǎn)與它們的交點(diǎn)關(guān)系證明定值問(wèn)題12．已知橢圓：過(guò)點(diǎn)，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作兩條互相垂直的射線與橢圓分別交于，兩點(diǎn).（1）證明：當(dāng)取得最小值時(shí)，橢圓的離心率為.（2）若橢圓的焦距為2，是否存在定圓與直線總相切？若存在，求定圓的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）存在，【分析】（1）將點(diǎn)代入橢圓方程得到，結(jié)合基本不等式，求得取得最小值時(shí)，進(jìn)而證得橢圓的離心率為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性，求得到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫(xiě)出韋達(dá)定理，利用，則列方程，求得的關(guān)系式，進(jìn)而求得到直線的距離.根據(jù)上述分析判斷出所求的圓存在，進(jìn)而求得定圓的方程.【詳解】（1）證明：∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)橢圓的離心率.（2）解：∵橢圓的焦距為2，∴，又，∴，.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性，設(shè)，.∵，在橢圓上，∴，∴，∴到直線的距離.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為.由，得，.設(shè)，，則，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直線的距離.綜上，到直線的距離為定值，且定值為，故存在定圓：，使得圓與直線總相切.【點(diǎn)睛】本小題主要考查點(diǎn)和橢圓的位置關(guān)系，考查基本不等式求最值，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查點(diǎn)到直線的距離公式，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.13．已知橢圓：在右、上頂點(diǎn)分別為、，是橢圓的左焦點(diǎn)，是橢圓上的點(diǎn)，且（是坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線與橢圓相切于點(diǎn)（在第二象限），過(guò)作直線的平行線與直線相交于點(diǎn)，問(wèn)：線段的長(zhǎng)是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.【答案】（1）；（2）為定值；.【分析】（1）由已知建立方程，解之求得，可得橢圓的方程；（2）設(shè)切點(diǎn)，求得切線方程，以及直線的方程，直線的方程，聯(lián)立與的方程可解得交點(diǎn)，再表示，可得定值.【詳解】解：（1）由題可知，所以橢圓：；（2）由題，設(shè)切點(diǎn)，則，切線：，而，且過(guò)原點(diǎn)，所以：，而直線：，聯(lián)立與的方程可解得，則，所以，為定值.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系之定值問(wèn)題，關(guān)鍵在于將所求的量轉(zhuǎn)化到曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，化簡(jiǎn)可得結(jié)論．14．已知點(diǎn)F1為橢圓1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)，在橢圓上，PF1⊥x軸.（1）求橢圓的方程；（2）已知直線l：y＝kx+m與橢圓交于（1，2），B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OA⊥OB，O到直線l的距離是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）是定值，定值為【分析】（1）由PF1⊥x軸可得c＝1，即可得橢圓的左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)，由橢圓的定義求出a的值，由a，b，c的關(guān)系求出a，b的值，進(jìn)而求出橢圓的方程；（2）將直線l與橢圓的方程聯(lián)立求出兩根之積，由OA⊥OB，可得0，可得k，m的關(guān)系，求出原點(diǎn)到直線的距離的表達(dá)式，可得為定值.【詳解】（1）令焦距為2，依題意可得F1（﹣1，0），右焦點(diǎn)F2（1，0），，所以，所以橢圓方程為；（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），由整理可得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣2＝0，.所以y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2＝k2kmm2，由，得3m2＝2（k2+1），所以原點(diǎn)O到直線l的距離為，為定值.【點(diǎn)睛】本題主要考查求橢圓的方程及直線與橢圓的綜合，屬于中檔題.15．已知橢圓C：（）的左、右頂點(diǎn)分別為A，B，左焦點(diǎn)為F，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓C上不同于A、B的任一點(diǎn)，若直線PA與PB的斜率之積為，且橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）若P點(diǎn)不在坐標(biāo)軸上，直線PA，PB交y軸于M，N兩點(diǎn)，若直線OT與過(guò)點(diǎn)M，N的圓G相切.切點(diǎn)為T(mén)，問(wèn)切線長(zhǎng)是否為定值，若是，求出定值