微積分-經(jīng)管類-上冊1.1 映射與函數(shù)

第1章分析基礎(chǔ)函數(shù)極限連續(xù)—研究對象—研究方法—研究橋梁函數(shù)與極限

第1章二、區(qū)間與鄰域三、函數(shù)一、集合第1節(jié)映射與函數(shù)元素a

屬于集合M,記作元素a

不屬于集合M,記作一、集合1.集合的概念定義1.

具有某種特定性質(zhì)的事物的總體稱為集合.組成集合的事物稱為元素.不含任何元素的集合稱為空集,記作

.

(或).注:

M

為數(shù)集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0與負數(shù)的集.簡稱集簡稱元表示法：(1)列舉法：按某種方式列出集合中的全體元素.例:有限集合自然數(shù)集(2)描述法：

x

所具有的特征例:

整數(shù)集合或有理數(shù)集

p與q

互質(zhì)實數(shù)集合

x

為有理數(shù)或無理數(shù)開區(qū)間閉區(qū)間是B的子集

,或稱B包含A,2.集合的運算定義2

.則稱A若且則稱A

與B

相等,例如,顯然有下列關(guān)系:,,

若設(shè)有集合記作記作必有定義3

.

給定兩個集合A,B,并集交集且差集且定義下列運算:余集直積特例:記為平面上的全體點集或無限區(qū)間半開區(qū)間二、區(qū)間與鄰域點的

鄰域其中,a

稱為鄰域中心,

稱為鄰域半徑.去心

鄰域左

鄰域:右

鄰域:定義域三、函數(shù)1.函數(shù)的概念定義4.設(shè)數(shù)集則稱映射為定義在D

上的函數(shù),記為稱為值域函數(shù)圖形:自變量因變量(對應(yīng)規(guī)則)(值域)(定義域)例如,反正弦主值

定義域

對應(yīng)規(guī)律的表示方法:解析法、圖像法、列表法使表達式或?qū)嶋H問題有意義的自變量集合.定義域值域又如,絕對值函數(shù)定義域值域?qū)o實際背景的函數(shù),書寫時可以省略定義域.對實際問題,書寫函數(shù)時必須寫出定義域；例1.

已知函數(shù)解:及寫出f(x)的定義域及值域,并求f(x)的定義域值域2.函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù)且有區(qū)間(1)有界性使稱使稱說明:

還可定義有上界、有下界、無界.(2)單調(diào)性為有界函數(shù).在I

上有界.使若對任意正數(shù)M,均存在則稱f(x)

無界.稱為有上界稱為有下界當稱為I

上的稱為I

上的單調(diào)增函數(shù);單調(diào)減函數(shù).(3)奇偶性且有若則稱

f(x)為偶函數(shù);若則稱f(x)為奇函數(shù).

說明:若在x=0有定義,為奇函數(shù)時,則當必有例如,

偶函數(shù)雙曲余弦記又如,奇函數(shù)雙曲正弦記再如,奇函數(shù)雙曲正切記說明:

給定則偶函數(shù)奇函數(shù)(4)周期性且則稱為周期函數(shù)

,若稱

l

為周期(一般指最小正周期

).周期為

周期為注:

周期函數(shù)不一定存在最小正周期.例如,常量函數(shù)狄利克雷函數(shù)x

為有理數(shù)x為無理數(shù)3.反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)(1)反函數(shù)的概念及性質(zhì)若函數(shù)為單射,則存在一新映射習(xí)慣上,的反函數(shù)記成稱此映射為f

的反函數(shù).,其反函數(shù)(減)(減).1)y＝f(x)單調(diào)遞增且也單調(diào)遞增性質(zhì):使其中2)函數(shù)與其反函數(shù)的圖形關(guān)于直線對稱.例如,對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù),它們都單調(diào)遞增,其圖形關(guān)于直線對稱.指數(shù)函數(shù)(2)復(fù)合函數(shù)則設(shè)有函數(shù)鏈稱為由①,②確定的復(fù)合函數(shù)

,①②u

稱為中間變量.注意:

構(gòu)成復(fù)合函數(shù)的條件不可少.例如,

函數(shù)鏈:但可定義復(fù)合函數(shù)時,雖不能在自然域R下構(gòu)成復(fù)合函數(shù),可定義復(fù)合函數(shù)當改4.初等函數(shù)(1)基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(2)初等函數(shù)由常數(shù)及基本初等函數(shù)否則稱為非初等函數(shù)

.例如,并可用一個式子表示的函數(shù),經(jīng)過有限次四則運算和復(fù)合步驟所構(gòu)成,稱為初等函數(shù).可表為故為初等函數(shù).又如,

雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)也是初等函數(shù).非初等函數(shù)舉例:符號函數(shù)當x>0當x=0當x<0取整函數(shù)當

設(shè)函數(shù)

x

換為f(x)例2.解:例3.求的反函數(shù)及其定義域.解:當時,則當