2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試仿真擬卷(T8聯(lián)盟)數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2025年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試仿真擬卷(T8聯(lián)盟)數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合A={x∈R|2a?1<x<a2+a}，B={x∈R|2x?3x+1≤1}，若A.?2 B.0 C.1 D.1或?22.已知z1=1+i，z2=a2+4ai，若A.?4 B.0 C.?4或0 D.43.從集合{1,2,3,?,9}中任取3個(gè)數(shù)，取出的三個(gè)數(shù)之和是3的倍數(shù)的概率為(

)A.37 B.514 C.274.已知A(0,1)，B(0,?1)，C是A關(guān)于直線x?2y=0的對(duì)稱點(diǎn)，則BA?BC=A.25 B.35 C.455.甲、乙、丙等八個(gè)人圍成一圈，要求甲、乙、丙三人兩兩不相鄰，則不同的排列方法有(

)A.720種 B.1440種 C.2880種 D.4320種6.已知三棱錐P?ABC滿足AB=3，BC=4，AC=5，且其體積為42，若點(diǎn)P(正投影在△ABC內(nèi)部)到AB，BC，AC的距離相等，則三棱錐的表面積為(

)A.18 B.21 C.24 D.277.在△ABC中，M為邊AB的中點(diǎn)，若∠ACM=π4，則∠ABC的最大值為(

)A.π6 B.π4 C.π38.已知指數(shù)函數(shù)f(x)=ax，若f(f(x))=x有且只有兩個(gè)不等根，則a的取值范圍是(

)A.(0,e?e) B.[e?e,1)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知點(diǎn)Q(4,2)，直線l:ax+by+c=0，其中b是a，c的等差中項(xiàng)，過(guò)點(diǎn)P(?5,6)作直線l的垂線，垂足為H，則(

)A.直線l過(guò)定點(diǎn) B.PH的最大值為10

C.QH的最小值為2 D.QH的最大值為1110.已知a，b，c∈R，滿足a2+b2+cA.a+b+c=2 B.ab+bc+ac<1 C.a的最小值為?23 D.a11.已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a0=3A.a1=14 B.存在k∈N，使得ak+1>三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+π6)在區(qū)間(0,π)上恰有兩個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)ω13.已知△ABC是橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)的內(nèi)接三角形，其中原點(diǎn)O是△ABC的重心，若點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為14.定義在閉區(qū)間[1,3]上的函數(shù)f(x)=x2?bx+b2+c(b,c∈R)的最大值與最小值之積為?16，則四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

某市為創(chuàng)建全國(guó)文明城市，自2019年1月1日起，在機(jī)動(dòng)車斑馬線禮讓行人方面，通過(guò)公開(kāi)違規(guī)行車的照片及車牌號(hào)，效果顯著.下表是該市人民廣場(chǎng)某路口連續(xù)5年監(jiān)控設(shè)備抓拍到該路口機(jī)動(dòng)車不禮讓行人的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：記方案執(zhí)行時(shí)間為執(zhí)行后第x年，不禮讓行人車數(shù)為y(單位：百輛)．x/年12345y/百輛5.85.24.53.72.8(1)求不禮讓行人車數(shù)y與執(zhí)行時(shí)間x之間的經(jīng)驗(yàn)回歸方程;(2)預(yù)測(cè)該路口2025年不禮讓行人車數(shù)．參考公式：經(jīng)驗(yàn)回歸方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為b16.(本小題15分)在△ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，4cosC+cos(1)求證：a+b=2c;(2)若點(diǎn)M是邊AB上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)，求CM的最小值．17.(本小題15分)已知函數(shù)f(x)=ln(ax+1)?x在點(diǎn)(0,0)處的切線與(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值;(2)已知正項(xiàng)數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=ln(an+1)18.(本小題17分)現(xiàn)有一雙曲線Γ:x2a2?y2b2=1，F(xiàn)1(?2,0)和(1)求雙曲線Γ的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)F1的直線交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B上方)，判斷1|A(3)在(2)的條件下，過(guò)點(diǎn)F2作平行于AB的直線交雙曲線右支于C，D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在點(diǎn)D上方)，AF2與CF1相交于點(diǎn)19.(本小題17分)

三余弦定理：設(shè)A為平面α內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的斜線AO在平面α上的正投影為直線AB.?AC為平面α內(nèi)的一條直線，記斜線AO與直線AB的夾角(即直線AO與平面α所成角)為θ1，直線AB與直線AC的夾角為θ2，直線AO與直線AC的夾角為θ，則cosθ=cosθ1cosθ2.三余弦定理描述了線面角是斜線與平面內(nèi)任意直線所成角的最小值，又稱最小角定理．

(1)證明三余弦定理;

(2)如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1，△ABC為正三角形，∠BAA1=∠CAA1=π3，求直線AA1參考答案1.A

2.D

3.B

4.C

5.B

6.C

7.B

8.C

9.ABD

10.ABC

11.ACD

12.(713.214.(?∞,0]∪[8,+∞)

15.解：(1)由題意得x=i=15xi5=3，y=i=15yi5=4.4，i=15xi2=55，i=15xiyi=58.5，

由最小二乘法估計(jì)可得b=i=116.【解答】

(1)證明：由題意得1+cos(A?B)=4[1+cos(A+B)]，即2cos2A?B2=4?2cos2A+B2，

即cosA?B2=2cosA+B2=2sinC2，

因?yàn)閟inA+sinB=sin(A+B2+A?B2)+sin(A+B2?A?B2)，

即sinA+17.解：(1)∵f(0)=0，f′(x)=aax+1?1，

由題意得f(0)=0，∴a=1，即f(x)=ln(x+1)?x，

∴f′(x)=1x+1?1=?xx+1，即f(x)在區(qū)間(?1,0)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞減，

∴f(x)有極大值f(0)=0，無(wú)極小值．

(2)證明：由(1)可得ln(x+1)≤x，∴l(xiāng)nx≤x?1，

等價(jià)變形為ln1x≤1x?1，即lnx≥1?1x，當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí)取等號(hào)，

代入題干中可得an+1=ln(1+an)>1?11+an=a18.解：(1)設(shè)|PF2|=x，則|PF1|=x+2a>0，

由|PF1|+|PF2|≥|F1F2|得x≥2?a．

∵|PF1||PF2|=x+2ax=1+2ax在區(qū)間[2?a,+∞)上單調(diào)遞減，

∴x=2?a時(shí)，|PF1||PF2|取最大值3，

∴1+2a2?a=3，解得a=1．

∴b2=22?1=3．

∴由題意可得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2?y23=1．

(2)1|PF1|+1|PF2|=23，是定值．

19.(1)證明：如圖，不妨設(shè)O在平面α的射影為B，則OB⊥α，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC交直線AC于點(diǎn)C，連接OC，

∴∠OAB即為斜線AO與平面α所成角θ1，

∠BAC即為斜線AO在平面α的射影直線AB與平面α內(nèi)的直線AC所成角θ2，

∠OAC即為斜線AO與平面α內(nèi)的直線AC所成角θ，

∵OB⊥α，AC?α，∴OB⊥AC，

又BC⊥AC，OB∩BC=B，OB，OC?平面OBC，

∴AC⊥平面OBC，∵OC?平面OBC，∴AC⊥OC，

根據(jù)幾何關(guān)系可得cosθ1=ABAO，cosθ2=ACAB，cosθ=ACAO，

∴cosθ=cosθ1cosθ2．

(2)解：取BC中點(diǎn)為M，連接A1B，A1C，A1M，AM，易知△ABA1≌△ACA1，

∴A1C=A1B，∴A1M⊥BC．

又