18212矩形的判定-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期訓(xùn)練(人教版)

§18.2.1.2矩形的判定知識(shí)導(dǎo)航矩形的判定：類別判定方法符號(hào)語(yǔ)言圖形角有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形四邊形是矩形對(duì)角線對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形四邊形是平行四邊形，四邊形是矩形重難點(diǎn)突破重點(diǎn)1利用對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行判定如圖，?ABCD中，點(diǎn)O是AC與BD的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線與BA、DC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E、F．請(qǐng)連接EC、AF，則EF與AC滿足什么條件時(shí)，四邊形AECF是矩形，并說(shuō)明理由．【分析】連接EC、AF，則EF與AC滿足EF=AC是，四邊形AECF是矩形，首先證明四邊形AECF是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形即可證明．【詳解】連接EC、AF，則EF與AC滿足EF=AC時(shí)，四邊形AECF是矩形．理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AO=OC，ABCD．∴∠E=∠F又∠AOE=∠COF∴△AOE≌△COF（ASA）．∴OE=OF．∵AO=CO，∴四邊形AECF是平行四邊形．∵EF=AC，∴四邊形AECF是矩形．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定、平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的判定，首先利用平行四邊形的性質(zhì)構(gòu)造全等條件，然后利用全等三角形的性質(zhì)解決問(wèn)題變式1已知：如圖，在中，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，交邊于點(diǎn)．連接，．（1）求證：四邊形是平行四邊形．（2）若，求證：四邊形是矩形．【分析】（1）根據(jù)題意可得到，從而再證明即可得出結(jié)論；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論可以得到，，再根據(jù)推出，從而得到，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到AE=BC，由此即可得出結(jié)論．【詳解】（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，，即，∵，∴，∴四邊形是平行四邊形；（2）∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，則有，∴，又∵四邊形ABEC是平行四邊形，∴BC=2FC，AE=2FE，，∴四邊形是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握基本的性質(zhì)定理以及判定方法是解題關(guān)鍵．重點(diǎn)點(diǎn)撥：在判定矩形時(shí)，一定要注意前提條件是四邊形還是平行四邊形，再考慮用哪條定理，用定義判定或用對(duì)角線判定時(shí)，前提條件必須是平行四邊形，而不能是四邊形.重點(diǎn)2重點(diǎn)點(diǎn)撥：在判定矩形時(shí)，一定要注意前提條件是四邊形還是平行四邊形，再考慮用哪條定理，用定義判定或用對(duì)角線判定時(shí)，前提條件必須是平行四邊形，而不能是四邊形.如圖，在中，，，垂足為，過(guò)點(diǎn)作，且，連接，交于點(diǎn)，連接．求證：四邊形為矩形；【分析】先證明四邊形ADCE是平行四邊形，由得到∠ADC=90°，實(shí)現(xiàn)解題目標(biāo)；【詳解】∵，，∴BD=DC，∠ADC=90°，∵，且，∴，∴四邊形ADCE是平行四邊形，∵∠ADC=90°，∴四邊形ADCE是矩形；【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的全等，熟練掌握矩形判定和性質(zhì)，根據(jù)平行線性質(zhì)靈活證明三角形的全等是解題的關(guān)鍵．變式2如圖，在□ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F，連接BD．若AB＝DB，求證：四邊形DFBE是矩形．【分析】根據(jù)全等得出AE=CF，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠DEB=90°，根據(jù)矩形的判定推出即可．【詳解】∵∠ABD的平分線BE交AD于點(diǎn)E，∴∠ABE=∠ABD，∵∠CDB的平分線DF交BC于點(diǎn)F，∴∠CDF=∠CDB，∵在平行四邊形ABCD中，∴AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB，∴∠CDF=∠ABE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD=AB，∠A=∠C，即，∴△ABE≌△CDF（ASA）；∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四邊形DFBE是平行四邊形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四邊形DFBE是矩形．【點(diǎn)睛】本題考點(diǎn)：1.平行四邊形的性質(zhì)和判定，2.矩形的判定，3.全等三角形的性質(zhì)和判定重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：要判定一個(gè)四邊形是矩形，通常先判定它是平行四邊形，再證明有一個(gè)角是直角或?qū)蔷€相等.重點(diǎn)3利用有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形進(jìn)行判定如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)為BC上兩點(diǎn)，且BE=CF，AF=DE求證：（1）△ABF≌△DCE；（2）四邊形ABCD是矩形．【分析】（1）根據(jù)等量代換得到BE=CF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得AB=DC．利用“SSS”得△ABF≌△DCE．（2）平行四邊形的性質(zhì)得到兩邊平行，從而∠B+∠C=180°．利用全等得∠B=∠C，從而得到一個(gè)直角，問(wèn)題得證.【詳解】（1）∵BE=CF，BF=BE+EF，CE=CF+EF，∴BF=CE．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC．在△ABF和△DCE中，∵AB=DC，BF=CE，AF=DE，∴△ABF≌△DCE．（2）∵△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∴∠B+∠C=180°．∴∠B=∠C=90°．∴平行四邊形ABCD是矩形．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．變式3如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC+∠ADC＝180°．（1）求證：四邊形ABCD是矩形；（2）若∠ADF：∠FDC＝3：2，DF⊥AC，求∠BDF的度數(shù)．【分析】（1）先證明四邊形ABCD是平行四邊形，求出∠ABC=90°，然后根據(jù)矩形的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）求出∠FDC的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和，求出∠DCO，然后得到OD=OC，得到∠CDO，即可求出∠BDF的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵AO＝CO，BO＝DO，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠ABC＝∠ADC，∵∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵∠ADC＝90°，∠ADF：∠FDC＝3：2，∴∠FDC＝36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO＝90°﹣36°＝54°，∵四邊形ABCD是矩形，∴CO＝OD，∴∠ODC＝∠DCO＝54°，∴∠BDF＝∠ODC﹣∠FDC＝18°．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解題的關(guān)鍵．注意：矩形的對(duì)角線相等，有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．重點(diǎn)點(diǎn)撥：在一個(gè)四邊形中如果能夠比較容易地證得兩個(gè)角是直角，可以考慮證明另外兩個(gè)角中的一個(gè)是直角，從而證得該四邊形為矩形.難點(diǎn)重點(diǎn)點(diǎn)撥：在一個(gè)四邊形中如果能夠比較容易地證得兩個(gè)角是直角，可以考慮證明另外兩個(gè)角中的一個(gè)是直角，從而證得該四邊形為矩形.如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為BC中點(diǎn)，AE∥BD，且AE＝BD．（1）求證：四邊形AEBD是矩形；（2）連接CE交AB于點(diǎn)F，若∠ABE＝30°，AE＝2，求EF的長(zhǎng)．【分析】(1)由AE∥BD，且AE＝BD可得四邊形AEBD是平行四邊形,再根據(jù)AB＝AC，D為BC中點(diǎn),可知AD⊥BC即可得出四邊形AEBD是矩形.(2)根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半即可求出EB,再根據(jù)矩形的性質(zhì)求出BC即可利用勾股定理求出EC,由題意可證△AEF∽△BCF,再根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出結(jié)果.【詳解】（1）證明：∵AE∥BD，AE＝BD，∴四邊形AEBD是平行四邊形，∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四邊形AEBD是矩形．（2）解：∵四邊形AEBD是矩形，∴∠AEB＝90°，∵∠ABE＝30°，AE＝2，∴BE＝2，BC＝4，∴EC＝2，∵AE∥BC，∴△AEF∽△BCF，∴，∴EFEC=．【點(diǎn)睛】本題為矩形與等腰三角形的結(jié)合題型,關(guān)鍵在于熟練掌握矩形與等腰三角形的性質(zhì).變式4在ABCD，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在邊CD上，DF＝BE，連接AF，BF.（1）求證：四邊形BFDE是矩形；（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求證：AF平分∠DAB.【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB與CD的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定，可得BFDE是平行四邊形，再根據(jù)矩形的判定，即可證明；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)，可得∠DFA=∠FAB，根據(jù)等腰三角形的判定與性質(zhì)，可得∠DAF=∠DFA，根據(jù)角平分線的判定，即可證明．【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∵BE∥DF，BE=DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．∵DE⊥AB，∴∠DEB=90°，∴四邊形BFDE是矩形；（2）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥DC，∴∠DFA=∠FAB．在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC===5，∴AD=BC=DF=5，∴∠DAF=∠DFA，∴∠DAF=∠FAB，即AF平分∠DAB．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的判定與性質(zhì)，利用等腰三角形的判定與性質(zhì)得出∠DAF=∠DFA是解題關(guān)鍵．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：利用矩形的性質(zhì)和判定解決問(wèn)題，一般是先判定一個(gè)四邊形是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)解決其他問(wèn)題.提升訓(xùn)練?ABCD中，添加一個(gè)條件就成為矩形，則添加的條件是（）A．AB=CD B．∠B+∠D=180°C．AC=AD D．對(duì)角線互相垂直【答案】B【分析】根據(jù)矩形的判定：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；由矩形的判定即可得出A、C、D不正確，B正確．【詳解】解：A、當(dāng)AB=CD，不能判定?ABCD為矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；B、∵?ABCD中，∠B=∠D，∠B+∠D=180°，∴∠B=∠D=90°，∴?ABCD是矩形；故該選項(xiàng)正確，符合題意；C、∵AC=AD，不能得出?ABCD是矩形，故該選項(xiàng)不符合題意；D、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故該選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，矩形的判定定理有：（1）有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（3）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形．已知平行四邊形ABCD，下列條件中，不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形的是（）A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC【答案】B【分析】由矩形的判定方法依次判斷即可得出結(jié)果．【詳解】解：A、∠A=∠B，∠A+∠B=180°，所以∠A=∠B=90°，可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，正確；B、∠A=∠C不能判定這個(gè)平行四邊形為矩形，錯(cuò)誤；C、AC=BD，對(duì)角線相等，可推出平行四邊形ABCD是矩形，故正確；D、AB⊥BC，所以∠B=90°，可以判定這個(gè)平行四邊形為矩形，正確，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，熟練掌握“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形、對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形、有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形”是解題的關(guān)鍵.下列命題是假命題的是（

）A．等腰三角形的高線、中線、角平分線互相重合B．同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行C．角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等D．對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)平行線的判定方法對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)角平分線的性質(zhì)對(duì)進(jìn)行判斷；根據(jù)矩形的判斷方法對(duì)進(jìn)行判斷．【詳解】選項(xiàng)，等腰三角形的底邊上的高線、中線和頂角的平分線互相重合，故符合題意；選項(xiàng)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，故不符合題意；選項(xiàng)，角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等，故不符合題意；選項(xiàng)，對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，故不符合題意；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理、等腰三角形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、矩形的判定等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握并運(yùn)用以上知識(shí)．如圖，矩形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥BD交AD于點(diǎn)E．已知AB＝2，△DOE的面積為，則AE的長(zhǎng)為（）A． B．2 C．1.5 D．【答案】C【分析】連接BE，由題意可得OE為對(duì)角線BD的垂直平分線，可得BE=DE，S△BOE=S△DOE=，由三角形的面積則可求得DE的長(zhǎng)，得出BE的長(zhǎng)，然后由勾股定理求得答案．【詳解】連接BE，如圖所示：由題意可得，OE為對(duì)角線BD的垂直平分線，∴BE＝DE，S△BOE＝S△DOE＝，∴S△BDE＝2S△BOE＝．∴DE?AB＝，又∵AB＝2，∴DE＝，∴BE＝在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE＝．故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理以及三角形的面積問(wèn)題．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．矩形與矩形如圖放置，點(diǎn)共線，共線，連接，取的中點(diǎn)，連接，若，，則（

）A． B． C．2 D．【答案】A【分析】如圖，延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)M，先證明△AHM≌△FHG，從而可得AM=FG=1，HM=HG，進(jìn)而得DM=ADAM=2，繼而根據(jù)勾股定理求出GM的長(zhǎng)即可求得答案.【詳解】如圖，延長(zhǎng)GH交AD于點(diǎn)M，∵四邊形ABCD、CEFG是矩形，∴AD=BC=3，CG=EF=3，F(xiàn)G=CE=1，∠CGF=90°，∠ADC=90°，∴DG=CGCD=31=2，∠ADG=90°=∠CGF，∴AD//FG，∴∠HAM=∠HFG，∠AMH=∠FGH，又AH=FH，∴△AHM≌△FHG，∴AM=FG=1，HM=HG，∴DM=ADAM=31=2，∴GM=，∵GM=HM+HG，∴GH=，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，正確添加輔助線，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.如圖，點(diǎn)為矩形的邊上的點(diǎn)，于點(diǎn)，且，下列結(jié)論不正確的是（

）A．平分 B．為等腰三角形C． D．【答案】C【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)及HL定理證明Rt△DEF≌Rt△DEC，然后利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推理判斷【詳解】解：在矩形ABCD中，∠C=90°，AB=CD∵于點(diǎn)，且∴∠DFE=∠C=90°，DF=CD在Rt△DEF和Rt△DEC中∴Rt△DEF≌Rt△DEC∴∠FDE=∠CDE，即平分，故A選項(xiàng)不符合題意；∵Rt△DEF≌Rt△DEC∴∠FED=∠CED又∵矩形ABCD中，AD∥BC∴∠ADE=∠CED∴∠FED=∠ADE∴AD=AE，即為等腰三角形，故B選項(xiàng)不符合題意∵Rt△DEF≌Rt△DEC∴EF=EC在矩形ABCD中，AD=BC，又∵AD=AE∴AE=AD=BC=BE+EC=BE+EF，故D選項(xiàng)不符合題意由于AB=CD=DF，但在Rt△ADF中，無(wú)法證得AF=DF，故無(wú)法證得AB=AF，故C選項(xiàng)符合題意故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)及三角形全等的判定和性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)定理正確推理論證是解題關(guān)鍵．如圖，在矩形中，，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)到、兩點(diǎn)距離之和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得△PAB的AB邊上的高h(yuǎn)=2，表明點(diǎn)P在平行于AB的直線EF上運(yùn)動(dòng)，且兩平行線間的距離為2；延長(zhǎng)FC到G，使FC=CG，連接AG交EF于點(diǎn)H，則點(diǎn)P與H重合時(shí)，PA+PB最小，在Rt△GBA中，由勾股定理即可求得AG的長(zhǎng)，從而求得PA+PB的最小值．【詳解】解：設(shè)△PAB的AB邊上的高為h∵∴∴h=2表明點(diǎn)P在平行于AB的直線EF上運(yùn)動(dòng)，且兩平行線間的距離為2，如圖所示∴BF=2∵四邊形ABCD為矩形∴BC=AD=3，∠ABC=90゜∴FC=BCBF=32=1延長(zhǎng)FC到G，使CG=FC=1，連接AG交EF于點(diǎn)H∴BF=FG=2∵EF∥AB∴∠EFG=∠ABC=90゜∴EF是線段BG的垂直平分線∴PG=PB∵PA+PB=PA+PG≥AG∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)H重合時(shí)，PA+PB取得最小值A(chǔ)G在Rt△GBA中，AB=5，BG=2BF=4，由勾股定理得：即PA+PB的最小值為故選：D．【點(diǎn)睛】本題是求兩條線段和的最小值問(wèn)題，考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，線段垂直平分線的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短等知識(shí)，難點(diǎn)在于確定點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑，路徑確定后就是典型的將軍飲馬問(wèn)題．在中，請(qǐng)加一個(gè)條件：________可以判定是矩形．【答案】【分析】根據(jù)矩形的判定方法，即可求解．【詳解】∵四邊形為平行四邊形，對(duì)角線相等的平行四邊形為矩形，當(dāng)時(shí)，可得為矩形故答案為（答案不唯一）【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的判定方法，掌握矩形的判定方法是解題的關(guān)鍵．如圖，矩形ABCD中，已知AB=6，BC=8，BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，則△BOF的面積為_(kāi)___．【答案】【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出BD，證明△BOF∽△BCD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到比例式，求出BF，根據(jù)勾股定理求出OF，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A=90°，又AB=6，AD=BC=8，∴根據(jù)勾股定理可得：BD=10，∵EF是BD的垂直平分線，∴OB=OD=5，∠BOF=90°，又∠C=90°，∴△BOF∽△BCD，∴，即，解得，BF=，則OF=，則△BOF的面積=×OF×OB=，【點(diǎn)睛】（1）矩形的性質(zhì)；（2）線段垂直平分線的性質(zhì)；（3）勾股定理的應(yīng)用如圖，過(guò)矩形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)K分別作矩形兩邊的平行線MN與PQ，那么圖中矩形AMKP的面積S1與矩形QCNK的面積S2的大小關(guān)系是S1_____S2；（填“＞”或“＜”或“＝”）【答案】=【分析】利用矩形的性質(zhì)可得△ABD的面積＝△CDB的面積，△MBK的面積＝△QKB的面積，△PKD的面積＝△NDK的面積，進(jìn)而求出答案.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，四邊形MBQK是矩形，四邊形PKND是矩形，∴△ABD的面積＝△CDB的面積，△MBK的面積＝△QKB的面積，△PKD的面積＝△NDK的面積，∴△ABD的面積﹣△MBK的面積﹣△PKD的面積＝△CDB的面積﹣△QKB的面積＝△NDK的面積，∴S1＝S2．故答案為＝．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)定理是解題關(guān)鍵.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，點(diǎn)D是斜邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D分別作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥AC于點(diǎn)F，點(diǎn)G為四邊形DEAF對(duì)角線交點(diǎn)，則線段GF的最小值為_(kāi)______.【答案】【分析】由勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再證明四邊形DEAF是矩形，可得EF=AD，根據(jù)垂線段最短和三角形面積即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵∠BAC=90°，且BA=9，AC=12，∴在Rt△ABC中，利用勾股定理得：BC===15，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC=90°∴∠DEA=∠DFA=∠BAC=90°，∴四邊形DEAF是矩形，∴EF=AD，GF=EF∴當(dāng)AD⊥BC時(shí)，AD的值最小，此時(shí)，△ABC的面積=AB×AC=BC×AD，∴AD===，∴EF=AD=,因此EF的最小值為；又∵GF=EF∴GF=×=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形面積、垂線段最短等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考?？碱}型．如圖，在矩形中，，過(guò)矩形的對(duì)角線交點(diǎn)作直線分別交、于點(diǎn)，連接，若是等腰三角形，則____.【答案】或【分析】連接AC，由矩形的性質(zhì)得出∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC，AD∥BC，由ASA證明△AOE≌△COF，得出AE=CF，若△AEF是等腰三角形，分三種情討論：①當(dāng)AE=AF時(shí)，設(shè)AE=AF=CF=x，則BF=6x，在Rt△ABF中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②當(dāng)AF=EF時(shí)，作FG⊥AE于G，則AG=AE=BF，設(shè)AE=CF=x，則BF=6x，AG=x，得出方程x=6x，解方程即可；③當(dāng)AE=FE時(shí)，作EH⊥BC于H，設(shè)AE=FE=CF=x，則BF=6x，CH=DE=6x，求出FH=CFCH=2x6，在Rt△EFH中，由勾股定理得出方程，方程無(wú)解；即可得出答案．【詳解】解：連接AC，如圖1所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=90°，AD=BC=6，OA=OC，AD∥BC，∴∠OAE=∠OCF，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE=CF，若△AEF是等腰三角形，分三種情討論：①當(dāng)AE=AF時(shí)，如圖1所示：設(shè)AE=AF=CF=x，則BF=6x，在Rt△ABF中，由勾股定理得：42+（6x）2=x2，解得：x=，即AE=；②當(dāng)AF=EF時(shí)，作FG⊥AE于G，如圖2所示：則AG=AE=BF，設(shè)AE=CF=x，則BF=6x，AG=x，所以x=6x，解得：x=4；③當(dāng)AE=FE時(shí)，作EH⊥BC于H，如圖3所示：設(shè)AE=FE=CF=x，則BF=6x，CH=DE=6x，∴FH=CFCH=x（6x）=2x6，在Rt△EFH中，由勾股定理得：42+（2x6）2=x2，整理得：3x224x+52=0，∵△=（24）24×3×52＜0，∴此方程無(wú)解；綜上所述：△AEF是等腰三角形，則AE為或4；故答案為或4．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、解方程、等腰三角形的性質(zhì)、分類討論等知識(shí)；根據(jù)勾股定理得出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，注意分類討論．如圖，四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且OA＝OD．求證：四邊形ABCD是矩形．【分析】先由兩組對(duì)邊分別相等證明四邊形ABCD是平行四邊形，再根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形證明即可.【詳解】證：∵四邊形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC＝2AO，BD＝2OD，∵OA