2025屆上海市ＳＯＥＣ數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題含解析

2025屆上海市ＳＯＥＣ數(shù)學(xué)高二上期末預(yù)測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知等比數(shù)列，且，則（）A.16 B.32C.24 D.642．設(shè)a，b，c非零實數(shù)，且，則（）A. B.C. D.3．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：廣告費用（萬元）4235銷售額（萬元）49263954根據(jù)上表可得回歸方程中的為9.4，據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為A.63.6萬元 B.65.5萬元C.67.7萬元 D.72.0萬元4．若拋物線上的點到其焦點的距離是到軸距離的倍，則等于A. B.1C. D.25．數(shù)列2，，9，，的一個通項公式可以是（）A. B.C. D.6．已知各項均為正數(shù)且單調(diào)遞減的等比數(shù)列滿足、、成等差數(shù)列.其前項和為，且，則（）A. B.C. D.7．若拋物線上一點到焦點的距離為5，則點的坐標為（）A. B.C. D.8．甲組數(shù)據(jù)為：5，12，16，21，25，37，乙組數(shù)據(jù)為：1，6，14，18，38，39，則甲、乙的平均數(shù)、極差及中位數(shù)相同的是（）A.極差 B.平均數(shù)C.中位數(shù) D.都不相同9．已知點是雙曲線的左焦點，定點，是雙曲線右支上動點，則的最小值為（）.A.7 B.8C.9 D.1010．2020年12月4日，嫦娥五號探測器在月球表面第一次動態(tài)展示國旗.1949年公布的《國旗制法說明》中就五星的位置規(guī)定：大五角星有一個角尖正向上方，四顆小五角星均各有一個角尖正對大五角星的中心點.有人發(fā)現(xiàn)，第三顆小星的姿態(tài)與大星相近.為便于研究，如圖，以大星的中心點為原點，建立直角坐標系，，，，分別是大星中心點與四顆小星中心點的聯(lián)結(jié)線，，則第三顆小星的一條邊AB所在直線的傾斜角約為（）A. B.C. D.11．已知，，則的最小值為（）A. B.C. D.12．過點且與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為（）A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．點到直線的距離為_______.14．已知、分別為雙曲線的左、右焦點，為雙曲線右支上一點，滿足，直線與圓有公共點，則雙曲線的離心率的取值范圍是___________.15．已知O為坐標原點，拋物線C：的焦點為F，P為C上一點，PF與x軸垂直，Q為x軸上一點，且，若，則______.16．過拋物線的準線上任意一點做拋物線的切線，切點分別為，則A點到準線的距離與點到準線的距離之和的最小值為___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)圓的圓心為﹐直線l過點且與x軸不重合，直線l交圓于A，B兩點.過作的平行線交于點P.（1）求點P的軌跡方程；（2）設(shè)點P的軌跡為曲線E，直線l交E于M，N兩點，C在線段上運動，原點O關(guān)于C的對稱點為Q，求四邊形面積的取值范圍；18．（12分）已知三角形的內(nèi)角所對的邊分別為，且C為鈍角.（1）求cosA；（2）若，，求三角形的面積.19．（12分）已知拋物線C：，經(jīng)過的直線與拋物線C交于A，B兩點（1）求的值（其中為坐標原點）；（2）設(shè)F為拋物線C的焦點，直線為拋物線C的準線，直線是拋物線C的通徑所在的直線，過C上一點P（）（）作直線與拋物線相切，若直線與直線相交于點M，與直線相交于點N，證明：點P在拋物線C上移動時，恒為定值，并求出此定值20．（12分）在①；②，這兩個條件中任選一個，補充在下面問題中，然后解答補充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.21．（12分）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，動點M滿足（1）求動點M的軌跡方程；（2）若動點M在雙曲線C上，設(shè)雙曲線C的左支上有兩個不同的點P，Q，點，且，直線NQ與雙曲線C交于另一點B．證明：動直線PB經(jīng)過定點22．（10分）2021年7月29日，中國游泳隊獲得了女子米自由泳接力決賽冠軍并打破世界紀錄.受奧運精神的鼓舞，某游泳俱樂部組織100名游泳愛好者進行自由泳1500米測試，并記錄他們的時間（單位：分鐘），將所得數(shù)據(jù)分成5組：，，，，，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求出直方圖中m的值；（2）利用樣本估計總體的思想，估計這100位游泳愛好者1500米自由泳測試時間的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點值作代表）.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由等比數(shù)列的定義先求出公比，然后可解..【詳解】，得故選：A2、C【解析】對于A、B、D：取特殊值否定結(jié)論；對于C：利用作差法證明.【詳解】對于A：取符合已知條件，但是不成立.故A錯誤；對于B：取符合已知條件，但是，所以不成立.故B錯誤；對于C：因為，所以.故C正確；對于D：取符合已知條件，但是，所以不成立.故D錯誤；故選：C.3、B【解析】，∵數(shù)據(jù)的樣本中心點在線性回歸直線上，回歸方程中的為9.4，∴42=9．4×3．5+a，∴=9．1，∴線性回歸方程是y=9．4x+9．1，∴廣告費用為6萬元時銷售額為9．4×6+9．1=65．5考點：線性回歸方程4、D【解析】根據(jù)拋物線的定義及題意可知3x0=x0+,得出x0求得p，即可得答案【詳解】由題意，3x0=x0+，∴x0=∴∵p＞0，∴p=2.故選D【點睛】本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)．考查了考生對拋物線定義的掌握和靈活應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題5、C【解析】用檢驗法，由通項公式驗證是否符合數(shù)列各項，結(jié)合排除法可得【詳解】第一項為正數(shù)，BD中求出第一項均為負數(shù)，排除，而AC均滿足，A中，，排除A，C中滿足，，，故選：C6、C【解析】先根據(jù)，，成等差數(shù)列以及單調(diào)遞減，求出公比，再由即可求出，再根據(jù)等比數(shù)列通項公式以及前項和公式即可求出.【詳解】解：由，，成等差數(shù)列，得：，設(shè)的公比為，則，解得：或，又單調(diào)遞減，，，解得：，數(shù)列的通項公式為：，.故選：C7、C【解析】設(shè)，由拋物線的方程可得準線方程為，由拋物線的性質(zhì)到焦點的距離等于到準線的距離，求出，解出縱坐標，進而求出【詳解】由題意可得，解得，代入拋物線的方程，解得，所以的坐標，故選：C.8、B【解析】由平均數(shù)、極差及中位數(shù)的定義依次求解即可比較【詳解】，，故甲、乙的平均數(shù)相同，甲、乙的極差分別為，，故不同，甲、乙的中位數(shù)分別為，，故不同，故選：9、C【解析】設(shè)雙曲線的右焦點為M，作出圖形，根據(jù)雙曲線的定義可得，可得出，利用A、P、M三點共線時取得最小值即可得解.【詳解】∵是雙曲線的左焦點，∴，，，，設(shè)雙曲線的右焦點為M，則，由雙曲線的定義可得，則，所以，當且僅當A、P、M三點共線時，等號成立，因此，的最小值為9.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：利用雙曲線的定義求解線段和的最小值，有如下方法：（1）求解橢圓、雙曲線有關(guān)的線段長度和、差的最值，都可以通過相應(yīng)的圓錐曲線的定義分析問題；（2）圓外一點到圓上的點的距離的最值，可通過連接圓外的點與圓心來分析求解.10、C【解析】由五角星的內(nèi)角為，可知，又平分第三顆小星的一個角，過作軸平行線，則，即可求出直線的傾斜角.【詳解】都為五角星的中心點，平分第三顆小星的一個角，又五角星的內(nèi)角為，可知，過作軸平行線，則，所以直線的傾斜角為，故選：C【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線傾斜角，解題的關(guān)鍵是通過做輔助線找到直線的傾斜角，通過幾何關(guān)系求出傾斜角，考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】將代數(shù)式展開，然后利用基本不等式可求出該代數(shù)式的最小值.【詳解】，，由基本不等式得，當且僅當時，等號成立.因此，的最小值為.故選B.【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，在利用基本不等式時要注意“一正、二定、三相等”條件的成立，考查計算能力，屬于中等題.12、C【解析】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點的坐標，求出的值，即可的解.【詳解】設(shè)與雙曲線有相同漸近線的雙曲線方程為，代入點，得，解得，所以所求雙曲線方程為，即故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】應(yīng)用點線距離公式求點線距離.【詳解】由題設(shè)，點到距離為.故答案為：14、【解析】過點作于，過點作于，利用雙曲線的定義以及勾股定理可求得，由已知可得，可得出關(guān)于、的齊次不等式，結(jié)合可求得的取值范圍.【詳解】過點作于，過點作于，因為，所以，又因為，所以，故，又因為，且，所以，因此，所以，又因為直線與圓有公共點，所以，故，即，則，所以，又因為雙曲線的離心率，所以.故答案為：.15、3【解析】先求點坐標，再由已知得Q點坐標，由列方程得解.【詳解】拋物線：()的焦點，∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為，不妨設(shè)，因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側(cè)，又，，，因為，所以，，所以3故答案為：3.16、8【解析】設(shè)，，，，由可得，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得兩切線的方程，聯(lián)立求得點的坐標，再根到準線的距離轉(zhuǎn)化為到焦點的距離，三點共線時距離最小，進而求出最小值【詳解】解：設(shè)，，，，由可得，所以，所以直線，的方程分別為：，，聯(lián)立，解得，即，，又有在準線上，所以，所以，設(shè)直線的方程為：，代入拋物線的方程可得：，可得，所以可得，即直線恒過點，即直線恒過焦點，即直的方程為：，代入拋物線的方程：，，所以，點到準線的距離與點到準線的距離之和，所以當時，距離之和最小且為8，這時直線平行于軸故答案為：8三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）由得，，再由，可得的軌跡方程；（2）設(shè)四邊形的面積為，，設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程，利用韋達定理代入，整理后再利用函數(shù)單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】（1）圓的圓心為，因為，所以，因為，所以，又，且，，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】設(shè)四邊形面積為，則，可設(shè)直線的方程為，代入橢圓方程化簡得，>0恒成立.設(shè)，則，=，令，則，在上單調(diào)遞增，，即四邊形面積的取值范圍.18、（1）（2）【解析】（1）由正弦定理邊化角，可求得角的正弦，由同角關(guān)系結(jié)合條件可得答案.(2)由（1），由余弦定理，求出邊的長，進一步求得面積【小問1詳解】因為，由正弦定理得因，所以.因為角為鈍角，所以角為銳角，所以【小問2詳解】由(1)，由余弦定理，得，所以，解得或，不合題意舍去，故的面積為=19、（1）（2）證明見解析，定值為【解析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求得.（2）求得過點的拋物線的切線方程，由此求得兩點的坐標，通過化簡來證得為定值，并求得定值.【小問1詳解】依題意可知直線的斜率不為零，設(shè)直線的方程為，設(shè)，，消去并化簡得，所以，所以.小問2詳解】拋物線方程為，焦點坐標為，準線，通徑所在直線，在拋物線上，且，所以過點的拋物線的切線的斜率存在且不為零，設(shè)過點的切線方程為，由消去并化簡得，，將代入上式并化簡得，解得，所以切線方程為，令得，令得，，將代入上式并化簡得，所以為定值，且定值為.20、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運用正弦定理進行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進行化簡是關(guān)鍵.一般地，當?shù)仁街泻衋,b,c的關(guān)系式，且全為二次時，可利用余弦定理進行化簡；當含有內(nèi)角的正弦值及邊的關(guān)系，且為一次式時，可考慮采用正弦定理進行邊角互化.21、（1）（2）證明見解析【解析】（1）根據(jù)雙曲線的定義求得的值得雙曲線方程；（2）確定垂直于軸，設(shè)直線BP的方程為，設(shè)，，則，直線方程代入雙曲線方程，由相交求得范圍，由韋達定理，利用N、B、Q三點共線，且NQ斜率存在，由斜率相等得出的關(guān)系，代入韋達定理的結(jié)論可求得的值，從而得直線BP所過定點【小問1詳解】因為，所以，動點M的軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的