吉林省四平市公主嶺市第五高級中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題含解析

吉林省四平市公主嶺市第五高級中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．?dāng)?shù)列中，滿足，，設(shè)，則（）A. B.C. D.2．記不超過x的最大整數(shù)為，如，.已知數(shù)列的通項公式，則使的正整數(shù)n的最大值為（）A.5 B.6C.15 D.163．已知直線的方程為，則該直線的傾斜角為（）A. B.C. D.4．已知直線l：過橢圓的左焦點F，與橢圓在x軸上方的交點為P，Q為線段PF的中點，若，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.5．已知是雙曲線的左焦點，為右頂點，是雙曲線上的點，軸，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.6．直線關(guān)于直線對稱的直線方程為（）A. B.C. D.7．已知圓：的面積被直線平分，圓：，則圓與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交C.內(nèi)切 D.外切8．從某個角度觀察籃球（如圖甲），可以得到一個對稱的平面圖形，如圖乙所示，籃球的外輪廓為圓，將籃球表面的粘合線視為坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓的交點將圓的周長八等分，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.9．已知直線是圓的對稱軸，過點A作圓C的一條切線，切點為B，則|AB|=（）A.1 B.2C.4 D.810．甲、乙兩名射擊運動員進(jìn)行比賽，甲的中靶概率為0.8，乙的中靶概率為0.9，則兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為（）A.0.26 B.0.28C.0.72 D.0.9811．已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.12．如圖所示，用3種不同的顏色涂入圖中的矩形A，B，C中，要求相鄰的矩形不能使用同一種顏色，則不同的涂法有（）ABCA.3種 B.6種C.12種 D.27種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為函數(shù)，則__________14．橢圓與雙曲線有公共焦點，設(shè)橢圓與雙曲線在第一象限內(nèi)交于點，橢圓與雙曲線的離心率分別為為坐標(biāo)原點，，則的取值范圍是___________.15．設(shè)公差的等差數(shù)列的前項和為，已知，且，，成等比數(shù)列，則的最小值為______16．若命題“，不等式恒成立”為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)分別為橢圓的左右焦點，過的直線l與橢圓C相交于A，B兩點，直線的傾斜角為60度，到直線l的距離為（1）求橢圓C的焦距；（2）如果，求橢圓C的方程18．（12分）某種機械設(shè)備隨著使用年限的增加，它的使用功能逐漸減退，使用價值逐年減少，通常把它使用價值逐年減少的“量”換算成費用，稱之為“失效費”．某種機械設(shè)備的使用年限（單位：年）與失效費（單位：萬元）的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：使用年限（單位：年）1234567失效費（單位：萬元）2.903.303.604.404.805.205.90（1）由上表數(shù)據(jù)可知，可用線性回歸模型擬合與關(guān)系．請用相關(guān)系數(shù)加以說明；（精確到0.01）（2）求出關(guān)于的線性回歸方程，并估算該種機械設(shè)備使用8年的失效費參考公式：相關(guān)系數(shù)線性回歸方程中斜率和截距最小二乘估計計算公式：，參考數(shù)據(jù)：，，19．（12分）數(shù)列{}的首項為，且（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{}的前n項和20．（12分）已知集合，.（1）當(dāng)時，求AB；（2）設(shè)，，若是成立的充分不必要條件，求實數(shù)的取值范圍.21．（12分）已知A，B兩地相距200km，某船從A地逆水到B地，水速為8km/h，船在靜水中的速度為vkm/h（v＞8）．若船每小時的燃料費與其在靜水中速度的平方成正比，比例系數(shù)為k，當(dāng)v＝12km/h，每小時的燃料費為720元（1）求比例系數(shù)k（2）當(dāng)時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？（3）當(dāng)（x為大于8的常數(shù)）時，為了使全程燃料費最省，船的實際前進(jìn)速度應(yīng)為多少？22．（10分）記為等差數(shù)列的前項和，已知，.（1）求的通項公式；（2）求，并求的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】由遞推公式可歸納得，由此可以求出的值【詳解】因為，，所以，，，因此故選C【點睛】本題主要考查利用數(shù)列的遞推式求值和歸納推理思想的應(yīng)用，意在考查學(xué)生合情推理的意識和數(shù)學(xué)建模能力2、C【解析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，可求出的值，即可得到答案；【詳解】，，，，，，當(dāng)時，，使的正整數(shù)n的最大值為，故選：C3、D【解析】設(shè)直線傾斜角為，則，即可求出.【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，則，又因為，所以.故選：D.4、D【解析】由直線的傾斜角為，可得，結(jié)合，可推得是等邊三角形，可得，計算可得離心率【詳解】直線：過橢圓的左焦點，設(shè)橢圓的右焦點為，所以，又是的中點，是的中點，所以，又，所以，又，所以是等邊三角形，所以，又在橢圓上，所以，所以，所以離心率為，故選：5、C【解析】根據(jù)條件可得與，進(jìn)而可得，，的關(guān)系，可得解.【詳解】由已知得，設(shè)點，由軸，則，代入雙曲線方程可得，即，又，所以，即，整理可得，故，解得或（舍），故選：C.6、C【解析】先聯(lián)立方程得，再求得直線的點關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)題意得所求直線過點，，進(jìn)而得直線方程.【詳解】解：聯(lián)立方程得，即直線與直線的交點為設(shè)直線的點關(guān)于直線對稱點的坐標(biāo)為，所以，解得所以直線關(guān)于直線對稱的直線過點，所以所求直線方程的斜率為，所以所求直線的方程為，即故選：C7、D【解析】根據(jù)題意，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，由此求出兩圓的圓心和半徑，然后判斷兩個圓的位置關(guān)系即可【詳解】根據(jù)題意，圓：，即，其圓心為，半徑，圓：的面積被直線平分，即直線經(jīng)過圓的圓心，則有1?m＋1＝0，解可得m＝2，即所以圓的圓心（1，?1），半徑為1，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓心（?2，3），半徑為4，其圓心距，所以兩個圓外切，故選：D.8、B【解析】設(shè)出雙曲線方程，把雙曲線上的點的坐標(biāo)表示出來并代入到方程中，找到的關(guān)系即可求解.【詳解】以O(shè)為原點，AD所在直線為x軸建系，不妨設(shè)，則該雙曲線過點且，將點代入方程，故離心率為，故選：B【點睛】本題考查已知點在雙曲線上求雙曲線離心率的方法，屬于基礎(chǔ)題目9、C【解析】首先將圓心坐標(biāo)代入直線方程求出參數(shù)a，求得點A的坐標(biāo)，由切線與圓的位置關(guān)系構(gòu)造直角三角形從而求得.【詳解】圓即，圓心為，半徑為r=3，由題意可知過圓的圓心，則，解得，點A坐標(biāo)為，，切點為B則，故選:C【點睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】依據(jù)獨立事件同時發(fā)生的概率即可求得甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率.【詳解】記甲中靶為事件A，乙中靶為事件B，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶，包含甲中乙不中和甲不中乙中兩種情況，則甲乙兩人各射擊一次恰有一人中靶的概率為故選：A11、A【解析】由題目條件可得，即，然后利用復(fù)數(shù)的運算法則化簡.【詳解】因為，所以，則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運算，按照復(fù)數(shù)的運算法則化簡計算即可，較簡單.12、C【解析】根據(jù)給定信息，按用色多少分成兩類，再分類計算作答.【詳解】計算不同的涂色方法數(shù)有兩類辦法：用3種顏色，每個矩形涂一種顏色，有種方法，用2色，矩形A，C涂同色，有種方法，由分類加法計數(shù)原理得(種)，所以不同的涂法有12種.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)解析式，可求得解析式，代入數(shù)據(jù)，即可得答案.詳解】∵，∴，∴.故答案為：.14、【解析】根據(jù)橢圓和雙曲線得定義求得，再根據(jù)，可得，從而有，求出的范圍，根據(jù)，結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】解：設(shè)，則有，所以，即，又因為，所以，所以，即，則，由，得，所以，所以，則，由，得，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，取等號，因為，所以，所以，即，所以的取值范圍是.故答案為：.15、##0.4【解析】應(yīng)用等比中項的性質(zhì)及等差數(shù)列通項公式求公差d，進(jìn)而寫出等差數(shù)列的通項公式、前n項和公式，再求目標(biāo)式的最小值.【詳解】由題設(shè)，，則，整理得，又，解得，故，，所以，故當(dāng)時目標(biāo)式有最小值為.故答案為：16、【解析】，不等式恒成立，只要即可，利用基本不等式求出即可得出答案.【詳解】解：因為，不等式恒成立，只要即可，因為，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，所以，所以.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求得直線的方程，利用點到直線的距離列方程，由此求得，進(jìn)而求得焦距.（2）聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，化簡寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合來求得，從而求得橢圓的方程.【小問1詳解】依題意，直線的方程為，到的距離為，所以焦距.【小問2詳解】由，消去并化簡得，設(shè)，則，，，，，所以，，，，，，，，，所以，所以橢圓的方程為.18、（1）答案見解析；（2）；失效費為6.3萬元【解析】（1）根據(jù)相關(guān)系數(shù)公式計算出相關(guān)系數(shù)可得結(jié)果；（2）根據(jù)公式求出和可得關(guān)于的線性回歸方程，再代入可求出結(jié)果.【詳解】（1）由題意，知，，∴結(jié)合參考數(shù)據(jù)知：因為與的相關(guān)系數(shù)近似為0.99，所以與的線性相關(guān)程度相當(dāng)大，從而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系（2）∵，∴∴關(guān)于的線性回歸方程為，將代入線性回歸方程得萬元，∴估算該種機械設(shè)備使用8年的失效費為6.3萬元19、（1）證明見解析，；（2）.【解析】(1)利用給定的遞推公式變形，再利用等比數(shù)列定義直接判斷并求出通項得解.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項相消法計算作答.【小問1詳解】數(shù)列{}中，，則，由得：，所以數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則有，即，所以數(shù)列{}的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，，，則，所以數(shù)列{}的前n項和.20、（1）；（2）.【解析】（1）由，解得范圍，可得，由可得：，解得．即可得出（2）由，解得．根據(jù)是成立的必要條件，利用包含關(guān)系列不等式即可得出實數(shù)的取值范圍【詳解】（1）由，解得，可得：，可得：，化為：，解得，所以=.（2）q是p成立的充分不必要條件，所以集合B是集合A的真子集.由，解得，又集合A=，所以或解得0≤a≤2，即實數(shù)a的取值范圍是.【點睛】本題考查了簡易邏輯的判定方法、集合之間的關(guān)系、不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題21、（1）5（2）8km/h（3）答案見解析【解析】（1）列出關(guān)系式，根據(jù)當(dāng)v＝12km/h，每小時的燃料費為720元即可求解;（2）列出燃料費的函數(shù)解析式，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可；（3）討論x的范圍，結(jié)合（2）的結(jié)論可得答案.【小問1詳解】設(shè)每小時的燃料費為，則當(dāng)v＝12km/h，每小時的燃料費為720元，代入得.【小問2詳解】由（1）得.設(shè)全程燃料費為y，則（），所以,令，解得v＝0（舍去）或v＝16，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以當(dāng)v＝16時，y取得最小值，故為了使全程燃料費最省，船的實際前進(jìn)速度應(yīng)為8km/h【小問3詳解】由（2）得，若時，則y在區(qū)間上