2025屆福建師范大學大附屬中學高二上數(shù)學期末檢測模擬試題含解析

2025屆福建師范大學大附屬中學高二上數(shù)學期末檢測模擬試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知橢圓，則下列結論正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為2．已知等差數(shù)列的公差，是與的等比中項，則（）A. B.C. D.3．若在直線上，則直線的一個方向向量為（）A. B.C. D.4．如圖，在四面體中，，，兩兩垂直，已知，，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.5．命題“，都有”的否定為（）A.，使得 B.，使得C.，使得 D.，使得6．如圖，平行六面體中，與的交點為，設，則選項中與向量相等的是（）A. B.C. D.7．已知，則的大小關系為（）A. B.C. D.8．設是函數(shù)的導函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.9．已知數(shù)列的前n項和為，且對任意正整數(shù)n都有，若，則（）A.2019 B.2020C.2021 D.202210．拋物線的準線方程是，則實數(shù)的值為（）A. B.C.8 D.11．拋物線上有兩個點，焦點，已知，則線段的中點到軸的距離是（）A.1 B.C.2 D.12．幾何學史上有一個著名的米勒問題：“設點、是銳角的一邊上的兩點，試在邊上找一點，使得最大的．”如圖，其結論是：點為過、兩點且和射線相切的圓的切點．根據以上結論解決一下問題：在平面直角坐標系中，給定兩點，，點在軸上移動，當取最大值時，點的橫坐標是（）A.B.C.或D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．展開式中，各項系數(shù)之和為1，則實數(shù)_______．（用數(shù)字填寫答案）14．下圖是4個幾何體的展開圖，圖①是由4個邊長為3的正三角形組成；圖②是由四個邊長為3的正三角形和一個邊長為3的正方形組成；圖③是由8個邊長為3的正三角形組成；圖④是由6個邊長為3的正方形組成若直徑為4的球形容器（不計容器厚度）內有一幾何體，則該幾何體的展開圖可以是______（填所有正確結論的番號）15．已知點，拋物線的焦點為，點是拋物線上任意一點，則周長的最小值是__________.16．如果點在運動過程中，總滿足關系式，記滿足此條件的點M的軌跡為C，直線與C交于D，E，已知，則周長的最大值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某廠有4臺大型機器，在一個月中，一臺機器至多出現(xiàn)1次故障，出現(xiàn)故障時需1名工人進行維修，且每臺機器是否出現(xiàn)故障是相互獨立的，每臺機器出現(xiàn)故障的概率為（1）若出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，求X的分布列；（2）已知一名工人每月只有維修1臺機器的能力，每月需支付給每位工人1萬元的工資，每臺機器不出現(xiàn)故障或出現(xiàn)故障時能及時維修，都產生5萬元的利潤，否則將不產生利潤．若該廠在雇傭維修工人時，要保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%，雇傭幾名工人使該廠每月獲利最大？18．（12分）設函數(shù)（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍19．（12分）已知在數(shù)列中，，且.（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求的通項公式及前n項和.20．（12分）在2021年“雙11”網上購物節(jié)期間，某電商平臺銷售了一款新手機，現(xiàn)在該電商為調查這款手機使用后的“滿意度”，從購買了該款手機的顧客中抽取1000人，每人在規(guī)定區(qū)間內給出一個“滿意度”分數(shù)，評分在60分以下的視為“不滿意”，在60分到80分之間（含60分但不含80分）的視為“基本滿意”，在80分及以上的視為“非常滿意”.現(xiàn)將他們的評分按，，，，分成5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)和“滿意度”評分的中位數(shù)的估計值.（2）若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調查者中抽取20人，再從這20人中隨機抽取3人，記這3人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)為X.①寫出X的分布列，并求數(shù)學期望；②若被抽取的這3人中對該款手機“非常滿意”的被調查者將獲得100元話費補貼，其他被調查者將獲得50元話費補貼，請求出這3人將獲得的話費補貼總額的期望.21．（12分）已知正項數(shù)列的首項為，且滿足，（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）記，求數(shù)列的前n項和22．（10分）已知，其中.（1）若,求在處的切線方程；（2）若是函數(shù)的極小值點，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；（3）討論函數(shù)的單調性.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】根據已知條件求得，由此確定正確答案.【詳解】依題意橢圓，所以，所以長軸長為，焦距為，短軸長為，ABC選項錯誤.離心率為，D選項正確.故選：D2、C【解析】由等比中項的性質及等差數(shù)列通項公式可得即可求.【詳解】由，則，可得.故選：C.3、D【解析】由題意可得首先求出直線上的一個向量，即可得到它的一個方向向量，再利用平面向量共線（平行）的坐標表示即可得出答案【詳解】∵在直線上，∴直線的一個方向向量，又∵，∴是直線的一個方向向量故選：D4、D【解析】利用三線垂直建立空間直角坐標系，將線面角轉化為直線的方向向量和平面的法向量所成的角，再利用空間向量進行求解.【詳解】以，，所在直線為軸，軸，軸建立空間直角坐標系（如圖所示），則，，，，，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，，所以平面的一個法向量為；設直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.故選：D.5、A【解析】根據命題的否定的定義判斷【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題“，都有”的否定為：，使得故選：A6、B【解析】利用空間向量加減法、數(shù)乘的幾何意義，結合幾何體有，進而可知與向量相等的表達式.【詳解】連接，如下圖示：，.故選：B7、B【解析】構造利用導數(shù)判斷函數(shù)在上單調遞減，利用單調性比較大小【詳解】設恒成立，函數(shù)在上單調遞減，.故選：B8、C【解析】先由圖像分析出的正負，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間(0,2)上單調遞增，即當時,;當x∈(0,2)時,.因為可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C9、C【解析】先令代入中，求得，再根據遞推式得到，將與已知相減，可判斷數(shù)列是等比數(shù)列，進而確定，求得答案.【詳解】因為，令，則，又，故，即，故數(shù)列是等比數(shù)列，則，所以，所以，故選：C.10、B【解析】化簡方程為，求得拋物線的準線方程，列出方程，即可求解.【詳解】由拋物線，可得，所以，所以拋物線的準線方程為，因為拋物線的準線方程為，所以，解得.故選：B.11、B【解析】利用拋物線的定義，將拋物線上的點到焦點的距離轉化為點到準線的距離，即可求出線段中點的橫坐標，即得到答案.【詳解】由已知可得拋物線的準線方程為，設點的坐標分別為和，由拋物線的定義得，即，線段中點的橫坐標為，故線段的中點到軸的距離是.故選：.12、A【解析】根據米勒問題的結論，點應該為過點、的圓與軸的切點，設圓心的坐標為，寫出圓的方程，并將點、的坐標代入可求出點的橫坐標.【詳解】解：設圓心的坐標為，則圓的方程為，將點、的坐標代入圓的方程得，解得或（舍去），因此，點的橫坐標為，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】通過給二項式中的賦值1求出展開式的各項系數(shù)和，即可求出詳解】解：令，得各項系數(shù)之和為，解得故答案為：14、①【解析】根據幾何體展開圖可知①正四面體、②正四棱錐、③正八面體、④正方體，進而求其外接球半徑，并與4比較大小，即可確定答案.【詳解】若幾何體外接球球心為，半徑為，①由題設，幾何體為棱長為3的正四面體，為底面中心，則，，所以，可得，即，滿足要求；②由題設，幾何體為棱長為3的正四棱錐，為底面中心，則，所以，可得，即，不滿足要求；③由題設，幾何體為棱長為3的正八面體，其外接球直徑同棱長為3的正四棱錐，故不滿足要求；④由題設，幾何體為棱長為3的正方體，體對角線的長度即為外接球直徑，所以，不滿足要求；故答案為：①15、##【解析】利用拋物線的定義結合圖形即得.【詳解】拋物線的焦點為，準線的方程為，過點作，垂足為，則，所以的周長為，當且僅當三點共線時等號成立.故答案為：.16、8【解析】根據橢圓定義判斷出軌跡，分析條件結合橢圓定義可知當直線x=m過右焦點時，三角形ADE周長最大.【詳解】，到定點，的距離和等于常數(shù)，點軌跡C為橢圓，且故其方程為，則為左焦點，因為直線與C交于D，E，則，不妨設D在軸上方，E在軸下方，設橢圓右焦點為A'，連接DA'，EA'，因為DA'＋EA'≥DE，所以DA＋EA＋DA'＋EA'≥DA＋EA＋DE，即4a≥DA＋EA＋DE，所以△ADE的周長，當時取得最大值8，故答案為：8三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）答案見解析（2）雇傭3名【解析】（1）設出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，由題意知，即可由二項分布求解；（2）設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，先求出保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%需要至少3人，再分別計算3人，4人時的獲利即可得解.【小問1詳解】每臺機器運行是否出現(xiàn)故障看作一次實驗，在一次試驗中，機器出現(xiàn)故障的概率為，4臺機器相當于4次獨立試驗設出現(xiàn)故障的機器臺數(shù)為X，則，，，，，，則X的分布列為：X01234P【小問2詳解】設該廠雇傭n名工人，n可取0、1、2、3、4，設“在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修”的概率為，則：n01234P1∵，∴至少要3名工人，才能保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率不小于90%當該廠雇傭3名工人時，設該廠獲利為Y萬元，則Y的所有可能取值為17，12，，，∴Y的分布列為：Y1712P∴，∴該廠獲利的均值為16.9萬元當該廠雇傭4名工人時，4臺機器在任何時刻同時出現(xiàn)故障時能及時進行維修的概率為100%，該廠獲利的均值為萬元∴若該廠要保證在任何時刻多臺機器同時出現(xiàn)故障能及時進行維修的概率不小于90%時，雇傭3名工人使該廠每月獲利最大18、（1）的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為；（2）.【解析】（1）求出，進而判斷函數(shù)的單調性，然后討論符號后可得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）令，則有兩個不同的零點，利用導數(shù)討論的單調性并結合零點存在定理可得實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】當時，，，記，則，所以在上單調遞增，又，所以當時，；當時，，所以單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為【小問2詳解】令，得，記，則，令得，列表得．x0↘極小值↗要使在上有兩個零點，則，所以且函數(shù)在和上各有一個零點當時，，，，則，故上無零點，與函數(shù)在上有一個零點矛盾，故不滿足條件所以，又因為，所以考慮，設，，則，則在上單調遞減，故當時，，所以，且，因為，所以，由零點存在定理知在和上各有一個零點綜上可知，實數(shù)a的取值范圍為【點睛】方法點睛：利用導數(shù)研究零點問題：（1）確定零點的個數(shù)問題：可利用數(shù)形結合的辦法判斷交點個數(shù)，如果函數(shù)較為復雜，可用導數(shù)知識確定極值點和單調區(qū)間從而確定其大致圖象；（2）方程的有解問題就是判斷是否存在零點的問題，可參變分離，轉化為求函數(shù)的值域問題處理.可以通過構造函數(shù)的方法，把問題轉化為研究構造的函數(shù)的零點問題；（3）利用導數(shù)硏究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結合思想研究；③構造輔助函數(shù)硏究.19、（1），，證明見解析（2），【解析】（1）根據遞推關系求出，，對遞推公式變形，即可得證；（2）結合（1）求得通項公式，分組求和.【小問1詳解】因為，且所以，，∵，∴，∵，∴，且，∴數(shù)列是等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，即，即；.20、（1）65分（2）①分布列答案見解析，數(shù)學期望：；②172.5元【解析】（1）由圖可知中位數(shù)在第二組，則設中位數(shù)為，從而得，解方程可得答案，（2）①由題意可求得“不滿意”與“基本滿意”的用戶應抽取17人，“非常滿意”的用戶應抽取3人，則X的可能取值分別為0，1，2，3，然后求出對應的概率，從而可求得其分布列和期望，②設這3人獲得的話費補貼總額為Y，則，然后由①結合期望的性質可求得答案【小問1詳解】這1000人中對該款手機“非常滿意”的人數(shù)為.由頻率分布直方圖可得，得分的中位數(shù)為，則，解得，所以中位數(shù)為65分.【小問2詳解】①若按“滿意度”采用分層抽樣的方法從這1000名被調查者中抽取20人，則“不滿意”與“基本滿意”的用戶應抽取人，“非常滿意”的用戶應抽