2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章概率2.5第1課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值學(xué)案含解析北師大版選修2-3

PAGE§5離散型隨機(jī)變量的均值與方差第一課時(shí)離散型隨機(jī)變量的均值授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第41頁(yè)[自主梳理]一、離散型隨機(jī)變量的均值(或數(shù)學(xué)期望)1．定義若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為：Xx1x2…xnPp1p2…pn則定義X的均值為_(kāi)___________．X的均值也稱作X的________(簡(jiǎn)稱________)，它是一個(gè)數(shù)，記作EX.2．意義：刻畫離散型隨機(jī)變量取值的“________”．二、二項(xiàng)分布與超幾何分布的均值當(dāng)隨機(jī)變量聽(tīng)從參數(shù)為n，p的二項(xiàng)分布時(shí)，其均值為_(kāi)_______；當(dāng)隨機(jī)變量X聽(tīng)從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布時(shí)，它的均值EX＝________.三、離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)若η＝aξ＋b，其中a，b為常數(shù)，則P(η＝axi＋b)＝________，E(aξ＋b)＝________.特殊地：(1)a＝0時(shí)，Eb＝________，(2)當(dāng)a＝1時(shí)，E(ξ＋b)＝________.[雙基自測(cè)]1．已知隨機(jī)變量X的分布列為：X－101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)則X的均值是()A.eq\f(1,3) B．－eq\f(1,3)C.eq\f(2,3) D．－eq\f(2,3)2．若隨機(jī)變量ξ～B(n,0.6)，且Eξ＝3，則P(ξ＝1)的值是()A．2×0.44 B．2×0.45C．3×0.44 D．3×0.643．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,300)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))300－k(k＝0,1,2，…，300)，則EX＝______.[自主梳理]一、1.x1p1＋x2p2＋…＋xnpn數(shù)學(xué)期望期望2.中心位置二、npneq\f(M,N)三、P(ξ＝xi)aEξ＋bbEξ＋b[雙基自測(cè)]1．BEX＝(－1)×eq\f(1,2)＋0×eq\f(1,3)＋1×eq\f(1,6)＝－eq\f(1,3).2．C∵ξ～B(n,0.6)，Eξ＝3，∴0.6n＝3，即n＝5.故P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,5)×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44.3．100由P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,300)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))300－k，可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(300，\f(1,3)))，∴EX＝300×eq\f(1,3)＝100.授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第42頁(yè)探究一離散型隨機(jī)變量的均值[例1]已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X－2－1012Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)meq\f(1,20)(1)求EX；(2)若Y＝2X－3，寫出隨機(jī)變量Y的分布列并求EY.[解析](1)由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)，得eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋m＋eq\f(1,20)＝1，所以m＝eq\f(1,6)，∴EX＝(－2)×eq\f(1,4)＋(－1)×eq\f(1,3)＋0×eq\f(1,5)＋1×eq\f(1,6)＋2×eq\f(1,20)＝－eq\f(17,30).(2)解法一由公式E(aX＋b)＝aEX＋b，得EY＝E(2X－3)＝2EX－3＝2×(－eq\f(17,30))－3＝－eq\f(62,15).解法二由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：Y－7－5－3－11Peq\f(1,4)eq\f(1,3)eq\f(1,5)eq\f(1,6)eq\f(1,20)∴EY＝(－7)×eq\f(1,4)＋(－5)×eq\f(1,3)＋(－3)×eq\f(1,5)＋(－1)×eq\f(1,6)＋1×eq\f(1,20)＝－eq\f(62,15).求均值的方法和技巧求均值的關(guān)鍵是求出分布列，只要求出隨機(jī)變量的分布列，就可以套用均值的公式求解．對(duì)于aX＋b型隨機(jī)變量的均值，可以利用均值的性質(zhì)求解，當(dāng)然也可以先求出aX＋b的分布列，再用定義求解．1．設(shè)隨機(jī)變量X聽(tīng)從分布P(X＝k)＝eq\f(1,5)，k＝1,2,3,4,5，求E(X＋2)2.解析：∵EX＝1×eq\f(1,5)＋2×eq\f(1,5)＋3×eq\f(1,5)＋4×eq\f(1,5)＋5×eq\f(1,5)＝eq\f(15,5)＝3.EX2＝1×eq\f(1,5)＋22×eq\f(1,5)＋32×eq\f(1,5)＋42×eq\f(1,5)＋52×eq\f(1,5)＝11.∴E(X＋2)2＝E(X2＋4X＋4)＝EX2＋4EX＋4＝11＋12＋4＝27.探究二二項(xiàng)分布及超幾何分布的均值[例2]某學(xué)校要從5名男生和2名女生中選出2人作為上海世博會(huì)志愿者，若用隨機(jī)變量ξ表示選出的志愿者中女生的人數(shù)，則數(shù)學(xué)期望Eξ＝________(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)．[解析]解法一由題意知隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從參數(shù)為N＝7，M＝2，n＝2的超幾何分布．ξ的可能取值為0,1,2.因此P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,2)C\o\al(1,5),C\o\al(2,7))＝eq\f(10,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,21)，故ξ的分布列為：ξ＝k012P(ξ＝k)eq\f(10,21)eq\f(10,21)eq\f(1,21)從而數(shù)學(xué)期望Eξ＝0×eq\f(10,21)＋1×eq\f(10,21)＋2×eq\f(1,21)＝eq\f(4,7).解法二隨機(jī)變量ξ聽(tīng)從參數(shù)為N＝7，M＝2，n＝2的超幾何分布，干脆代入超幾何分布均值的計(jì)算公式可得Eξ＝neq\f(M,N)＝2×eq\f(2,7)＝eq\f(4,7).[答案]eq\f(4,7)超幾何分布和二項(xiàng)分布是兩種特殊的而且應(yīng)用相當(dāng)廣泛的分布列，解題時(shí)假如能發(fā)覺(jué)是這兩種分布模型，就可以干脆有規(guī)律地寫出分布列，求出期望值．2．“石頭、剪刀、布”是一種廣泛流傳于我國(guó)民間的古老嬉戲，其規(guī)則是用三種不同的手勢(shì)分別表示石頭、剪刀、布；兩個(gè)玩家同時(shí)出示各自手勢(shì)1次記為1次嬉戲，“石頭”勝“剪刀”，“剪刀”勝“布”，“布”勝“石頭”；雙方出示的手勢(shì)相同時(shí)，不分輸贏．現(xiàn)假設(shè)玩家甲、乙雙方在嬉戲時(shí)出示三種手勢(shì)是等可能的．(1)求在1次嬉戲中玩家甲勝玩家乙的概率；(2)若玩家甲、乙雙方共進(jìn)行了3次嬉戲，其中玩家甲勝玩家乙的次數(shù)記作隨機(jī)變量X，求X的分布列及其期望．解析：(1)玩家甲、乙雙方在1次嬉戲中出示手勢(shì)的全部可能結(jié)果是(石頭，石頭)，(石頭，剪刀)，(石頭，布)，(剪刀，石頭)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9個(gè)基本領(lǐng)件．玩家甲勝玩家乙的基本領(lǐng)件分別是(石頭，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石頭)，共有3個(gè)．所以，在1次嬉戲中玩家甲勝玩家乙的概率P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).(2)X的可能取值分別為0,1,2,3.P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)·(eq\f(2,3))3＝eq\f(8,27)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·(eq\f(1,3))1·(eq\f(2,3))2＝eq\f(12,27)＝eq\f(4,9)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(1,3))2·(eq\f(2,3))1＝eq\f(6,27)＝eq\f(2,9)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)·(eq\f(1,3))3＝eq\f(1,27).X的分布列如下：X0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)EX＝0×eq\f(8,27)＋1×eq\f(4,9)＋2×eq\f(2,9)＋3×eq\f(1,27)＝1(或X～B(3，eq\f(1,3))，EX＝np＝3×eq\f(1,3)＝1)．探究三均值的實(shí)際應(yīng)用[例3]現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶．某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為eq\f(3,4)，命中得1分，沒(méi)有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為eq\f(2,3)，每命中一次得2分，沒(méi)有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊．(1)求該射手恰好命中一次的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.[解析](1)P＝eq\f(3,4)·(eq\f(1,3))2＋eq\f(1,4)·Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(7,36).(2)X＝0,1,2,3,4,5，P(X＝0)＝eq\f(1,4)·(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,36)；P(X＝1)＝eq\f(3,4)·(eq\f(1,3))2＝eq\f(1,12)；P(X＝2)＝eq\f(1,4)Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)；P(X＝3)＝eq\f(3,4)Ceq\o\al(1,2)·eq\f(1,3)·eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)；P(X＝4)＝eq\f(1,4)·(eq\f(2,3))2＝eq\f(1,9)；P(X＝5)＝eq\f(3,4)·(eq\f(2,3))2＝eq\f(1,3).X的分布列為：X012345Peq\f(1,36)eq\f(1,12)eq\f(1,9)eq\f(1,3)eq\f(1,9)eq\f(1,3)EX＝0×eq\f(1,36)＋1×eq\f(1,12)＋2×eq\f(1,9)＋3×eq\f(1,3)＋4×eq\f(1,9)＋5×eq\f(1,3)＝eq\f(41,12).3．兩名戰(zhàn)士在一次射擊競(jìng)賽中，戰(zhàn)士甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4,0.1,0.5；戰(zhàn)士乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1,0.6,0.3，那么兩名戰(zhàn)士獲勝希望較大的是誰(shuí)？解析：設(shè)這次射擊競(jìng)賽戰(zhàn)士甲得X1分，戰(zhàn)士乙得X2分，則概率分布分別如下：X1123P0.40.10.5X2123P0.10.60.3依據(jù)均值公式得EX1＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；EX2＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.EX2>EX1，故這次射擊競(jìng)賽戰(zhàn)士乙得分的均值較大，所以乙獲勝希望大．計(jì)算均值時(shí)因?qū)戝e(cuò)分布列致誤[典例]一射手對(duì)靶射擊，直到第一次命中為止，每次命中的概率為0.6，現(xiàn)有4顆子彈，則剩余子彈數(shù)目X的期望為_(kāi)_______．[解析]X的可能取值為3,2,1,0，P(X＝3)＝0.6；P(X＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P(X＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P(X＝0)＝0.43＝0.064；所以EX＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376.[答案]2.376[錯(cuò)因與防范]1.解答本題易得期望值為2.28或2.4的錯(cuò)誤結(jié)論，錯(cuò)因是審題不細(xì)，導(dǎo)致在解此題時(shí)誤認(rèn)為是求“命中子彈數(shù)目X的期望”而不是剩余子彈數(shù)目的期望，或根本沒(méi)有留意到條件“直到第一次命中為止”．2．防范措施：(1)留意題設(shè)信息的提?。侠矸治鲱}設(shè)信息可以避開(kāi)因?qū)忣}帶來(lái)的不必要的失誤．如本例中的條件及待求問(wèn)題都須要細(xì)致研讀．(2)留意學(xué)問(wèn)間的辨析．二項(xiàng)分布的特征是事務(wù)的相互獨(dú)立性，彼此之間無(wú)任何制約關(guān)系，而本例中條件“直到第一次命中為止”說(shuō)明白隨機(jī)變量并非聽(tīng)從二項(xiàng)分布．體育課進(jìn)行籃球投籃達(dá)標(biāo)測(cè)試，規(guī)定：每位同學(xué)有5次投籃機(jī)會(huì)，若投中3次則“達(dá)標(biāo)”；為節(jié)約測(cè)試時(shí)間，同時(shí)規(guī)定：若投籃不到5次已達(dá)標(biāo)，則停止投籃；若后面投籃全中，也不能達(dá)標(biāo)(例如前3次都未投中等情形)，則停止投籃．同學(xué)甲投籃命中率為eq\f(2,3)，且每次投籃互不影響．(1)求同學(xué)甲恰好投4次達(dá)標(biāo)的概率；(2)設(shè)測(cè)試中甲投籃次數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望EX.解析：(1)甲同學(xué)恰好投4次達(dá)標(biāo)的概率P＝Ceq\o\al(2,3)(eq\f(2,3))3·eq\f(1,3)＝eq\f(8,27).(2)