41微分中值定理

第四章中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件一、羅爾(Rolle)定理§4-1微分中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第四章四、洛必達(dá)（L’Hospital)法則經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件一、羅爾(Rolle)定理例如,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件幾何解釋:經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件注意:若羅爾定理的三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,其結(jié)論可能不成立.例如,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例1

判斷函數(shù)在閉區(qū)間上是否滿足羅爾定理，如果滿足則求出滿足定理的解（1）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)；（2）在閉區(qū)間上有意義，即在內(nèi)可導(dǎo)；（3）.所以，函數(shù)在上滿足羅爾定理.令，解得.即存在一點(diǎn)，使.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件3.1微分中值定理練習(xí)驗(yàn)證羅爾中值定理對(duì)函數(shù)，在區(qū)間上的正確性。并求出羅爾定理結(jié)論中的。解：因?yàn)槭浅醯群瘮?shù)，所以在上連續(xù)；在又因?yàn)?，所以?nèi)可導(dǎo)；而所以滿足定理的條件。且f

(x)=3x2+6x，所以有以下等式：

.因?yàn)閤=0不在開區(qū)間(-3,0)內(nèi).故舍去.解得所以，取，使得經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件練習(xí)證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例2

不用求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷方程有幾個(gè)實(shí)根，并指出它們所在的區(qū)間.解

在，上滿足羅爾定理的條件.

，

使得因此在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，

所以是的一個(gè)實(shí)數(shù)根.

，使又因?yàn)樵趦?nèi)至少存在一點(diǎn)，所以是的又一個(gè)實(shí)數(shù)根.而是一個(gè)一元二次方程，

最多只能有兩個(gè)實(shí)根.所以有兩個(gè)實(shí)根，它們分別在區(qū)間

及內(nèi).經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件二、拉格朗日(Lagrange)中值定理經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件幾何解釋:證分析:弦AB方程為經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.微分中值定理經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件3.1微分中值定理問函數(shù)f(x)=x3

–3x在[0,2]

滿足拉格朗日定理的條件嗎？如果滿足請(qǐng)寫出其結(jié)論.練習(xí)解：顯然f(x)在[0,2]上連續(xù)；在(0,2)內(nèi)可導(dǎo)；定理?xiàng)l件滿足。且f

(x)=3x2

–3，所以有以下等式：

由于f(2)=2，f(0)=0，f

(x)=3x

2

–3，將這些值代入，可解得是在開區(qū)間(0,2)內(nèi)的，為所求結(jié)論.顯然經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例4證由上式得經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件推論1推論2經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例證經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件三、柯西(Cauchy)中值定理經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件幾何解釋:經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件小結(jié)Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件費(fèi)馬(1601–1665)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他是一位律師,數(shù)學(xué)只是他的業(yè)余愛好.他興趣廣泛,博覽群書并善于思考,在數(shù)學(xué)上有許多重大貢獻(xiàn).他特別愛好數(shù)論,他提出的費(fèi)馬大定理:至今尚未得到普遍的證明.他還是微積分學(xué)的先驅(qū),費(fèi)馬引理是后人從他研究最大值與最小值的方法中提煉出來的.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來,數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫的《分析教程》,《無窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影他是經(jīng)典分析的奠人之一,他為微積分所奠定的基礎(chǔ)推動(dòng)了分析的發(fā)展.復(fù)變函數(shù)和微分方程方面.一生發(fā)表論文800余篇,著書7本,經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件三、其他未定式二、型未定式一、型未定式四、洛必達(dá)法則經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件微分中值定理函數(shù)的性態(tài)導(dǎo)數(shù)的性態(tài)函數(shù)之商的極限導(dǎo)數(shù)之商的極限

轉(zhuǎn)化(或型)本節(jié)研究:洛必達(dá)法則經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件一、存在(或?yàn)?定理4.1.4型未定式(洛必達(dá)法則Ⅰ

)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件(

在x,a

之間)證:無妨假設(shè)在指出的鄰域內(nèi)任取則在以x,a

為端點(diǎn)的區(qū)間上滿足柯故定理?xiàng)l件:西定理?xiàng)l件,存在(或?yàn)?經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件推論1.定理1中換為之一,推論2.若理1條件,則條件2)作相應(yīng)的修改,定理1仍然成立.洛必達(dá)法則經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例5

求.解

(型)例6

求.解

經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例7

求解

此式不存在，也不是無窮大，故羅必塔法則Ⅰ失效.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件練習(xí)1.

求解:原式注意:

不是未定式不能用洛必達(dá)法則!經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件練習(xí)2.

求解:原式思考:

如何求(n

為正整數(shù))?經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件二、型未定式存在(或?yàn)椤?定理4.1.5(洛必達(dá)法則Ⅱ

)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件說明:

定理中換為之一,條件2)作相應(yīng)的修改,定理仍然成立.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例8.

求解:原式例9

求

解:原式經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例10求

解

原式不存在，也不是無窮大，所以羅必塔法則Ⅱ失效.原式經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例11.

求解:注意到～原式經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件三、其他未定式:解決方法:通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例12求解:

原式經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件解:

原式通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化例13求經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例14.

求通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化解:

原式因?yàn)樗越?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例15.

求解:

利用例12通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件例16.

求通分轉(zhuǎn)化取倒數(shù)轉(zhuǎn)化取對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化解:

原式因?yàn)樗越?jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件內(nèi)容小結(jié)洛必達(dá)法則令取對(duì)數(shù)經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件思考與練習(xí)1.

設(shè)是未定式極限,如果不存在,是否的極限也不存在?舉例說明.極限原式～分析:2.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件分析:3.原式～～經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》配套課件洛必