圓的方程（七大考點）

圓的方程

學習標

,能根據(jù)所給條件求圓的標準方程.

2.理解圓的一般方程及其特點，掌握圓的一般方程和標準方程的互化.

3.掌握點與圓的位置關系并能解決相關問題.

4.會求圓的一般方程以及與圓有關的簡單的軌跡方程

口考點預釐

考點01圓的標準方程

r~

；考點。2圓的一般方程

考點03二元二次方程與圓

圓

的

考點04點與圓的位置關系

方

程考點05圓的對稱問題

考息她與圓有關的筑跡問翹

考點。7距離的最值（范圍）

一、圓的標準方程

1.圓的定義：圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合.

2.圓的標準方程：我們把方程"-〃）2+（?-8）2二/2稱為圓心為（4,6）,半徑為「的圓的標準方程.

3.幾種特殊位置的圓的標準方程

條件方程形式

過原點(x-a^+[y-b)'=a2+b2

22。

圓心在原點廠=r

(x-a)2+_y2=r2

圓心在X軸上

22

圓心在y軸上x十(y-8J=r

(x-a)2+y2=-

圓心在X軸上且過原點a

222

圓心在y軸上且過原點x+(y-h)=b

(x-tz)2+(y-/))2=Z>2

與X軸相切

2

與y軸相切(x-tz)+(y-6)2=力

二、點與圓的位置關系

點”（飛,打）與圓（工一〃）2+。一8）2=/的位置關系：

⑴點M（Xo，y（））在圓外0（/-。）2+（%一6）2>廣2；

⑵點”（》0，乂,）在圓上0（/一〃）2+（%-6）2=r2.

：3）點在圓內(nèi)=（%-〃）2+（凡一方）2<r2.

三、圓上的點到定點的最大、最小距離

設圓心C到定點力的距離為d,圓的半徑為，?，圓上的動點為產(chǎn)：

⑴若點/在圓外，則|尸川max=""，l尸川mm=df；

：2）若點4在圓上，則I尸川max=2〃尸川min=°；

3）若點力在圓內(nèi)，則|尸川a=d+LP*min=『一"?

綜上,|PA|max=4+廠,|PZ|min=1d一川.

四、圓的一般方程

1.圓的一般方程

當D2+E2-4F>0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示一個圓.我們把方程

/+/+6+&+/=（）叫做圓的一般方程.

2.對方程/十;；2+瓜+劭+/=。的說明

對方程/+/+5+&+=配方得jx+21+心+g]=DE2-4F加+爐一4尸與

/?（）、O

\2[24

的大小關系對方程/+/+6+4+/=o圖形的影響如下表:

條件圖形

D2+￡2-4F<0不表示任何圖形

表示一個點卜?，一9

D2+E2-4F=0

D2+￡12-4F>0表示以|一二~、一二為圓心，以一J。？+E.-4/為半徑的圓

122)2

考點剖析

考點01圓的標準方程

1.圓心坐標為(-2,1),并經(jīng)過點4(2,-2),則圓的標準方程為()

A.(x-2)2+(^-l)2=5B.(X+2)2+(^-1)2=5

C.(x+2)2+(.y+l)2=25D.(x+2)2+(^-l)2=25

【答案】D

【分析】假設圓的標準方程，代入點A坐標即可得到結果.

【詳解】由題意可設圓的標準方程為：(,v+2)2+(y-l)2=r2,

,產(chǎn)=(2+2)?+(-2-U=25,?圓的標準方程為：(x+2)2+(y-l)2=25.

故選：D.

2.(多選)若圓上的點(2,1)關于直線x+y=O的對稱點仍在圓上，且圓的半徑為石，則圓的標準方程可能

是()

A.x2+y2=5B.(^-1)2+/=5C.x2+(^+l)2=5D.(x-1)2+(y+l)2=5

【答案】AD

【分析】由題意可知圓心在直線x+y=0上，設圓心坐標為S，-a),由(2-a『+(l+a)2=5求得。=0或。=1,

再根據(jù)圓的標準方程即可求解.

【詳解】???圓上的點(2,1)關于宣線x+y=O的對稱點仍在圓上，，圓心在直線x+y=O上.

設圓心坐標為(。,一。)，則由(2-々J+(1+白)2=5,解得q=o或〃=1,

???圓的標準方程為(x—1)2+(y+l)2=5或9+爐=5.

故選：AD.

3.已知點工(-2,1),Z?(O,-3),則以線段/IS為直徑的圓的方程為.

【答案】(x+l)2+(y+l)2=5

【分析】求出圓心坐標和半徑可得答案.

【詳解】圓心坐標為(T—1)，/="+16=26

以線段48為直徑的圓的方程為(x+if+(y+1)2=5.

故答案為：(X+if+3+17=5.

4.圓(工+4+⑶一百『二/①工。)的圓心為,半徑長為.

【答案】(-1,x/3)|。|

【分析】由圓的標準方程即可得解.

【詳解】由圓的標準方程知，圓心為(-1,5)，半徑，=|。|.

故答案為：(一1,6),|。|.

5.已知圓。的圓心在y軸上，且經(jīng)過力(4,4),8(-4,0)兩點，求圓。的標準方程.

【答案】k+&-2)2=20.

【分析】根據(jù)給定條件，求出線段43的中垂線與y軸的交點坐標，即可求解作答.

【詳解】點44,4),伙-4,0),則線段18的中點坐標為(0,2),顯然線段48的中垂線過點(0,2),

BVor/n

而點(0,2)在軸上，因此圓C的圓心坐標為(0,2),半徑、=|8。|="2+2?=26,

所以圓C的標準方程為x2+(y-2)2=20.

6.“8C的三個頂點的坐標分別為力(1,0),8(3,0),C(3,4),求的外接圓的方程.

【答案】(x-2y+(j，-2)2=5

【分析】利用待定系數(shù)法或幾何法求解即可.

【詳解】解法一(待定系數(shù)法)

設所求圓的標準方程為(X-。)2+(尸6)2=/,

2

+/=r,4=2,

則,(3-4)2+從=/，解得.6=2,

(3-a)2+(4-Z>)2=r2,r=JJ,

所以外接圓的方程為(X-2)2+("2)2=5.

解法二(幾何法)

\AB\=2]BC\=^\AC\=J(37)2+。―0)2=2瓦

易知，是直角三角形，￡)8=90°,

所以圓心是斜邊4C的中點(2,2),半徑是斜邊長的一半，即〃=石,

所以外接圓的方程為(x-2)2+("2)2=5.

7.求滿足下列條件的圓的標準方程：

⑴經(jīng)過點尸(5,1),圓心為點。(8,-3)；

(2)經(jīng)過點尸(4,2),。(-6,-2),且圓心在y軸上.

【答案】⑴(x-8)2+(y+3『=25

【分析】(1)求出|。尸|即圓的半徑，再根據(jù)圓心坐標，即可得到圓的方程；

(2)利用待定系數(shù)法即可求解.

【詳解】(1)圓的半徑長為r=|C尸|=J(5-8>+(1+3>=5，圓心為點。(8,-3),

所以圓的方程為(x-8)2+(y+3『=25.

（2）設所求圓的方程是/+（丁-?2=產(chǎn),

因為點P,。在所求圓上，依題意得

145

16+{2-牙=/,丁，

136+(-2-6)2=/,解符

考點02圓的一般方程

8.若圓爐+/一2x-4y=0的圓心到直線x-y+a=O的距離為立，則實數(shù)”的值為（）

2

A.0或2B.0或-2

C.0或gD.-2或2

【答案】A

【分析】將圓的方程化為標準方程得出圓心2）,進而表示出圓心到直線的距離，結合已知條件，列出

關系式，求解即可得出答案.

【詳解】將圓的方程化為標準方程為：（x-l『+（y-2）2=5,

所以，圓心為C（l,2）,半徑一石.

因為圓心C。,2）到直線的距離為冬

所以，吐消=孚，g|J|a-l|=l,

V2211

所以0-1=±1,所以。=0或a=2.

故選：A.

9.過坐標原點，且在x軸和y軸上的截距分別為2和3的圓的方程為（）

A.x2+y2-2x-3y=OB.x2+y2+2x-3y=Q

C.x2+y2-2x+3y=0D.x2+y2+2x+3y=0

【答案】A

【分析】利用待定系數(shù)法設出圓的一般方程，將三個點的坐標代入得到方程組，求出圓的方程.

【詳解】設圓的方程為/+步+m+砂+產(chǎn)=0,（a+6-4尸＞0）,

由題意知,圓過點(0,0),(2,0)和(0,3),

F=0D=-2

所以4+20+尸=0,解得，E=-3,

9+3E+產(chǎn)=0F=O

所以所求圓的方程為2x-3y=0.

故選：A

10.過三點力(4,—2),80,4)的圓的一般方程為()

A.x2+y2+lx-3y+2=0B.x2+y2+7x+3,y+2=0

C.x?+/-7工+3丁+2=0D.x2+y2-7x-31y+2=0

【答案】D

【分析】設出圓的一般方程，代入點坐標，計算得到答案.

【詳解】設圓的方程為丁+/+6+切+尸=0,將4B,C三點的坐標代入方程,

D-E+F=-2。=-7

整理可得?Z)+4E+F=-17解得.￡=-3,

4O—2E+/=一20F=2

故所求的圓的一般方程為/十9一7、一3尸2=0,

故選：D.

11.已知圓C:x2+_/+2x-4y+a=0的半徑為3,則。=.

【答案】-4

【分析】化簡圓的方程為圓的標準方程，根據(jù)題意列出方程，即可求解.

【詳解】將圓(7:/+/+2%一4曠+〃=0的方程轉化為(x+1)?+(卜一2『=5—a,

因為圓C的半徑為3,所以5-。=9,即。=T.

故答案為：—4.

12.若/是經(jīng)過點P(T0)和圓.丫2+步+4工一2乃3=0的圓心的直線，則/在y軸上的截距是

【答案】-1

【分析】將圓的方程化為標準方程得出圓心，進而根據(jù)直線的兩點式方程，化簡即可得出答案.

【詳解】將圓化為標準方程可得，(x+2)：+(y-1)2=2,所以圓心為。(-2,1)

代入直線/的兩點式方程匕==？=2,整理可得尸7-1.

x+11+1

所以，/在V軸上的截距是-1.

故答案為：-1.

13.圓心在》軸上，經(jīng)過點(3,1)且與x軸相切的圓的方程是.

【答案】F+y270y=0

【分析】先設出圓的標準方程，再利用條件建立方程求出參數(shù)即可求出結果.

【詳解】由題意，設圓的方程為』+3+。)2=42,因為圓經(jīng)過點(3,1),

所以把點(3,1)代入圓的方程，得33+(l+a)2j2,整理得2〃=-10,???。=—5,

所以圓的方程為爐+0-5)2=(-5>,即d+y2Toy=0,

故答案為：x2+y2-\0y=0.

14.已知4(1,2),8(0,1),C(7,-6),Q(4,3),判斷這四點是否在同一個圓上.

【答案】4B,C,。四點在同一個圓上

【分析】方法一：根據(jù)題意可知：A,B,C三點不共線，利用圓的一般方程求過4,B,C三點的圓的方程,

代入點0(4,3)檢驗即可：方法二：根據(jù)題意可知48/8C,則力C是過4B,C三點的圓的直徑，進而可

得圓心加(4,-2)和半徑；|4。|=5,進而求|DM|檢驗即可.

【詳解】方法一：線段48,8C的斜率分別是3=1，⑥c=7,得工原c，即4，B,C三點不共線，

設4B,C三點的圓的方程為/+/+6+切+/=(),

O+2E+廠+5=0p=-8

因為人B,C三點在圓上，所以?￡+產(chǎn)+1=0,解得<E=4,

7O-6E+產(chǎn)+85=0[F=-5

所以過48,。三點的圓的方程為x2+yJ以+4y-5=0,

將點D的坐標(4,3)代入圓的方程得4?+3?-8x4+4x3-5=0，即點D在圓上，

故4,B,C,。四點在同一個圓上.

方法二：因為KsxZscU'j_rxT-=一1,則_Z8C.

所以4C是過4,B,。三點的圓的直徑，故圓的半徑為：yq=J(l_7)2+(2+6)2=5,

可知線段AC的中點“(4,一2)即為圓心，則|DM|=,(4-4)2+(3+2)2=5=14cl,

可得點。在圓M上，所以4B,C,。四點在同一個圓上.

考點03二元二次方程與圓

15."a＜1”是“方程2/+2y2+2ax+6y+5。=0表示圓”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【分析】根據(jù)二元二次方程/+V+Ox+⑶+尸=0表示圓的充要條件是。?+￡一4/＞0可得答案.

【詳解】因為方程2/+2/+2。4+6歹+5口=0,即x2+/+ax+3y+等=0表示圓，

等價于/+9-10。＞（），解得。＞9或a＜I.

故“a＜1”是“方程2/+2/+2QX+6y+5。=0表示圓”的充分不必要條件.

故選：A

16.（多選）已知方程/+/+2彳一〃?=0,下列敘述正確的是（）

A.方程表示的是圓

B.方程表示的圓的圓心在x軸上

C.方程表示的圓的圓心在歹軸上

D.當加=0時，方程表示以（-1,0）為圓心，半徑為1的圓

【答案】BD

【分析】根據(jù)圓的一般方程的條件，對各個選項進行逐一判斷.

【詳解】對于選項A：因為0=2,￡=0,F=-m,

由方程表示圓的條件得。2+七2一4戶＞o,即22-02-4（_加）＞0,解得機＞7,

所以只自當時才表示圓，故A錯誤；

DE

對于選項B、C：因為一人=-1,--=0,

22

若方程表示圓，圓心坐標為C（-L0）,圓心在x軸上，故B正確，C錯誤；

對于選項D：當m=0時，半徑，4=7二LJF壽二W=l,故D正確；

22

故選：BD.

17.（多選）已知曲線C:4t2+3y2+ox+階+尸=。（）

A.若4=8=1,則。是圓

B.若A=BrO,D2+E2-4AF>0,貝IJC是圓

C.若4=8=0,D2+￡：2>0,則C是直線

D.若5=0.則。是直線

【答案】BC

【分析】根據(jù)圓的一般方程對選項一一判斷即可.

【詳解】對于A,當4=6=1時，C:x2+y2+Dx+Ey+F=0,

若。2+尸_4戶>0,則C是圓；

若+E?_4尸=0,則C是點(一,，一J卜

若。2+爐_4"<0，則C不存在.故A錯誤.

對于B,當4=8工0時，C:Ar+Ay2+Dx+￡>+F=0,且加十爐一工廠>0,

則C是圓，故B正確.

對于C,當N=8=0時，。:①+￡>+尸=0,且。2+七2>。，則。是宜線，故c正確.

對于D,當8=0時，C://+5+￡)，+尸=0,

若E=0,則C:4/+Ox+/=0表示一元二次方程，

若EHO,則C:4c2+6+切+尸=0表示拋物線，故D錯誤.

故選：BC

18.若2/+("/+，9/+27nx+m=0表示圓，則實數(shù)機的值為.

【答案】-2

【分析】依題意可得川+〃?=2,解得〃?，再代入檢驗.

【詳解】因為2/+(加2+〃。，2+26x+m=o表示圓，所以〃/+桃=2,

解得m=1或/H=-2,

當m=1時方程2/+2/+2彳+1=0,即(H+；j+y2=_；,不表示任何圖形，故舍去；

當m=-2時方程2/+2歹2一4》-2=0,HP(x-1)2+/=2,表示以(1,0)為圓心，血為半徑的圓，符合題意；

故答案為：-2

19.已知關于x,y的二元二次方程/+>/-2?+3卜+2(1-42卜+1&4+9=。，當f為時，方程表

示的圓的半徑最大.

【答案】|

2

【分析】變換得到0-(/+3)了+［尸0-4制2=一7『+&+1,得到-*<1,r=-7p-|y+y,得到

答案.

［詳解］x2+y2-2(t+3)x+2(\-4t2}+⑹4+9=0

BP［x-(/+3)J+［y+(l-4r2)J=(f+3?dI，)2-161-9=7/+6/+1，

一7/+6/+1>0,解得一

設圓的半徑為r,則r2=-It2+6/+1=-7^-|y+^,

所以當f亨信』時,心小所以“孚.

故答案為：y.

20.已知m為實數(shù)，方程(m+2)x2+m2y2+8x+4y+5〃?=0表示圓，則實數(shù)陽的值為.

【答案】-1

【分析】先依據(jù)題給條件列出關于實數(shù)m的方程，解之即可求得實數(shù)m的值

【詳解】?/(w+2)x2+m2y4-8x+4y+5m=0表示圓，

Am+2=m2??n=-l,m=2,

當帆=-1時，原方程化為V+/+8x+4y-5=0

即：卜+4)2+(尸2)2=25,符合題意，

當陽=2時，原方程化為/+產(chǎn)+微+>李=0

即：n+iy+(y+；J=—；,不是圓的方程，???〃?=2不合題意，

故答案為：-1

21.下列方程是否表示圓，若表示圓，寫出圓心坐標和半徑.

(1)2寸+/一7曠+5=0；

(2)x2-xy+y2+6r+7j=0:

(3)X2+/-X=0；

(4)x2-i-y2+2ax+a2=0("0).

【答案】(1)方程不表示圓

(2)方程不表示圓

(3)方程表示圓，圓心坐標為(g,0),半徑3

(4)方程不表示圓

【分析】根據(jù)圓的一般方程的條件，對各個題進行逐一判斷.

【詳解】(1)2/+72-77+5=0中f與丁的系數(shù)不相同，故原方程不表示圓.

(2)一個+,2+&+7y=0中含有V項，故原方程不表示圓.

(3)方法一：因為。2十七2_4尸所以方程表示圓，

所以圓心坐標為［-g),即半徑尸=；'析2+￡2-4.=3；

方法二：方程/+/—X=o可化為+V=(；］,

所以方程表示以(3,0)為圓心，：為半徑的圓.

(4)因為0=2。，E=0,尸=/,則加+爐一4尸=4/一4/=0，

所以方程不表示圓.

考點04點與圓的位置關系

22.若點(2,1)在圓/+/一工+》+。=0的外部，則。的取值范圍是()

【答案】C

【分析】利用表示圓的條件和點和圓的位置關系進行計算.

【詳解】依題意，方程/+R2一工+丁+〃=0可以表示圓，則(一仔+/_而>(),得

由點(2,1)在圓/-x+y+a=0的外部可知：2?+F一2+1+a>0,得a>-4.

故-4<"L

2

故選：C

23.若點(1,1)在圓/+/+丫+e+1=0內(nèi)，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】(F,-4)

【分析】由關于x，N的二次方程表示圓可得百或a<-石，又由點（U）在圓內(nèi)可得〃<-4,取交集即可.

【詳解】解：由題可知「+/一4xl>0,

解得石或”-百，

又因為點（1,1）在圓內(nèi)，所以F+F+i+a+ivO，

解得。<-4.

所以實數(shù)。的取值范圍為（口,-4）.

故答案為：（YO,-4）.

24.若坐標原點O在方程/+了2-%+嚴加=o所表示的圓的外部，則實數(shù)小的取值范圍為.

【答案】（o'）

【分析】根據(jù)二元二次方程表示圓的充要條件以及點與圓的位置關系列不等式，即可得實數(shù)的取值范圍.

【詳解】因為。2+爐_4尸>0,則（一1）2+/一4〃？>0,解得〃?<g：

又因為點。（0,0）在圓的外部，則0+0-0+0+m>0,解得m>0：

所以實數(shù)加的取值范圍為（og）.

故答案為：（o'）.

25.若點（覃）在圓/+/+X+即+1=0外，則實數(shù)。的取值范圍是.

【答案】（-4,-位）

【分析】由題意可得關于。的不等式，求解得答案.

【詳解】??,點（i,i）在圓/+/+工+砂+1=。夕卜，

/.I2+a2-4x1>0，且F+F+i+a+i>o,

解得-4<a<-y/3或4>6.

實數(shù)。的取值范圍為（T-62（百*）?

故答案為：（f—心）.

考點05圓的對稱問題

26.已知半徑為3的圓C的圓心與點尸（-2,1）關于直線x-y+l=0對稱，則圓C的標準方程為（）

A.(x+l)2+(y-l)2=9B.(x-l)2+(y-l)2=81

C..r2+(^+l)2=9D.x2+y2=9

【答案】C

【分析】設出圓心坐標，根據(jù)對稱關系列出方程組，求出圓心坐標，結合半徑為3,即可求解.

【詳解】設圓心坐標。（〃力），由圓心C與點尸關于直線，=》+1對稱，

得到直線。尸與y=x+i垂直，

結合J=x+1的斜率為I,得直線CP的斜率為-1,

I_A

所以「=化簡得。+力+1=0①

-2-42

再由CP的中點在直線y=x+i上，亨+1,化簡得4—〃—1=0②

聯(lián)立①?,可得〃=0,b=—1,

所以圓心C的坐標為（0,-1）,

所以半徑為3的圓C的標準方程為f+（y+l）2=9.

故選：C

27.已知圓G：/+/+2x-2八1=0,圓C：與圓G關于直線x-y-l=0對稱，則圓C2的方程為（）

A.x2+y2-4x+4y+7=0B.x2+y2-4x-4^+7=0

C.x2+y2+4x+4^+7=0D.x2+y2+4x-4y+l=0

【答案】A

【分析】先求得圓G的圓心坐標G（T，1）和半徑r=l，再求得關于x-y-l=0的對稱點。2（2,-2）,

得到圓G的圓心坐標，進而求得圓G的方程.

【詳解】由題意知，圓G的圓心與G關于直線%一丁-1=0對稱，且兩圓半徑相等，

2222

因為圓G:x+y+2x-2y+l=0,即Ct:（x+l）+（y-l）=1,

所以圓心G（TJ），半徑為〃=1，

設圓關于直線x-y-i=o對稱點為。2（叫〃），

-------------1=0

則2,2，解得”=2,〃=-2,即。2（2,-2）,

n-\,,

m+\

所以圓。2的方程為。2：(%-2)2+3+2)2=1,即工2+/一41+4卜+7=0.

故選：A.

28.已知圓C與圓產(chǎn)+/一27=0關于直線t->-2=0對稱，則圓。的方程是()

A.(x+l)2+/=lB.(x-3)2+(y+2)2=\

C.(X+3)2+(^-2)2=1D.(x+2)2+(y-3)2=l

【答案】B

【分析】設所求圓的圓心C(db),根據(jù)點關于直線的對稱得到關于a,b的方程，解出即可.

22

【詳解】將圓f-2、=0化成標準形式得x+(y-l)=l,

所以已知圓的圓心為(0,1),半徑〃=1.

因為圓C與圓d+y2-2y=0關于直線x-y-2=0對稱，

所以圓C的圓心C與點(0,1)關于直線“-卜-2=0對稱，半徑也為1,

\-b,

設C(%“可得-?-一-〃-=-，解得f/77-30,

''O+41+bc八b=-2

2=0

22

所以C(3,-2),圓C的方程是(X-3)2+》+2)2=1,

故選：B

29.已知圓?：a—2)2+3-1)2=9和直線/:工-)，+1=0.若圓。2與圓。］關于直線/對稱，則圓。2的方程為

()

A.(x-3)2+y2=9B.x2+(j-3)2=9

C.(X-2)2+(^-3)2=9D.(X-3)2+(J，-2)2=9

【答案】B

【分析】求出圓。1的圓心關于直線/的對稱點，即為圓。2的圓心坐標，進而可得圓。2的方程.

【詳解】圓。2與圓Q關于直線/對稱，貝!圓心a(2,l)與圓q(a,b)關于/:x-y+l=0對稱

2+a1+6

1----F+A("6+3=0

可得廣2,化簡得A,八，解得a=0,6=3

0-1,a+b-3=0

-2

又兩圓半徑相等，故圓。2的方程為犬+（），-3）2=9

故選：B

30.點M、N在圓。:/+/+26+2叩-4=0上，且“、N兩點關于直線x-y+l=0對稱，則圓。的半徑

（）

A.最大值為農(nóng)B.最小值為立C.最小值為迫D.最大值為辿

2222

【答案】C

【分析】將圓的一般方程化為標準方程，得出圓心坐標和半徑的表達式，利用已知條件，得到圓心在直線

上，結合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.

【詳解】由￡+/+2履+2〃少一4=0,得（x+A）2+（丁+my=爐+〃，+4,

所以圓心C為（-〃,-機），半徑為r=J/+相2+4,

由題意可得直線工一》+1=0經(jīng)過圓心

故有一%+〃i+l=0,即女=〃?+1,

所以半徑為r=>]k2+m2+4=^（w+1）2+m2+4=>~~，

當旭=-!時，圓。的半徑的最小值為些.

22

故選：C.

31.如果圓f+y2+°x+a+/=0（。2+￡_4/>0）關于直線y=X對稱，則有（）

A.D+E=0B.D=E

C.D=FD.E=F

【答案】B

【分析】圓心在直線v=x上，代入計算得到答案.

ED

【詳解】由圓的對稱性知，圓心在直線y=x上，故有-與=-=,^D=E.

22

故選：B

32.（多選）已知圓/+y2+2x—4y+l=0關于直線2ax-如+2=0（a,beR）對稱，則下列結論正確的是（）

A.圓f+y2+2x-4y+\=0的圓心是（一1,2）

B.圓/+/+2%-4），+1=0的半徑是2

C.a+b=\

D.M的取值范圍是（y?,：

【答案】ABCD

【分析】將圓的方程化為標準方程，即可得出A、B；根據(jù)已知可知圓心在直線上，代入即可得出C；根據(jù)

C的結論得6=1-%代入根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出D項.

【詳解】對于A、B,將圓的方程化為標準方程可得（x+l『+（歹-2）2=4,

所以，圓心為（-1,2）,半徑為2,故A、B正確；

對于C項，由己知可得，直線2依-如+2=0經(jīng)過圓心，

所以2QX（—1）—26+2=0,整理可得。+方=1,故C項正確；

X寸十D項，由C知6=1—。，切1?以。6=。（1一4）+3L

44

所以時的取值范圍是，故D項正確.

故選：ABCD.

考點06與圓有關的軌跡問題

33.已知力、8是空間中的兩個定點，若為正三角形，則點尸的軌跡為（）

A.兩個點B.一個圓C.一個平面D.一個球面

【答案】B

【分析】先確定48兩個定點的坐標，根據(jù)題意可知|48|=|尸力|=|尸8|,利用兩點間的距離公式求出點尸

坐標的變化規(guī)律即可.

【詳解】設點力坐標為億0,0）,點8坐標為（w,0,0）,則|”|=2c

因為△玄4為正三角形，所以以川=|/M|=|P5|=2c,

設點P坐標為(x/,z),|PJ|=\PB\=>yj(x-c)2+y2+z2=yj(x+c)2+y2+z2=>x=0，

網(wǎng)=y/(x-c)2+y2+z2=2c=>y2+z2=3c2,

綜上可得點尸的軌跡為一個圓.

故選：B

34.古希臘著名數(shù)學家阿波羅尼斯與歐幾里得、阿基米德齊名.他發(fā)現(xiàn)：“平面內(nèi)到兩個定點A、4的距離之

比為定值4（4>0且Awl）的點的軌跡是圓”.后來人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡

稱阿氏圓，在平面直角坐標系”/中，2（-2,0）、4（2,0）,點產(chǎn)滿足最=3,則蘇.麗的最小值

為.

【答案】-3

【分析】設點尸（蒼田，利用已知條件求出點P的軌跡方程，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可得出

P3-PF=|PO|2-4,求叫囪的最小值，即可得出京.方的最小值.

PH—3〒包叵2『十』

【詳解】設點尸（x,y），由畫"可得而整理可得/+/-5工+4=0,

化為標準方程可得（x-gj+/=',

所以，PAPB=(pd+aij^d+OBj=^d+OA)^d-OA.忸,軻(

=|可-4,

記圓心為〃住0）,當點尸為線段與圓（x-旬+/='的交點時,

?可取最小值，此時，?阿-

所以，蘇?麗=附卜421-4=-3.

故答案為：-3.

35.已知線段48的端點3的坐標為（8,6）,端點4在圓C：V+/+以=。上運動，求線段4臺的中點尸的

軌跡方程，并說明它的軌跡是什么.

【答案】（X-3）2+（尸3>=1,點尸的軌跡是以（3,3）為圓心，1為半徑的圓

=2x-8

【分析】設點尸(X/)，點力(兀/0)，由中點坐標公式可得代入圓。的方程，整理即可得出

%=2k6.

(x-37+(y—3)2=1,即可得出答案.

【詳解】設點。的坐標為(x,y),點力的坐標為(?%,%),

又8(8,6),且尸為線段48的中點,

X。=2x-8

所以則《

Jo=2y_6

因為點4在圓C：/+/+4X=0上運動，即有片+尤+4%=0,

代入可得，(2x-8)2+(2y-6)2+4x(2x-8)=0.

2

整理可得X+/-6X-6^+17=0,化為標準方程可得(x-3『+(y-3f=1.

所以，中點尸的軌跡方程為(>3)2+(>-3)2=1,

該軌跡為以(3,3)為圓心，1為半徑的圓.

36.古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯在他的巨著《圓錐曲線論》中有一個著名的幾何問題：在平面上給定不同兩

\PA\,

點4、B,動點尸滿足身=義(其中2是正常數(shù)，且2"),則尸的軌跡是一個圓，這個圓稱之為“阿波羅

尼斯圓”.若H回=6且義=2,則該圓的半徑為

【答案】4

【分析】根據(jù)給定條件，建立平面直角坐標系求出圓的方程作答.

【詳解】以點4為原點，射線A4為x軸非負半軸建立平面直角坐標系，如圖,

則4(6,0),設尸(4/),由|尸川=2|尸8|,得而二祈了=2歷了，

化簡整理得(X+2)2+/=16,因此點尸的軌跡是以(-2,0)為圓心，4為半徑的圓，

所以該圓的半徑為4.

故答案為：4

37.已知點M與兩個定點40,0),見3,2)的距離比值為：，求點M的軌跡.

【答案】軌跡是圓心為半徑為述的圓.

(44)4

【分析】設“(XJ)，根據(jù)題意結合兩點間距離公式運算求解.

/、1J(x-l)2+y21

【詳解】設Mx/是滿足條件的任意一點，由題意知焉=[，即/,廣小

MB\3屏_3)2+3-2)23

兩邊平方并化簡得公+歹2-]%+:j一〈=0,配方得(、-3丫+(]_丫=2,

2224)I4；8

故所求軌跡是圓心為半徑為短的圓.

【44J4

38.古希臘數(shù)學家阿波羅尼奧斯的著作《圓錐曲線論》中給出圓的另一種定義：平面內(nèi)，到兩個定點

距離之比值為常數(shù)以2>0,2*1)的點的軌跡是圓，我們稱之為阿波羅尼奧斯圓.已知點P到4-2,0)的距離

是點尸到8(1,0)的距離的2倍.求點尸的軌跡方程；

【答案】(X-2)2+/=4；

【分析】

設點尸伍力，根據(jù)題意得|尸力|二2|尸邳，利用兩點之間的距離公式化簡整理，即可求解.

【詳解】

解：設點尸(x,y),

點P到4-2,0)的距離是點P到5(1,0)的距離的2倍，可得附|=2B卻，

因J(x+2『+/=2yj(x-\)2+y2?整理得(x-2)2+V=4,

所以點P的軌跡方程為(x-2)2+_/=4；

考點07距離的最值(范圍)

39.已知點力(8,-6)與圓C：/+y2=25,P是圓C上任意一點，則的最個值是

【答案】5

【分析】先判斷點A在圓外，然后可得|4P|的最小值為|4C|

【詳解】圓。:/+產(chǎn)=25的圓心為C(0,0),半徑「=5,

因為卜C|=J(8-oy+(-6—0>=10>5,所以點A在圓外，

所以|/?|的最小值為|力[一〃=10-5=5,

故答案為：5

40.已知圓0：/+/=16,點P(l,2),M、N為圓。上兩個不同的點，且兩.而=0若麗=麗+麗，則園

的最小值為.

【答案】3+-加I-亞+36

【分析】根據(jù)幾何關系確定點S的軌跡方程，從而根據(jù)點到圓上動點距離最值的求解方法求解即可.

【詳解】解法1：如圖，因為麗?麗=0，所以故四邊形PMQV為矩形，

所以|OS「=|OM『-網(wǎng)2制6悶2,

又&PMN為直角三角形,所以|網(wǎng)=|尸S|,故10sl2=16-|內(nèi)「①,

22

設S(x,刃，則由①可得X+/=16-[(X-1)+(J-2)2],

2

整理得：(x-iy+(y-i)=^-,

從而點S的軌跡為以“；,i)為圓心，手為半徑的圓，

顯然點尸在該圓內(nèi)部，所以仍比加=苧-|PT卜乎-'，

因為園=2網(wǎng),所以|而工=3石-石；

解法2：如圖，因為麗?麗=0,所以PM1PN,

故四邊形PA/QV為矩形，由矩形性質(zhì)，|0河|2+|。甘=|。邛+|。江，

所以16+16=5+|0°『，從而|困=36，

故0點的軌跡是以。為圓心，3百為半徑的圓，

顯然點尸在該圓內(nèi),所以1ML=3石T"l=36一石.

故答案為：3百-&?

41.點產(chǎn)(-3,1)在動直線皿4-1)+〃3-1)=0上的投影為點“，若點N(3,3),那么|MV|的最小值為.

【答案】2石一2

【分析】易知直線〃心—D+〃(y—1)=0過定點力(草)，再由P(-3,I)在動直線皿x—l)+〃(y—1)=0上的投影為

點M,得到尸進而得到M的軌跡是以產(chǎn),力為直徑的圓求解.

【詳解】解：因為直線〃?+1)=0過定點4(1,1),且PM_L4W,

所以”的軌跡是以尸,彳為直徑的圓，且圓心為半徑R=2,

所以|WV|min=|CM—R=J(3_(T)y+22-2=2右一2，

故答案為：2石-2.

42.已知圓C:(X-2)2+/=4,點P(J+2),若圓C上存在兩點4、B,使得a+2而=3而，則/的取值

范圍是.

【答案】[-2,2]

【分析】由題可得方=3而，進而可得點尸到圓上的點的最小距離應小于或等于半徑，即可求解.

【詳解】由題意可得圓心。(2,0),半徑y(tǒng)=2,

因為點P(y+2),所以點P在直線y=x+2上,

由方+29=3方，可得方一麗=3萬一3無，即方=3而，

若圓C上存在兩點48使得蘇=3萬，即|P8|二g|相|wgx2〃=〃=2,

則點P到圓上的點的最小距離應小于或等于半徑，

則有"(.2)2+(>+2-0)2c

解得-2WY2,

故答案為：卜2,2].

43.已知實數(shù)滿足/+/+4丫+2卜+4=0,則(x-l)2+(y-3)2的最大值為.

【答案】36

【分析】根據(jù)點和圓的位置關系求得正確答案.

【詳解】由％2+卜2+4工+2尸4=0得(x+2『+(y+l『=l,

所以點(xj)是以%(-2,-1)為圓心，半徑為1上的圓上的點，

(x-以+5-3)2表示點(X/)與點5(1,3)兩點間距離的平方，

|第=力。42=5,所以(X-1)?+(y-3『的最大值為(5+1『=36.

故答案為：36

44.過點。(一5,0)作直線(1+2加)%-(加+1?-4〃-3=0(m￡燈的垂線，垂足為M,已知點N(3/1),則性必

的最大值為.

【答總13+質(zhì)/師+13

【分析】根據(jù)直線過定點的求法可求得直線所過定點。(1,-2),可知"點軌跡為圓，并求得圓的方程；根

據(jù)圓上點到直線距離最大值的求法可求得結果.

【詳解】直線方程可化為：(21一尸4)m+—=0,

\2x-y-4=0[x=\/、

由得：'直線恒過定點。（「2），

???PM與直線垂直，垂足為二間點軌跡是以產(chǎn)。為直徑的圓,

則圓心C（-2,-l）,半徑一“一5一1『+（0+2）：=屈,

2

...|MN|max=|CN|+r=7（3+2）2+（11+1）2+V10=13+Vi0.

故答案為：13+Jii.

@精準球習

基礎過關練

21

1.若直線："+l=0（a>