四川省遂寧市遂寧中學(xué)2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期10月月考（一診模擬）數(shù)學(xué)試卷 含解析

遂寧中學(xué)介福校區(qū)高2025屆第五期一診模擬數(shù)學(xué)試題一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.若集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】由，則，所以，又，所以.故選：C2.以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，角終邊過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】根據(jù)終邊上的點(diǎn)求出，再應(yīng)用兩角差正切公式求值即可.【詳解】由題意知：，而.故選：C3.已知數(shù)列滿足，則（）A2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用時，得到，代入，求出答案.【詳解】由題意可得①，所以時，②，①-②得，所以，所以.故選：B.4.下列說法錯誤的是（）A.某校高一年級共有男女學(xué)生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200B.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，9，11，16第75百分位數(shù)為10C.在一元線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)r越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)D.根據(jù)分類變量與成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05【答案】C【解析】【分析】利用分層抽樣計算判斷A；求出第75百分位數(shù)判斷B；利用線性相關(guān)系數(shù)的意義判斷C；利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷D.【詳解】對于A，該校高一年級女生人數(shù)是，A正確；對于B，由，得第75百分位數(shù)為，B正確；對于C，線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，C錯誤；對于D，由，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05，D正確.故選：C5.已知角滿足，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】關(guān)鍵利用拆角求解，即，，然后利用和差角公式求值即可.【詳解】由，結(jié)合，可得，所以有，故選：C.6.若函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（??）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，再根據(jù)題設(shè)條件，結(jié)合零點(diǎn)存在定理得到不等式組，求解即得.【詳解】由在區(qū)間上恒為正可得，函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，依題意，函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則由零點(diǎn)存在定理可得，且，解得.故選：C.7.已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有3條對稱軸，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件得到，利用的圖象與性質(zhì)，再結(jié)合條件，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又函?shù)在區(qū)間恰有3條對稱軸，所以，解得，故選：D.8.已知關(guān)于x的方程在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)a的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，方程轉(zhuǎn)化為，結(jié)合單調(diào)性得，然后分離參數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最大值．【詳解】令，則是上的單調(diào)增函數(shù)，原方程整理得，即，若，則，若，則都不成立，所以，所以上有解，整理得，設(shè)，則，時，，遞增，時，，遞減，所以，即的最大值是.故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查用導(dǎo)數(shù)求最值，解題關(guān)鍵是引入函數(shù)，方程變形為，利用函數(shù)的單調(diào)性方程化簡為，這樣分離參數(shù)后利用導(dǎo)數(shù)求得最大值即可．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.）9.下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.函數(shù)的最小值為【答案】BC【解析】【分析】對A舉反例即可；對B根據(jù)不等式性質(zhì)即可判斷；對C，利用指數(shù)函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對D舉反例即可.【詳解】對A，當(dāng)時，，故A錯誤；對B，當(dāng)，則，則，故B正確；對C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則，故C正確；對D，當(dāng)時，，故D錯誤.故選：BC.10.已知（，，）的部分圖象如圖所示，則（）A. B.的最小正周期為C.在內(nèi)有3個極值點(diǎn) D.在區(qū)間上的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的部分圖象求得，，值，可得函數(shù)解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可逐一判斷得解.【詳解】對于AB，根據(jù)函數(shù)的部分圖象知，，，，故AB正確，對于C，由五點(diǎn)法畫圖知，，解得，由于，所以，.令，則，時，，時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在內(nèi)有2個極值點(diǎn)，分別為，，故C錯誤，對于D，，可得：，故當(dāng)此時取最大值，故D正確.故選：ABD.11.如果項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列an滿足，則稱其為“對稱數(shù)列”，設(shè)bn是項(xiàng)數(shù)為的“對稱數(shù)列”，其中，，，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，則（）A.若，則 B.若，則bn所有項(xiàng)的和為C.當(dāng)時，bn所有項(xiàng)的和最大 D.bn所有項(xiàng)的和不可能為【答案】BCD【解析】【分析】確定bn的和，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)，代入數(shù)據(jù)計算得到BCD正確，計算，A錯誤，得到答案.【詳解】記bn的各項(xiàng)之和為，，，，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，可得，所以，當(dāng)時，取到最大值，且最大值為626，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)時，，故選項(xiàng)B正確；，方程無正整數(shù)解，所以bn所有項(xiàng)的和不可能為，故選項(xiàng)D正確；若，則，故選項(xiàng)A錯誤.故選：BCD三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知函數(shù)，則______．【答案】3【解析】【分析】先計算出，再計算出.【詳解】，故，又，故.故答案為：313.已知，設(shè)函數(shù)，則______．【答案】5【解析】【分析】先求出函數(shù)的定義域，再求出，再通過換元，利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解.【詳解】解：由題意得，∴，∴的定義域?yàn)閇1，3]，，設(shè)，，則，在[0，1]上為增函數(shù)，∴當(dāng)即時，，當(dāng)即時，，∴．故答案為：5．【點(diǎn)睛】易錯點(diǎn)睛：本題容易忽略求函數(shù)的定義域?qū)е鲁鲥e.函數(shù)的問題，要注意定義域優(yōu)先的原則.14.如下圖，正方形的邊長為14cm，依次將分為3:4的兩部分，得到正方形，依照相同的規(guī)律，得到正方形.一只螞蟻從出發(fā)，沿著路徑爬行，設(shè)其爬行的長度為，為正整數(shù)，且與恒滿足不等式，則的最小值是______________.【答案】21【解析】【分析】由題結(jié)合圖形，通過數(shù)學(xué)歸納得出數(shù)列以6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，求和分析即可.【詳解】由題意可知，，.所以，同理可得，，，因此由數(shù)學(xué)歸納的思想可知，.設(shè)數(shù)列，則該數(shù)列以6為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，因此，又因?yàn)楫?dāng)時，,所以若與正整數(shù)恒滿足不等式，則的最小值是21.故答案為：21.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量，函數(shù).（1）求的最小正周期;（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）首先利用數(shù)量積公式和二倍角公式，輔助角公式，化簡函數(shù)，再求周期；（2）由題意轉(zhuǎn)化為與函數(shù)在區(qū)間上的圖象恰有兩個交點(diǎn)，利用整體代入的方法，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象，即可求解.【小問1詳解】，的最小正周期；【小問2詳解】由題知在區(qū)間上恰有兩個不同的實(shí)數(shù)根，即函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線恰有兩個交點(diǎn)，令，作出的圖象與直線，如圖.由圖知，當(dāng)時，的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.16.為了研究家用轎車在高速公路上的車速情況，交通部門隨機(jī)對50名家用轎車駕駛員進(jìn)行調(diào)查，得到其在高速公路上行駛時的平均車速情況為：在30名男性駕駛員中，平均車速超過的有20人，不超過的有10人．在20名女性駕駛員中，平均車速超過的有5人，不超過的有15人．（1）完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為平均車速超過的人與性別有關(guān)；平均車速超過人數(shù)平均車速不超過人數(shù)合計男性駕駛員人數(shù)女性駕駛員人數(shù)合計（2）以上述數(shù)據(jù)樣本來估計總體，現(xiàn)從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨機(jī)抽取3輛，記這3輛車中駕駛員為女性且車速不超過的車輛數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求的數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中．參考數(shù)據(jù)：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828【答案】（1）有，理由見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)題干信息填寫列聯(lián)表，計算出卡方值，與7.879比較作出判斷即可；（2）根據(jù)條件可知，由公式得到期望值.【小問1詳解】平均車速超過人數(shù)平均車速不超過人數(shù)合計男性駕駛員人數(shù)201030女性駕駛員人數(shù)51520合計252550∵，∴所以有的把握認(rèn)為平均車速超過與性別有關(guān).【小問2詳解】根據(jù)樣本估計總體的思想，從高速公路上行駛的大量家用轎車中隨即抽取1輛，駕駛員為女性且車速不超過的車輛的概率為.所以的可能取值為0,1,2,3，且，數(shù)學(xué)期望為.17.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，數(shù)列滿足，且．（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求．【答案】（1），（2）【解析】【分析】(1)利用累乘法可求的通項(xiàng)公式，再利用等差數(shù)列的定義求的通項(xiàng)公式；(2)利用錯位相減法求和.【小問1詳解】證明：∵，∴，∴，∴，當(dāng)時，上式成立，∴又因?yàn)?，，所以，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，所以，所以．【小問2詳解】由（1），，所以，①，②所以①②得，所以．18.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．如圖，四邊形中，，，為的內(nèi)角，，的對邊，且滿足．（1）證明：；（2）若，設(shè)，，，求四邊形面積的最大值．【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）由題意知，解得，代入已知條件化簡可得:,再由正弦定理將角化邊即可得證；（2）由條件和（1）的結(jié)論可得為等邊三角形，可得,化簡為，由求得最大值.【小問1詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小正周期，解得，∵，∴，，，，.【小問2詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所以為等邊三角形，所以，∵，∴，?dāng)且僅當(dāng)，即時取最大值，的最大值為.19.設(shè)函數(shù)．（1）已知對任意恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）已知直線l與曲線分別切于點(diǎn)，其中．①求證：；②已知對任意恒成立，求的最大值．【答案】（1）（2）①證明見解析；②1【解析】【分析】（1）利用參變量分離法可得出，其中，利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)的最大值、函數(shù)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）①利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得出直線兩種不同的方程，可得出，整理可得出，構(gòu)造函數(shù)，其中，求出的取值范圍，再由可證得結(jié)論成立；②由可得，設(shè)，其中，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得，結(jié)合可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.小問1詳解】由已知可得，其中，設(shè)，其中，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，所以，；令，其中，則，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】①因?yàn)?，，則，，所以，直線可表示為，即，直線的方程也可表示為，即，故有，所以，