2025屆安徽省安慶市高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題含解析

2025屆安徽省安慶市高二上數(shù)學(xué)期末聯(lián)考試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知平面法向量為，，則直線與平面的位置關(guān)系為A. B.C.與相交但不垂直 D.2．已知，，若不等式恒成立，則正數(shù)的最小值是（）A.2 B.4C.6 D.83．已知兩個向量，若，則的值為（）A. B.C.2 D.84．命題“”的否定是（）A. B.C. D.5．已知命題：，；命題：，.則下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.6．將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為（）A. B.C. D.7．在條件下，目標(biāo)函數(shù)的最大值為2，則的最小值是（）A.20 B.40C.60 D.808．設(shè)集合或，，則（）A. B.C. D.9．等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則A. B.C. D.10．雙曲線C：的漸近線方程為（）A. B.C. D.11．已知拋物線的焦點坐標(biāo)是，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為A. B.C. D.12．已知橢圓，則下列結(jié)論正確的是（）A.長軸長為2 B.焦距為C.短軸長為 D.離心率為二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點，的距離之比為定值的點的軌跡是圓.人們將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.已知點，，動點滿足，記動點的軌跡為曲線，給出下列四個結(jié)論：①曲線方程為；②曲線上存在點，使得到點的距離為；③曲線上存在點，使得到點的距離大于到直線的距離；④曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為.其中所有正確結(jié)論的序號是___________.14．如圖所示四棱錐，底面ABCD為直角梯形，，，，，是底面ABCD內(nèi)一點（含邊界），平面MBD，則點O軌跡的長度為_____________.15．已知圓和直線.（1）求直線l所經(jīng)過的定點的坐標(biāo)，并判斷直線與圓的位置關(guān)系；（2）求當(dāng)k取什么值，直線被圓截得的弦最短，并求這條最短弦的長.16．若雙曲線的漸近線與圓相切，則該雙曲線的實軸長為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）.18．（12分）已知正項等差數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項和19．（12分）已知函數(shù).（1）求函數(shù)在處的切線方程；（2）設(shè)為的導(dǎo)數(shù)，若方程的兩根為，且，當(dāng)時，不等式對任意的恒成立，求正實數(shù)的最小值.20．（12分）數(shù)列{}的首項為，且（1）證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列{}的通項公式；（2）若，求數(shù)列{}的前n項和21．（12分）已知兩動圓：和：，把它們的公共點的軌跡記為曲線，若曲線與軸的正半軸的交點為，取曲線上的相異兩點、滿足：且點與點均不重合.（1）求曲線的方程；（2）證明直線恒經(jīng)過一定點，并求此定點的坐標(biāo)；22．（10分）設(shè)橢圓的左，右焦點分別為，其離心率為，且點在C上.（1）求C的方程；（2）O為坐標(biāo)原點，P為C上任意一點.若M為的中點，過M且平行于的直線l交橢圓C于A，B兩點，是否存在實數(shù)，使得？若存在，求值；若不存在，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】.本題選擇A選項.2、B【解析】由基本不等式求出的最小值，只需最小值大于等于18，得到關(guān)于的不等式，求解，即可得出結(jié)論.【詳解】，因為不等式恒成立，所以，即，解得，所以.故選:B.【點睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查一元二次不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】直接利用空間向量垂直的坐標(biāo)運算計算即可.【詳解】因為，所以，即，解得.故選：B4、C【解析】特稱命題的否定，先把存在量詞改為全稱量詞，再把結(jié)論進行否定即可.【詳解】命題“”的否定是“”.故選：C5、C【解析】利用基本不等式判斷命題的真假，由不等式性質(zhì)判斷命題的真假，進而確定它們所構(gòu)成的復(fù)合命題的真假即可.【詳解】由，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故不存在使，所以命題為假命題，而命題為真命題，則為真，為假，故為假，為假，為真，為假.故選：C6、B【解析】基本事件總數(shù)，再利用列舉法求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件的個數(shù)，由此能求出點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率【詳解】解：將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點數(shù)之和，基本事件總數(shù)，點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個，則點數(shù)之和是4的倍數(shù)但不是3的倍數(shù)的概率為故選：B7、C【解析】首先畫出可行域，找到最優(yōu)解，得到關(guān)系式作為條件，再去求的最小值.【詳解】畫出的可行域，如下圖：由得由得；由得；目標(biāo)函數(shù)取最大值時必過N點，則則（當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立）故選：C8、B【解析】根據(jù)交集的概念和運算直接得出結(jié)果.【詳解】由題意知，.故選：B.9、B【解析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合已知條件，求得，進而求得的值.【詳解】由于數(shù)列是等比數(shù)列，故，所以，故.故選B.【點睛】本小題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)，考查對數(shù)運算，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解析】根據(jù)給定的雙曲線方程直接求出其漸近線方程作答.【詳解】雙曲線C：的實半軸長，虛半軸長，即有，而雙曲線C的焦點在y軸上，所以雙曲線C的漸近線的方程為，即.故選：D11、D【解析】根據(jù)拋物線的焦點坐標(biāo)得到2p=4,進而得到方程.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)是,即p=2,2p=4,故得到方程為.故答案為D.【點睛】這個題目考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，題目較為簡單.12、D【解析】根據(jù)已知條件求得，由此確定正確答案.【詳解】依題意橢圓，所以，所以長軸長為，焦距為，短軸長為，ABC選項錯誤.離心率為，D選項正確.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、①④【解析】設(shè),根據(jù)滿足,利用兩點間距離公式化簡整理，即可判斷①是否正確；由①可知，圓上的點到的距離的范圍為,進而可判斷②是否正確；設(shè)，根據(jù)題意可知，再根據(jù)在曲線上，可得，由此即可判斷③是否正確；由橢圓的的定義，可知在橢圓上，再根據(jù)橢圓與曲線的位置關(guān)系，即可判斷④是否正確.【詳解】設(shè),因為滿足,所以,整理可得：,即,所以①正確；對于②中,由①可知，點在圓的外部,因為到圓心的距離,半徑為,所以圓上的點到的距離的范圍為,而,所以②不正確；對于③中,假設(shè)存在，使得到點的距離大于到直線的距離,又，到直線的距離，所以，化簡可得，又，所以，即，故假設(shè)不成立，故③不正確；對于④中,假設(shè)存在這樣的點，使得到點與點的距離之和為，則在以點與點為焦點，實軸長為的橢圓上，即在橢圓上，易知橢圓與曲線有交點，故曲線上存在點，使得到點與點的距離之和為；所以④正確.故答案為：①④.14、【解析】繪出如圖所示的輔助線，然后通過平面平面得出點軌跡為線段，最后通過求出、的長度即可得出結(jié)果.【詳解】如圖，延長到點，使且，連接，取上點，使得，作，交于點，交于點，連接，因為，所以，因為，又，所以，，因為，，，所以平面平面，因為平面，面，所以點軌跡為線段，因為，，所以，因為，，，所以，因為底面為直角梯形，所以，，，，故答案為：.15、（1）直線過定點P（4，3），直線和圓總有兩個不同交點（2）k=1，【解析】(1)把直線方程化為點斜式方程即可；(2)由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時，弦長最短.【小問1詳解】直線方程可化為，則直線過定點P（4，3），又圓C標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，而，所以點P在圓內(nèi)，所以不論k取何值，直線和圓總有兩個不同交點.【小問2詳解】由圓的性質(zhì)知，當(dāng)直線與PC垂直時，弦長最短.，所以k=1時弦長最短.弦長為.16、【解析】由雙曲線方程寫出漸近線，根據(jù)相切關(guān)系，結(jié)合點線距離公式求參數(shù)a，即可確定實軸長.【詳解】由題設(shè)，漸近線方程為，且圓心為，半徑為1，所以，由相切關(guān)系知：，可得，又，即，所以雙曲線的實軸長為.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)一元二次不等式的解法求得不等式的解集.（2）根據(jù)分式不等式的解法求得不等式的解集.【小問1詳解】不等式等價于，解得.∴不等式的解集為.【小問2詳解】不等式等價于，解得或.∴不等式的解集為.18、（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)首項為，公差為，由，，列出方程組，求得，，即可求出數(shù)列的通項公式；（2），利用列項相消求和法即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)數(shù)首項為，公差為，由題得.解得，，（負值舍去）所以；（2）由（1）得則.19、（1）（2）1【解析】（1）先求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得切線方程；（2）將已知方程結(jié)合其兩根，進行變式，求得，利用該式再將不等式變形，然后將不等式的恒成立問題變?yōu)楹瘮?shù)的最值問題求解.【小問1詳解】由題意可得，所以切點為，則切線方程為：.【小問2詳解】由題意有：，則，因為分別是方程的兩個根，即.兩式相減，則，則不等式，可變?yōu)?，兩邊同時除以得，，令，則在上恒成立.整理可得，在上恒成立，令，則，①當(dāng)，即時，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，又，則在上恒成立；②當(dāng)，即時，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，則，不符合題意.綜上：，所以的最小值為1.20、（1）證明見解析，；（2）.【解析】(1)利用給定的遞推公式變形，再利用等比數(shù)列定義直接判斷并求出通項得解.(2)由(1)的結(jié)論求出，再利用裂項相消法計算作答.【小問1詳解】數(shù)列{}中，，則，由得：，所以數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則有，即，所以數(shù)列{}的通項公式是.【小問2詳解】由(1)知，，，則，所以數(shù)列{}的前n項和.21、（1）；（2）證明見解析，.【解析】（1）設(shè)兩動圓的公共點為，則有，運用橢圓的定義，即可得到，，，進而得到的軌跡方程；（2），設(shè)，，，，設(shè)出直線方程，聯(lián)立方程組，利用韋達定理法及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，即可得到定點.【小問1詳解】設(shè)兩動圓的公共點為，則有由橢圓的定義可知的軌跡為橢圓，設(shè)方程為，則，，所以曲線的方程是：【小問2詳解】由題意可知：，且直線斜率存在，設(shè)，，設(shè)直線：，聯(lián)立方程組，可得，，，因為，所以有，把代入整理化簡得，或舍，因為點與點均不重合，所以直線恒過定點22、（1）；（2）.【解析】(1)列出關(guān)于a、b、c的方程組求解即可；(2)直線l斜率不存在時，易得λ的值；斜率存在時，設(shè)l方程為，聯(lián)立直線l與橢圓C的方程，求出；求出O