2025屆湖北省武漢市部分學(xué)校高三上學(xué)期九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省武漢市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以,所以.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.3.展開式中含項的系數(shù)為（）A.420 B. C.560 D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，的二項展開式的通項公式為，令，得，故含項的系數(shù)為.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C.5.某圓錐母線長為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐體積為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，所以.該圓錐體積為，故選：B.6.已知且，若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的值域為，且，當時，則，為增函數(shù)，，而時，為增函數(shù)，此時，，不符題意；當時，則，為減函數(shù)，，而時，為減函數(shù)，此時，，因為的值域為，當且僅當時，滿足題意，此時，，則，整理得，，解得；綜上，時滿足題意.故選：A.7.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗B〖解析〗，是上的奇函數(shù)，又為奇函數(shù)，則分母上的函數(shù)需為偶函數(shù)，，.故選：.8.設(shè)橢圓的左右焦點為，右頂點為，已知點在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由橢圓E:x2a不妨設(shè)點在第一象限，由橢圓的定義知，因為，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因為，可得，即，將點代入橢圓的方程，可得，整理得，因為，可得，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.某科技公司統(tǒng)計了一款A(yù)pp最近5個月的下載量如表所示，若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則（）月份編號12345下載量（萬次）54.543.52.5A.與負相關(guān) B.C.預(yù)測第6個月的下載量是2.1萬次 D.殘差絕對值的最大值為0.2〖答案〗ACD〖解析〗對于A：因為，所以變量與負相關(guān)，故正確；對于B：，，，則，解得，故錯誤；對于C：當時，，故可以預(yù)測第6個月的下載量約為2.1萬次，故正確；對于D：當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，故殘差絕對值的最大值為0.2，故正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在上的值域為〖答案〗BC〖解析〗由函數(shù)的部分圖象可知：，又因為，即結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,故A錯誤；即所以,故B正確；所以．對于選項C：當時，可得，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于選項D：當時，，所以，即，故D錯誤；故選：BC．11.定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則（）A當時，B.當為正整數(shù)時，C.對任意正實數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個極大值點D.若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點，則的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗對于選項A：因為函數(shù)滿足，當時，，當時，；當時，，當時，，故A錯誤；對于選項B：因為，且，則，，，，可得，所以，故B正確；對于選項CD：由選項A可得：當時，，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)有且僅有一個極大值點，即，例如當，則，不合題意，故C錯誤；若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，若，則______．〖答案〗〖解析〗，因為，所以，即，解得.13.若雙曲線的離心率為3，則______．〖答案〗〖解析〗由題意，焦點在軸上，.14.兩個有共同底面的正三棱錐與，它們的各頂點均在半徑為1的球面上，若二面角的大小為，則的邊長為______．〖答案〗〖解析〗由題意可知：外接球的球心，且平面，即為外接球的直徑，，設(shè)平面，可知為等邊的中心，取的中點，連接，則，可知二面角的平面角為，設(shè)，則，，因為，即，又因為，且，則，解得，所以的邊長為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，平面．（1）求的長；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值解：（1）取中點，連，，由，所以四邊形為平行四邊形，故.由平面，平面，有，所以.又，所以，又，平面，所以平面.由平面，所以.由平面，平面，有，故.又，故.（2）以為坐標原點，為，軸的正方向，以過且與平面垂直向上為軸的正方向建立空間直角坐標系.由，得為正三角形，故.又，.設(shè)平面的法向量，由，即，取，得到平面的一個法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.解：（1）當時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題意可知：的定義域為，且，（i）若，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當，即時，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當，即時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；③當，即時，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.17.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點，為的平分線，且，求的面積解：（1）因，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因為，則，可得，所以.（2）因為為的平分線，則，因為，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18.已知平面內(nèi)一動圓過點，且該圓被軸截得的弦長為4，設(shè)其圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）梯形的四個頂點均在曲線上，，對角線與交于點.（i）求直線的斜率；（ii）證明：直線與交于定點.（1）解：設(shè)圓心為，由題意可得：，整理可得，所以曲線的方程為.（2）（i）解：由題意可知：直線的斜率不存在，且不為0，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，可知直線，聯(lián)立方程，消去x可得，由題意可知：，即，且，可得，同理可得：，則，因為，則，即，整理可得，由題意可知：點不在直線上，則，即，可得，即，所以直線的斜率；（ii）證明：由（i）可知：，則中點，又因為，即，則的中點，即直線，由梯形的性質(zhì)可知：直線與的交點即為直線與的交點，因為直線的斜率，則直線，令可得，即直線與直線交點為，所以直線與交于定點.19.有編號為的個空盒子，另有編號為的個球，現(xiàn)將個球分別放入個盒子中，每個盒子最多放入一個球．放球時，先將1號球隨機放入個盒子中的其中一個，剩下的球按照球編號從小到大的順序依次放置，規(guī)則如下：若球的編號對應(yīng)的盒子為空，則將該球放入對應(yīng)編號的盒子中；若球的編號對應(yīng)的盒子為非空，則將該球隨機放入剩余空盒子中的其中一個．記號球能放入號盒子的概率為．（1）求；（2）當時，求；（3）求．解：（1）1號球放入1號盒中的概率為,此時2,3號球分別放入2,3號盒中；1號球放入2號盒中的概率為,欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號盒中，概率為,1號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中;綜上所述：.（2）1號球放入1號,4號，5號，,n號盒中的概率為，此時3號球可放入3號盒中;1號球放入2號盒中的概率為,欲使3號球放入3號盒中，則2號球需放入1號，4號，5號，n號盒中，概率為,1號球放入3號盒中時，此時3號球不能放入3號盒中;綜上所述：.（3）1號球放入1號，號，號，號，...,n號盒中的概率為,此時k號球可放入k號盒中：1號球放入號盒中的概率為,此時2號，3號，號球都可以放入對應(yīng)編號的盒中，剩下編號為的球和編號為的空盒，此時j號盒非空，j號球在所有空盒中隨機選擇一個放入，此時要讓k號球放入k號盒中的放法總數(shù)等效于將編號為的球，按照題設(shè)規(guī)則放入編號為的盒中（1號球仍然隨機選擇一個盒子放入）,所以概率為1號球放入k號盒中時，此時k號球不能放入k號盒中：所以,整理得：,①分別用和替換和，可得：,②,由①②式相減，整理得：從而,等于1號球不放在2號盒的概率，即.所以.湖北省武漢市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期九月調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以,所以.故選：D.2.已知集合，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，.故選：C.3.展開式中含項的系數(shù)為（）A.420 B. C.560 D.〖答案〗D〖解析〗由題意知，的二項展開式的通項公式為，令，得，故含項的系數(shù)為.故選：D.4.設(shè)等差數(shù)列的前項和為，若，則的公差為（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗由，故，則，由得，故，故公差為，故選：C.5.某圓錐母線長為1，其側(cè)面積與軸截面面積的比值為，則該圓錐體積為（）A B. C. D.〖答案〗B〖解析〗設(shè)圓錐底面圓半徑為，圓錐高為，依題意，，解得，所以.該圓錐體積為，故選：B.6.已知且，若函數(shù)的值域為，則的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗的值域為，且，當時，則，為增函數(shù)，，而時，為增函數(shù)，此時，，不符題意；當時，則，為減函數(shù)，，而時，為減函數(shù)，此時，，因為的值域為，當且僅當時，滿足題意，此時，，則，整理得，，解得；綜上，時滿足題意.故選：A.7.已知函數(shù)是上的奇函數(shù)，則（）A.2 B.-2 C. D.〖答案〗B〖解析〗，是上的奇函數(shù)，又為奇函數(shù)，則分母上的函數(shù)需為偶函數(shù)，，.故選：.8.設(shè)橢圓的左右焦點為，右頂點為，已知點在橢圓上，若，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由橢圓E:x2a不妨設(shè)點在第一象限，由橢圓的定義知，因為，可得，即，可得，所以，所以的面積為，可得，解得，又因為，可得，即，將點代入橢圓的方程，可得，整理得，因為，可得，即，解得和（舍去），即橢圓的離心率為.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.某科技公司統(tǒng)計了一款A(yù)pp最近5個月的下載量如表所示，若與線性相關(guān)，且線性回歸方程為，則（）月份編號12345下載量（萬次）54.543.52.5A.與負相關(guān) B.C.預(yù)測第6個月的下載量是2.1萬次 D.殘差絕對值的最大值為0.2〖答案〗ACD〖解析〗對于A：因為，所以變量與負相關(guān)，故正確；對于B：，，，則，解得，故錯誤；對于C：當時，，故可以預(yù)測第6個月的下載量約為2.1萬次，故正確；對于D：當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，當時，，，故殘差絕對值的最大值為0.2，故正確.故選：ACD.10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A. B.C.的圖象關(guān)于直線對稱 D.在上的值域為〖答案〗BC〖解析〗由函數(shù)的部分圖象可知：，又因為，即結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得,故A錯誤；即所以,故B正確；所以．對于選項C：當時，可得，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；對于選項D：當時，，所以，即，故D錯誤；故選：BC．11.定義在上的函數(shù)滿足，當時，，則（）A當時，B.當為正整數(shù)時，C.對任意正實數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有一個極大值點D.若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點，則的取值范圍是〖答案〗BD〖解析〗對于選項A：因為函數(shù)滿足，當時，，當時，；當時，，當時，，故A錯誤；對于選項B：因為，且，則，，，，可得，所以，故B正確；對于選項CD：由選項A可得：當時，，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)有且僅有一個極大值點，即，例如當，則，不合題意，故C錯誤；若在區(qū)間內(nèi)有3個極大值點，則，所以的取值范圍是，故D正確；故選：BD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知平面向量，若，則______．〖答案〗〖解析〗，因為，所以，即，解得.13.若雙曲線的離心率為3，則______．〖答案〗〖解析〗由題意，焦點在軸上，.14.兩個有共同底面的正三棱錐與，它們的各頂點均在半徑為1的球面上，若二面角的大小為，則的邊長為______．〖答案〗〖解析〗由題意可知：外接球的球心，且平面，即為外接球的直徑，，設(shè)平面，可知為等邊的中心，取的中點，連接，則，可知二面角的平面角為，設(shè)，則，，因為，即，又因為，且，則，解得，所以的邊長為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.如圖，在四棱錐中，平面．（1）求的長；（2）若，求直線與平面所成角的正弦值解：（1）取中點，連，，由，所以四邊形為平行四邊形，故.由平面，平面，有，所以.又，所以，又，平面，所以平面.由平面，所以.由平面，平面，有，故.又，故.（2）以為坐標原點，為，軸的正方向，以過且與平面垂直向上為軸的正方向建立空間直角坐標系.由，得為正三角形，故.又，.設(shè)平面的法向量，由，即，取，得到平面的一個法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.16.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）討論的單調(diào)區(qū)間.解：（1）當時，則，，可得，，即切點坐標為，切線斜率為，所以切線方程為，即.（2）由題意可知：的定義域為，且，（i）若，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；（ⅱ）若，令，解得或，①當，即時，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；②當，即時，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增；③當，即時，令，解得或；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；綜上所述：若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；若，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；若，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.17.已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且（1）求角A；（2）若為邊上一點，為的平分線，且，求的面積解：（1）因，由正弦定理可得，且，即，整理可得，且，則，可得，又因為，則，可得，所以.（2）因為為的平分線，則，因為，則，即，可得，在中，由余弦定理可得，即，整理可得，解得或（舍去），所以的面積.18.已知平面內(nèi)一動圓過點，且該圓被軸截得的弦長為4，設(shè)其圓心的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）梯形的四個頂點均在曲線上，，對角線與交于點.（i）求直線的斜率；（ii）證明：直線與交于定點.（1）解：設(shè)圓心為，由題意可得：，整理可得，所以曲線的方程為.（2）（i）解：由題意可知：直線的斜率不存在，且不為0，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，可知直線，聯(lián)立方程，消去x可得，由題意可知：，即，且，可得，同理可得：，則，因為，則，即，整理可得，由題意可知：點不在直線上，則，即，可得，即，所以直線的斜率；（ii）證明：由（i）可知：，則中點，又因為，即，則的中點，即直線，由梯形的性質(zhì)可知：直線與的交點即為直線與的交點，因為直線的斜率，則直線，令可得