初中幾何經(jīng)典難題合集（附答案）

試卷第試卷第=PAGE1頁(yè)共=SECTIONPAGES24頁(yè)試卷第試卷第=PAGE2頁(yè)共=SECTIONPAGES24頁(yè)初中幾何經(jīng)典難題合集（附答案）1．已知：如圖，O是半圓的圓心，C、E是圓上的兩點(diǎn)，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO。求證：CD＝GF。（初二）證明：如圖，作GH⊥AB，連接EO。因?yàn)镚OFE四點(diǎn)共圓，所以∠GFH＝∠OEG。又因?yàn)椤螱HF＝∠OGE＝90°，所以△GHF∽△OGE?？傻肎F/GE＝GH/OE。因?yàn)镃O＝EO，所以GF/GE＝GH/CO，即GF＝GH·GE/CO。又因?yàn)椤螩DO＝∠EGO＝90°，∠COD＝∠EOG，所以△CDO∽△EGO?？傻肅D/GE＝CO/OE，即CD＝CO·GE/OE。因?yàn)镃O＝EO，所以CD＝GF，得證。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度數(shù)。（初二）證明：作∠BAC的平分線(xiàn)AD，交BC于點(diǎn)D。因?yàn)锳B=AC，∠BAC=80°，所以∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)/2=(180°-80°)/2=50°。因?yàn)椤螾BC=10°，∠PCB=30°，所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=50°-10°=40°，∠ACP=∠ACB-∠PCB=50°-30°=20°。在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-50°=80°。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC/2=80°/2=40°。在△ABD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-40°-40°=100°。因?yàn)椤螦DB=100°，所以∠PDC=180°-∠ADB=180°-100°=80°。在△PDC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，所以∠CPD=180°-∠PDC-∠PCD=180°-80°-30°=70°。因?yàn)椤螦PB=180°-∠ABP-∠PBC-∠PCB=180°-40°-10°-30°=100°，所以∠APD=∠APB-∠CPD=100°-70°=30°。在△APD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PAD+∠APD+∠ADP=180°，所以∠PAD=180°-∠APD-∠ADP=180°-30°-80°=70°。因?yàn)椤螧AD=40°，所以∠PAB=∠PAD-∠BAD=70°-40°=30°。已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，BC上的高AD=3，求BC的長(zhǎng)。（初二）證明：在Rt△ABD中，∠B=60°，AD=3，所以AB=AD/sin60°=3/(√3/2)=2√3。因?yàn)椤螧AC=75°，∠B=60°，所以∠C=45°。在Rt△ADC中，AD=3，所以DC=AD=3。所以BC=BD+DC=AB·cos60°+DC=2√3×(1/2)+3=√3+3。已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，垂足為E。求證：CE=BD。（初二）證明：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。因?yàn)锽D是∠ABC的平分線(xiàn)，所以∠CBD=∠FBE。又因?yàn)镃E⊥BD，所以∠BEC=∠BEF=90°。在△BEC和△BEF中，∠BEC=∠BEF，∠CBD=∠FBE，BE=BE，所以△BEC≌△BEF（ASA），所以CE=EF=CF/2。因?yàn)椤螧AC=90°，CE⊥BD，所以∠ADB=∠EDC=∠F。又因?yàn)锳B=AC，所以△ABD≌△ACF（AAS），所以BD=CF。因此，CE=BD。2．已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD＝∠PDA＝15°。求證：△PBC是正三角形。（初二）證明：如圖，作△DGC使與△ADP全等，可得△PDG為等邊三角形。從而可得△DGC≌△APD≌△CGP，得出PC＝AD＝DC，∠DCG＝∠PCG＝15°。所以∠DCP＝30°，進(jìn)而得出∠PBC＝∠PCB＝60°，△PBC是正三角形。已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)。（初二）證明：將△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BEC。則△APC≌△BEC，所以AP=BE=3，PC=EC=2，∠PCE=90°。根據(jù)勾股定理，PE=√(PC2+EC2)=√(22+22)=2√2。在△PBE中，PB2+PE2=12+(2√2)2=1+8=9=BE2，所以△PBE是直角三角形，∠BPE=90°。因?yàn)椤螾CE=90°，所以∠BPC=∠BPE+∠PCE=90°+45°=135°。已知：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中點(diǎn)，∠ADB=45°，求∠ABC的度數(shù)。（初二）證明：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。因?yàn)椤螦DB=45°，所以△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE。設(shè)BE=DE=x，則BD=√2x。在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，AB2=AE2+BE2，即52=(x+√2x)2+x2，化簡(jiǎn)得x2+2√2x2+2x2=25，即5x2=25，解得x=√5。所以BD=√2x=√10。在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，BC2=BD2+DC2，即BC2=10+(3/2)2=10+9/4=49/4，解得BC=7/2。所以sin∠ABC=AD/AB=(3/2)/5=3/10。因?yàn)椤螦BC是銳角，所以∠ABC=arcsin(3/10)。已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，交BC于點(diǎn)D。求證：AB=AC+CD。（初二）證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠CAD=∠EAD。又因?yàn)椤螩=∠AED=90°，AD=AD，所以△ACD≌△AED（AAS），所以AC=AE，CD=DE。因?yàn)锳C=BC，所以∠B=∠BAC=45°。因?yàn)椤螧ED=90°，所以∠BDE=45°，所以BE=DE=CD。因此，AB=AE+BE=AC+CD。3．如圖，已知四邊形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)。求證：四邊形A2B2C2D2是正方形。（初二）證明：如圖，連接BC1和AB1，分別找其中點(diǎn)F，E。連接C2F與A2E并延長(zhǎng)相交于Q點(diǎn)，連接EB2并延長(zhǎng)交C2Q于H點(diǎn)，連接FB2并延長(zhǎng)交A2Q于G點(diǎn)。由A2E＝A1B1＝B1C1＝FB2，EB2＝AB＝BC＝FC1，又∠GFQ＋∠Q＝90°和∠GEB2＋∠Q＝90°，所以∠GEB2＝∠GFQ。又∠B2FC2＝∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2＝B2C2。又∠GFQ＋∠HB2F＝90°和∠GFQ＝∠EB2A2，從而可得∠A2B2C2＝90°。同理可得其他邊垂直且相等，從而得出四邊形A2B2C2D2是正方形。已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)H。求證：AH=2HD。（初二）證明：在Rt△ABD中，∠B=60°，所以∠BAD=30°，所以AB=2BD。因?yàn)镃E⊥AB，所以∠AEC=90°。在Rt△AEC中，∠BAC=75°，所以∠ACE=15°。因?yàn)椤螧=60°，所以∠ACB=45°。所以∠HCD=∠ACB-∠ACE=45°-15°=30°。在Rt△CHD中，∠HCD=30°，所以CH=2HD。因?yàn)椤螧AC=75°，∠BAD=30°，所以∠CAH=45°。因?yàn)椤螦EC=90°，所以∠ACE=15°。所以∠ECH=∠ACB-∠ACE=45°-15°=30°。所以∠HAC=∠BAC-∠CAH=75°-45°=30°。所以∠HAC=∠HCD。所以AH=CH。因此，AH=2HD。已知：如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D。求證：BC=BD+AD。（初二）證明：在BC上取一點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE。因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD=∠EBD。在△ABD和△EBD中，BD=BD，∠ABD=∠EBD，AB=EB，所以△ABD≌△EBD（SAS），所以AD=DE，∠BED=∠A=100°。因?yàn)椤螧ED=100°，所以∠DEC=80°。因?yàn)锳B=AC，所以∠C=(180°-∠A)/2=(180°-100°)/2=40°。因?yàn)椤螪EC=80°，∠C=40°，所以∠EDC=60°。因?yàn)椤螮DC=60°，所以∠DEB=180°-∠DEC-∠EDC=180°-80°-60°=40°。所以∠DEC=∠C，所以DE=DC。因此，BC=BE+EC=BD+AD。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：BE=3AE。（初二）證明：連接AD。因?yàn)锳B=AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°。因?yàn)椤螧=∠C=30°，所以AB=2AD。在Rt△ADE中，∠ADE=30°，所以AD=2AE，所以AB=4AE，所以BE=AB-AE=3AE。4．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD＝BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長(zhǎng)線(xiàn)交MN于E、F。求證：∠DEN＝∠F。證明：如圖，連接AC并取其中點(diǎn)Q，連接QN和QM。所以可得∠QMF＝∠F，∠QNM＝∠DEN，∠QMN＝∠QNM。從而得出∠DEN＝∠F。經(jīng)典難題（二）已知：如圖，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的一點(diǎn)，∠FAE=∠EAD。求證：AF=AD+CF。（初二）證明：延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)G。因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以DE=CE。因?yàn)椤螦DE=∠GCE=90°，∠AED=∠GEC，所以△ADE≌△GCE（ASA），所以AD=CG，AE=GE。因?yàn)椤螰AE=∠EAD，所以∠FAE=∠GAE。在△AFE和△AGE中，∠FAE=∠GAE，AE=AE，∠AEF=∠AEG，所以△AFE≌△AGE（ASA），所以AF=AG=AD+CG=AD+CF。已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°。求證：AB=CD。（初二）證明：延長(zhǎng)BA和CD交于點(diǎn)E。因?yàn)椤螧=135°，所以∠EBC=45°。因?yàn)椤螩=90°，所以∠BEC=45°，所以BC=EC。因?yàn)锳D=BC，所以AD=EC。因?yàn)椤螦=90°，所以∠EAD=90°。在Rt△EAD和Rt△ECD中，AD=EC，∠A=∠C=90°，所以Rt△EAD≌Rt△ECD（HL），所以AB=CD。經(jīng)典難題（八）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，BC=CD。求證：AC=BC+CD。（初二）證明：連接BD。因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形，所以AB=BD，∠ABD=60°。因?yàn)椤螧CD=120°，BC=CD，所以∠CBD=∠CDB=30°，所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°。在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2。因?yàn)锳B=BD，BC=CD，所以AC2=BD2+CD2=(BC+CD)2，所以AC=BC+CD。經(jīng)典難題（七）5．已知：△ABC中，H為垂心（各邊高線(xiàn)的交點(diǎn)），O為外心，且OM⊥BC于M。（1）求證：AH＝2OM；（2）若∠BAC＝60°，求證：AH＝AO。（初二）證明：（1）延長(zhǎng)AD到F連BF，作OG⊥AF。又∠F＝∠ACB＝∠BHD，可得BH＝BF，從而可得HD＝DF。又AH＝GF＋HG＝GH＋HD＋DF＋HG＝2（GH＋HD）＝2OM。（3）連接OB，OC，既得∠BOC＝120°，從而可得∠BOM＝60°，所以可得OB＝2OM＝AH＝AO，得證。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度數(shù)。（初二）證明：作∠BAC的平分線(xiàn)AD，交BC于點(diǎn)D。因?yàn)锳B=AC，∠BAC=80°，所以∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)/2=(180°-80°)/2=50°。因?yàn)椤螾BC=10°，∠PCB=30°，所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=50°-10°=40°，∠ACP=∠ACB-∠PCB=50°-30°=20°。在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-50°=80°。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC/2=80°/2=40°。在△ABD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-40°-40°=100°。因?yàn)椤螦DB=100°，所以∠PDC=180°-∠ADB=180°-100°=80°。在△PDC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，所以∠CPD=180°-∠PDC-∠PCD=180°-80°-30°=70°。因?yàn)椤螦PB=180°-∠ABP-∠PBC-∠PCB=180°-40°-10°-30°=100°，所以∠APD=∠APB-∠CPD=100°-70°=30°。在△APD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PAD+∠APD+∠ADP=180°，所以∠PAD=180°-∠APD-∠ADP=180°-30°-80°=70°。因?yàn)椤螧AD=40°，所以∠PAB=∠PAD-∠BAD=70°-40°=30°。已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，BC上的高AD=3，求BC的長(zhǎng)。（初二）證明：在Rt△ABD中，∠B=60°，AD=3，所以AB=AD/sin60°=3/(√3/2)=2√3。因?yàn)椤螧AC=75°，∠B=60°，所以∠C=45°。在Rt△ADC中，AD=3，所以DC=AD=3。所以BC=BD+DC=AB·cos60°+DC=2√3×(1/2)+3=√3+3。已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，垂足為E。求證：CE=BD。（初二）證明：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。因?yàn)锽D是∠ABC的平分線(xiàn)，所以∠CBD=∠FBE。又因?yàn)镃E⊥BD，所以∠BEC=∠BEF=90°。在△BEC和△BEF中，∠BEC=∠BEF，∠CBD=∠FBE，BE=BE，所以△BEC≌△BEF（ASA），所以CE=EF=CF/2。因?yàn)椤螧AC=90°，CE⊥BD，所以∠ADB=∠EDC=∠F。又因?yàn)锳B=AC，所以△ABD≌△ACF（AAS），所以BD=CF。因此，CE=BD。6．設(shè)MN是圓O外一直線(xiàn)，過(guò)O作OA⊥MN于A，自A引圓的兩條直線(xiàn)，交圓于B、C及D、E，直線(xiàn)EB及CD分別交MN于P、Q。求證：AP＝AQ。（初二）證明：作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于，由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC＝∠AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得∠AFC＝∠AOP和∠AGE＝∠AOQ，∠AOP＝∠AOQ，從而可得AP＝AQ。已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)。（初二）證明：將△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BEC。則△APC≌△BEC，所以AP=BE=3，PC=EC=2，∠PCE=90°。根據(jù)勾股定理，PE=√(PC2+EC2)=√(22+22)=2√2。在△PBE中，PB2+PE2=12+(2√2)2=1+8=9=BE2，所以△PBE是直角三角形，∠BPE=90°。因?yàn)椤螾CE=90°，所以∠BPC=∠BPE+∠PCE=90°+45°=135°。已知：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中點(diǎn)，∠ADB=45°，求∠ABC的度數(shù)。（初二）證明：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。因?yàn)椤螦DB=45°，所以△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE。設(shè)BE=DE=x，則BD=√2x。在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，AB2=AE2+BE2，即52=(x+√2x)2+x2，化簡(jiǎn)得x2+2√2x2+2x2=25，即5x2=25，解得x=√5。所以BD=√2x=√10。在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，BC2=BD2+DC2，即BC2=10+(3/2)2=10+9/4=49/4，解得BC=7/2。所以sin∠ABC=AD/AB=(3/2)/5=3/10。因?yàn)椤螦BC是銳角，所以∠ABC=arcsin(3/10)。已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，交BC于點(diǎn)D。求證：AB=AC+CD。（初二）證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠CAD=∠EAD。又因?yàn)椤螩=∠AED=90°，AD=AD，所以△ACD≌△AED（AAS），所以AC=AE，CD=DE。因?yàn)锳C=BC，所以∠B=∠BAC=45°。因?yàn)椤螧ED=90°，所以∠BDE=45°，所以BE=DE=CD。因此，AB=AE+BE=AC+CD。7．如果上題把直線(xiàn)MN由圓外平移至圓內(nèi)，則由此可得以下命題：設(shè)MN是圓O的弦，過(guò)MN的中點(diǎn)A任作兩弦BC、DE，設(shè)CD、EB分別交MN于P、Q。求證：AP＝AQ。（初二）證明：作OF⊥CD，OG⊥BE，連接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于，由此可得△ADF≌△ABG，從而可得∠AFC＝∠AGE。又因?yàn)镻FOA與QGOA四點(diǎn)共圓，可得∠AFC＝∠AOP和∠AGE＝∠AOQ，∠AOP＝∠AOQ，從而可得AP＝AQ。已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)H。求證：AH=2HD。（初二）證明：在Rt△ABD中，∠B=60°，所以∠BAD=30°，所以AB=2BD。因?yàn)镃E⊥AB，所以∠AEC=90°。在Rt△AEC中，∠BAC=75°，所以∠ACE=15°。因?yàn)椤螧=60°，所以∠ACB=45°。所以∠HCD=∠ACB-∠ACE=45°-15°=30°。在Rt△CHD中，∠HCD=30°，所以CH=2HD。因?yàn)椤螧AC=75°，∠BAD=30°，所以∠CAH=45°。因?yàn)椤螦EC=90°，所以∠ACE=15°。所以∠ECH=∠ACB-∠ACE=45°-15°=30°。所以∠HAC=∠BAC-∠CAH=75°-45°=30°。所以∠HAC=∠HCD。所以AH=CH。因此，AH=2HD。已知：如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D。求證：BC=BD+AD。（初二）證明：在BC上取一點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE。因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD=∠EBD。在△ABD和△EBD中，BD=BD，∠ABD=∠EBD，AB=EB，所以△ABD≌△EBD（SAS），所以AD=DE，∠BED=∠A=100°。因?yàn)椤螧ED=100°，所以∠DEC=80°。因?yàn)锳B=AC，所以∠C=(180°-∠A)/2=(180°-100°)/2=40°。因?yàn)椤螪EC=80°，∠C=40°，所以∠EDC=60°。因?yàn)椤螮DC=60°，所以∠DEB=180°-∠DEC-∠EDC=180°-80°-60°=40°。所以∠DEC=∠C，所以DE=DC。因此，BC=BE+EC=BD+AD。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：BE=3AE。（初二）證明：連接AD。因?yàn)锳B=AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°。因?yàn)椤螧=∠C=30°，所以AB=2AD。在Rt△ADE中，∠ADE=30°，所以AD=2AE，所以AB=4AE，所以BE=AB-AE=3AE。8．如圖，分別以△ABC的AC和BC為一邊，在△ABC的外側(cè)作正方形ACDE和正方形CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)。求證：點(diǎn)P到邊AB的距離等于AB的一半。（初二）證明：過(guò)E，C，F(xiàn)點(diǎn)分別作AB所在直線(xiàn)的高EG，CI，F(xiàn)H。可得PQ＝（EG＋FH）/2。由△EGA≌△AIC，可得EG＝AI，由△BFH≌△CBI，可得FH＝BI。從而可得PQ＝（AI＋BI）/2＝AB/2，從而得證。經(jīng)典難題（三）已知：如圖，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的一點(diǎn)，∠FAE=∠EAD。求證：AF=AD+CF。（初二）證明：延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)G。因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以DE=CE。因?yàn)椤螦DE=∠GCE=90°，∠AED=∠GEC，所以△ADE≌△GCE（ASA），所以AD=CG，AE=GE。因?yàn)椤螰AE=∠EAD，所以∠FAE=∠GAE。在△AFE和△AGE中，∠FAE=∠GAE，AE=AE，∠AEF=∠AEG，所以△AFE≌△AGE（ASA），所以AF=AG=AD+CG=AD+CF。已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°。求證：AB=CD。（初二）證明：延長(zhǎng)BA和CD交于點(diǎn)E。因?yàn)椤螧=135°，所以∠EBC=45°。因?yàn)椤螩=90°，所以∠BEC=45°，所以BC=EC。因?yàn)锳D=BC，所以AD=EC。因?yàn)椤螦=90°，所以∠EAD=90°。在Rt△EAD和Rt△ECD中，AD=EC，∠A=∠C=90°，所以Rt△EAD≌Rt△ECD（HL），所以AB=CD。經(jīng)典難題（八）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，BC=CD。求證：AC=BC+CD。（初二）證明：連接BD。因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形，所以AB=BD，∠ABD=60°。因?yàn)椤螧CD=120°，BC=CD，所以∠CBD=∠CDB=30°，所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°。在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2。因?yàn)锳B=BD，BC=CD，所以AC2=BD2+CD2=(BC+CD)2，所以AC=BC+CD。經(jīng)典難題（七）9．如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE與CD相交于F。求證：CE＝CF。（初二）證明：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ADE，到△ABG，連接CG。由于∠ABG＝∠ADE＝90°＋45°＝135°，從而可得B，G，D在一條直線(xiàn)上，可得△AGB≌△CGB。推出AE＝AG＝AC＝GC，可得△AGC為等邊三角形?！螦GB＝30°，既得∠EAC＝30°，從而可得∠AEC＝75°。又∠EFC＝∠DFA＝45°＋30°＝75°，可證：CE＝CF。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度數(shù)。（初二）證明：作∠BAC的平分線(xiàn)AD，交BC于點(diǎn)D。因?yàn)锳B=AC，∠BAC=80°，所以∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)/2=(180°-80°)/2=50°。因?yàn)椤螾BC=10°，∠PCB=30°，所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=50°-10°=40°，∠ACP=∠ACB-∠PCB=50°-30°=20°。在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-50°=80°。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC/2=80°/2=40°。在△ABD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-40°-40°=100°。因?yàn)椤螦DB=100°，所以∠PDC=180°-∠ADB=180°-100°=80°。在△PDC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，所以∠CPD=180°-∠PDC-∠PCD=180°-80°-30°=70°。因?yàn)椤螦PB=180°-∠ABP-∠PBC-∠PCB=180°-40°-10°-30°=100°，所以∠APD=∠APB-∠CPD=100°-70°=30°。在△APD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PAD+∠APD+∠ADP=180°，所以∠PAD=180°-∠APD-∠ADP=180°-30°-80°=70°。因?yàn)椤螧AD=40°，所以∠PAB=∠PAD-∠BAD=70°-40°=30°。已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，BC上的高AD=3，求BC的長(zhǎng)。（初二）證明：在Rt△ABD中，∠B=60°，AD=3，所以AB=AD/sin60°=3/(√3/2)=2√3。因?yàn)椤螧AC=75°，∠B=60°，所以∠C=45°。在Rt△ADC中，AD=3，所以DC=AD=3。所以BC=BD+DC=AB·cos60°+DC=2√3×(1/2)+3=√3+3。已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，垂足為E。求證：CE=BD。（初二）證明：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。因?yàn)锽D是∠ABC的平分線(xiàn)，所以∠CBD=∠FBE。又因?yàn)镃E⊥BD，所以∠BEC=∠BEF=90°。在△BEC和△BEF中，∠BEC=∠BEF，∠CBD=∠FBE，BE=BE，所以△BEC≌△BEF（ASA），所以CE=EF=CF/2。因?yàn)椤螧AC=90°，CE⊥BD，所以∠ADB=∠EDC=∠F。又因?yàn)锳B=AC，所以△ABD≌△ACF（AAS），所以BD=CF。因此，CE=BD。10．如圖，四邊形ABCD為正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直線(xiàn)EC交DA延長(zhǎng)線(xiàn)于F。求證：AE＝AF。（初二）證明：連接BD作CH⊥DE，可得四邊形CGDH是正方形。由AC＝CE＝2GC＝2CH，可得∠CEH＝30°，所以∠CAE＝∠CEA＝∠AED＝15°。又∠FAE＝90°＋45°＋15°＝150°，從而可知道∠F＝15°，從而得出AE＝AF。已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)。（初二）證明：將△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BEC。則△APC≌△BEC，所以AP=BE=3，PC=EC=2，∠PCE=90°。根據(jù)勾股定理，PE=√(PC2+EC2)=√(22+22)=2√2。在△PBE中，PB2+PE2=12+(2√2)2=1+8=9=BE2，所以△PBE是直角三角形，∠BPE=90°。因?yàn)椤螾CE=90°，所以∠BPC=∠BPE+∠PCE=90°+45°=135°。已知：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中點(diǎn)，∠ADB=45°，求∠ABC的度數(shù)。（初二）證明：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。因?yàn)椤螦DB=45°，所以△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE。設(shè)BE=DE=x，則BD=√2x。在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，AB2=AE2+BE2，即52=(x+√2x)2+x2，化簡(jiǎn)得x2+2√2x2+2x2=25，即5x2=25，解得x=√5。所以BD=√2x=√10。在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，BC2=BD2+DC2，即BC2=10+(3/2)2=10+9/4=49/4，解得BC=7/2。所以sin∠ABC=AD/AB=(3/2)/5=3/10。因?yàn)椤螦BC是銳角，所以∠ABC=arcsin(3/10)。已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，交BC于點(diǎn)D。求證：AB=AC+CD。（初二）證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠CAD=∠EAD。又因?yàn)椤螩=∠AED=90°，AD=AD，所以△ACD≌△AED（AAS），所以AC=AE，CD=DE。因?yàn)锳C=BC，所以∠B=∠BAC=45°。因?yàn)椤螧ED=90°，所以∠BDE=45°，所以BE=DE=CD。因此，AB=AE+BE=AC+CD。11．設(shè)P是正方形ABCD一邊BC上的任一點(diǎn)，PF⊥AP，CF平分∠DCE。求證：PA＝PF。（初二）證明：作FG⊥CD，F(xiàn)E⊥BE，可以得出GFEC為正方形。令A(yù)B＝Y(jié)，BP＝X，CE＝Z，可得PC＝Y(jié)－X。tan∠BAP＝tan∠EPF＝BP/AP＝EF/PF，可得YZ＝XY－X2＋XZ，即Z（Y－X）＝X（Y－X），既得X＝Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得證。已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)H。求證：AH=2HD。（初二）證明：在Rt△ABD中，∠B=60°，所以∠BAD=30°，所以AB=2BD。因?yàn)镃E⊥AB，所以∠AEC=90°。在Rt△AEC中，∠BAC=75°，所以∠ACE=15°。因?yàn)椤螧=60°，所以∠ACB=45°。所以∠HCD=∠ACB-∠ACE=45°-15°=30°。在Rt△CHD中，∠HCD=30°，所以CH=2HD。因?yàn)椤螧AC=75°，∠BAD=30°，所以∠CAH=45°。因?yàn)椤螦EC=90°，所以∠ACE=15°。所以∠ECH=∠ACB-∠ACE=45°-15°=30°。所以∠HAC=∠BAC-∠CAH=75°-45°=30°。所以∠HAC=∠HCD。所以AH=CH。因此，AH=2HD。已知：如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D。求證：BC=BD+AD。（初二）證明：在BC上取一點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE。因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD=∠EBD。在△ABD和△EBD中，BD=BD，∠ABD=∠EBD，AB=EB，所以△ABD≌△EBD（SAS），所以AD=DE，∠BED=∠A=100°。因?yàn)椤螧ED=100°，所以∠DEC=80°。因?yàn)锳B=AC，所以∠C=(180°-∠A)/2=(180°-100°)/2=40°。因?yàn)椤螪EC=80°，∠C=40°，所以∠EDC=60°。因?yàn)椤螮DC=60°，所以∠DEB=180°-∠DEC-∠EDC=180°-80°-60°=40°。所以∠DEC=∠C，所以DE=DC。因此，BC=BE+EC=BD+AD。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：BE=3AE。（初二）證明：連接AD。因?yàn)锳B=AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°。因?yàn)椤螧=∠C=30°，所以AB=2AD。在Rt△ADE中，∠ADE=30°，所以AD=2AE，所以AB=4AE，所以BE=AB-AE=3AE。12．如圖，PC切圓O于C，AC為圓的直徑，PEF為圓的割線(xiàn)，AE、AF與直線(xiàn)PO相交于B、D。求證：AB＝DC，BC＝AD。（初三）證明：過(guò)D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由AB·AE＝AD·AF，可得AB/AF＝AD/AE，即AB/AD＝AF/AE。由PC切圓O于C，可得∠PCA＝∠PFC，∠PAC＝∠PEC，從而△PAC∽△PEC，可得PC/PE＝AC/EC，即PC·EC＝AC·PE。同理，△PCF∽△PCA，可得PC/PA＝FC/AC，即PC·AC＝PA·FC。由∠AOD＝∠EOF，可得△AOD∽△EOF，可得OD/OF＝OA/OE，即OD·OE＝OA·OF。將上述式子代入AB/AD＝AF/AE，可得AB＝DC。同理，可證BC＝AD。經(jīng)典難題（四）已知：如圖，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的一點(diǎn)，∠FAE=∠EAD。求證：AF=AD+CF。（初二）證明：延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)G。因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以DE=CE。因?yàn)椤螦DE=∠GCE=90°，∠AED=∠GEC，所以△ADE≌△GCE（ASA），所以AD=CG，AE=GE。因?yàn)椤螰AE=∠EAD，所以∠FAE=∠GAE。在△AFE和△AGE中，∠FAE=∠GAE，AE=AE，∠AEF=∠AEG，所以△AFE≌△AGE（ASA），所以AF=AG=AD+CG=AD+CF。已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°。求證：AB=CD。（初二）證明：延長(zhǎng)BA和CD交于點(diǎn)E。因?yàn)椤螧=135°，所以∠EBC=45°。因?yàn)椤螩=90°，所以∠BEC=45°，所以BC=EC。因?yàn)锳D=BC，所以AD=EC。因?yàn)椤螦=90°，所以∠EAD=90°。在Rt△EAD和Rt△ECD中，AD=EC，∠A=∠C=90°，所以Rt△EAD≌Rt△ECD（HL），所以AB=CD。經(jīng)典難題（八）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，BC=CD。求證：AC=BC+CD。（初二）證明：連接BD。因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形，所以AB=BD，∠ABD=60°。因?yàn)椤螧CD=120°，BC=CD，所以∠CBD=∠CDB=30°，所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°。在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2。因?yàn)锳B=BD，BC=CD，所以AC2=BD2+CD2=(BC+CD)2，所以AC=BC+CD。經(jīng)典難題（七）13．已知：△ABC是正三角形，P是三角形內(nèi)一點(diǎn)，PA＝3，PB＝4，PC＝5。求：∠APB的度數(shù)。（初二）證明：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABP60°，連接PQ，則△PBQ是正三角形?？傻谩鱌QC是直角三角形。所以∠APB＝∠AQP＋∠BQP＝90°＋60°＝150°。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度數(shù)。（初二）證明：作∠BAC的平分線(xiàn)AD，交BC于點(diǎn)D。因?yàn)锳B=AC，∠BAC=80°，所以∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)/2=(180°-80°)/2=50°。因?yàn)椤螾BC=10°，∠PCB=30°，所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=50°-10°=40°，∠ACP=∠ACB-∠PCB=50°-30°=20°。在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-50°=80°。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC/2=80°/2=40°。在△ABD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-40°-40°=100°。因?yàn)椤螦DB=100°，所以∠PDC=180°-∠ADB=180°-100°=80°。在△PDC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，所以∠CPD=180°-∠PDC-∠PCD=180°-80°-30°=70°。因?yàn)椤螦PB=180°-∠ABP-∠PBC-∠PCB=180°-40°-10°-30°=100°，所以∠APD=∠APB-∠CPD=100°-70°=30°。在△APD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PAD+∠APD+∠ADP=180°，所以∠PAD=180°-∠APD-∠ADP=180°-30°-80°=70°。因?yàn)椤螧AD=40°，所以∠PAB=∠PAD-∠BAD=70°-40°=30°。已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，BC上的高AD=3，求BC的長(zhǎng)。（初二）證明：在Rt△ABD中，∠B=60°，AD=3，所以AB=AD/sin60°=3/(√3/2)=2√3。因?yàn)椤螧AC=75°，∠B=60°，所以∠C=45°。在Rt△ADC中，AD=3，所以DC=AD=3。所以BC=BD+DC=AB·cos60°+DC=2√3×(1/2)+3=√3+3。已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，垂足為E。求證：CE=BD。（初二）證明：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。因?yàn)锽D是∠ABC的平分線(xiàn)，所以∠CBD=∠FBE。又因?yàn)镃E⊥BD，所以∠BEC=∠BEF=90°。在△BEC和△BEF中，∠BEC=∠BEF，∠CBD=∠FBE，BE=BE，所以△BEC≌△BEF（ASA），所以CE=EF=CF/2。因?yàn)椤螧AC=90°，CE⊥BD，所以∠ADB=∠EDC=∠F。又因?yàn)锳B=AC，所以△ABD≌△ACF（AAS），所以BD=CF。因此，CE=BD。14．設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA＝∠PDA。求證：∠PAB＝∠PCB。（初二）證明：作過(guò)P點(diǎn)平行于AD的直線(xiàn)，并選一點(diǎn)E，使AE∥DC，BE∥PC?？梢缘贸觥螦BP＝∠ADP＝∠AEP，可得AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）?？傻谩螧AP＝∠BEP＝∠BCP，得證。已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)。（初二）證明：將△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BEC。則△APC≌△BEC，所以AP=BE=3，PC=EC=2，∠PCE=90°。根據(jù)勾股定理，PE=√(PC2+EC2)=√(22+22)=2√2。在△PBE中，PB2+PE2=12+(2√2)2=1+8=9=BE2，所以△PBE是直角三角形，∠BPE=90°。因?yàn)椤螾CE=90°，所以∠BPC=∠BPE+∠PCE=90°+45°=135°。已知：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中點(diǎn)，∠ADB=45°，求∠ABC的度數(shù)。（初二）證明：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。因?yàn)椤螦DB=45°，所以△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE。設(shè)BE=DE=x，則BD=√2x。在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，AB2=AE2+BE2，即52=(x+√2x)2+x2，化簡(jiǎn)得x2+2√2x2+2x2=25，即5x2=25，解得x=√5。所以BD=√2x=√10。在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，BC2=BD2+DC2，即BC2=10+(3/2)2=10+9/4=49/4，解得BC=7/2。所以sin∠ABC=AD/AB=(3/2)/5=3/10。因?yàn)椤螦BC是銳角，所以∠ABC=arcsin(3/10)。已知：如圖，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分線(xiàn)，交BC于點(diǎn)D。求證：AB=AC+CD。（初二）證明：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠CAD=∠EAD。又因?yàn)椤螩=∠AED=90°，AD=AD，所以△ACD≌△AED（AAS），所以AC=AE，CD=DE。因?yàn)锳C=BC，所以∠B=∠BAC=45°。因?yàn)椤螧ED=90°，所以∠BDE=45°，所以BE=DE=CD。因此，AB=AE+BE=AC+CD。15．設(shè)ABCD為圓內(nèi)接凸四邊形，求證：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD。（初三）證明：在BD取一點(diǎn)E，使∠BCE＝∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得AD/AC＝BE/BC，即AD·BC＝BE·AC。又∠ACB＝∠DCE，可得△ABC∽△DEC，可得AB/DE＝AC/DC，即AB·DC＝DE·AC。由上述兩式可得：AB·CD＋AD·BC＝AC（BE＋DE）＝AC·BD，得證。已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，AD⊥BC于點(diǎn)D，CE⊥AB于點(diǎn)E，AD與CE交于點(diǎn)H。求證：AH=2HD。（初二）證明：在Rt△ABD中，∠B=60°，所以∠BAD=30°，所以AB=2BD。因?yàn)镃E⊥AB，所以∠AEC=90°。在Rt△AEC中，∠BAC=75°，所以∠ACE=15°。因?yàn)椤螧=60°，所以∠ACB=45°。所以∠HCD=∠ACB-∠ACE=45°-15°=30°。在Rt△CHD中，∠HCD=30°，所以CH=2HD。因?yàn)椤螧AC=75°，∠BAD=30°，所以∠CAH=45°。因?yàn)椤螦EC=90°，所以∠ACE=15°。所以∠ECH=∠ACB-∠ACE=45°-15°=30°。所以∠HAC=∠BAC-∠CAH=75°-45°=30°。所以∠HAC=∠HCD。所以AH=CH。因此，AH=2HD。已知：如圖，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BD平分∠ABC，交AC于點(diǎn)D。求證：BC=BD+AD。（初二）證明：在BC上取一點(diǎn)E，使BE=BD，連接DE。因?yàn)锽D平分∠ABC，所以∠ABD=∠EBD。在△ABD和△EBD中，BD=BD，∠ABD=∠EBD，AB=EB，所以△ABD≌△EBD（SAS），所以AD=DE，∠BED=∠A=100°。因?yàn)椤螧ED=100°，所以∠DEC=80°。因?yàn)锳B=AC，所以∠C=(180°-∠A)/2=(180°-100°)/2=40°。因?yàn)椤螪EC=80°，∠C=40°，所以∠EDC=60°。因?yàn)椤螮DC=60°，所以∠DEB=180°-∠DEC-∠EDC=180°-80°-60°=40°。所以∠DEC=∠C，所以DE=DC。因此，BC=BE+EC=BD+AD。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中點(diǎn)，DE⊥AB于點(diǎn)E。求證：BE=3AE。（初二）證明：連接AD。因?yàn)锳B=AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=60°。因?yàn)椤螧=∠C=30°，所以AB=2AD。在Rt△ADE中，∠ADE=30°，所以AD=2AE，所以AB=4AE，所以BE=AB-AE=3AE。16．平行四邊形ABCD中，設(shè)E、F分別是BC、AB上的一點(diǎn)，AE與CF相交于P，且AE＝CF。求證：∠DPA＝∠DPC。（初二）證明：過(guò)D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由AB·AE＝AD·AF，可得AB/AF＝AD/AE，即AB/AD＝AF/AE。由AE＝CF，可得AB/AD＝CF/AE。又因?yàn)椤螪AE＝∠BCF，所以△ADE∽△CBF，可得∠ADE＝∠CBF。因?yàn)椤螦DP＝∠ADE＋∠PAD，∠DPC＝∠CBF＋∠PCF，所以∠ADP＝∠DPC。又因?yàn)锳Q⊥AE，AG⊥CF，所以∠DPA＝∠DPC（角平分線(xiàn)逆定理）。經(jīng)典難題（五）已知：如圖，在正方形ABCD中，E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC上的一點(diǎn)，∠FAE=∠EAD。求證：AF=AD+CF。（初二）證明：延長(zhǎng)AE，BC交于點(diǎn)G。因?yàn)镋為CD的中點(diǎn)，所以DE=CE。因?yàn)椤螦DE=∠GCE=90°，∠AED=∠GEC，所以△ADE≌△GCE（ASA），所以AD=CG，AE=GE。因?yàn)椤螰AE=∠EAD，所以∠FAE=∠GAE。在△AFE和△AGE中，∠FAE=∠GAE，AE=AE，∠AEF=∠AEG，所以△AFE≌△AGE（ASA），所以AF=AG=AD+CG=AD+CF。已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，∠A=∠C=90°，∠B=135°。求證：AB=CD。（初二）證明：延長(zhǎng)BA和CD交于點(diǎn)E。因?yàn)椤螧=135°，所以∠EBC=45°。因?yàn)椤螩=90°，所以∠BEC=45°，所以BC=EC。因?yàn)锳D=BC，所以AD=EC。因?yàn)椤螦=90°，所以∠EAD=90°。在Rt△EAD和Rt△ECD中，AD=EC，∠A=∠C=90°，所以Rt△EAD≌Rt△ECD（HL），所以AB=CD。經(jīng)典難題（八）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，∠BCD=120°，BC=CD。求證：AC=BC+CD。（初二）證明：連接BD。因?yàn)锳B=AD，∠BAD=60°，所以△ABD是等邊三角形，所以AB=BD，∠ABD=60°。因?yàn)椤螧CD=120°，BC=CD，所以∠CBD=∠CDB=30°，所以∠ABC=∠ABD+∠CBD=90°。在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理，AC2=AB2+BC2。因?yàn)锳B=BD，BC=CD，所以AC2=BD2+CD2=(BC+CD)2，所以AC=BC+CD。經(jīng)典難題（七）17．設(shè)P是邊長(zhǎng)為1的正△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，L＝PA＋PB＋PC，求證：√3≤L＜2。證明：（1）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC60°，可得△PBE為等邊三角形。既得PA＋PB＋PC＝AP＋PE＋EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線(xiàn)上，即如下圖：可得最小L＝√3；（1）過(guò)P點(diǎn)作BC的平行線(xiàn)交AB，AC與點(diǎn)D，F(xiàn)。由于∠APD＞∠ATP＝∠ADP，推出AD＞AP。又BP＋DP＞BP，和PF＋FC＞PC，又DF＝AF，由上述式子可得：最大L＜2。由（1）和（2）既得：√3≤L＜2。已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠PBC=10°，∠PCB=30°，求∠PAB的度數(shù)。（初二）證明：作∠BAC的平分線(xiàn)AD，交BC于點(diǎn)D。因?yàn)锳B=AC，∠BAC=80°，所以∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)/2=(180°-80°)/2=50°。因?yàn)椤螾BC=10°，∠PCB=30°，所以∠ABP=∠ABC-∠PBC=50°-10°=40°，∠ACP=∠ACB-∠PCB=50°-30°=20°。在△ABC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，所以∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-50°-50°=80°。因?yàn)锳D是∠BAC的平分線(xiàn)，所以∠BAD=∠CAD=∠BAC/2=80°/2=40°。在△ABD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°，所以∠ADB=180°-∠BAD-∠ABD=180°-40°-40°=100°。因?yàn)椤螦DB=100°，所以∠PDC=180°-∠ADB=180°-100°=80°。在△PDC中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PDC+∠PCD+∠CPD=180°，所以∠CPD=180°-∠PDC-∠PCD=180°-80°-30°=70°。因?yàn)椤螦PB=180°-∠ABP-∠PBC-∠PCB=180°-40°-10°-30°=100°，所以∠APD=∠APB-∠CPD=100°-70°=30°。在△APD中，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，∠PAD+∠APD+∠ADP=180°，所以∠PAD=180°-∠APD-∠ADP=180°-30°-80°=70°。因?yàn)椤螧AD=40°，所以∠PAB=∠PAD-∠BAD=70°-40°=30°。已知：如圖，在△ABC中，∠B=60°，∠BAC=75°，BC上的高AD=3，求BC的長(zhǎng)。（初二）證明：在Rt△ABD中，∠B=60°，AD=3，所以AB=AD/sin60°=3/(√3/2)=2√3。因?yàn)椤螧AC=75°，∠B=60°，所以∠C=45°。在Rt△ADC中，AD=3，所以DC=AD=3。所以BC=BD+DC=AB·cos60°+DC=2√3×(1/2)+3=√3+3。已知：如圖，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BD是∠ABC的平分線(xiàn)，BD交AC于點(diǎn)D，CE⊥BD，垂足為E。求證：CE=BD。（初二）證明：延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F。因?yàn)锽D是∠ABC的平分線(xiàn)，所以∠CBD=∠FBE。又因?yàn)镃E⊥BD，所以∠BEC=∠BEF=90°。在△BEC和△BEF中，∠BEC=∠BEF，∠CBD=∠FBE，BE=BE，所以△BEC≌△BEF（ASA），所以CE=EF=CF/2。因?yàn)椤螧AC=90°，CE⊥BD，所以∠ADB=∠EDC=∠F。又因?yàn)锳B=AC，所以△ABD≌△ACF（AAS），所以BD=CF。因此，CE=BD。18．已知：P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，求PA＋PB＋PC的最小值。證明：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△BPC60°，可得△PBE為等邊三角形。既得PA＋PB＋PC＝AP＋PE＋EF要使最小只要AP，PE，EF在一條直線(xiàn)上，即如下圖：可得最小PA＋PB＋PC＝AF。既得AF＝√（AB2＋BF2）＝√（12＋（1＋√3/3）2）＝√（1＋1＋2√3/3+1/3）＝√（2+2√3/3+1/3）＝√（7/3+2√3/3）＝√（21+6√3）/3。已知：如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=1，PC=2，求∠BPC的度數(shù)。（初二）證明：將△APC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△BEC。則△APC≌△BEC，所以AP=BE=3，PC=EC=2，∠PCE=90°。根據(jù)勾股定理，PE=√(PC2+EC2)=√(22+22)=2√2。在△PBE中，PB2+PE2=12+(2√2)2=1+8=9=BE2，所以△PBE是直角三角形，∠BPE=90°。因?yàn)椤螾CE=90°，所以∠BPC=∠BPE+∠PCE=90°+45°=135°。已知：如圖，在△ABC中，AB=5，AC=3，D是BC的中點(diǎn)，∠ADB=45°，求∠ABC的度數(shù)。（初二）證明：過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。因?yàn)椤螦DB=45°，所以△BDE是等腰直角三角形，所以BE=DE。設(shè)BE=DE=x，則BD=√2x。在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理，AB2=AE2+BE2，即52=(x+√2x)2+x2，化簡(jiǎn)得x2+2√2x2+2x2=25，即5x2=25，解得x=√5。所以BD=√2x=√10。在Rt△BDC中，根據(jù)勾股定理，BC2=BD2+DC2，即BC2=10+(3/2)2=10+9/4=49/4，解得BC=