2024高考數(shù)學一輪復習指點迷津二求曲線軌跡方程的方法學案文含解析新人教A版

求曲線軌跡方程的方法指引迷津(二)求曲線軌跡方程的方法曲線C與方程F(x,y)=0滿意兩個條件:(1)曲線C上點的坐標都是方程F(x,y)=0的解;(2)以方程F(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上.則稱曲線C為方程F(x,y)=0的曲線,方程F(x,y)=0為曲線C的方程.求曲線方程的基本方法主要有:(1)干脆法:干脆將幾何條件或等量關系用坐標表示為代數(shù)方程.(2)定義法:利用曲線的定義,推斷曲線類型,再由曲線的定義干脆寫出曲線方程.(3)代入法(相關點法)題中有兩個動點,一個為所求,設為(x,y),另一個在已知曲線上運動,設為(x0,y0),利用已知條件找出兩個動點的關系,用所求表示已知,即x0=f(x,y),y(4)參數(shù)法:引入?yún)?shù)t,求出動點(x,y)與參數(shù)t之間的關系x=f(t(5)交軌法:引入?yún)?shù)表示兩動曲線的方程,將參數(shù)消去,得到兩動曲線交點的軌跡方程.一、干脆法求軌跡方程【例1】已知△ABC的三個頂點分別為A(-1,0),B(2,3),C(1,22),定點P(1,1).(1)求△ABC外接圓的標準方程;(2)若過定點P的直線與△ABC的外接圓交于E,F兩點,求弦EF中點的軌跡方程.解(1)由題意得AC的中點坐標為(0,2),AB的中點坐標為12,32,kAC=2,kAB=1,故AC中垂線的斜率為-22,AB中垂線的斜率為-1,則AC的中垂線的方程為y-2=-22x,AB由y得x所以△ABC的外接圓的圓心為(2,0),半徑r=2+1=3,故△ABC外接圓的標準方程為(x-2)2+y2=9.(2)設弦EF的中點為M(x,y),△ABC外接圓的圓心為N,則N(2,0).由MN⊥MP,得NM·PM所以(x-2,y)·(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,所以弦EF中點的軌跡方程為x-方法總結(jié)干脆法求軌跡的方法和留意問題(1)若曲線上的動點滿意的條件是一些幾何量的等量關系,則可用干脆法,其一般步驟是:設點→列式→化簡→檢驗.求動點的軌跡方程時要留意檢驗,即除去多余的點,補上遺漏的點.(2)若是只求軌跡方程,則把方程求出,把變量的限制條件附加上即可;若是求軌跡,則要說明軌跡是什么圖形.對點訓練1已知坐標平面上動點M(x,y)與兩個定點P(26,1),Q(2,1),且|MP|=5|MQ|.(1)求點M的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形;(2)記(1)中軌跡為C,若過點N(-2,3)的直線l被C所截得的線段長度為8,求直線l的方程.二、定義法求軌跡方程【例2】已知圓C與兩圓x2+(y+4)2=1,x2+(y-2)2=1外切,圓C的圓心軌跡為L,設L上的點與點M(x,y)的距離的最小值為m,點F(0,1)與點M(x,y)的距離為n.(1)求圓C的圓心軌跡L的方程;(2)求滿意條件m=n的點M的軌跡Q的方程.解(1)兩圓半徑都為1,兩圓圓心分別為C1(0,-4),C2(0,2),由題意得|CC1|=|CC2|,可知圓心C的軌跡是線段C1C2的垂直平分線,C1C2的中點為(0,-1),直線C1C2的斜率不存在,所以圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1.(2)L上的點與點M(x,y)的距離的最小值是點M到直線y=-1的距離,因為m=n,所以M(x,y)到直線y=-1的距離與到點F(0,1)的距離相等,故點M的軌跡Q是以y=-1為準線,點F(0,1)為焦點,頂點在原點的拋物線,而p2=1,即p=2,所以,軌跡Q的方程是x2=4y方法總結(jié)定義法求軌跡方程(1)在利用圓錐曲線的定義求軌跡方程時,若所求的軌跡符合某種圓錐曲線的定義,則依據(jù)曲線的方程,寫出所求的軌跡方程.(2)利用定義法求軌跡方程時,還要看軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線,假如不是完整的曲線,則應對其中的變量x或y進行限制.對點訓練2如圖所示,已知圓A:(x+2)2+y2=1與點B(2,0),分別求出滿意下列條件的動點P的軌跡方程.(1)△PAB的周長為10;(2)圓P與圓A外切,且過B點(P為動圓圓心);(3)圓P與圓A外切,且與直線x=1相切(P為動圓圓心).三、代入法(相關點法)求軌跡方程【例3】如圖所示,拋物線E:y2=2px(p>0)與圓O:x2+y2=8相交于A,B兩點,且點A的橫坐標為2.過劣弧AB上動點P(x0,y0)作圓O的切線交拋物線E于C,D兩點,分別以C,D為切點作拋物線E的切線l1,l2,l1與l2相交于點M.(1)求p的值;(2)求動點M的軌跡方程.解(1)由點A的橫坐標為2,可得點A的坐標為(2,2),代入y2=2px,解得p=1.(2)由(1)知拋物線E:y2=2x.設Cy122,y1,Dy222,y2,y1≠0,y2≠0,切線l1的斜率為k,則切線l1:得ky2-2y+2y1-ky12=0,由Δ=0,解得k=所以l1的方程為y=1y1x+同理l2的方程為y=1y2x+聯(lián)立y=1易知CD的方程為x0x+y0y=8,其中x0,y0滿意x02+y02=8,由y2=2x,x0x+y0y=8,則y1+可得M(x,y)滿意x代入x02+y02=8,因為x0∈[2,22],所以x∈[-4,-22].所以動點M的軌跡方程為x28-y2=1,x∈[-4,-22方法總結(jié)對點訓練3如圖,已知P是橢圓x24+y2=1上一點,PM⊥x軸于點M.若PN=λ(1)求點N的軌跡方程;(2)當點N的軌跡為圓時,求λ的值.四、參數(shù)法求軌跡方程【例4】點A和點B是拋物線y2=4px(p>0)上除原點以外的兩個動點,已知OA⊥OB,OM⊥AB于點M,求點M的軌跡方程.解當AB所在直線的斜率不存在時,M為肯定點,坐標為(4p,0).當AB所在直線的斜率存在時,設其方程為y=kx+b(k≠0),由y=kx+b,y2=4px,得k2x2+設點A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=2(2p-kb)k2所以y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2=4pb由OA⊥OB,知x1x2+y1y2=0,則b=-4pk.①設點M(x,y),由OM⊥AB,知yx·k=-1,y≠則k=-xy.②由①②及y=kx+b消去k,b,得x2+y2-4px=0(y≠0).又點(4p,0)的坐標滿意x2+y2-4px=0,所以點M的軌跡方程為x2+y2-4px=0.方法總結(jié)應用參數(shù)法求軌跡方程的程序:選參—求參—消參.留意消參后曲線的范圍是否發(fā)生改變.對點訓練4在平面直角坐標系中,O為坐標原點,點A(1,0),B(2,2),若點C滿意OC=OA+t(OB-OA),其中t∈R,則點C五、交軌法求軌跡方程【例5】(2024東北三省四市一模)如圖,已知橢圓C:x218+y29=1的短軸端點分別為B1,B2,點M是橢圓C上的動點,且不與B1,B2重合,點N滿意NB1⊥MB1,(1)求動點N的軌跡方程;(2)求四邊形MB2NB1面積的最大值.解(1)(方法1)設點N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由題意知點B1(0,-3),B2(0,3),所以kM因為MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,所以直線NB1:y+3=-x0y0+3直線NB2:y-3=-x0y0-①×②得y2-9=x02y又x02所以y2-9=181-y029y所以動點N的軌跡方程為y29+x29(方法2)設點N(x,y),M(x0,y0)(x0≠0).由題意知點B1(0,-3),B2(0,3),所以kM因為MB1⊥NB1,MB2⊥NB2,所以直線NB1:y+3=-x0y0+3直線NB2:y-3=-x0y0-聯(lián)立①②,解得x又x0218+y0故x0=-2x,y0=所以動點N的軌跡方程為y29+x29(方法3)設直線MB1:y=kx-3(k≠0),則直線NB1:y=-1kx-3.①直線MB1與橢圓C:x218+y29=則直線MB2的斜率為kMB2所以直線NB2:y=2kx+3.②由①②得點N的軌跡方程為y29+x29(2)由(1)(方法3)得直線NB1:y=-1kx-3,①直線NB2:y=2kx+3.②聯(lián)立①②,解得x=-6k2k2+1,又xm=12k2k2+1,故四邊形MB2NB1的面積S=12|B1B2|(|xM|+|xN|)=3×12|k|2方法總結(jié)交軌法一般依據(jù)動點在兩條動直線上,利用動直線方程,消去不必要的參數(shù)得到動點的軌跡方程,留意通過幾何意義確定曲線的范圍.對點訓練5(2024河北唐山一模,文20)已知P是x軸上的動點(異于原點O),點Q在圓O:x2+y2=4上,且|PQ|=2.設線段PQ的中點為M.(1)當直線PQ與圓O相切于點Q,且點Q在第一象限時,求直線OM的斜率;(2)當點P移動時,求點M的軌跡方程.指引迷津(二)求曲線軌跡方程的方法對點訓練1解(1)由|MP|=5|MQ|,得(=5(x化簡得x2+y2-2x-2y-23=0,所以點M的軌跡方程是(x-1)2+(y-1)2=25,軌跡是以(1,1)為圓心,5為半徑的圓.(2)當直線l的斜率不存在時,l:x=-2,此時所截得的線段的長度為2×52-所以l:x=-2符合題意.當直線l的斜率存在時,設l的方程為y-3=k(x+2),即kx-y+2k+3=0,圓心(1,1)到l的距離d=|3由題意,得|3k+2|k2+12+42=52,解得k=512,所以直線l的方程為512x-y+236綜上,直線l的方程為x=-2或5x-12y+46=0.對點訓練2解(1)依據(jù)題意,知|PA|+|PB|+|AB|=10,即|PA|+|PB|=6>4=|AB|,故點P軌跡為橢圓,且2a=6,2c=4,即a=3,c=2,b=5.又點P不在x軸上,因此所求軌跡方程為x29+y25(2)設圓P的半徑為r,則|PA|=r+1,|PB|=r,因此|PA|-|PB|=1.由雙曲線的定義知,點P的軌跡為雙曲線的右支,且2a=1,2c=4,即a=12,c=2,b=152,因此所求軌跡方程為4x2-415y2=(3)依題意,知動點P到定點A的距離等于到定直線x=2的距離,故所求軌跡為拋物線,且開口向左,p=4.因此所求軌跡方程為y2=-8x.對點訓練3解(1)設點P(x1,y1),N(x,y),則M的坐標為(x1,0),且x=x1,所以PN=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),NM=(x1-x,-y)=(0,-y),由PN=λNM得(0,y-y1)=λ(0,-y).所以y-y1=-λy,即y1=(1+λ)y.因為點P(x1,y1)在橢圓x24+y2=1上,所以x124+y12=1,所以x24+(1+λ)2y2=1,故x24+(2)要使點N的軌跡為圓,則(1+λ)2=14,解得λ=-12或λ=-32.故當λ=-12或λ=-32對點訓練4y=2x-2設點C(x,y),則OC=(x,y),OA+t(OB-OA)=(1+t,2t),所以x=t+